Trong chương trình phổ thông các em đã quen với việc một phương trình bậc hai vô nghiệm. Tuy nhiên, các trường hợp vô nghiệm đó do ta chỉ xét phương trình trên tập số thực. Mở rộng ra, trên tập số phức mọi phương trình bậc hai đều có nghiệm. Nội dung bài giảng sẽ hướng dẫn các em cách giải một phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức.
Đặt \(\Delta=b^2-4ac\):
Trên \(\mathbb{C}\), mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).
Tổng quát, mọi phương trình bậc \(n\) \((n\in\mathbb{N}^*)\)đều có \(n\) nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phải phân biệt).
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) \(\,\,{z^2} + 2z + 5 = 0\)
b) \({z^3} + 8 = 0\)
c) \(z^3-27=0\)
d) \(\,\,{z^4} - {z^3} + 6{z^2} - 8z - 16 = 0\)
a) \(\,\,{z^2} + 2z + 5 = 0\)
Ta có: \({\Delta '} = - \,4 = 4{i^2} \Rightarrow z = - 1 \pm 2i\)
Vậy phương trình có 2 nghiệm: \(z=-1+2i;z=-1-2i.\)
b) \({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {z^3} + 8 = 0 \Leftrightarrow (z + 2)({z^2} - 2z + 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 2\\ {z^2} - 2z + 4 = 0\,(*) \end{array} \right.\)
Giải (*):
Ta có: \(\Delta ' = - 3 = 3{i^2}\). Vậy (*) có hai nghiệm phức: \(z = 1 \pm \sqrt 3 i.\)
Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: \(z=-2;z=1+\sqrt 3i;z=1-\sqrt3i.\)
c) \({z^3} - 27 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 3} \right)\left( {{z^2} + 3z + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 3\\ {z^2} + 3z + 9 = 0\,(*) \end{array} \right.\)
Giải (*):
Ta có: \(\Delta = - 27 = 27i^2\). Vậy (*) có hai nghiệm phức: \(z =\frac{-3\pm 3\sqrt3i}{2}.\)
Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: \(z=3;z=\frac{-3+3\sqrt3i}{2};z=\frac{-3-3\sqrt3i}{2}.\)
d) \(\,\,{z^4} - {z^3} + 6{z^2} - 8z - 16 = 0 \Leftrightarrow (z + 1)(z - 2)({z^2} + 8) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 1\\ z = 2\\ z = \pm 2\sqrt 2 i \end{array} \right.\)
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) \(\,\,({z^2} - z)(z + 3)(z + 2) = 10\)
b) \(\,\,{(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2\)
c) \(\,\,{({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) - 3{z^2} = 0\)
a) \(\,\,({z^2} - z)(z + 3)(z + 2) = 10\)
\(\Leftrightarrow {\left( {{z^2} - 2z} \right)^2} + 7\left( {{z^2} - 2z} \right) + 10 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} - 2z = - 2\\ {z^2} - 2z = - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 1 \pm i\\ z = 1 \pm 2i \end{array} \right..\)
b) \(\,\,{(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2\)
Đặt \({\rm{t}} = z + {\rm{4}}\), khi đó phương trình trở thành:
\({(t - 1)^4} + {(t + 1)^4} = 2 \Leftrightarrow {t^4} + 6{t^2} = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {t^2} = 0\\ {t^2} + 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = \pm \sqrt 6 i \end{array} \right.\)
Với \({\rm{t }} = {\rm{ }}0 \Rightarrow z = - 4.\)
Với \({\rm{t }} = {\rm{ }}\sqrt[{}]{6}i \Rightarrow z = - 4 + \sqrt[{}]{6}i.\)
Với \({\rm{t }} = {\rm{ - }}\sqrt[{}]{6}i \Rightarrow z = - 4 - \sqrt[{}]{6}i.\)
c) \(\,\,{({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) - 3{z^2} = 0\)
Đặt \(t = {z^2} + 3z + 6\), khi đó phương trình trở thành:
\({t^2} + 2zt - 3{z^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = z\\ t = - 3z \end{array} \right.\)
Với \(t = z \Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = z \Leftrightarrow z = - 1 \pm \sqrt 5 i.\)
Với \(t = - 3z \Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = - 3z \Leftrightarrow z = - 3 \pm \sqrt 3.\)
Trong chương trình phổ thông các lớp, các em đã quen với khái niệm bình phương của một số luôn luôn nhận được kết quả là một số không âm, hay số âm không có căn bậc hai. Từ thực tiễn tính toán và nhu cầu của các môn khoa học người ta đã cho ra đời con số i có bình phương bằng -1 là nền tảng của sự ra đời số phức. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em các khái niệm liên quan đến số phức và các tính chất của nó.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Bài 4để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Biết \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(2{z^2} + \sqrt 3 z + 3 = 0\). Tính \(z_1^2 + z_2^2\).
