Nội dung bài hạc sẽ giúp các em nắm được định nghĩa, các qui tắc tính lôgarit và công thức đổi cơ số. Thông qua các ví dụ minh họa các em sẽ biết vận dụng lôgarit để giải toán.
Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) với \(a\ne1\). Số \(\alpha\) thỏa mãn \(a^{\alpha}=b\) được gọi là lôgarit có số \(a\) của \(b\), kí hiệu \(\log_ab=\alpha\).
Vậy: \(\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a \ne 1,b > 0\\ {a^\alpha } = b \end{array} \right.\)
Ví dụ:
Cho số thực \(a\) thỏa \(0< a\neq 1\), ta có các tính chất sau:
Cho số thực \(a\) thỏa \(0< a\neq 1\), ta có các tính chất sau:
Lấy \(0 < b \ne 1\), chọn \(c=b\) ta có: \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)
Lôgarit cơ số 10 của số \(x>0\) được gọi là lôgarit thập phân của \(x\), kí hiệu là \(\log x\) hoặc \(\lg x\).
Lôgarit cơ số \(e\) của số \(a>0\) được gọi là lôgarit tự nhiên (hay lôgarit Nê-pe) của số a, kí hiệu \(\ln a.\)
Tính giá trị các biểu thức sau:
a) \(A = {\log _9}15 + {\log _9}18 - {\log _9}10\)
b) \(B = {\log _{36}}2 - \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{6}}}3\)
c) \(C = {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_3}4.{{\log }_2}3} \right)\)
a) \(A = {\log _9}15 + {\log _9}18 - {\log _9}10 = {\log _9}\frac{{15.18}}{{10}} = {\log _9}{3^3} = \frac{1}{2}{\log _3}{3^3} = \frac{3}{2}\)
b) \(B = {\log _{36}}2 - \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{6}}}3 = \frac{1}{2}{\log _6}2 + \frac{1}{2}{\log _6}3 = \frac{1}{2}{\log _6}2.3 = \frac{1}{2}\)
c) \(C = {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_3}4.{{\log }_2}3} \right) = - {\log _4}\left( {{{\log }_2}3.{{\log }_3}4} \right)\)
\(= - {\log _4}\left( {{{\log }_2}4} \right) = - \frac{1}{2}{\log _2}2 = - \frac{1}{2}\)
Tính các giá trị biểu thức sau (Giả sử các biểu thức đều xác định):
a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a}\)
b) \(B={\log _{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}}\)
a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a} = {\log _a}\left( {{a^{3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5}}}} \right) = 3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{{37}}{{10}}\)
b) \(B=lo{g_{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}} = - {\log _a}\left( {\frac{{{a^{1 + \frac{3}{5} + \frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}}}}} \right) = - \left( {\frac{{34}}{{15}} - \frac{3}{4}} \right) = - \frac{{91}}{{60}}\)
a) Tính \(A= {\log _3}135\) biết \({\log _2}5 = a;{\log _2}3 = b\)
b) Tính \(B={\log _{49}}32\) biết \({\log _2}14 = a\)
a) \(A = {\log _3}135 = {\log _3}{5.3^3} = {\log _3}5 + 3 = \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} + 3 = \frac{a}{b} + 3 = \frac{{a + 3b}}{b}\)
b) Ta có: \({\log _2}14 = a \Leftrightarrow 1 + {\log _2}7 = a \Rightarrow {\log _2}7 = a - 1\)
Vậy: \({\log _{49}}32 = \frac{{{{\log }_2}{2^5}}}{{{{\log }_2}{7^2}}} = \frac{5}{{2{{\log }_2}7}} = \frac{5}{{2\left( {a - 1} \right)}}\)
Không dùng máy tính, hãy so sánh:
a) \({\log _{0,4}}\sqrt 2 \; \vee \;{\log _{0,2}}0,34\)
b) \({\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4}\; \vee \;{\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5}\)
c) \({2^{{{\log }_5}3}}\; \vee \;{3^{{{\log }_5}\frac{1}{2}}}\)
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt 2 > 1 \Rightarrow {\log _{0,4}}\sqrt 2 < {\log _{0,4}}1 = 0\\ 0,3 < 1 \Rightarrow {\log _{0,2}}0,3 > {\log _{0,2}}1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _{0,2}}0,3 > {\log _{0,4}}\sqrt 2\)
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{5}{3} > 1;0 < \frac{3}{4} < 1 \Rightarrow {\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4} < {\log _{\frac{5}{3}}}1 = 0\\ 0 < \frac{3}{4} < 1;0 < \frac{2}{5} < 1 \Rightarrow {\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5} > {\log _{\frac{3}{4}}}1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5} > {\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4}\)
c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {\log _5}3 > {\log _5}1 \Rightarrow {2^{{{\log }_5}3}} > {2^{{{\log }_5}1}} = {2^0} = 1\\ {\log _5}\frac{1}{2} < {\log _5}1 \Rightarrow {3^{{{\log }_5}\frac{1}{2}}} < {3^{{{\log }_5}1}} = {3^0} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _5}3 > {\log _5}\frac{1}{2}\)
Nội dung bài hạc sẽ giúp các em nắm được định nghĩa, các qui tắc tính lôgarit và công thức đổi cơ số. Thông qua các ví dụ minh họa các em sẽ biết vận dụng lôgarit để giải toán.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Rút gọn biểu thức
\(A = {\log _a}\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.a.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[3]{a}}}\) với \(a > 0;\,\,a \ne 1\).
Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _a}a\sqrt[3]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}\) với \(0 < a \ne 1.\)
Đặt \(a = {\log _2}3,b = {\log _5}3\). Hãy biểu diễn \({\log _6}45\) theo a và b.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 68 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 68 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 68 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 68 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 68 SGK Giải tích 12
Bài tập 2.15 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.16 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.17 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.18 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.19 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.20 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.21 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.22 trang 110 SBT Toán 12
Bài tập 2.23 trang 110 SBT Toán 12
Bài tập 2.24 trang 110 SBT Toán 12
Bài tập 2.25 trang 110 SBT Toán 12
Bài tập 2.26 trang 110 SBT Toán 12
Bài tập 23 trang 89 SGK Toán 12 NC
Bài tập 24 trang 89 SGK Toán 12 NC
Bài tập 25 trang 89 SGK Toán 12 NC
Bài tập 26 trang 89 SGK Toán 12 NC
Bài tập 27 trang 90 SGK Toán 12 NC
Bài tập 28 trang 90 SGK Toán 12 NC
Bài tập 29 trang 90 SGK Toán 12 NC
Bài tập 30 trang 90 SGK Toán 12 NC
Bài tập 31 trang 90 SGK Toán 12 NC
Bài tập 32 trang 92 SGK Toán 12 NC
Bài tập 33 trang 92 SGK Toán 12 NC
Bài tập 34 trang 92 SGK Toán 12 NC
Bài tập 35 trang 92 SGK Toán 12 NC
Bài tập 36 trang 93 SGK Toán 12 NC
Bài tập 37 trang 93 SGK Toán 12 NC
Bài tập 38 trang 93 SGK Toán 12 NC
Bài tập 39 trang 93 SGK Toán 12 NC
Bài tập 40 trang 93 SGK Toán 12 NC
Bài tập 41 trang 93 SGK Toán 12 NC
Bài tập 42 trang 97 SGK Toán 12 NC
Bài tập 43 trang 97 SGK Toán 12 NC
Bài tập 44 trang 97 SGK Toán 12 NC
Bài tập 45 trang 97 SGK Toán 12 NC
Bài tập 46 trang 97 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Rút gọn biểu thức
\(A = {\log _a}\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.a.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[3]{a}}}\) với \(a > 0;\,\,a \ne 1\).
Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _a}a\sqrt[3]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}\) với \(0 < a \ne 1.\)
Đặt \(a = {\log _2}3,b = {\log _5}3\). Hãy biểu diễn \({\log _6}45\) theo a và b.
Cho \({\log _{12}}8 = a\). Biểu diễn \({\log _2}3\) theo a.
Cho \(a > 0;b > 0\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 7ab\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đặt a = log23, b = log35. Hãy tính biểu thức P = log660 theo a và b
Rút gọn biểu thức \(P = \log \frac{a}{b} + \log \frac{c}{d} + \log \frac{b}{c} - \log \frac{{ay}}{{dx}}\)
10log7 bằng:
Tính giá trị của biểu thức log3100 - log318 - log350
log125 bằng
Không sử dụng máy tính, hãy tính:
a) \(log_{2}\frac{1}{8}\).
b) \(log_{\frac{1}{4}}2\).
c) \(log_{3}\sqrt[4]{3}\).
d) .
Tính:
a) \(4^{log_{2}3}\).
b) \(27^{log_{9}2}\).
c) \(9^{log_{\sqrt{3}}2}\).
d) \(4^{log_{{8}}27}\).
Rút gọn biểu thức:
a) \(log_36. log_89. log_62\).
b) \(log_ab^2+log_{a^{2}}b^{4}\).
So sánh các cặp số sau:
a) log35 và log74.
b) log0,32 và log53.
c) log210 và log530.
a) Cho a = log303, b = log305. Hãy tính log301350 theo a, b.
b) Cho c = log153. Hãy tínhlog2515 theo c.
Tính
Tìm x, biết:
a) Cho \(a = {\log _3}15,b = {\log _3}10\). Hãy tính \({\log _{\sqrt 3 }}50\), theo a và b
b) Cho \(a = {\log _2}3,b = {\log _3}5,c = {\log _7}2\). Hãy tính \({\log _{140}}63\) theo
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :
A. \({\log _3}\frac{6}{5} < {\log _3}\frac{5}{6}\)
B. \({\log _{\frac{1}{3}}}17 > {\log _{\frac{1}{3}}}9\)
C. \({\log _{\frac{1}{2}}}e < {\log _{\frac{1}{2}}}\pi \)
D. \({\log _2}\frac{{\sqrt 5 }}{2} > {\log _2}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Tính giá trị bằng số của biểu thức \({\log _{{a^2}}}a(a > 0,a \ne 1)\)
A. 2
B. - 2
C. \( \frac{1}{2}\)
D. \( - \frac{1}{2}\)
Tính giá trị bằng số của biểu thức \(\ln \frac{1}{e}\)
A. 1
B. - 1
C. \(\frac{1}{e}\)
D.
Tính giá trị bằng số của biểu thức \({9^{{{\log }_3}2}}\)
A. 2
B. 4
C. \(\frac{1}{3}\)
D. \(\frac{1}{2}\)
Tính giá trị bằng số của biểu thức \({4^{{{\log }_{\sqrt 2 }}3}}\)
A. 81
B. 9
C. \(\frac{1}{3}\)
D. \(\frac{1}{{27}}\)
Tìm số dương trong các số sau đây.
A. \({\log _{\frac{2}{e}}}1,25\)
B. \({\log _{\frac{1}{3}}}0,25\)
C. \(\ln \frac{1}{{{e^2}}}\)
D. \({\log _{\frac{1}{e}}}3\)
Tìm số âm trong các số sau đây
A. \({\log _2}3\)
B. \(\ln \sqrt e \)
C. \(\lg 2,5\)
D. \({\log _3}0,3\)
Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. \({\log _2}3 > {\log _3}2\)
B. \({\log _{\frac{1}{2}}}4 = {\log _3}\frac{1}{9}\)
C. \({\log _4}3 < {\log _3}4\)
D. \({\log _2}3 < {\log _3}4\)
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :
A. \({4^{{{\log }_2}3}} < {4^{{{\log }_3}2}}\)
B. \({\log _2}4 = {\log _4}2\)
C. \({\log _3}\frac{3}{5} > {\log _3}\frac{2}{3}\)
D. \({\log _{\frac{3}{4}}}5 > {\log _{\frac{3}{4}}}6\)
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
a) Cơ số của lôgarit là một số thực bất kì;
b) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên;
c) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên dương;
d) Cơ số của lôgarit phải là số dương khác 1;
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) Có lôgarit của một số thực bất kì;
b) Chỉ có lôgarit của một số thực dương;
c) Chỉ có lôgarit của một số thực dương khác 1;
d) Chỉ có lôgarit của một số thực lớn hơn 1;
Điền thêm vế còn lại của đẳng thức và bổ sung điều kiện để đẳng thức đúng.
a) \({\log _a}\left( {xy} \right) = ...;\)
b) \(... = lo{g_x}x - lo{g_a}y\)
c) \({\log _a}{x^\alpha } = ...\)
d) \({a^{lo{g_a}b}} = ...\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Chứng minh đẳng thức logarit
a) Cho các số dương a,b thỏa mãn \(a^2+4b^2=12ab\). Chứng minh rằng :
\(lg\left(a+2b\right)-2lg2=\frac{1}{2}\left(lga+lgb\right)\)
b) Cho \(a=10^{\frac{1}{1-lgb}};b=10^{\frac{1}{1-lgc}}\). Chứng minh rằng :
\(c=10^{\frac{1}{1-lga}}\)
Câu trả lời của bạn
a) Ta có
\(a^2+4b^2=12ab\Leftrightarrow\left(a+2b\right)^2=16ab\)
Do a,b dương nên \(a+2b=4\sqrt{ab}\) khi đó lấy logarit cơ số 10 hai vế ta được :
\(lg\left(a+2b\right)=lg4+\frac{1}{2}lg\left(ab\right)\)
hay
\(lg\left(a+2b\right)-2lg2=\frac{1}{2}\left(lga+lgb\right)\)
b) Giả sử a,b,c đều dương khác 0. Để biểu diễn c theo a, ta rút lgb từ biểu thức \(a=10^{\frac{1}{1-lgb}}\) và thế vào biểu thức \(b=10^{\frac{1}{1-lgc}}\). Sau khi lấy logarit cơ số 10 2 vế, ta có :
\(a=10^{\frac{1}{1-lgb}}\Rightarrow lga=\frac{1}{1-lgb}\Rightarrow lgb=1-\frac{1}{lga}\)
Mặt khác , từ \(b=10^{\frac{1}{1-lgc}}\) suy ra \(lgb=\frac{1}{1-lgc}\) Do đó :
\(1-\frac{1}{lga}=\frac{1}{1-lgc}\)
\(\Rightarrow1-lgx=\frac{lga}{lga-1}=1+\frac{1}{lga-1}\)
\(\Rightarrow lgc=\frac{1}{1-lga}\)
Từ đó suy ra : \(c=10^{\frac{\frac{1}{1-lga}}{ }}\)
Tính :
a) \(A=\frac{1}{\log_2x}+\frac{1}{\log_3x}+.....+\frac{1}{\log_{2007}x}\) với \(x=2007!\)
b) \(B=lg\tan1^o+lg\tan2^o+...........lg\tan89^o\)
Câu trả lời của bạn
a) Sử dụng công thức \(\frac{1}{\log_ba}=\log_ab\), hơn nữa \(x=2007!\) nên ta có : \(A=\log_x2+\log_x3+..........\log_x2007\)
\(=\log_x\left(2.3...2007\right)\)
\(=\log_xx=1\)
b) Nhận thấy
\(lg\tan1^o+lg\tan89^o=lg\left(lg\tan1^o.lg\tan89^o\right)=lg1=0\)
Tương tự ta có :
\(lg\tan2^o+lg\tan88^o=0\)
.................
\(lg\tan44^o+lg\tan46^o=0\)
\(lg\tan45^o=lg1=0\)
Do đó :
\(B=\left(lg\tan1^o+lg\tan89^o\right)+\left(lg\tan2^o+lg\tan88^o\right)+......+lg\tan45^0=0\)
So sánh :
a) \(\log_32\) và \(\log_23\)
b) \(\log_23\) và \(\log_311\)
c) \(\frac{1}{2}+lg3\) và \(lg19-lg2\)
Câu trả lời của bạn
a) Ta có \(\log_32<\log_33=1=\log_22<\log_23\)
b) \(\log_23<\log_24=2=\log_39<\log_311\)
c) Đưa về cùng 1 lôgarit cơ số 10, ta có
\(\frac{1}{2}+lg3=\frac{1}{2}lg10+lg3=lg3\sqrt{10}\)
\(lg19-lg2=lg\frac{19}{2}\)
So sánh 2 số \(3\sqrt{10}\) và \(\frac{19}{2}\) ta có :
\(\left(3\sqrt{10}\right)^2=9.10=90=\frac{360}{4}<\frac{361}{4}=\left(\frac{19}{2}\right)^2\)
Vì vậy : \(3\sqrt{10}<\frac{19}{2}\)
Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}+lg3\)<\(lg19-lg2\)
d) Ta có : \(\frac{lg5+lg\sqrt{7}}{2}=lg\left(5\sqrt{7}\right)^{\frac{1}{2}}=lg\sqrt{5\sqrt{7}}\)
Ta so sánh 2 số : \(\sqrt{5\sqrt{7}}\) và \(\frac{5+\sqrt{7}}{2}\)
Ta có :
\(\sqrt{5\sqrt{7}}^2=5\sqrt{7}\)
\(\left(\frac{5+\sqrt{7}}{2}\right)^2=\frac{32+10\sqrt{7}}{4}=8+\frac{5}{2}\sqrt{7}\)
\(8+\frac{5}{2}\sqrt{7}-5\sqrt{7}=8-\frac{5}{2}\sqrt{7}=\frac{16-5\sqrt{7}}{2}=\frac{\sqrt{256}-\sqrt{175}}{2}>0\)
Suy ra : \(8+\frac{5}{2}\sqrt{7}>5\sqrt{7}\)
Do đó : \(\frac{5+\sqrt{7}}{2}>\sqrt{5\sqrt{7}}\)
và \(lg\frac{5+\sqrt{7}}{2}>\frac{lg5+lg\sqrt{7}}{2}\)
Rút gọn các biểu thức sau :
\(A=\left(\log^3_ba+2\log^2_ba+\log_ba\right)\left(\log_ab-\log_{ab}b\right)-\log_ba\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(A=\left(\log^3_ba+2\log^2_ba+\log_ba\right)\left(\log_ab-\log_{ab}b\right)-\log_ba\)
\(=\left(\log_ba+1\right)^2\left(1-\frac{1}{\log_aab}\right)-\log_ba\)
\(=\left(\log_ba+1\right)^2\left(1-\frac{1}{1+\log_ab}\right)-\log_ba\)
\(=\left(\log_ba+1\right)^2\left(1-\frac{\log_ba}{\log_ba+1}\right)-\log_ba\)
\(=\log_ba+1-\log_ba=1\)
Chứng minh các bất đẳng thức Logarit :
a) Không dùng máy tính, chứng minh rằng : \(2<\log_23+\log_32<\frac{5}{2}\)
b) Cho \(a\ge1,b\ge1\), chứng minh rằng \(\frac{\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}}{2}\le\sqrt{\ln\frac{a+b}{2}}\)
c) Chứng minh rằng : \(\log_{2006}2007>\log_{2007}2008\). Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát ?
Câu trả lời của bạn
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương, ta có :
\(\log_23+\log_32>2\sqrt{\log_23.\log_32}=2\sqrt{1}=2\)
Không xảy ra dấu "=" vì \(\log_23\ne\log_32\)
Mặt khác, ta lại có :
\(\log_23+\log_32<\frac{5}{2}\Leftrightarrow\log_23+\frac{1}{\log_23}-\frac{5}{2}<0\)
\(\Leftrightarrow2\log^2_23-5\log_23+2<0\)
\(\Leftrightarrow\left(\log_23-1\right)\left(\log_23-2\right)<0\) (*)
Hơn nữa, \(2\log_23>2\log_22>1\) nên \(2\log_23-1>0\)
Mà \(\log_23<\log_24=2\Rightarrow\log_23-2<0\)
Từ đó suy ra (*) luôn đúng. Vậy \(2<\log_23+\log_32<\frac{5}{2}\)
b) Vì \(a,b\ge1\) nên \(\ln a,\ln b,\ln\frac{a+b}{2}\) không âm.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
\(\ln a+\ln b\ge2\sqrt{\ln a.\ln b}\)
Suy ra
\(2\left(\ln a+\ln b\right)\ge\ln a+\ln b+2\sqrt{\ln a\ln b}=\left(\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\right)^2\)
Mặt khác :
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrow\ln\frac{a+b}{2}\ge\frac{1}{2}\left(\ln a+\ln b\right)\)
Từ đó ta thu được :
\(\ln\frac{a+b}{2}\ge\frac{1}{4}\left(\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\right)^2\)
hay \(\frac{\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}}{2}\le\sqrt{\ln\frac{a+b}{2}}\)
c) Ta chứng minh bài toán tổng quát :
\(\log_n\left(n+1\right)>\log_{n+1}\left(n+2\right)\) với mọi n >1
Thật vậy,
\(\left(n+1\right)^2=n\left(n+2\right)+1>n\left(n+2\right)>1\)
suy ra :
\(\log_{\left(n+1\right)^2}n\left(n+2\right)<1\Leftrightarrow\frac{1}{2}\log_{n+1}n\left(n+2\right)<1\)
\(\Leftrightarrow\log_{n+1}n+\log_{\left(n+1\right)}n\left(n+2\right)<2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(2>\log_{\left(n+1\right)}n+\log_{\left(n+1\right)}n\left(n+2\right)>2\sqrt{\log_{\left(n+1\right)}n.\log_{\left(n+1\right)}n\left(n+2\right)}\)
Do đó ta có :
\(1>\log_{\left(n+1\right)}n.\log_{\left(n+1\right)}n\left(n+2\right)\) và \(\log_n\left(n+1>\right)\log_{\left(n+1\right)}\left(n+2\right)\) với mọi n>1
Chứng minh rằng : \(\log_an.\log_bn+\log_bn.\log_cn+\log_cn\log_an=\frac{\log_an.\log_bn.\log_cn}{\log_{abc}n}\) trong đó a, b, c, d là các số dương và \(a,b,c,abc\ne1\)
Câu trả lời của bạn
\(\log_an.\log_bn+\log_bn.\log_cn+\log_cn.\log_an=\frac{\log n.\log n}{\log_a.\log_b}+\frac{\log n.\log n}{\log_b.\log_b}+\frac{\log n.\log n}{\log_c.\log_a}\)
\(=\left(\log n\right)^2\frac{\log a+\log b+\log c}{\log a\log b\log c}\)
\(=\frac{\log abc}{\log a\log b\log c}.\frac{\left(\log n\right)^3}{\log n}\)
\(=\frac{\log_an\log_bn\log_cn}{\log_{abc}n}\)
=> Điều phải chứng minh
Rút gọn biểu thức sau :
\(A=\frac{1}{\log_ax}+\frac{1}{\log_{a^2}x}+\frac{1}{\log_{a^3}x}+.......+\frac{1}{\log_{a^n}x}\)
Câu trả lời của bạn
Theo công thức biến đổi có số ta có : \(\log_{a^n}x=\frac{\log_ax}{\log_aa^n}=\frac{1}{n}\log_ax\)
Từ đó ta có :
\(A=\frac{1}{\log_ax}+\frac{1}{\log_{a^2}x}+\frac{1}{\log_{a^3}x}+...+\frac{1}{\log_{a^n}x}\)
\(=\frac{1}{\log_ax}+\frac{2}{\log_ax}+\frac{4}{\log_ax}+...+\frac{n}{\log_ax}\)
\(=\frac{1+2+3+...+n}{\log_ax}=\frac{n\left(n+1\right)}{\log_ax}\)
Vậy \(A=\frac{1}{\log_ax}+\frac{1}{\log_{a^2}x}+\frac{1}{\log_{a^3}x}+...+\frac{1}{\log_{a^n}x}=\frac{n\left(n+1\right)}{\log_ax}\)
Tính giá trị biểu thức :
\(M=\frac{7\ln\left(3+2\sqrt{2}\right)-64\ln\left(\sqrt{2}+1\right)-50\ln\left(\sqrt{2}-1\right)+2}{lg125^{-1}-lg0.8+6lg\sqrt[3]{0.4}+4lg50}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có :
\(M=\frac{7\ln\left(\sqrt{2}+1\right)^2-64\ln\left(\sqrt{2}+1\right)-50\ln\left(\sqrt{2}+1\right)^{-1}+2}{-3lg5-lg\left(10^{-1}.2^3\right)+6lg\left(10^{-\frac{1}{3}}.2^{\frac{2}{3}}\right)+4lg\left(10.5\right)}\)
\(=\frac{2}{lg5+1-3lg2-2+4lg2+4}=\frac{1}{2}\)
Tính giá trị biểu thức : \(E=12\log^2_{3^{-2}}\left(3\sqrt{3}\right)+9\log_{8\sqrt{8}}\sqrt{32}-12\log_5\frac{1}{125}\)
Câu trả lời của bạn
\(E=16\left[\log_{3^{-2}}3^{\frac{3}{2}}\right]^2+23\log_{2^{\frac{9}{2}}}2^{\frac{5}{2}}-12\log_55^{-3}=16\left(-\frac{3}{4}\right)^2+9\frac{5}{9}-12\left(-3\right)=50\)
Tính giá trị biểu thức :
\(D=\log_{\frac{1}{5}}25-3\log_9\frac{1}{3}+4\log_{2\sqrt{2}}64\)
Câu trả lời của bạn
\(D=\log_{5^{-1}}\left(5^2\right)-3\log_{3^2}\left(3^{-1}\right)+4.\log_{2^{\frac{3}{2}}}2^6=-2+\frac{3}{2}+16=\frac{31}{2}\)
Rút gọn biểu thức sau :
\(A=\left(\log_ab+\log_ba+2\right)\left(\log_ab-\log_{ab}b\right)\log_ba-1\)
Câu trả lời của bạn
\(=\left(\log_ab+\log_ba+2\right)\left(1-\log_{ab}a\right)-1\)
\(=\left(\log_ab+\log_ba+2\right)\left(1-\frac{1}{1+\log_ab}\right)-1\)
\(=\frac{1}{1+\log_ab}\left(\log_ab+\log_ba+2\right)-1\)
\(=\frac{1}{1+\log_ab}\left[\left(\log_ab+\log_ba+2\right)-1-\log_ab\right]\)
\(=\frac{1}{1+\log_ab}\left(\log_ab+\log^2_ba\right)=\log_ab\)
Rút gọn biểu thức sau :
\(R=\log_22x^2+\left(\log_2x\right).x^{\log_x\left(\log_2x+1\right)}+\frac{1}{2}\log^2_4x^4\)
Câu trả lời của bạn
\(R=\log_22x^2+\left(\log_2x\right)x^{\log_x\left(\log_2x+1\right)}+\frac{1}{2}\log^2_4x^4\)
\(=1+2\log_2x+\left(\log_2x\right)\left(\log_2x+1\right)+2\log^2_2x\)
\(=3\log^2_2x+3\log_2x+1\)
Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) xác định bởi công thức sau \(u_n=\frac{1}{\log_n2010};n=2,3,4....\)
Đặt \(a=u_{11}+u_{12}+u_{13}+u_{14};b=u_{63}+u_{64}+u_{65}+u_{66}+u_{67}\)
Tính \(M=b-a\)
Câu trả lời của bạn
Dãy số đã cho có thể viết lại là :
\(u_n=\log_{2010}n;n=2,3,4.....\)
Do đó \(a=u_{11}+u_{12}+u_{13}+u_{14}+u_{24}\)
\(=\log_{2010}11+\log_{2010}12+\log_{2010}13+\log_{2010}14+\log_{2010}24\)
\(=\log_{2010}\left(11.12.13.14.24\right)\)
và \(b=u_{63}+u_{64}+u_{65}+u_{66}+u_{67}=\log_{2010}\left(63.64.65.66.67\right)\)
Từ đó suy ra :
\(M=b-a=\log_{2010}\left(63.64.65.66.67\right)-\log_{2010}\left(11.12.13.14.24\right)\)
\(=\log_{2010}\frac{63.64.65}{11.12.13}\)
\(=\log_{2010}\frac{2^7.3^3.5.7.11.13.67}{2^6.3^2.7.11.13}=\log_{2010}\left(2.3.5.67\right)=\log_{2010}2010=1\)
Tính \(\log_{\sqrt[3]{7}}\frac{121}{8}\) theo \(a=\log_{49}11\) và \(b=\log_27\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(a=\frac{1}{2}\log_711;b=\log_27\)
Mặt khác : \(\log_{\sqrt[3]{7}}\frac{121}{8}=3\log_7\frac{11^2}{2^3}=3\left(2\log_711-3\log_72\right)=6\log_711-\frac{9}{\log_27}=12a-\frac{9}{b}\)
Vậy \(\log_{\sqrt[3]{7}}\frac{121}{8}=12a-\frac{9}{b}\)
Tính \(S=lg\tan1^0+lg\tan2^0+lg\tan3^0+...+lg\tan89^0\)
Câu trả lời của bạn
Nhận xét : \(lg\tan1^0+lg\tan89^0=lg\left(\tan1^0.\tan89^0\right)=lg1=0\)
\(lg\tan2^0+lg\tan88^0=lg\left(\tan1^0.\tan88^0\right)=lg1=0\)
...................................................................................
....................................................................................
Và \(lg\tan45^0=lg1=0\)
Suy ra \(S=lg\tan1^0+lg\tan2^0+lg\tan3^0+......+lg\tan89^0\)
\(=\left(lg\tan1^0+lg\tan89^0\right)+\left(lg\tan2^0+lg\tan88^0\right)+....+lg\tan45^0\)
Vậy \(S=lg\tan1^0+lg\tan2^0+lg\tan3^0+...+lg\tan89^0=0\)
Cho x, y, z, a là các số thực dương thỏa mãn dãy đẳng thức sau :
\(\frac{x\left(y+z-x\right)}{\log x}=\frac{y\left(z+x-y\right)}{\log y}=\frac{z\left(y+x-z\right)}{\log z}\)
Chứng minh rằng \(x^y.y^x=y^z.z^y=z^x.x^z\)
Câu trả lời của bạn
Nếu một trong các số \(x+y-z;y+z-x;z+x-y\) bằng 0 thì cả 3 số đều bằng 0 và dẫn đến \(x=y=z=0\), mâu thuẫn
Từ giả thiết ta có : \(\begin{cases}x\log y\left(y+z-x\right)=y\log x\left(z+x-y\right)\\y\log z\left(z+x-y\right)=z\log y\left(x+y-z\right)\\z\log x\left(x+y-z\right)=x\log z\left(y+z-x\right)\end{cases}\)
Xét đẳng thức thứ nhất ta có :
\(x\log y\left(y+z-x\right)=y\log x\left(z+x-y\right)\Leftrightarrow x\log y=y\log x.\frac{z+x-y}{y+z-x}\) \(\Leftrightarrow x\log y+y\log x=y\log x\left(\frac{z+x-y}{y+z-x}+1\right)\Leftrightarrow x\log y+z\log x=y\log x\frac{2z}{y+z-x}\)
Biến đổi tương tự với đẳng thức thứ hai ta có :
\(y\log z+z\log y=z\log y\frac{2z}{z+z-y}\)
Ta thấy rằng : \(x^y.y^x=y^z.z^y\Leftrightarrow x\log y+y\log x=y\log z+z\log y\)
Do đó ta cần có :
\(y\log x\frac{2z}{y+z-x}=z\log y\frac{2z}{z+x-y}\Leftrightarrow y\log x\left(z+x-y\right)=x\log y\left(y+z-x\right)\), đúng
Do đó ta được : \(x^yy^x=y^z.z^y\)
Chứng minh tương tự ta có : \(y^zz^y=z^x.x^z\)
=> Điều phải chứng minh
Cho x, y, z là các số thực dương đôi một khác nhau và khác 1 thỏa mãn
\(\log_ax=1+\log_ax.\log_az;\log_ay=1+\log_ay.\log_ax\)
Tính giá trị biểu thức sau :
\(A=\log_{\frac{a}{x}}a.\log_{\frac{a}{y}}a.\log_{\frac{a}{z}}a\log_xa.\log_ya.\log_za\)
Câu trả lời của bạn
Từ giả thiết ta thấy tất cả các biểu thức đều xác định :
Ta có : \(\log_ax=1+\log_ax.\log_az\Leftrightarrow\log_ax=\frac{1}{1-\log_az}=\frac{1}{1-\log_a\frac{a}{z}}=\log_{\frac{a}{z}}z\)
Do đó \(\log_xa.\log_{\frac{a}{z}}z=1\)
Tương tự \(\log_ya.\log_{\frac{a}{x}}x=1\)
Hơn nữa, thay \(\log_ax=\frac{1}{1-\log_az}\) vào \(\log_ay=1+\log_ay.\log_ax\), ta được :
\(\log_ay=1+\frac{\log_ay}{1-\log_az}\Leftrightarrow1-\log_az=\frac{\log_ay}{\log_ay-1}\)
\(\Leftrightarrow\log_za=1+\log_ay.\log_az\)
Tương tự như trên ta cũng có :
\(\log_za.\log_{\frac{a}{y}}y=1\)
Từ đó suy ra :
\(A=\left(\log_{\frac{a}{x}}a.\log_ya\right)\left(\log_{\frac{a}{y}}a.\log_za\right)\left(\log_{\frac{a}{z}}a.\log_xa\right)=1\)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \(a^{\log_37}=27;b^{\log_711}=49;c^{\log_{11}25}=\sqrt{11}\)
Tính : \(a^{\left(\log_37\right)^2}+b^{\left(\log_711\right)^2}+c^{\left(\log_{11}25\right)^2}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có : \(\left(a^{\log_37}\right)^{\log_37}+\left(b^{\log_711}\right)^{\log_711}+\left(c^{\log_{11}25}\right)^{\log_{11}25}=27^{^{\log_37}}+49^{^{\log_711}}+\left(\sqrt{11}\right)^{^{\log_{11}25}}\)
\(=7^3+11^2+25^{\frac{1}{2}}=469\)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 1 < a < b < c. Chứng minh rằng :
\(\log_a\left(\log_ab\right)+\log_b\left(\log_bc\right)+\log_c\left(\log_ca\right)>0\)
Câu trả lời của bạn
Ta thấy rằng do a < b nên \(\log_ab>1\)
Khi đó nếu xét cùng cơ số là b thì : \(\log_a\left(\log_ab\right)>\log_b\left(\log_ab\right)>0\)
Ta cũng có \(\log_ca< 1\) do a < c, suy ra \(0>\log_c\left(\log_ca\right)>\log_b\left(\log_ca\right)\)
Từ đó suy ra :
\(\log_a\left(\log_ab\right)+\log_b\left(\log_bc\right)+\log_c\left(\log_ca\right)>\log_b\left(\log_ab.\log_bc.\log_ca\right)=0\)
Chứng minh rằng nếu \(x,y>0\) và \(x^2+4y^2=12xy\) thì :
\(lg\left(x+2y\right)-2lg2=\frac{1}{2}\left(lgx+lgy\right)\)
Câu trả lời của bạn
Theo giả thiết ta có : \(x^2+4y^2=12xy\Leftrightarrow\left(x+2y\right)^2=16xy\)
Do \(x,y>0\Rightarrow x+2y=4\sqrt{xy}\)
Khi đó ta có :
\(lg\left(x+2y\right)=lg4+\frac{1}{2}lgxy\Leftrightarrow lg\left(x+2y\right)-2lg2=\frac{1}{2}\left(lgx+lgy\right)\)
Vậy với \(x,y>0\) và \(x^2+4y^2=12xy\) thì \(lg\left(x+2y\right)-2lg2=\frac{1}{2}\left(lgx+lgy\right)\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *