Trong quá trình học tập môn Toán trong chương trình phổ thông, các em đã khá quen thuộc với các phương pháp tính diện tích và thể tích của một đối tượng bằng cách xác định các yếu tố liên quan đến đối tượng như độ dài cạnh, số đo góc,....Sau khi tìm hiểu khái niệm Tích phân các em sẽ được tiếp cận một phương pháp mới để tính diện tích hình phẳng, thể tích của vật thể, thể tích khối tròn xoay chỉ thông qua các hàm số là Ứng dụng tích phân.
Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm \(a,b\) là \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx}.\) Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là \(x \in \left[ {a;\,b} \right]\) và S(x) là một hàm liên tục.
Tính diện tích tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \(y = {x^3},\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 2.\)
Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong \(y = {x^3}\) và trục hoành:
Diện tích hình phẳng cần tính:
\(S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^3}} \right|dx + \int\limits_0^2 {\left| {{x^3}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - {x^3}} \right)} dx + \int\limits_0^2 {{x^3}dx} }\) \(= \left. { - \frac{{{x^4}}}{4}} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_0^2 = \frac{{17}}{4}\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \left( {e + 1} \right)x\) và \(y=(1+e^x)x.\)
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:\(\left( {e + 1} \right)x = \left( {1 + {e^x}} \right)x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {{e^x} = e} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right.\)
Nhận xét, với \(x \in \left[ {0;1} \right]\) thì hiệu số \(\left( {1 + {e^x}} \right)x - \left( {e + 1} \right)x = x\left( {{e^x} - e} \right) > 0.\)
Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {1 + {e^x}} \right)x - \left( {e + 1} \right)x} \right|} dx = \int\limits_0^1 {\left| {x\left( {{e^x} - e} \right)} \right|dx = \int\limits_0^1 {x\left( {{e^x} - e} \right)} dx}\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x}\\ {dv = \left( {e - {e^x}} \right)dx} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx}\\ {v = ex - {e^x}} \end{array}} \right.} \right.\)
\({ \Rightarrow S = x\left( {ex - {e^x}} \right)\left| {_0^1} \right. - \int\limits_0^1 {\left( {ex - {e^x}} \right)dx} }\) \(= \left( { - \frac{{e{x^2}}}{2} + {e^x}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{{e - 2}}{2}.\)
Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x=0\) và \(x=3\) , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\left( {0 \le x \le 3} \right)\) là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng \(x\) và \(2\sqrt {9 - {x^2}}.\)
Diện tích của hình chữ nhật có hai cạnh là \(x;2\sqrt {9 - {x^2}}\) là \(2x\sqrt {9 - {x^2}}\)
Khi đó, thể tích của vật thể được xác định bằng công thức \(V = \int\limits_0^3 {2x\sqrt {9 - {x^2}} dx}\)
Đặt \(t = \sqrt {9 - {x^2}} \Leftrightarrow {t^2} = 9 - {x^2} \Leftrightarrow xdx = - tdt\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0 \Rightarrow t = 3}\\ {x = 3 \Rightarrow t = 0} \end{array}} \right.\)
Suy ra \(V = - 2\int\limits_3^0 {{t^2}dt} = \frac{{2{t^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 0 \end{array}} \right. = 18.\)
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2x - {x^2}\) và \(y = x\) quay quanh trục Ox.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = 2x - {x^2}\) và đường thẳng \(y=x\) là \(2x - {x^2} = x \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right.\)
Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tìm là \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2} - {x^2}} \right|dx} = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2}} \right|dx}\)
\(\Rightarrow V = \left| {\pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2}} \right)dx} } \right| = \pi \left| {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + {x^3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right.} \right| = \frac{\pi }{5}.\)
Trong quá trình học tập môn Toán trong chương trình phổ thông, các em đã khá quen thuộc với các phương pháp tính diện tích và thể tích của một đối tượng bằng cách xác định các yếu tố liên quan đến đối tượng như độ dài cạnh, số đo góc,....Sau khi tìm hiểu khái niệm Tích phân các em sẽ được tiếp cận một phương pháp mới để tính diện tích hình phẳng, thể tích của vật thể, thể tích khối tròn xoay chỉ thông qua các hàm số là Ứng dụng tích phân.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho đồ thị hàm số y = f(x). Xác định công thức tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) trong hình.
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;x = 1\).
Tính diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2} - x.\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 3 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 121 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 121 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 121 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 121 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 121 SGK Giải tích 12
Bài tập 26 trang 167 SGK Toán 12 NC
Bài tập 27 trang 167 SGK Toán 12 NC
Bài tập 28 trang 167 SGK Toán 12 NC
Bài tập 29 trang 172 SGK Toán 12 NC
Bài tập 30 trang 172 SGK Toán 12 NC
Bài tập 31 trang 172 SGK Toán 12 NC
Bài tập 32 trang 173 SGK Toán 12 NC
Bài tập 33 trang 173 SGK Toán 12 NC
Bài tập 34 trang 173 SGK Toán 12 NC
Bài tập 35 trang 175 SGK Toán 12 NC
Bài tập 36 trang 175 SGK Toán 12 NC
Bài tập 37 trang 175 SGK Toán 12 NC
Bài tập 38 trang 175 SGK Toán 12 NC
Bài tập 39 trang 175 SGK Toán 12 NC
Bài tập 40 trang 175 SGK Toán 12 NC
Bài tập 3.31 trang 178 SBT Toán 12
Bài tập 3.32 trang 178 SBT Toán 12
Bài tập 3.33 trang 178 SBT Toán 12
Bài tập 3.34 trang 178 SBT Toán 12
Bài tập 3.35 trang 178 SBT Toán 12
Bài tập 3.36 trang 179 SBT Toán 12
Bài tập 3.37 trang 179 SBT Toán 12
Bài tập 3.38 trang 179 SBT Toán 12
Bài tập 3.39 trang 180 SBT Toán 12
Bài tập 3.40 trang 180 SBT Toán 12
Bài tập 3.41 trang 180 SBT Toán 12
Bài tập 3.42 trang 480 SBT Toán 12
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho đồ thị hàm số y = f(x). Xác định công thức tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) trong hình.
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;x = 1\).
Tính diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2} - x.\)
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x = 0;x = \pi\), biết rằng thiết diện của vật thể với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x\left( {0 \le x \le \pi } \right)\) là một tam giác đều có cạnh là \(2\sqrt {\sin x}\).
Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{4}{{x - 4}},y = 0,x = 0,x = 2\) quay một vòng quanh trục Ox là (theo đơn vị thể tích).
Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x^3 - x\) và đồ thị hàm số \(y = x - x^2\)
Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x -1)e2x ,trục tung và đường thẳng y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = x^2 - x + 3\) và \(y = 2x + 1\) là:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = 6 - x\) và trục tung là:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) \(y = x^2, y = x + 2\);
b) \(y = |lnx|, y = 1\);
c) \(y = (x - 6)^2, y = 6x- x^2\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2 +1, tiếp tuyến với đường thẳng này tại điểm M(2;5) và trục Oy.
Parabol \(y=\frac{x^{2}}{2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \(2 \sqrt {2}\) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:
a) \(\small y = 1 - x^2 , y = 0\) ;
b) \(\small y = cosx, y = 0, x = 0, x = \pi\) ;
c) \(\small y = tanx, y = 0, x = 0,x=\frac{\pi }{4}\) ;
Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt \(\widehat{POA}=\alpha\) và \(OM=R, \left ( 0\leq \alpha \leq \frac{\pi }{3}, R>0 \right )\).
Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh Ox (H.63).
a) Tính thể tích của V theo α và R.
b) Tìm \(\small \alpha\) sao cho thể tích V là lớn nhất.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 0 và \(x = \frac{{7\pi }}{6}\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị hàm số y = cos2x trục hoành, trục tung và đường thẳng x = π
b) Đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = \sqrt[3]{x}\)
c) Đồ thị hàm số y = 2x2 và y = x4 −2x2 trong miền x ≥ 0 .
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị các hàm số y = x2 − 4, y = −x2 − 2x và đường thẳng x = −3, x = −2
b) Đồ thị hai hàm số y = x2 và y = −x2 − 2x
c) Đồ thị hàm số y = x3 − 4x, trục hoành, đường thẳng x = - 2 và đường thẳng x = 4
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = −1 và x = 1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (−1 ≤ x ≤ 1) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {1 - {x^2}} \)
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = π, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0 ≤ x ≤ π) là một tam giác đều cạnh \(2\sqrt {{\rm{sinx}}} \)
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = 0, và \(y = \sqrt x - 1\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành
Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = 2/y, y = 1 và y = 4. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung
Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường \(x = \sqrt 5 {y^2},x = 0,y = - 1\) và y = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị các hàm số y = x, y = 1 và \(y = \frac{{{x^2}}}{4}\) trong miền x ≥ 0, y ≤ 1.
b) Đồ thị hai hàm số y = x4 − 4x2 + 4, y = x2, trục tung và đường thẳng x = 1
c) Đồ thị các hàm số y = x2, y = 4x − 4 và y = −4x – 4
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị hai hàm số y = x2 + 1 và y = 3 – x
b) Các đường có phương trình x = y3, y = 1, và x = 8
c) Đồ thị của hàm số \(y = \sqrt x \),y = 6 − x và trục hoành.
Tính thể tích của vật thể T nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = π, biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ π) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {\sin x} \)
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = x2, x = 0 và x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = cosx,y = 0, x = 0 và x = π/4. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường \(y = x{e^{\frac{x}{2}}}\) y = 0, x = 0 và x = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường \(x = \sqrt {2\sin 2y} ,x = 0,y = 0\), x = 0,y = 0, \(y = \frac{\pi }{2}\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y=x^2-4x+5 và tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại A(1;2) B(4;5) có kết quả dạng a/b khi đó a+b bằng
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Sử dụng công thức phương trình tiếp tuyến tại \(x_0\) là:
\(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\)
Ta có phương trình hai đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị \(y=x^2-4x+5\) tại \(A,B\) là:\(\left\{\begin{matrix}y=-2x+4\\y=4x-11\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(x^2-4x+5-(-2x+4)=x^2-2x+1=(x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1\)
\(x^2-4x+5-(4x-11)=(x-4)^2=0\Leftrightarrow x=4\)
\((-2x+4)-(4x-11)=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}\)
Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường đã cho là:
\(\int ^{4}_{\frac{5}{2}}|(x-4)^2|dx+\int ^{\frac{5}{2}}_{1}|(x-1)^2|dx=\frac{9}{8}+\frac{9}{8}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow a+b=9+4=13\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y=\(\left|lgX\right|\) , y=0,x=\(\frac{1}{10}\), x=10
Câu trả lời của bạn
Trên [\(\frac{1}{10}\);1] thì |logx|= -logx
trên (1;10] thì |logx|=logx
vậy ta có: S=\(\int\limits^{10}_{0,1}\left|logx\right|dx=-\int\limits^1_{0,1}logx.dx+\int\limits^{10}_1logx.dx\)
S=\(\left(\frac{x}{ln10}-x.logx\right)|^1_{0,1}\) + \(\left(xlogx-\frac{x}{ln10}\right)|^{10}_1\) =...
Tính diện tích hình phẳng (H) y=sin2x.cos3x , y=0 ,x=0 , x=pi/2
Câu trả lời của bạn
\(I=\int_0^{\pi/2}\sin^2 x.cos^3 xdx=\int_0^{\pi/2}\sin^2 x.(1-\sin^2 x)d(\sin x)=\dfrac{\sin^3 x}{3}\Big|_0^{\pi/2}-\dfrac{\sin^5 x}{5}\Big|_0^{\pi/2}=\dfrac{2}{15}\)
Do đó diện tích hình phẳng là $S=|I|=\dfrac{2}{15}$
tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x^2, y=-1/3x+4/3 và trục hoành?
Câu trả lời của bạn
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^2+\dfrac{x}{3}-\dfrac{4}{3}=0\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\x=-\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)
Diện tích: \(\int\limits^1_{-\dfrac{4}{3}}\left|x^2+\dfrac{x}{3}-\dfrac{4}{3}\right|dx\) = 343/162
HELP ME
A=\(\dfrac{1}{2}C^1_{2n}+\dfrac{1}{4}C^3_{2n}+......+\dfrac{1}{2n}c^{2n-1}_{2n}\)
dùng bằng cách tích phân nha
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Theo nhị thức New-ton:
\((x+1)^{2n}=C^{0}_{2n}+C^{1}_{2n}x+C^2_{2n}x^2+...+C^{2n}_{2n}x^{2n}\)
\((x-1)^n=C^0_{2n}-C^1_{2n}x+C^2_{2n}x^2-.....-C^{2n-1}_{2n}x^{2n-1}+C^{2n}_{2n}x^{2n}\)
Trừ theo vế ta có:
\(\frac{(x+1)^{2n}-(x-1)^{2n}}{2}=C^1_{2n}x+C^3_{2n}x^3+...+C^{2n-1}_{2n}x^{2n-1}\)
\(\Rightarrow \int ^{1}_{0}\frac{(x+1)^{2n}-(x-1)^{2n}}{2}dx=\int ^{1}_{0}(C^1_{2n}x+C^3_{2n}x^3+...+C^{2n-1}_{2n}x^{2n-1})dx\)
Xét vế trái:
\(\text{VT}=\frac{1}{2}\int ^{1}_{0}(x+1)^{2n}d(x+1)-\frac{1}{2}\int ^{1}_{0}(x-1)^{2n}d(x-1)\)
\(=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\frac{1}{2}\left ( \frac{(x+1)^{2n+1}-(x-1)^{2n+1}}{2n+1} \right )=\frac{2^{2n}-1}{2n+1}\)
Xét vế phải:
\(\text{VP}=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\left ( \frac{C^{1}_{2n}x^2}{2}+\frac{C^{3}_{2n}x^4}{4}+....+\frac{C^{2n-1}_{2n}x^{2n}}{2n} \right )=\frac{1}{2}C^{1}_{2n}+\frac{1}{4}C^3_{2n}+...+\frac{1}{2n}C^{2n-1}_{2n}\)
Vậy \(A=\frac{2^{2n}-1}{2n+1}\)
diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x^3-3x-4,y=0,x=1,x=2 có diện tích
Câu trả lời của bạn
.
Một hình trụ có 2 đáy là 2 hình tròn tâm O và O' và có bán kính r=5. Khoảng cách giữa 2 đáy là OO'=8. Gọi (P) là mặt phẳng qua trung điểm của đoạn OO' và tạo với đường thẳng OO' một góc 45°. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình trụ
Câu trả lời của bạn
Giả sử ABCD là thiết diện của (P) với hình trụ.
Do (P) đi qua OO’ nên ABCD là hình chữ nhật.
S ABCD = AB.AD= 2R.R căn bậc 2 = 2 căn bậc 2R2
Cau1: goi s la dien tich cua hinh phang gioi han boi (c): y=x.e^x, truc hoanh va duong thang x=a (a>0)
A. S=ae^a+e^a+1 B. S=ae^a-e^a-1
C. S= ae^a+e^a-1 D. S=ae^a-e^a+1
Cau 2: cho d:(x-1)/1=(y-1)/4=(z-m)/-1 va (P): 2x+my-(m^2+1)z+m-2m^2=0 co bao nhiêu gia tri cua m de duong thang d nam tren (P)???
Câu trả lời của bạn
tính diện tích hình phẳng giới hạn bới y=tanx, y=0, x=pi/4
Câu trả lời của bạn
theo mình là làm như vậy
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=2^x-2, y=0 và x=2
Câu trả lời của bạn
cái này e có chép nhầm đề k e tại c nghĩ 26x-2 luôn là số dương nên nếu vậy mình k tìm được cận còn lại..v chắc e phải vẽ hình ra để giải r
tinh dien tich cua hinh phang duoc gioi han boi do thi ham so (x-1)/(x+2) va duong thang y=2;y=-2x-4
Câu trả lời của bạn
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=căn x , trục hoành và đường thẳng y =x - 2 . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng (H) xung quanh trục hoành .
Câu trả lời của bạn
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường: \(y = x.\sqrt{x+3}\) và đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0.
Câu trả lời của bạn
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho:
\(\small x.\sqrt{x+3}=\frac{x+3}{2}\Leftrightarrow 2x.\sqrt{x+3}-(x+3)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -3\\ \sqrt{x+3}(2x-\sqrt{x+3})=0 \end{matrix}\right.\)
+ x = -3 là một nghiệm
+ x >- 3 phương trình tương đương:
\(\small \sqrt{x+3}=2x\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 4x^2-x-3=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ \bigg \lbrack\begin{matrix} x=1\\ x=-\frac{3}{4} \end{matrix}\Leftrightarrow x=1 \end{matrix}\right.\)
Diện tích hình phẳng là: \(\small S=\int_{-3}^{1}\left | x.\sqrt{x+3}-(\frac{x+3}{2}) \right |dx\)
Vì \(\small \frac{x+3}{2}-x\sqrt{x+3}\geq 0\forall x\in \left [ -3;1 \right ]\)
Nên \(\small S=\int_{-3}^{1}\left [ \left ( \frac{x+3}{2} \right )-x\sqrt{x+3} \right ]dx=\int_{-3}^{1}(\frac{x+3}{2})dx-\int_{-3}^{1}x\sqrt{x+3}dx\)
Tính: \(\small I=\int_{-3}^{1}\frac{x+3}{2}dx=4\)
Tính \(\small J=\int_{-3}^{1}x\sqrt{x+3}dx=-\frac{16}{5}\)
\(\small S=I-J=\frac{36}{5}\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{e^x+1}\) , trục hoành và hai đường thẳng: x = ln3, x = ln8.
Câu trả lời của bạn
Diện tích hình phẳng cần tìm là: \(S=\int_{ln3}^{ln8}\left |\sqrt{e^x+1}-0 \right |dx=\int_{ln3}^{ln8}\sqrt{e^x+1}dx\)
Đặt \(t=\sqrt{e^x+1}\Rightarrow e^x=t^2-1\Rightarrow e^xdx=2tdt\Rightarrow dx=\frac{2t}{t^2-1}dt\)
Đổi cận: \(x=ln3\Rightarrow t=2,x=ln8\Rightarrow t=3\)
Khi đó: \(S=\int_{2}^{3}\frac{2t^2}{t^2-1}dx=\int_{2}^{3}(2+\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1})\)
\(=2t |_{2}^{3}+ln\left | \frac{t-1}{t+1} \right | \bigg|_{2}^{3}=2+ln\frac{3}{2}\)
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:
\(y=\ln (x^{2}-x); y=\frac{10}{x}, x=e^{2}\) và \(x=e^{3}\)
Câu trả lời của bạn
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y=\ln (x^{2}-x); y=\frac{10}{x}, x=e^{2}\) và \(x=e^{3}\) được tính theo công thức:
\(I=\int_{e^{2}}^{e^{3}}\left | \ln (x^{2}-x)-\frac{10}{x} \right |dx=\left | \int_{e^{2}}^{e^{3}}(\ln (x^{2}-x)-\frac{10}{x})dx \right |\)
\(=\left | \int_{e^{2}}^{e^{3}}\ln (x^{2}-x)dx-\int_{e^{2}}^{e^{3}}\frac{10}{x}dx \right |\)
Bây giờ ta đi tính tích phân \(I_{1}=\int_{e^{2}}^{e^{3}}\ln (x^{2}-x)dx\)
Đặt \(u=\ln (x^{2}-x)\Rightarrow du=\frac{2x-1}{x^{2}-x}dx;dv=dx\Rightarrow v=x\)
Vậy
\(I_{1}=x\ln (x^{2}-x) |_{e^2}^{e^3}-\int_{e^{2}}^{e^{3}}\frac{x(2x-1)}{x(x-1)}dx\)
\(=e^{3}\ln (e^{6}-e^{3})-e^{2}\ln (e^{4}-e^{2})-\int_{e^{2}}^{e^{3}}\frac{2(x-1)+1}{(x-1)}dx\)
\(=e^{3}\ln (e^{6}-e^{3})-e^{2}\ln (e^{4}-e^{2})-2\int_{e^{2}}^{e^{3}}dx-\int_{e^{2}}^{e^{3}}\frac{dx}{x-1}\)
\(=e^{3}\ln (e^{6}-e^{3})-e^{2}\ln (e^{4}-e^{2})-2x |_{e^{2}}^{e^{3}}-\ln \left | x-1 \right | |_{e^{2}}^{e^{3}}\)
\(=e^{3}\ln \left [ e^{3}(e^{3}-1) \right ]-e^{2}\ln \left [ e^{2}(e^{2}-1) \right ]-2e^{3}+2e^{2}-\ln (e^{3}-1)+\ln (e^{2}-1)\)
\(=3e^{3}+e^{3}\ln (e^{3}-1)-2e^{2}-e^{2}\ln (e^{2}-1)-2e^{3}+2e^{2}-\ln (e^{3}-1)+\ln (e^{2}-1)\)
\(=e^{3}+(1-e^{2})\ln (e^{2}-1)-\ln (e^{3}-1)+e^{3}\ln (e^{3}-1)\)
Tiếp tục tính tích phân \(I_{2}=\int_{e^{2}}^{e^{3}}\frac{10}{x}dx\)
Ta có \(I_{2}=\int_{e^{2}}^{e^{3}}\frac{10}{x}dx=10\int_{e^{2}}^{e^{3}}\frac{1}{x}dx=10\ln \left | x \right ||_{e^{2}}^{e^{3}}=10\)
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là
\(I=\left | I_{1}-I_{2} \right |\)
\(=e^{3}+(1-e^{2})\ln (e^{2}-1)+e^{3}\ln (e^{3}-1)-10\) (đvdt)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=sin^2x\); trục hoành, x = 0 và \(x=\frac{\pi }{4}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(S=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\left | sin^2x \right |dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1-cos2x}{2}dx\)
\(=\left ( \frac{1}{2x-\frac{sin2x}{4}} \right )\bigg |_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\frac{\pi }{8}-\frac{1}{4}\)
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\frac{-x-2}{x-1}\), trục hoành và các đường thẳng x = -1; x = 0.
Câu trả lời của bạn
Diện tích S của hình phẳng trên là \(S=\int_{-1}^{0}\left | \frac{-x-2}{x-1} \right |dx\)
Từ hình vẽ, suy ra \(\frac{-x-2}{x-1} \geq 0, \forall x\in \left [ -1;0 \right ]\)
\(\small S=\int_{-1}^{0}\left |\frac{-x-2}{x-1} \right |dx=\int_{-1}^{0}\frac{-x-2}{x-1}dx=\int_{-1}^{0}\frac{-(x-1)^{-3}}{x-1}dx=\int_{-1}^{0}\left ( -1-\frac{3}{x-1} \right )dx\)
\(\small =(-x-3)ln\left | x-1 \right | \bigg |_{-1}^{0}=(-0-3ln1)-(1-3ln2)=-0-3ln1-1+3ln2\)
\(\small =3ln2-1\) (đvdt)
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=(e+1)x,y=(e^x+1)x\)
Câu trả lời của bạn
Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình
\((e+1)x=(1+e^x)x\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\ x=1 \end{matrix}\)
Diện tích cần tính là \(S=\int_{0}^{1}\left | x(e^x-e) \right |dx\)
\(S=\left | \int_{0}^{1}xe^xdx-\int_{0}^{1}exdx \right |=\left | \int_{0}^{1}xd(e^x)-e\int_{0}^{1}xdx \right |\)
\(=\left | xe^x|^1_0 -\int_{0}^{1}e^xdx-e\frac{x^2}{2}\bigg|^1_0\right |=\frac{e}{2}-1\)
Cứu với mọi người!
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=(x-1)lnx và đường thẳng y= x-1
Câu trả lời của bạn
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hàm số y = x2 + x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1.
Câu trả lời của bạn
Diện tích hình phẳng cần tính là: \(S=\int_{0}^{1}\left | x^2+x \right |dx\)
Với \(x\in [0;1]\Rightarrow S=\int_{0}^{1}(x^2+x)dx\)
Suy ra \(S=(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2})\bigg |^1_0\)
Vậy \(S=\frac{5}{6}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *