Cho \(a, b, c \in R, a \neq 0\), z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0
Hãy tính z1 + z2 và z1 z2 theo các hệ số a, b, c.
Yêu cầu của bài toán này là kiểm chứng định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức.
Xét phương trình: \(az^2+bz+c=0, a \ne 0; (a,b,c \in \mathbb{R}).\)
Ta có: \(\Delta = {b^2} - 4ac.\)
Trường hợp ∆ ≥ 0, phương trình có hai nghiệm thực \(z_1,z_2.\) Theo định lý Vi-et ta có:
\(z_1+z_2=-\frac{b}{a}\) và \(z_1.z_2=\frac{c}{a}.\)
Trường hợp ∆ < 0, từ công thức nghiệm:
\(z_1=\frac{-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}\), \(z_2=\frac{-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}\) với |∆| = 4ac - b2.
Ta có: \(z_1+z_2=\frac{-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |}-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}=-\frac{b}{a}\).
\(z_1.z_2=\frac{(-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |})(-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |})}{2a.2a}=\frac{b^{2}+|\bigtriangleup |}{4a^{2}}=\frac{b^{2}+4ac-b^{2}}{4a^{2}}=\frac{c}{a}.\)
-- Mod Toán 12