Giải phương trình \({z^2} + 2z + 2 = 0\) trên tập số phức ta được hai nghiệm \({z_1},\,{z_2}\). Tính tích \({z_1}.{z_2}\).
Tính S là tổng các nghiệm phức của phương trình \({z^3} - 8 = 0.\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 140 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 140 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 140 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 140 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 140 SGK Giải tích 12
Bài tập 4.27 trang 206 SBT Toán 12
Bài tập 4.28 trang 206 SBT Toán 12
Bài tập 4.29 trang 206 SBT Toán 12
Bài tập 4.30 trang 207 SBT Toán 12
Bài tập 4.31 trang 207 SBT Toán 12
Bài tập 4.32 trang 207 SBT Toán 12
Bài tập 4.33 trang 207 SBT Toán 12
Bài tập 4.34 trang 207 SBT Toán 12
Bài tập 17 trang 195 SGK Toán 12 NC
Bài tập 18 trang 196 SGK Toán 12 NC
Bài tập 19 trang 196 SGK Toán 12 NC
Bài tập 20 trang 196 SGK Toán 12 NC
Bài tập 21 trang 197 SGK Toán 12 NC
Bài tập 22 trang 197 SGK Toán 12 NC
Bài tập 23 trang 199 SGK Toán 12 NC
Bài tập 24 trang 199 SGK Toán 12 NC
Bài tập 25 trang 199 SGK Toán 12 NC
Bài tập 26 trang 199 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Biết \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(2{z^2} + \sqrt 3 z + 3 = 0\). Tính \(z_1^2 + z_2^2\).
Giải phương trình \({z^2} + 2z + 2 = 0\) trên tập số phức ta được hai nghiệm \({z_1},\,{z_2}\). Tính tích \({z_1}.{z_2}\).
Tính S là tổng các nghiệm phức của phương trình \({z^3} - 8 = 0.\)
Kí hiệu \(z_0\) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \(4{z^2} - 16z + 17 = 0.\)Trên mặt phẳng toạ độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}} = i{z_0}?\)
Gọi \(z_1,z_2\) là các nghiệm phức của phương trình \(z^2+4z+5=0\). Đặt \({\rm{w}} = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}.\) Tìm w.
Số phức z thỏa \(2z + \overline z + 4i = 9\) khi đó mô đun của \({z^2}\) là :
Trong các khẳng định sau , khẳng định nào không đúng :
Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 2i;{z_2} = 2 - 3i\) . Xác định phần ảo của số phức \({z_1} - 2{z_2}\)
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa \(\left| z \right| = \sqrt 2 \) và \(z^2\) là số thuần ảo
Tìm phần ảo của số phức z , biết \(\overline z = {(\sqrt 2 + i)^2}.(1 - \sqrt 2 i)\)
Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7; -8; -12; -20; -121.
Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) -3z2 + 2z – 1 = 0.
b) 7z2 + 3z +2 = 0.
c) 5z2 - 7z + 11 = 0.
Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) \(\small z^4 + z^2 - 6 = 0\); b) \(\small z^4 + 7z^2 + 10 = 0\)
Cho \(a, b, c \in R, a \neq 0\), z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0
Hãy tính z1 + z2 và z1 z2 theo các hệ số a, b, c.
Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và làm nghiệm
Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a) \({2{x^2} + 3x + 4 = 0}\)
b) \({3{x^2} + 2x + 7 = 0}\)
c) \({2{x^4} + 3{x^2} - 5 = 0}\)
Biết \({{z_1}}\) và
a) \({z_1^2 + z_2^2}\)
b) \({z_1^3 + z_2^3}\)
c) \({z_1^4 + z_2^4}\)
d) \({\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}}\)
Chứng minh rằng hai số phức liên hợp \(z\) và \(\overline z \) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.
Lập phương trình bậc hai có nghiệm là :
a) \({1 + i\sqrt 2 }\) và \({1 - i\sqrt 2 }\)
b) \({\sqrt 3 + 2i}\) và \({\sqrt 3 - 2i}\)
c) \({ - \sqrt 3 + i\sqrt 2 }\) và \({ - \sqrt 3 - i\sqrt 2 }\)
Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức :
a) \({{x^3} - 8 = 0}\)
b) \({{x^3} + 8 = 0}\)
Giải phương trình \({\left( {z - i} \right)^2} + 4 = 0\) trên tập số phức.
Giả sử \({z_1},{z_2} \in C\) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực. Mệnh đề nào sau đây sai ?
A. \({{z_1} \in R \Rightarrow {z_2} \in R}\)
B. \({z_1}\) thuần ảo \(\Rightarrow {z_2}\) thuần ảo
C. \({{z_1} = \overline {{z_2}} }\)
D. \({{z_1} \in C\backslash R \Rightarrow {z_2} \in C\backslash R}\)
Mệnh đề nào sau đây sai ?
A. Số phức \(z = a + bi\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 2ax + \left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 0\)
B. Mọi số phức đều là nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.
C. Mọi phương trình bậc hai với hệ số thực đều có hai nghiệm trong tập số phức
D. Mọi phương trình bậc hai với hệ số thực có ít nhất một nghiệm thực.
Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: −i; 4i - 4; -4; \(1 + 4\sqrt 3 i\)
Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì \(\left| z \right| = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \)
Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau:
\(\begin{array}{l}
a){z^2} = z + 1\\
b){z^2} + 2z + 5 = 0\\
c){z^2} + \left( {1 - 3i} \right)z - 2\left( {1 + i} \right) = 0
\end{array}\)
a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?
b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i)
c) Có phải mọi phương trình bậc hai z2 + Bz + C = 0 (B,C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B,C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?
a) Giải phương trình: (z2 + i)(z2 − 2iz − 1) = 0
b) Tìm số phức B để phương trình bậc hai z2 + Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
Đố vui. Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của −1 là \(\sqrt { - 1} \) và tính \(\sqrt { - 1} \).\(\sqrt { - 1} \) như sau:
a) Theo định nghĩa căn bậc hai của −1 thì \(\sqrt { - 1} \).\(\sqrt { - 1} \) = -1
b) Theo tính chất của căn bậc hai (tính của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của tích hai số đó) thì \(\sqrt { - 1} .\sqrt { - 1} = \sqrt {\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} = \sqrt 1 = 1\)
Từ đó, học sinh đó suy ra −1 = 1
Hãy tìm điều sai trong lập luận trên.
Tìm nghiệm phức phương trình \(z + \frac{1}{z} = k\) trong các trường hợp sau:
a) k = 1
b) \(k = \sqrt 2 \)
c) k = 2i
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
\(\Delta = {3^2} - 4.2.4 = - 23 < 0\) nên phương trình có nghiệm \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - 3 \pm i\sqrt {23} }}{4}\)
Câu trả lời của bạn
\(\Delta ' = 1 - 3.7 = - 20 < 0\) nên phương trình có nghiệm \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - 1 \pm 2i\sqrt 5 }}{3}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({z_1} + {z_2} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},{z_1}.{z_2} = \dfrac{3}{2}\). Từ đó suy ra:
\(z_1^2 + z_2^2 = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2}\)\( = \dfrac{3}{4} - 3 = - \dfrac{9}{4}\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(t = {x^2}\) thì phương trình trở thành \(2{t^2} + 3t - 5 = 0\)
Có \(\Delta = {3^2} + 4.2.5 = 49 > 0\) nên phương trình ẩn \(t\) có nghiệm \({t_1} = 1,{t_2} = - \dfrac{5}{2}\).
Do đó \({x_{1,2}} = \pm 1;{x_{3,4}} = \pm i\sqrt {\dfrac{5}{2}} \).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({z_1} + {z_2} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},{z_1}.{z_2} = \dfrac{3}{2}\). Từ đó suy ra:
\(z_1^4 + z_2^4 = {\left( {z_1^2 + z_2^2} \right)^2} - 2z_1^2.z_2^2\)\( = {\left( { - \dfrac{9}{4}} \right)^2} - 2.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2} = \dfrac{9}{{16}}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({z_1} + {z_2} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},{z_1}.{z_2} = \dfrac{3}{2}\). Từ đó suy ra:
\(z_1^3 + z_2^3\)\( = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {z_1^2 - {z_1}{z_2} + z_2^2} \right)\) \( = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( { - \dfrac{9}{4} - \dfrac{3}{2}} \right) = \dfrac{{15\sqrt 3 }}{8}\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \({z_1} = 1 + i\sqrt 2 ,{z_2} = 1 - i\sqrt 2 \) thì:
\(\begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = 1 + i\sqrt 2 + 1 - i\sqrt 2 = 2\\
{z_1}{z_2} = \left( {1 + i\sqrt 2 } \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right)\\
= {1^2} - {\left( {i\sqrt 2 } \right)^2} = 1 + 2 = 3
\end{array}\)
Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 2z + 3 = 0\).
Câu trả lời của bạn
Tính cho mình nhe :)
Nếu \(z = a + bi\) thì \(\overline z = a - bi\)
\(z + \overline z =a+bi+a-bi= 2a \in \mathbb{R};\)
\(z.\overline z = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) \) \(= {a^2} - {\left( {bi} \right)^2}= {a^2} + {b^2} \in \mathbb{R}\)
Khi đó \(z\) và \(\overline z \) là hai nghiệm của phương trình \(\left( {x - z} \right)\left( {x - \overline z } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - \left( {z + \overline z } \right)x + z.\bar z = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({z_1} + {z_2} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},{z_1}.{z_2} = \dfrac{3}{2}\). Từ đó suy ra:
\(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \dfrac{{{z_2}}}{{{z_1}}} = \dfrac{{z_1^2 + z_2^2}}{{{z_1}.{z_2}}}\)\( = \dfrac{{ - \dfrac{9}{4}}}{{\dfrac{3}{2}}} = - \dfrac{3}{2}\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \({z_1} = - \sqrt 3 + i\sqrt 2 \) và \({z_2} = - \sqrt 3 - i\sqrt 2 \) thì
\(\begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = - \sqrt 3 - i\sqrt 2 - \sqrt 3 + i\sqrt 2 = - 2\sqrt 3 \\
{z_1}{z_2} = \left( { - \sqrt 3 - i\sqrt 2 } \right)\left( { - \sqrt 3 + i\sqrt 2 } \right)\\
= {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {i\sqrt 2 } \right)^2} = 3 + 2 = 5
\end{array}\)
Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} + 2\sqrt 3 z + 5 = 0\).
Câu trả lời của bạn
Đặt \({z_1} = \sqrt 3 + 2i\) và \({z_2} = \sqrt 3 - 2i\) thì
\(\begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = \sqrt 3 + 2i + \sqrt 3 - 2i = 2\sqrt 3 \\
{z_1}{z_2} = \left( {\sqrt 3 + 2i} \right)\left( {\sqrt 3 - 2i} \right)\\
= {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {2i} \right)^2} = 3 + 4 = 7
\end{array}\)
Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 2\sqrt 3 z + 7 = 0\).
Câu trả lời của bạn
\({x^3} + 8 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\{x^2} - 2x + 4 = 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 2 = 0\\
{x^2} - 2x + 1 = - 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 2 = 0\\
{\left( {x - 1} \right)^2} = {\left( {i\sqrt 3 } \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 2 = 0\\
x - 1 = i\sqrt 3 \\
x - 1 = - i\sqrt 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 2\\
x = 1 + i\sqrt 3 \\
x = 1 - i\sqrt 3
\end{array} \right.
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\({x^3} - 8 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\{x^2} + 2x + 4 = 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
{x^2} + 2x + 1 = - 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
{\left( {x + 1} \right)^2} = {\left( {i\sqrt 3 } \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
x + 1 = i\sqrt 3 \\
x + 1 = - i\sqrt 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = - 1 + i\sqrt 3 \\
x = - 1 - i\sqrt 3
\end{array} \right.
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({(z - i)^2} + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {z - i} \right)^2} - 4{i^2} = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {z - i} \right)^2} - {\left( {2i} \right)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {z - i + 2i} \right)\left( {z - i - 2i} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {z + i} \right)\left( {z - 3i} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + i = 0\\z - 3i = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - i\\z = 3i\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm \({z_1} = - i,{z_2} = 3i\).
Thế nào là căn bậc hai của số thực dương \(a\)?
Câu trả lời của bạn
Căn bậc hai của một số thực dương \(a\) là một số thực \(b\) sao cho \(b^2=a\)
Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: \(-7; -8; -12; -20; -121\)
Câu trả lời của bạn
Căn bậc hai của \(-7\) là \(± i\sqrt7\);
Căn bậc hai của \(-8\) là \(± 2\sqrt2 i\);
Căn bậc hai của \(-12\) là \(±2\sqrt3 i\);
Căn bậc hai của \(-20\) là \(±2\sqrt5 i\);
Căn bậc hai của \(-121\) là \(± 11i\).
Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: \( - 3{z^2} +2z - 1 = 0\).
Câu trả lời của bạn
Ta có \(∆' = 1^2-(-3).(-1)=1 - 3 = -2\).
Căn bậc hai của \(\Delta'\) là \( \pm i\sqrt 2 \)
Vậy nghiệm của phương trình là \(z_{1,2}\)= \( \dfrac{1\pm i\sqrt{2}}{3}\)
Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: \(7{z^2} + {\rm{ }}3z + 2 = 0\).
Câu trả lời của bạn
Ta có \(∆ =3^2-4.7.2= 9 - 56 = -47\).
Căn bậc hai của \(\Delta\) là \( \pm i\sqrt {47}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(z_{1,2}\) = \( \dfrac{-3\pm i\sqrt{47}}{14}\).
Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: \({z^4} + {z^2}-6= 0\).
Câu trả lời của bạn
Đặt \(t = z^2\) , ta được phương trình \({t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 3\end{array} \right.\)
Khi \(t = 2 \Rightarrow {z^2} = 2 \Rightarrow z _{1,2}= \pm \sqrt 2 \)
Khi \(t = - 3 \Rightarrow {z^2} = - 3 \Rightarrow z _{3,4}= \pm i\sqrt 3 \)
Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \(± \sqrt2\) và \(± i\sqrt3\).
Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: \(5{z^2} -7z+ 11= 0\).
Câu trả lời của bạn
Ta có \(∆ = 49 - 4.5.11 = -171\).
Căn bậc hai của \(\Delta\) là \( \pm i\sqrt {171}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(z_{1,2}\) = \( \dfrac{7\pm i\sqrt{171}}{10}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *