Qua bài học các em sẽ nắm được hình dạng cũng như bước để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số các hàm số phổ biến trong chương trình phổ thông như hàm số bậc ba, hàm số bậc bốn trùng phương và hàm số phân thức bậc nhất/ bậc nhất (hàm nhất biến).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=f(x)\):
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} y = 0 \Leftrightarrow - {x^4} + 2{x^2} + 1 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 1 + \sqrt 2 \\ {x^2} = 1 - \sqrt 2 (L) \end{array} \right. \Rightarrow x = \pm \sqrt {1 + \sqrt 2 } \end{array}.\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)
Cho: \(x = 0 \Rightarrow y = - 1;y = 0 \Rightarrow x = - 1\).
Trong phạm vi bài học DapAnHay chỉ giới thiệu đến các em các hình dạng cũng như bước để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số các hàm số phổ biến trong chương trình phổ thông như hàm số bậc ba, hàm số bậc bốn trùng phương và hàm số phân thức bậc nhất/ bậc nhất (hàm nhất biến).
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 5để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hàm số y= f(x) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\) và
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty .\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y=(x)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left [ -2;2 \right ]\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 8 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 9 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.56 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.57 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.58 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.59 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.60 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.61 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.62 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.63 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.64 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.65 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.66 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.67 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.68 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.69 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.70 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.71 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.72 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.73 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.74 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 29 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 30 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 31 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 32 trang 28 SGK Toán 12 NC
Bài tập 33 trang 28 SGK Toán 12 NC
Bài tập 40 trang 43 SGK Toán 12 NC
Bài tập 41 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 42 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 43 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 44 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 45 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 46 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 47 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 48 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 49 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 50 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 51 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 52 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 53 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 54 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 55 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 56 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 57 trang 55 SGK Toán 12 NC
Bài tập 58 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 59 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 60 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 61 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 62 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 63 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 64 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 65 trang 58 SGK Toán 12 NC
Bài tập 66 trang 58 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hàm số y= f(x) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty .\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y=(x)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left [ -2;2 \right ]\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình bên. Hỏi \(f(x)\) có bao nhiêu tiệm cận ngang?
Xác định a,b để hàm số \(y = \frac{{a - x}}{{x + b}}\) có đồ thị như hình vẽ:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số đường cong trong hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\left |f(x) \right |=m\) có 4 nghiệm phân biệt.
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m\) có 6 nghiệm thực phân biệt.
Hình vẽ bên là đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đường cong dưới đây là đồ thị của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({-x^3} + 3{x^2} - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 1\) có đồ thị (C). Hình bên là một phần của đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = f'\left( x \right)\) trong đó a, b, c là các hằng số thực. Có bao nhiêu biểu thức nhận giá trị dương trong các biểu thức sau \(ab,ac,3a + 3b + c\) và \(a - b + c.\)
Cho hàm số \(y = {x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2.
b) Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m\)
a) Tìm các giá trị của m sao cho hàm số có ba cực trị.
b) Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1/2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : \(y = \frac{{x - 2}}{{2x + 1}}\)
b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
a) \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)
b) \(y = \frac{{2x + 1}}{{1 - 3x}}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}}\)
b) Chứng minh rằng giao điểm của đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.
c) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: \(\frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}} + m = 0\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\)
b) \(y = \frac{{{2x^2} - x + 1}}{{1 - x}}\)
c) \(y = \frac{{{2x^2} + 3x - 3}}{{x + 2}}\)
d) \(y = - x + 2 + \frac{1}{{x - 1}}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm A của đồ thị với trục tung.
c) Viết phương trinh tiếp tuyến của đồ thị song song với tiếp tuyến tại điểm A
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số \(y = 1 - \frac{1}{{x + 1}}\)
b) Từ đồ thị (H) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số \(y = 1 + \frac{1}{{x + 1}}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = x + \frac{2}{{x - 1}}\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm (3; 3)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\)
b) Từ đồ thị (C) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{|x + 1|}}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C) của hàm số: f(x) = 2x3 + 3x2 + 1
b) Tìm các giao điểm của đường cong (C) và parabol: (P): g(x) = 2x2 + 1
c) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) và (P) tại mỗi giao điểm của chúng.
d) Xác định các khoảng trên đó (C) nằm phía trên hoặc phía dưới (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)
b) Với các giá nào của m, đường thẳng (dm) đi qua điểm A(−2;2) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đã cho:
Chứng minh rằng các đồ thị của ba hàm số: f(x)=−x2+3x+6; g(x)=x3−x2+4 và h(x)=x2+7x+8 tiếp xúc với nhau tại điểm A(−1;2) (tức là chúng có cùng tiếp tuyến tại A)
Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{3}{2}x\) và \(g\left( x \right) = \frac{{3x}}{{x + 2}}\) tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung tại điểm đó.
Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu v0 > 0 từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ O, nghiêng một góc α với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng Oxy và tạo với trục hoành Ox góc α ). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol.
\(\left( {{\gamma _\alpha }} \right):y = - \frac{g}{{2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha \)
(g là gia tốc trọng trường).
Chứng minh rằng với mọi \(\alpha \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right),({\gamma _\alpha })\) luôn tiếp xúc với parabol (P) có phương trình là: \(y = - \frac{g}{{2v_o^2}}{x^2} + \frac{{v_o^2}}{{2g}}\) và tìm tọa độ tiếp điểm (P) được gọi là parabol an toàn).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)
b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đường cong đã cho là tâm đối xứng của nó
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số: \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 1}}\)
b) Chứng minh rằng đường thẳng y = mx + m − 1 luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên.
c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).
Cho hàm số \(y = \frac{{a{x^2} - bx}}{{x - 1}}\)
a) Tìm a và b biết rằng đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua điểm \(A\left( { - 1;\frac{5}{2}} \right)\) và tiếp tuyến của (C) tại điểm O(0;0) có hệ số bằng −3.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của a và b đã tìm được.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\)
b) Với các giá trị nào của m thì đường thẳng y = m–x cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt?
c) Gọi A và B là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng AB khi m biến thiên.
Tìm các hệ số a,ba,b sao cho parabol y = 2x2 + ax + b tiếp xúc với hypebol y = 1/x tại điểm M(1/2;2)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = 4{x^3}-4x;y\left( { - 2} \right) = 8;\) \(y'\left( { - 2} \right) = - 24\).
Phương trình tiếp tuyến phải tìm là: \(y = y'\left( { - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + y\left( { - 2} \right)\) hay \(y = - 24\left( {x + 2} \right) + 8\) \( \Leftrightarrow y = - 24x - 40\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6\left( {m - 1} \right)x - 3\left( {m + 1} \right)\).
Hàm số đã cho có cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta ' = 9{\left( {m - 1} \right)^2} + 9\left( {m + 1} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow 9\left( {{m^2} - 2m + 1 + m + 1} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow 9\left( {{m^2} - m + 2} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - m + 2 > 0\)
Tam thức m2 - m + 2 luôn dương với mọi m ∈ R vì \({\Delta _m}\) = 1 - 8 < 0 và a = 1 > 0
Do đó phương y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vậy với \(\forall m \in \mathbb{R}\), hàm số đã cho luôn có cực trị.
Câu trả lời của bạn
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{2x - 1}}\) và \(y = x + 2\) là nghiệm của phương trình:
\(\dfrac{{2x + 1}}{{2x - 1}} = x + 2\) (1)
ĐK: \(2x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{1}{2}\)
\((1) \Rightarrow 2x + 1 = \left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow 2x + 1 = 2{x^2} + 3x - 2\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1(TM) \Rightarrow y = 3\\x = - \dfrac{3}{2}(TM) \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng là \(A\left( {1;3} \right)\) và \(B\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\).
Tất cả các giá trị ts m để bpt 42-(×+1)2×+1+m ≥0 với mọi x>0
Câu trả lời của bạn
Tìm x biết: (3x-1)2 = (x-1)2
Câu trả lời của bạn
`(3x - 1)^2 = (x - 1)^2`
`<=> (3x - 1)^2 - (x - 1)^2 = 0`
`<=> [(3x - 1) -(x - 1)].[(3x - 1) + (x - 1)] = 0`
`<=> [3x - 1 - x + 1].[3x - 1 + x - 1] = 0`
`<=> 2x.(4x - 2) = 0`
`<=> 4x.(2x - 1) = 0`
`<=> x = 0` hoặc `x = 1/2`
Hàm số f() đồng biến trên khoảng nào
Câu trả lời của bạn
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau \(y = {{{x^3}} \over 3} - {x^2} + x + 1\)
Câu trả lời của bạn
1.TXĐ: D = R.
2. Sự biến thiên:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr} \)
y’ = x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x. Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ R.
Cho y’ = 0 ⇒ x = 1.
Bảng biến thiên
Vẽ đồ thị hàm số
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số sau \(y = -x^4+ 2x^2 + 3.\)
Câu trả lời của bạn
1.TXĐ: D = R.
2. Sự biến thiên:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr} \)
y’= -4x3 + 4x. Cho y’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = ±1.
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên: (-∞,-1), (0,1).
Hàm số nghịch biến trên: (-1,0), (1, +∞).
Hàm số đạt cực đại bằng 4 tại x = -1 và x = 1.
Hàm số đạt cực tiểu bằng 3 tại x = 0.
Đồ thị
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = -x^3 + 3x^2 - 4\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: D = R.
Sự biến thiên:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x\to - \infty } y = + \infty \cr} \)
y’ = -3x2 + 6x. Cho y’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = 2.
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên khoảng (0,2)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞,0), (2,+ ∞).
Hàm số đạt cực đại bằng 0 tại x = 2.
Hàm số đạt cực tiểu bằng -4 tại x = 0.
Vẽ đồ thị hàm số
Nhận xét: hai đồ thị đối xứng nhau qua Oy.
Hãy lấy một ví dụ về hàm số dạng \(y = ax^4 + bx^2 + c\) sao cho phương trình y’ = 0 chỉ có một nghiệm.
Câu trả lời của bạn
Ví dụ hàm số y = x4
Có đạo hàm y’ = 4x3
Cho y’ = 0 thì x = 0.
Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số sau \(y = x^2 + 2x – 3\); \(y = -x^2 – x + 2.\)
Câu trả lời của bạn
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
-x2 – x + 2 = x2 + 2x – 3
⇔ 2x2 + 3x – 5 = 0
⇔ x = 1 hoặc x = -5/2.
Với x = 1 thì y = 0.
Với x = - 5/2 thì y = - 7/4
Vậy tọa độ giao điểm là (1, 0) và (-5/2, - 7/4).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau: \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}\);
Câu trả lời của bạn
\(y=2+3x-{{x}^{3}}.\)
1) TXĐ: \(D=R.\)
2) Sự biến thiên:
+) Chiều biến thiên:
Ta có: \(y'=3-3{{x}^{2}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3-3{{x}^{2}}=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right..\)
Trên khoảng \(\left( -1;\ 1 \right),\ y'>0\) nên hàm số số đồng biến, trên khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right)\) có \(y'<0\) nên hàm số nghịch biến.
+) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=1;\ \ {{y}_{CD}}=y\left( 1 \right)=4.\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1;\ \ {{y}_{CT}}=y\left( -1 \right)=0.\)
+) Giới hạn vô cực:
+) Bảng biến thiên:
+) Đồ thị:
Ta có: \(2+3x-{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right..\)
Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 2 điểm \(\left( 2;\ 0 \right)\) và \(\left( -1;\ 0 \right).\)
Ta có: \(y''=-6x\); \(y''=0 ⇔ x=0\). Với \(x=0\) ta có \(y=2\). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm \(I(0;2)\) làm tâm đối xứng.
Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ \(x=-2\) suy ra \(y=4\).
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau: \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x\);
Câu trả lời của bạn
Xét hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \(y' = 3x^2+ 8x + 4\).
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right.\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - \frac{2}{3}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - 2; - \frac{2}{3}} \right).\)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), giá trị cực đại \(y\)cđ = \(y(-2) = 0\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\frac{2}{3}\), giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y\left ( -\frac{2}{3} \right )=-\frac{32}{27}.\)
Giới hạn:
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;0)\), cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: \({x^3} + 4{x^2} + 4x = 0⇔ x=0\) hoặc \(x=-2\) nên tọa độ các giao điểm là \((0;0)\) và \((-2;0)\).
Đồ thị hàm số:
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: \(y''=6x+8;\)\(\Rightarrow y''=0\Leftrightarrow x=-\frac{4}{3}\Rightarrow y=-\frac{16}{27}.\)
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau: \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}-2{x^3} + {\rm{ }}5\).
Câu trả lời của bạn
Xét hàm số \(y=-2x^3+5\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \(y' = -6x^2≤ 0, ∀x\).
Vậy hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb R\).
Hàm số không có cực trị.
Giới hạn:
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Tính đối xứng: \(y''=-12x; y''=0 ⇔ x=0\).
Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn \(I(0;5)\) làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;5)\), đồ thị cắt trục \(Ox\) tại điểm \(\left( {\sqrt[3]{{\frac{5}{2}}};0} \right).\)
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau: \(y=- {x^4} + 8{x^{2}}-1\);
Câu trả lời của bạn
Tập xác định: \(D=\mathbb R\);
Sự biến thiên:
Ta có: \(y' =-4x^3+ 16x = -4x(x^2- 4)\)
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - 4x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 2\end{array} \right.\)
- Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;-2)\) và \((0;2)\); nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\) và \(2;+\infty)\).
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đạt tại hai điểm \(x=-2\) và \(x=2\); \(y_{CĐ}=y(\pm 2)=15\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}=-1\)
- Giới hạn: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - \infty \)
Bảng biến thiên:
Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;-1)\)
Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.
Đồ thị
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau: \(y= {x^4} - 2{x^2} + 2\).
Câu trả lời của bạn
Tập xác định: \(D=\mathbb R\);
Sự biến thiên:
Ta có: \(y' =4x^3- 4x = 4x(x^2- 1)\);
\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm 1
\end{array} \right..\)
- Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1;0)\) và \((1;+\infty)\); nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-1)\) và \((0;1)\).
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\); \(y_{CĐ}=2\).
Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm \(x=-1\) và \(x=1\); \(y_{CT}=y(\pm 1)=1\).
-Giới hạn:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = + \infty \)
Bảng biến thiên:
Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.
Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;2)\)
Đồ thị
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau: \(y = {1 \over 2}{x^4} + {x^2} - {3 \over 2}\).
Câu trả lời của bạn
Tập xác định: \(D=\mathbb R\);
Sự biến thiên:
Ta có: \(y' =2x^3+ 2x = 2x(x^2+1)\);
\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {{x^2} + 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0.\)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;0)\); đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\).
-Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}={-3\over 2}\)
-Giới hạn:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = + \infty \)
Bảng biến thiên :
Hàm số đã cho là hàm số chẵn, nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.
Đồ thị giao \(Ox\) tại hai điểm \((-1;0)\) và \((1;0)\); giao \(Oy\) tại \((0;{-3\over 2})\).
Đồ thị như hình bên.
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức: \(\displaystyle {{1 - 2{\rm{x}}} \over {2{\rm{x}} - 4}}\),
Câu trả lời của bạn
Tập xác định : \(\displaystyle \mathbb R \backslash {\rm{\{ }}2\} \);
* Sự biến thiên:
Ta có: \(\displaystyle y' = {6 \over {{{\left( {2{\rm{x}} - 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2\)
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \(\displaystyle (-\infty;2)\) và \(\displaystyle (2;+\infty)\)
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ - }} = + \infty \), \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ + }} = - \infty \), \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - 1\)
Do đó, tiệm cận đứng là: \(\displaystyle x = 2\); tiệm cận ngang là:\(\displaystyle y = -1\).
Bảng biến thiên :
* Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm \(\displaystyle I(2;-1)\) lầm tâm đối xứng.
Đồ thị giao trục tung tại: \(\displaystyle \left( {0; - {1 \over 4}} \right)\), trục hoành tại: \(\displaystyle \left( {{1 \over 2};0} \right)\)
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức: \(\displaystyle {{x + 3} \over {x - 1}}\),
Câu trả lời của bạn
Tập xác định : \(\displaystyle \mathbb R{\rm{\backslash \{ }}1\}\);
* Sự biến thiên:
Ta có: \(\displaystyle y' = {{ - 4} \over {{{(x - 1)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\) ;
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: \(\displaystyle (-\infty;1)\) và \(\displaystyle (1;+\infty)\).
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }} = - \infty \), \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = +\infty\); \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1\)
Do đó, tiệm cận đứng là: \(\displaystyle x = 1\); tiệm cận ngang là: \(\displaystyle y = 1\).
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm \(\displaystyle I(1;1)\) làm tâm đối xứng.
Đồ thị giao trục tung tại:\(\displaystyle (0;-3)\), trục hoành tại \(\displaystyle (-3;0)\)
Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau: \(y = - 2{x^2} - {x^4} + 3\).
Câu trả lời của bạn
Tập xác định: \(D=\mathbb R\);
Sự biến thiên:
Ta có: \(y' = -4x - 4x^3= -4x(1 + x^2)\);
\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - 4x\left( {1 + {x^2}} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0.\)
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-\infty;0)\); nghịch biến trên khoảng: \((0;+\infty)\).
- Cực trị: Hàm số đạt cực đạt tại \(x=0\); \(y_{CĐ}=3\).
- Giới hạn:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = -\infty \)
Bảng biến thiên:
Hàm số đã cho là hàm chẵn, nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.
Đồ thị giao \(Ox\) tại hai điểm \((1;0)\) và \((-1;0)\); giao \(Oy\) tại điểm \((0;3)\).
Đồ thị như hình bên.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *