Trong chương trình phổ thông các em đã quen với việc một phương trình bậc hai vô nghiệm. Tuy nhiên, các trường hợp vô nghiệm đó do ta chỉ xét phương trình trên tập số thực. Mở rộng ra, trên tập số phức mọi phương trình bậc hai đều có nghiệm. Nội dung bài giảng sẽ hướng dẫn các em cách giải một phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức.
Đặt \(\Delta=b^2-4ac\):
Trên \(\mathbb{C}\), mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).
Tổng quát, mọi phương trình bậc \(n\) \((n\in\mathbb{N}^*)\)đều có \(n\) nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phải phân biệt).
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) \(\,\,{z^2} + 2z + 5 = 0\)
b) \({z^3} + 8 = 0\)
c) \(z^3-27=0\)
d) \(\,\,{z^4} - {z^3} + 6{z^2} - 8z - 16 = 0\)
a) \(\,\,{z^2} + 2z + 5 = 0\)
Ta có: \({\Delta '} = - \,4 = 4{i^2} \Rightarrow z = - 1 \pm 2i\)
Vậy phương trình có 2 nghiệm: \(z=-1+2i;z=-1-2i.\)
b) \({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {z^3} + 8 = 0 \Leftrightarrow (z + 2)({z^2} - 2z + 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 2\\ {z^2} - 2z + 4 = 0\,(*) \end{array} \right.\)
Giải (*):
Ta có: \(\Delta ' = - 3 = 3{i^2}\). Vậy (*) có hai nghiệm phức: \(z = 1 \pm \sqrt 3 i.\)
Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: \(z=-2;z=1+\sqrt 3i;z=1-\sqrt3i.\)
c) \({z^3} - 27 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 3} \right)\left( {{z^2} + 3z + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 3\\ {z^2} + 3z + 9 = 0\,(*) \end{array} \right.\)
Giải (*):
Ta có: \(\Delta = - 27 = 27i^2\). Vậy (*) có hai nghiệm phức: \(z =\frac{-3\pm 3\sqrt3i}{2}.\)
Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: \(z=3;z=\frac{-3+3\sqrt3i}{2};z=\frac{-3-3\sqrt3i}{2}.\)
d) \(\,\,{z^4} - {z^3} + 6{z^2} - 8z - 16 = 0 \Leftrightarrow (z + 1)(z - 2)({z^2} + 8) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 1\\ z = 2\\ z = \pm 2\sqrt 2 i \end{array} \right.\)
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) \(\,\,({z^2} - z)(z + 3)(z + 2) = 10\)
b) \(\,\,{(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2\)
c) \(\,\,{({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) - 3{z^2} = 0\)
a) \(\,\,({z^2} - z)(z + 3)(z + 2) = 10\)
\(\Leftrightarrow {\left( {{z^2} - 2z} \right)^2} + 7\left( {{z^2} - 2z} \right) + 10 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} - 2z = - 2\\ {z^2} - 2z = - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 1 \pm i\\ z = 1 \pm 2i \end{array} \right..\)
b) \(\,\,{(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2\)
Đặt \({\rm{t}} = z + {\rm{4}}\), khi đó phương trình trở thành:
\({(t - 1)^4} + {(t + 1)^4} = 2 \Leftrightarrow {t^4} + 6{t^2} = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {t^2} = 0\\ {t^2} + 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = \pm \sqrt 6 i \end{array} \right.\)
Với \({\rm{t }} = {\rm{ }}0 \Rightarrow z = - 4.\)
Với \({\rm{t }} = {\rm{ }}\sqrt[{}]{6}i \Rightarrow z = - 4 + \sqrt[{}]{6}i.\)
Với \({\rm{t }} = {\rm{ - }}\sqrt[{}]{6}i \Rightarrow z = - 4 - \sqrt[{}]{6}i.\)
c) \(\,\,{({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) - 3{z^2} = 0\)
Đặt \(t = {z^2} + 3z + 6\), khi đó phương trình trở thành:
\({t^2} + 2zt - 3{z^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = z\\ t = - 3z \end{array} \right.\)
Với \(t = z \Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = z \Leftrightarrow z = - 1 \pm \sqrt 5 i.\)
Với \(t = - 3z \Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = - 3z \Leftrightarrow z = - 3 \pm \sqrt 3.\)
Trong chương trình phổ thông các lớp, các em đã quen với khái niệm bình phương của một số luôn luôn nhận được kết quả là một số không âm, hay số âm không có căn bậc hai. Từ thực tiễn tính toán và nhu cầu của các môn khoa học người ta đã cho ra đời con số i có bình phương bằng -1 là nền tảng của sự ra đời số phức. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em các khái niệm liên quan đến số phức và các tính chất của nó.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Bài 4để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Biết \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(2{z^2} + \sqrt 3 z + 3 = 0\). Tính \(z_1^2 + z_2^2\).
Giải phương trình \({z^2} + 2z + 2 = 0\) trên tập số phức ta được hai nghiệm \({z_1},\,{z_2}\). Tính tích \({z_1}.{z_2}\).
Tính S là tổng các nghiệm phức của phương trình \({z^3} - 8 = 0.\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 140 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 140 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 140 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 140 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 140 SGK Giải tích 12
Bài tập 4.27 trang 206 SBT Toán 12
Bài tập 4.28 trang 206 SBT Toán 12
Bài tập 4.29 trang 206 SBT Toán 12
Bài tập 4.30 trang 207 SBT Toán 12
Bài tập 4.31 trang 207 SBT Toán 12
Bài tập 4.32 trang 207 SBT Toán 12
Bài tập 4.33 trang 207 SBT Toán 12
Bài tập 4.34 trang 207 SBT Toán 12
Bài tập 17 trang 195 SGK Toán 12 NC
Bài tập 18 trang 196 SGK Toán 12 NC
Bài tập 19 trang 196 SGK Toán 12 NC
Bài tập 20 trang 196 SGK Toán 12 NC
Bài tập 21 trang 197 SGK Toán 12 NC
Bài tập 22 trang 197 SGK Toán 12 NC
Bài tập 23 trang 199 SGK Toán 12 NC
Bài tập 24 trang 199 SGK Toán 12 NC
Bài tập 25 trang 199 SGK Toán 12 NC
Bài tập 26 trang 199 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Biết \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(2{z^2} + \sqrt 3 z + 3 = 0\). Tính \(z_1^2 + z_2^2\).
Giải phương trình \({z^2} + 2z + 2 = 0\) trên tập số phức ta được hai nghiệm \({z_1},\,{z_2}\). Tính tích \({z_1}.{z_2}\).
Tính S là tổng các nghiệm phức của phương trình \({z^3} - 8 = 0.\)
Kí hiệu \(z_0\) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \(4{z^2} - 16z + 17 = 0.\)Trên mặt phẳng toạ độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}} = i{z_0}?\)
Gọi \(z_1,z_2\) là các nghiệm phức của phương trình \(z^2+4z+5=0\). Đặt \({\rm{w}} = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}.\) Tìm w.
Số phức z thỏa \(2z + \overline z + 4i = 9\) khi đó mô đun của \({z^2}\) là :
Trong các khẳng định sau , khẳng định nào không đúng :
Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 2i;{z_2} = 2 - 3i\) . Xác định phần ảo của số phức \({z_1} - 2{z_2}\)
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa \(\left| z \right| = \sqrt 2 \) và \(z^2\) là số thuần ảo
Tìm phần ảo của số phức z , biết \(\overline z = {(\sqrt 2 + i)^2}.(1 - \sqrt 2 i)\)
Giải các phương trình sau trên C và biểu diễn hình hợp tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức):
\(\begin{array}{l}
a){z^3} + 1 = 0\\
b){z^4} - 1 = 0\\
c){z^4} + 4 = 0\\
d)8{z^4} + 8{z^3} = z + 1
\end{array}\)
a) Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z):
z2 + bz + c = 0
nhận z = 1 + i làm một nghiệm.
b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z):
z3 + az2 + bz + c = 0
nhận z = 1 + i làm nghiệm và cũng nhận z = 2 là nghiệm.
a) Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực φ, ta có (cosφ + isinφ)2=cos2φ + isin2φ.
Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức cos2φ + isin2φ. Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở bài 2.
b) Tìm các căn bậc hai của \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {1 - i} \right)\) bằng hai cách nói ở câu a).
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: \({z^4} + 7{z^2} + 10 = 0\).
Câu trả lời của bạn
Đặt \(t = z^2\) , ta được phương trình \({t^2} + 7t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\\t = - 5\end{array} \right.\)
Khi \(t = -2 \Rightarrow {z^2} =- 2 \Rightarrow z_{1,2} = \pm i\sqrt 2 \)
Khi \(t = - 5 \Rightarrow {z^2} = - 5 \Rightarrow z_{3,4} = \pm i\sqrt 5 \)
Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \(± i\sqrt2\) và \(± i\sqrt5\).
Cho \(a, b, c \in \mathbb R\), \(a \ne 0\), \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(a{z^2} + {\rm{ }}bz{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Hãy tính \({z_1} + {z_2}\) và \({z_1} {z_2}\) theo các hệ số \(a, b, c\).
Câu trả lời của bạn
Yêu cầu của bài toán này là kiểm chứng định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức.
+) Trường hợp \(∆ ≥ 0\), theo định lí vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{b}{a}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)
+) Trường hợp \(∆ < 0\), gọi \(\delta\) là một căn bậc hai của \(\Delta\), khi đó các nghiệm của phương trình là:
\(\begin{array}{l}{z_1} = \dfrac{{ - b + \delta }}{{2a}};\,\,{z_2} = \dfrac{{ - b - \delta }}{{2a}}\\\Rightarrow {z_1} + {z_2} = \dfrac{{ - b + \delta - b - \delta }}{{2a}} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{{\left( { - b + \delta } \right)\left( { - b - \delta } \right)}}{{4{a^2}}} = \dfrac{{{b^2} - {\delta ^2}}}{{4{a^2}}}\\= \dfrac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \dfrac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \dfrac{c}{a}\end{array}\)
Vậy kết quả của định lí Vi-et vẫn đúng trong trường hợp \(∆ < 0\).
Cho \(z = a + bi\) là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm.
Câu trả lời của bạn
Cách 1:
Một phương trình bậc hai nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm là
\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\left( {x - z} \right)\left( {x - \overline z } \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - x.\overline z - x.z + z.\overline z = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - \left( {z + \overline z } \right)x + z.\overline z = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - \left( {a + bi + a - bi} \right) + \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0
\end{array}\)
Vậy một phương trình bậc hai cần tìm là \({x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\)
Cách 2:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
z + \overline z = a + bi + a - bi = 2a\\
z.\overline z = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = {a^2} + {b^2}
\end{array}\)
\(\Rightarrow z,\overline{z}\) là nghiệm của phương trình \({x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\).
Giải phương trình: \(2{x^2} + 3x + 4 = 0\)
Câu trả lời của bạn
\(\Delta = {3^2} - 4.2.4 = - 23 < 0\) nên phương trình có nghiệm \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - 3 \pm i\sqrt {23} }}{4}\)
Giải phương trình: \(3{x^2} + 2x + 7 = 0\)
Câu trả lời của bạn
\(\Delta ' = 1 - 3.7 = - 20 < 0\) nên phương trình có nghiệm \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - 1 \pm 2i\sqrt 5 }}{3}\)
Giải phương trình: \(2{x^4} + 3{x^2} - 5 = 0\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(t = {x^2}\) thì phương trình trở thành \(2{t^2} + 3t - 5 = 0\)
Có \(\Delta = {3^2} + 4.2.5 = 49 > 0\) nên phương trình ẩn \(t\) có nghiệm \({t_1} = 1,{t_2} = - \dfrac{5}{2}\).
Do đó \({x_{1,2}} = \pm 1;{x_{3,4}} = \pm i\sqrt {\dfrac{5}{2}} \).
Có \({z_1}\) và \({z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(2{x^2} + \sqrt 3 x + 3 = 0\). Hãy tính: \(z_1^2 + z_2^2\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({z_1} + {z_2} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},{z_1}.{z_2} = \dfrac{3}{2}\). Từ đó suy ra:
\(z_1^2 + z_2^2 = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2}\)\( = \dfrac{3}{4} - 3 = - \dfrac{9}{4}\)
Có \({z_1}\) và \({z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(2{x^2} + \sqrt 3 x + 3 = 0\). Hãy tính: \(z_1^3 + z_2^3\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({z_1} + {z_2} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},{z_1}.{z_2} = \dfrac{3}{2}\). Từ đó suy ra:
\(z_1^3 + z_2^3\)\( = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {z_1^2 - {z_1}{z_2} + z_2^2} \right)\) \( = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( { - \dfrac{9}{4} - \dfrac{3}{2}} \right) = \dfrac{{15\sqrt 3 }}{8}\)
Có \({z_1}\) và \({z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(2{x^2} + \sqrt 3 x + 3 = 0\). Hãy tính: \(z_1^4 + z_2^4\)
Câu trả lời của bạn
\(z_1^4 + z_2^4 = {\left( {z_1^2 + z_2^2} \right)^2} - 2z_1^2.z_2^2\)\( = {\left( { - \dfrac{9}{4}} \right)^2} - 2.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2} = \dfrac{9}{{16}}\)
Có \({z_1}\) và \({z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(2{x^2} + \sqrt 3 x + 3 = 0\). Hãy tính: \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \dfrac{{{z_2}}}{{{z_1}}}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({z_1} + {z_2} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},{z_1}.{z_2} = \dfrac{3}{2}\). Từ đó suy ra:
\(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \dfrac{{{z_2}}}{{{z_1}}} = \dfrac{{z_1^2 + z_2^2}}{{{z_1}.{z_2}}}\)\( = \dfrac{{ - \dfrac{9}{4}}}{{\dfrac{3}{2}}} = - \dfrac{3}{2}\)
Hãy chứng minh rằng hai số phức liên hợp \(z\) và \(\overline z \) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.
Câu trả lời của bạn
Nếu \(z = a + bi\) thì \(\overline z = a - bi\)
\(z + \overline z =a+bi+a-bi= 2a \in \mathbb{R};\)
\(z.\overline z = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) \) \(= {a^2} - {\left( {bi} \right)^2}= {a^2} + {b^2} \in \mathbb{R}\)
Khi đó \(z\) và \(\overline z \) là hai nghiệm của phương trình \(\left( {x - z} \right)\left( {x - \overline z } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - \left( {z + \overline z } \right)x + z.\bar z = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0\).
Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm: \(1 + i\sqrt 2 \) và \(1 - i\sqrt 2 \).
Câu trả lời của bạn
Đặt \({z_1} = 1 + i\sqrt 2 ,{z_2} = 1 - i\sqrt 2 \) thì:
\(\begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = 1 + i\sqrt 2 + 1 - i\sqrt 2 = 2\\
{z_1}{z_2} = \left( {1 + i\sqrt 2 } \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right)\\
= {1^2} - {\left( {i\sqrt 2 } \right)^2} = 1 + 2 = 3
\end{array}\)
Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 2z + 3 = 0\).
Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm: \(\sqrt 3 + 2i\) và \(\sqrt 3 - 2i\).
Câu trả lời của bạn
Đặt \({z_1} = \sqrt 3 + 2i\) và \({z_2} = \sqrt 3 - 2i\) thì
\(\begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = \sqrt 3 + 2i + \sqrt 3 - 2i = 2\sqrt 3 \\
{z_1}{z_2} = \left( {\sqrt 3 + 2i} \right)\left( {\sqrt 3 - 2i} \right)\\
= {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {2i} \right)^2} = 3 + 4 = 7
\end{array}\)
Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 2\sqrt 3 z + 7 = 0\).
Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm: \( - \sqrt 3 + i\sqrt 2 \) và \( - \sqrt 3 - i\sqrt 2 \).
Câu trả lời của bạn
Đặt \({z_1} = - \sqrt 3 + i\sqrt 2 \) và \({z_2} = - \sqrt 3 - i\sqrt 2 \) thì
\(\begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = - \sqrt 3 - i\sqrt 2 - \sqrt 3 + i\sqrt 2 = - 2\sqrt 3 \\
{z_1}{z_2} = \left( { - \sqrt 3 - i\sqrt 2 } \right)\left( { - \sqrt 3 + i\sqrt 2 } \right)\\
= {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {i\sqrt 2 } \right)^2} = 3 + 2 = 5
\end{array}\)
Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} + 2\sqrt 3 z + 5 = 0\).
Giải phương trình sau: \({x^3} - 8 = 0\)
Câu trả lời của bạn
\({x^3} - 8 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\{x^2} + 2x + 4 = 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
{x^2} + 2x + 1 = - 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
{\left( {x + 1} \right)^2} = {\left( {i\sqrt 3 } \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
x + 1 = i\sqrt 3 \\
x + 1 = - i\sqrt 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = - 1 + i\sqrt 3 \\
x = - 1 - i\sqrt 3
\end{array} \right.
\end{array}\)
Giải phương trình sau: \({x^3} + 8 = 0\).
Câu trả lời của bạn
\({x^3} + 8 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\{x^2} - 2x + 4 = 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 2 = 0\\
{x^2} - 2x + 1 = - 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 2 = 0\\
{\left( {x - 1} \right)^2} = {\left( {i\sqrt 3 } \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 2 = 0\\
x - 1 = i\sqrt 3 \\
x - 1 = - i\sqrt 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 2\\
x = 1 + i\sqrt 3 \\
x = 1 - i\sqrt 3
\end{array} \right.
\end{array}\)
A. \({z_1} \in \mathbb{R} \Rightarrow {z_2} \in \mathbb{R}\)
B. \({z_1}\) thuần ảo \( \Rightarrow {z_2}\) thuần ảo.
C. \({z_1} = \overline {{z_2}} \)
D. \({z_1} \in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R} \Rightarrow {z_2} \in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}\)
Câu trả lời của bạn
Đáp án A đúng, \({z_1} \in \mathbb{R}\) thì theo công thức nghiệm \({z_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\) ta suy ra \({z_2} \in \mathbb{R}\).
Đáp án B đúng, \({z_1}\) thuần ảo thì \(b = 0\) nên \({z_2}\) cũng thuần ảo.
Đáp án C chưa chắc đúng vì còn trường hợp phương trình có hai nghiệm thực phân biệt và nghiệm kép.
Đáp án D đúng vì nếu phương trình có nghiệm không thực thì nghiệm thứ hai sẽ là số phức liên hợp của nghiệm thứ nhất.
Chọn C.
Biết số phức z=2+i là một trong các nghiệm của phương trình z3+bz2+cz+b=0, (b,c∈R). tính b+c
Câu trả lời của bạn
323423
Hãy giải phương trình: \({(z - i)^2} + 4 = 0\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({(z - i)^2} + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {z - i} \right)^2} - 4{i^2} = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {z - i} \right)^2} - {\left( {2i} \right)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {z - i + 2i} \right)\left( {z - i - 2i} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {z + i} \right)\left( {z - 3i} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + i = 0\\z - 3i = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - i\\z = 3i\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm \({z_1} = - i,{z_2} = 3i\).
Câu trả lời của bạn
z = \(\frac{{i - 2}}{i} = 1 + 2i\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *