Nội dung bài hạc sẽ giúp các em nắm được định nghĩa, các qui tắc tính lôgarit và công thức đổi cơ số. Thông qua các ví dụ minh họa các em sẽ biết vận dụng lôgarit để giải toán.
Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) với \(a\ne1\). Số \(\alpha\) thỏa mãn \(a^{\alpha}=b\) được gọi là lôgarit có số \(a\) của \(b\), kí hiệu \(\log_ab=\alpha\).
Vậy: \(\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a \ne 1,b > 0\\ {a^\alpha } = b \end{array} \right.\)
Ví dụ:
Cho số thực \(a\) thỏa \(0< a\neq 1\), ta có các tính chất sau:
Cho số thực \(a\) thỏa \(0< a\neq 1\), ta có các tính chất sau:
Lấy \(0 < b \ne 1\), chọn \(c=b\) ta có: \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)
Lôgarit cơ số 10 của số \(x>0\) được gọi là lôgarit thập phân của \(x\), kí hiệu là \(\log x\) hoặc \(\lg x\).
Lôgarit cơ số \(e\) của số \(a>0\) được gọi là lôgarit tự nhiên (hay lôgarit Nê-pe) của số a, kí hiệu \(\ln a.\)
Tính giá trị các biểu thức sau:
a) \(A = {\log _9}15 + {\log _9}18 - {\log _9}10\)
b) \(B = {\log _{36}}2 - \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{6}}}3\)
c) \(C = {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_3}4.{{\log }_2}3} \right)\)
a) \(A = {\log _9}15 + {\log _9}18 - {\log _9}10 = {\log _9}\frac{{15.18}}{{10}} = {\log _9}{3^3} = \frac{1}{2}{\log _3}{3^3} = \frac{3}{2}\)
b) \(B = {\log _{36}}2 - \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{6}}}3 = \frac{1}{2}{\log _6}2 + \frac{1}{2}{\log _6}3 = \frac{1}{2}{\log _6}2.3 = \frac{1}{2}\)
c) \(C = {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_3}4.{{\log }_2}3} \right) = - {\log _4}\left( {{{\log }_2}3.{{\log }_3}4} \right)\)
\(= - {\log _4}\left( {{{\log }_2}4} \right) = - \frac{1}{2}{\log _2}2 = - \frac{1}{2}\)
Tính các giá trị biểu thức sau (Giả sử các biểu thức đều xác định):
a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a}\)
b) \(B={\log _{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}}\)
a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a} = {\log _a}\left( {{a^{3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5}}}} \right) = 3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{{37}}{{10}}\)
b) \(B=lo{g_{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}} = - {\log _a}\left( {\frac{{{a^{1 + \frac{3}{5} + \frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}}}}} \right) = - \left( {\frac{{34}}{{15}} - \frac{3}{4}} \right) = - \frac{{91}}{{60}}\)
a) Tính \(A= {\log _3}135\) biết \({\log _2}5 = a;{\log _2}3 = b\)
b) Tính \(B={\log _{49}}32\) biết \({\log _2}14 = a\)
a) \(A = {\log _3}135 = {\log _3}{5.3^3} = {\log _3}5 + 3 = \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} + 3 = \frac{a}{b} + 3 = \frac{{a + 3b}}{b}\)
b) Ta có: \({\log _2}14 = a \Leftrightarrow 1 + {\log _2}7 = a \Rightarrow {\log _2}7 = a - 1\)
Vậy: \({\log _{49}}32 = \frac{{{{\log }_2}{2^5}}}{{{{\log }_2}{7^2}}} = \frac{5}{{2{{\log }_2}7}} = \frac{5}{{2\left( {a - 1} \right)}}\)
Không dùng máy tính, hãy so sánh:
a) \({\log _{0,4}}\sqrt 2 \; \vee \;{\log _{0,2}}0,34\)
b) \({\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4}\; \vee \;{\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5}\)
c) \({2^{{{\log }_5}3}}\; \vee \;{3^{{{\log }_5}\frac{1}{2}}}\)
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt 2 > 1 \Rightarrow {\log _{0,4}}\sqrt 2 < {\log _{0,4}}1 = 0\\ 0,3 < 1 \Rightarrow {\log _{0,2}}0,3 > {\log _{0,2}}1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _{0,2}}0,3 > {\log _{0,4}}\sqrt 2\)
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{5}{3} > 1;0 < \frac{3}{4} < 1 \Rightarrow {\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4} < {\log _{\frac{5}{3}}}1 = 0\\ 0 < \frac{3}{4} < 1;0 < \frac{2}{5} < 1 \Rightarrow {\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5} > {\log _{\frac{3}{4}}}1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5} > {\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4}\)
c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {\log _5}3 > {\log _5}1 \Rightarrow {2^{{{\log }_5}3}} > {2^{{{\log }_5}1}} = {2^0} = 1\\ {\log _5}\frac{1}{2} < {\log _5}1 \Rightarrow {3^{{{\log }_5}\frac{1}{2}}} < {3^{{{\log }_5}1}} = {3^0} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _5}3 > {\log _5}\frac{1}{2}\)
Nội dung bài hạc sẽ giúp các em nắm được định nghĩa, các qui tắc tính lôgarit và công thức đổi cơ số. Thông qua các ví dụ minh họa các em sẽ biết vận dụng lôgarit để giải toán.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Rút gọn biểu thức
\(A = {\log _a}\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.a.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[3]{a}}}\) với \(a > 0;\,\,a \ne 1\).
Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _a}a\sqrt[3]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}\) với \(0 < a \ne 1.\)
Đặt \(a = {\log _2}3,b = {\log _5}3\). Hãy biểu diễn \({\log _6}45\) theo a và b.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 68 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 68 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 68 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 68 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 68 SGK Giải tích 12
Bài tập 2.15 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.16 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.17 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.18 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.19 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.20 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.21 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.22 trang 110 SBT Toán 12
Bài tập 2.23 trang 110 SBT Toán 12
Bài tập 2.24 trang 110 SBT Toán 12
Bài tập 2.25 trang 110 SBT Toán 12
Bài tập 2.26 trang 110 SBT Toán 12
Bài tập 23 trang 89 SGK Toán 12 NC
Bài tập 24 trang 89 SGK Toán 12 NC
Bài tập 25 trang 89 SGK Toán 12 NC
Bài tập 26 trang 89 SGK Toán 12 NC
Bài tập 27 trang 90 SGK Toán 12 NC
Bài tập 28 trang 90 SGK Toán 12 NC
Bài tập 29 trang 90 SGK Toán 12 NC
Bài tập 30 trang 90 SGK Toán 12 NC
Bài tập 31 trang 90 SGK Toán 12 NC
Bài tập 32 trang 92 SGK Toán 12 NC
Bài tập 33 trang 92 SGK Toán 12 NC
Bài tập 34 trang 92 SGK Toán 12 NC
Bài tập 35 trang 92 SGK Toán 12 NC
Bài tập 36 trang 93 SGK Toán 12 NC
Bài tập 37 trang 93 SGK Toán 12 NC
Bài tập 38 trang 93 SGK Toán 12 NC
Bài tập 39 trang 93 SGK Toán 12 NC
Bài tập 40 trang 93 SGK Toán 12 NC
Bài tập 41 trang 93 SGK Toán 12 NC
Bài tập 42 trang 97 SGK Toán 12 NC
Bài tập 43 trang 97 SGK Toán 12 NC
Bài tập 44 trang 97 SGK Toán 12 NC
Bài tập 45 trang 97 SGK Toán 12 NC
Bài tập 46 trang 97 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Rút gọn biểu thức
\(A = {\log _a}\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.a.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[3]{a}}}\) với \(a > 0;\,\,a \ne 1\).
Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _a}a\sqrt[3]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}\) với \(0 < a \ne 1.\)
Đặt \(a = {\log _2}3,b = {\log _5}3\). Hãy biểu diễn \({\log _6}45\) theo a và b.
Cho \({\log _{12}}8 = a\). Biểu diễn \({\log _2}3\) theo a.
Cho \(a > 0;b > 0\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 7ab\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đặt a = log23, b = log35. Hãy tính biểu thức P = log660 theo a và b
Rút gọn biểu thức \(P = \log \frac{a}{b} + \log \frac{c}{d} + \log \frac{b}{c} - \log \frac{{ay}}{{dx}}\)
10log7 bằng:
Tính giá trị của biểu thức log3100 - log318 - log350
log125 bằng
Trong mỗi mệnh đề sau, hãy tìm điều kiện của a để có mệnh đề đúng:
a) \({\log _a}x < {\log _a}y \Leftrightarrow 0 < x < y\)
b) \({\log _a}x < {\log _a}y \Leftrightarrow x > y > 0\)
Hãy tìm lôgarit của mỗi số sau theo cơ số 3:
\(3;81;1;\frac{1}{9};\sqrt[3]{3};\frac{1}{{3\sqrt 3 }}\)
Tính:
\({\log _{\frac{1}{5}}}125;{\log _{0,5}}\frac{1}{2};{\log _{\frac{1}{4}}}\frac{1}{{64}};{\log _{\frac{1}{6}}}36\)
Tính \({3^{{{\log }_3}18}};{3^{5{{\log }_3}2}};{\left( {\frac{1}{8}} \right)^{{{\log }_2}5}};{\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}}\)
Tìm x biết
a) \({\log _5}x = 4\)
b) \(lo{g_2}(5 - x) = 3\)
c) \(lo{g_3}(x + 2) = 3\)
d) \(lo{g_{\frac{1}{{16}}}}(0,5 + x) = - 1\)
Biểu thị các lôgarit sau đây theo lôgarit thập phân (rồi cho kết quả bằng máy tính, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):
\({\log _7}25;{\log _5}8;{\log _9}0,75;{\log _{0,75}}1,13.\)
Hãy tính
a) \({\log _8}12{\rm{ }} - {\rm{ }}{\log _8}15{\rm{ }} + {\rm{ }}{\log _8}20\)
b) \(\frac{1}{2}{\log _7}36 - {\log _7}14 - 3{\log _7}\sqrt[3]{3}\)
c) \(\frac{{{{\log }_5}36 - {{\log }_5}12}}{{{{\log }_5}9}}\)
d) \({36^{{{\log }_6}5}} + {10^{1 - \log 2}} - {8^{{{\log }_2}3}}.\)
Hãy so sánh:
a) \({\log _3}4\) và \({\log _4}\frac{1}{3}\)
b) \({3^{{{\log }_6}1,1}}\) và \(7^{{{\log }_6}0,99}\)
Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh:
a) \(\log 2 + \log 3\) với \({\log _5}\)
b) \(\log 12 - \log 5\) với \({\log _7}\)
c) \(3\log 2 + \log 3\) với \(2{\log _5}\)
d) \(1 + 2\log 3\) với \({\log _27}\)
Trong mỗi trường hợp sau, hãy tính \({\log _a}x\) biết \({\log _a}b = 3,{\log _a}c = - 2\)
a) \(x = {a^3}{b^2}\sqrt c \)
b) \(x = \frac{{{a^4}\sqrt[3]{b}}}{{{c^3}}}\)
Trong mỗi trường hợp sau, hãy tìm x:
a) \({\log _3}x = 4{\log _3}a + 7{\log _3}b\)
b) \({\log _5}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\log _5}a{\rm{ }} - {\rm{ }}3{\log _5}b\)
Hãy biểu diễn các lôgarit sau qua α và β
a) \({\log _{\sqrt 3 }}50\) nếu \({\log _3}15 = \alpha ,{\log _3}10 = \beta \)
b) \({\log _4}1250 = \alpha \) nếu \({\log _2}5 = \alpha \)
Đơn giản các biểu thức:
a) \(\log \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\log 4 + 4\log \sqrt 2 \)
b) \(\log \frac{4}{9} + \frac{1}{2}\log 36 + \frac{3}{2}\log \frac{9}{2}\)
c) \(\log 72 - 2\log \frac{{27}}{{256}} + \log \sqrt {108} \)
d) \(\log \frac{1}{8} - \log 0,375 + 2\log \sqrt {0,5625} \)
Tìm x biết
a) \({\log _x}27 = 3\)
b) \({\log _x}\frac{1}{7} = - 1\)
c) \({\log _x}\sqrt 5 = - 4\)
Số nguyên tố dạng Mp = 2p−1, trong đó p là một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mec-sen (M.Mersenne, 1588-1648, người Pháp).
Ơ-le phát hiện M31 năm 1750.
Luy-ca (Lucas Edouard, 1842-1891, người Pháp). Phát hiện M127 năm 1876.
M1398269 được phát hiện năm 1996.
Hỏi rằng nếu viết ba số đó trong hệ thập phân thì mỗi số có bao nhiêu chữ số?
(Dễ thấy rằng chữ số của 2p−1 bằng chữ số của 2p và để tính chữ số của M127 có thể lấy log2 ≈ 0,30 và để tính chữ số của M1398269 có thể lấy log2 ≈ 0,30103 (xem ví dụ 8)
Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một quý với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi)
Tìm sai lầm trong lập luận sau:
Ta có: \(\ln {e^2} = 2\ln e = 2.1 = 2\)
Và \(\ln \left( {2e} \right) = \ln e +\ln e = 1 + 1 = 2\)
Từ đó suy ra \({e^2} = 2e\), mà e ≠ 0 nên e = 2!
Biểu diễn các số sau đây theo \(a = \ln 2,b = \ln 5\):
\(\begin{array}{l}
\ln 500;\ln \frac{{16}}{{25}};\ln 6,25;\\
\ln \frac{1}{2} + \ln \frac{2}{3} + ... + \ln \frac{{98}}{{99}} + \ln \frac{{99}}{{100}}
\end{array}\)
Chứng minh:
\(\frac{7}{{16}}\ln (3 + 2\sqrt 2 ) - 4\ln (\sqrt 2 + 1) - \frac{{25}}{8}\ln (\sqrt 2 - 1) = 0\)
Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S = A.ert, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là ti lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn? Sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle\frac{1}{2}{\log _7}36 - {\log _7}14 - 3{\log _7}\sqrt[3]{{21}}\)
\( = {\log _7}{36^{\frac{1}{2}}} - {\log _7}14 - {\log _7}\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{21}}} \right)}^3}} \right]\)
\(\displaystyle ={\log _7}\sqrt {36} - {\log _7}14 - {\log _7}21\)\(\displaystyle = {\log _7}6 - {\log _7}14 - {\log _7}21\) \(\displaystyle = {\log _7}\left( {\frac{6}{{14}}:21} \right)\)
\(\displaystyle = {\log _7}\frac{1}{{49}} = {\log _7}\left( {{7^{ - 2}}} \right) = - 2\)
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle\frac{{{{\log }_2}4 + {{\log }_2}\sqrt {10} }}{{{{\log }_2}20 + 3{{\log }_2}2}}\)\(\displaystyle = \frac{{{{\log }_2}{2^2} + {{\log }_2}\left( {{2^{\frac{1}{2}}}{{.5}^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {{2^2}.5} \right) + 3}}\)
\( = \frac{{2{{{\log }_2}2} + {{\log }_2}{2^{\frac{1}{2}}} + {{\log }_2}{5^{\frac{1}{2}}}}}{{{{\log }_2}{2^2} + {{\log }_2}5 + 3}}\)
\(\displaystyle = \frac{{2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\log }_2}5}}{{2 + 3 + {{\log }_2}5}}\) \(\displaystyle = \frac{{\frac{5}{2} + \frac{1}{2}{{\log }_2}5}}{{5 + {{\log }_2}5}} = \frac{1}{2}\)
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle\frac{{{{\log }_2}24 - \frac{1}{2}{{\log }_2}72}}{{{{\log }_3}18 - \frac{1}{3}{{\log }_3}72}}\)
=\(\displaystyle\frac{{{{\log }_2}24 - {{\log }_2}\sqrt {72} }}{{{{\log }_3}18 - {{\log }_3}\sqrt[3]{{72}}}}\)\(\displaystyle = \frac{{{{\log }_2}\frac{{24}}{{\sqrt {72} }}}}{{{{\log }_3}\frac{{18}}{{\sqrt[3]{{72}}}}}} = \frac{{{{\log }_2}\frac{{24}}{{6\sqrt 2 }}}}{{{{\log }_3}\frac{9}{{\sqrt[3]{9}}}}}\) \(\displaystyle = \frac{{{{\log }_2}\left( {2\sqrt 2 } \right)}}{{{{\log }_3}{{\left( {\sqrt[3]{9}} \right)}^2}}} = \frac{{{{\log }_2}{2^{\frac{3}{2}}}}}{{{{\log }_3}{3^{\frac{4}{3}}}}}\) \(\displaystyle = \frac{3}{2}:\frac{4}{3} = \frac{9}{8}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\displaystyle a = {\log _3}15 = {\log _3}(3.5)\)\(\displaystyle = {\log _3}3 + {\log _3}5 = 1 + {\log _3}5\) \(\displaystyle \Rightarrow {\log _3}5 = a - 1\)
Do đó:
\(\displaystyle{\log _{\sqrt 3 }}50 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}50\)\(\displaystyle = 2{\log _3}50 \) \( = 2{\log _3}\left( {5.10} \right)\) \(= 2\left( {{{\log }_3}5 + {{\log }_3}10} \right)\)\(\displaystyle = 2{\log _3}5 + 2{\log _3}10\)\(\displaystyle = 2\left( {a - 1} \right) + 2b = 2a + 2b - 2\).
Câu trả lời của bạn
Với \(\displaystyle x,a,b > 0\) thì \(\displaystyle{\log _{\frac{1}{2}}}x = \frac{2}{3}{\log _{\frac{1}{2}}}a - \frac{1}{5}{\log _{\frac{1}{2}}}b\)\(\displaystyle \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}x = {\log _{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{2}{3}}} - {\log _{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{5}}}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}x = {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{b^{\frac{1}{5}}}}}\) \(\displaystyle \Leftrightarrow x = \frac{{{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{b^{\frac{1}{5}}}}}\).
Câu trả lời của bạn
Với \(\displaystyle x,a,b > 0\) thì \(\displaystyle{\log _5}x = 2{\log _5}a - 3{\log _5}b\) \(\displaystyle \Leftrightarrow {\log _5}x = {\log _5}{a^2} - {\log _5}{b^3}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {\log _5}x = {\log _5}\frac{{{a^2}}}{{{b^3}}}\)\(\displaystyle \Leftrightarrow x = \frac{{{a^2}}}{{{b^3}}}\).
Câu trả lời của bạn
Với \(\displaystyle a > 0,a \ne 1\) ta có: \(\displaystyle {\log _{{a^2}}}a = \frac{1}{2}{\log _a}a = \frac{1}{2}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle{\log _{140}}63 = {\log _{140}}({3^2}.7)\) \( = {\log _{140}}{3^2} + {\log _{140}}7\) \(\displaystyle = 2{\log _{140}}3 + {\log _{140}}7\)
\(\displaystyle = \frac{2}{{{{\log }_3}140}} + \frac{1}{{{{\log }_7}140}}\)\(\displaystyle = \frac{2}{{{{\log }_3}({2^2}.5.7)}} + \frac{1}{{{{\log }_7}({2^2}.5.7)}}\)
\( = \frac{2}{{{{\log }_3}{2^2} + {{\log }_3}5 + {{\log }_3}7}} \) \(+ \frac{1}{{{{\log }_7}{2^2} + {{\log }_7}5 + {{\log }_7}7}}\)
\(\displaystyle = \frac{2}{{2{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5 + {{\log }_3}7}}\)\(\displaystyle + \frac{1}{{2{{\log }_7}2 + {{\log }_7}5 + 1}}\)
Từ đề bài suy ra:
\(\displaystyle{\log _3}2 = \frac{1}{{{{\log }_2}3}} = \frac{1}{a}\)
\(\displaystyle{\log _7}5 = {\log _7}2.{\log _2}3.{\log _3}5 = cab\)
\(\displaystyle{\log _3}7 = \frac{1}{{{{\log }_7}3}} = \frac{1}{{{{\log }_7}2.{{\log }_2}3}} = \frac{1}{{ca}}\)
Vậy \(\displaystyle{\log _{140}}63\)\(\displaystyle = \frac{2}{{\frac{2}{a} + b + \frac{1}{{ca}}}} + \frac{1}{{2c + cab + 1}}\)
\(\begin{array}{l}
= \frac{2}{{\frac{{2c + abc + 1}}{{ca}}}} + \frac{1}{{2c + abc + 1}}\\
= \frac{{2ca}}{{2c + abc + 1}} + \frac{1}{{2c + abc + 1}}
\end{array}\)
\(\displaystyle = \frac{{2ac + 1}}{{abc + 2c + 1}}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle {9^{{{\log }_3}2}} = {\left( {{3^2}} \right)^{{{\log }_3}2}}\)\(\displaystyle = {\left( {{3^{{{\log }_3}2}}} \right)^2} = {2^2} = 4\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle \ln \left( {\frac{1}{e}} \right) = \ln 1 - \ln e = 0 - 1 = - 1\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle {4^{{{\log }_{\sqrt 2 }}3}} = {\left( {{2^2}} \right)^{{{\log }_{{2^{\frac{1}{2}}}}}3}} = {\left( {{2^2}} \right)^{2{{\log }_2}3}}\) \(\displaystyle = {2^{4{{\log }_2}3}} = {\left( {{2^{{{\log }_2}3}}} \right)^4} = {3^4} = 81\).
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle\frac{1}{2}{\log _7}36 - {\log _7}14 - 3{\log _7}\sqrt[3]{{21}}\)
\( = {\log _7}{36^{\frac{1}{2}}} - {\log _7}14 - {\log _7}\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{21}}} \right)}^3}} \right]\)
\(\displaystyle ={\log _7}\sqrt {36} - {\log _7}14 - {\log _7}21\)\(\displaystyle = {\log _7}6 - {\log _7}14 - {\log _7}21\) \(\displaystyle = {\log _7}\left( {\frac{6}{{14}}:21} \right)\)
\(\displaystyle = {\log _7}\frac{1}{{49}} = {\log _7}\left( {{7^{ - 2}}} \right) = - 2\)
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle\frac{{{{\log }_2}24 - \frac{1}{2}{{\log }_2}72}}{{{{\log }_3}18 - \frac{1}{3}{{\log }_3}72}}\)
=\(\displaystyle\frac{{{{\log }_2}24 - {{\log }_2}\sqrt {72} }}{{{{\log }_3}18 - {{\log }_3}\sqrt[3]{{72}}}}\)\(\displaystyle = \frac{{{{\log }_2}\frac{{24}}{{\sqrt {72} }}}}{{{{\log }_3}\frac{{18}}{{\sqrt[3]{{72}}}}}} = \frac{{{{\log }_2}\frac{{24}}{{6\sqrt 2 }}}}{{{{\log }_3}\frac{9}{{\sqrt[3]{9}}}}}\) \(\displaystyle = \frac{{{{\log }_2}\left( {2\sqrt 2 } \right)}}{{{{\log }_3}{{\left( {\sqrt[3]{9}} \right)}^2}}} = \frac{{{{\log }_2}{2^{\frac{3}{2}}}}}{{{{\log }_3}{3^{\frac{4}{3}}}}}\) \(\displaystyle = \frac{3}{2}:\frac{4}{3} = \frac{9}{8}\)
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle\frac{{{{\log }_2}4 + {{\log }_2}\sqrt {10} }}{{{{\log }_2}20 + 3{{\log }_2}2}}\)\(\displaystyle = \frac{{{{\log }_2}{2^2} + {{\log }_2}\left( {{2^{\frac{1}{2}}}{{.5}^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {{2^2}.5} \right) + 3}}\)
\( = \frac{{2{{{\log }_2}2} + {{\log }_2}{2^{\frac{1}{2}}} + {{\log }_2}{5^{\frac{1}{2}}}}}{{{{\log }_2}{2^2} + {{\log }_2}5 + 3}}\)
\(\displaystyle = \frac{{2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\log }_2}5}}{{2 + 3 + {{\log }_2}5}}\) \(\displaystyle = \frac{{\frac{5}{2} + \frac{1}{2}{{\log }_2}5}}{{5 + {{\log }_2}5}} = \frac{1}{2}\)
Câu trả lời của bạn
Với \(\displaystyle x,a,b > 0\) thì \(\displaystyle{\log _{\frac{1}{2}}}x = \frac{2}{3}{\log _{\frac{1}{2}}}a - \frac{1}{5}{\log _{\frac{1}{2}}}b\)\(\displaystyle \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}x = {\log _{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{2}{3}}} - {\log _{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{5}}}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}x = {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{b^{\frac{1}{5}}}}}\) \(\displaystyle \Leftrightarrow x = \frac{{{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{b^{\frac{1}{5}}}}}\).
Câu trả lời của bạn
Với \(\displaystyle x,a,b > 0\) thì \(\displaystyle{\log _5}x = 2{\log _5}a - 3{\log _5}b\) \(\displaystyle \Leftrightarrow {\log _5}x = {\log _5}{a^2} - {\log _5}{b^3}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {\log _5}x = {\log _5}\frac{{{a^2}}}{{{b^3}}}\)\(\displaystyle \Leftrightarrow x = \frac{{{a^2}}}{{{b^3}}}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle{\log _{140}}63 = {\log _{140}}({3^2}.7)\) \( = {\log _{140}}{3^2} + {\log _{140}}7\) \(\displaystyle = 2{\log _{140}}3 + {\log _{140}}7\)
\(\displaystyle = \frac{2}{{{{\log }_3}140}} + \frac{1}{{{{\log }_7}140}}\)\(\displaystyle = \frac{2}{{{{\log }_3}({2^2}.5.7)}} + \frac{1}{{{{\log }_7}({2^2}.5.7)}}\)
\( = \frac{2}{{{{\log }_3}{2^2} + {{\log }_3}5 + {{\log }_3}7}} \) \(+ \frac{1}{{{{\log }_7}{2^2} + {{\log }_7}5 + {{\log }_7}7}}\)
\(\displaystyle = \frac{2}{{2{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5 + {{\log }_3}7}}\)\(\displaystyle + \frac{1}{{2{{\log }_7}2 + {{\log }_7}5 + 1}}\)
Từ đề bài suy ra:
\(\displaystyle{\log _3}2 = \frac{1}{{{{\log }_2}3}} = \frac{1}{a}\)
\(\displaystyle{\log _7}5 = {\log _7}2.{\log _2}3.{\log _3}5 = cab\)
\(\displaystyle{\log _3}7 = \frac{1}{{{{\log }_7}3}} = \frac{1}{{{{\log }_7}2.{{\log }_2}3}} = \frac{1}{{ca}}\)
Vậy \(\displaystyle{\log _{140}}63\)\(\displaystyle = \frac{2}{{\frac{2}{a} + b + \frac{1}{{ca}}}} + \frac{1}{{2c + cab + 1}}\)
\(\begin{array}{l}
= \frac{2}{{\frac{{2c + abc + 1}}{{ca}}}} + \frac{1}{{2c + abc + 1}}\\
= \frac{{2ca}}{{2c + abc + 1}} + \frac{1}{{2c + abc + 1}}
\end{array}\)
\(\displaystyle = \frac{{2ac + 1}}{{abc + 2c + 1}}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\displaystyle a = {\log _3}15 = {\log _3}(3.5)\)\(\displaystyle = {\log _3}3 + {\log _3}5 = 1 + {\log _3}5\) \(\displaystyle \Rightarrow {\log _3}5 = a - 1\)
Do đó:
\(\displaystyle{\log _{\sqrt 3 }}50 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}50\)\(\displaystyle = 2{\log _3}50 \) \( = 2{\log _3}\left( {5.10} \right)\) \(= 2\left( {{{\log }_3}5 + {{\log }_3}10} \right)\)\(\displaystyle = 2{\log _3}5 + 2{\log _3}10\)\(\displaystyle = 2\left( {a - 1} \right) + 2b = 2a + 2b - 2\).
Câu trả lời của bạn
Với \(\displaystyle a > 0,a \ne 1\) ta có: \(\displaystyle {\log _{{a^2}}}a = \frac{1}{2}{\log _a}a = \frac{1}{2}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle \ln \left( {\frac{1}{e}} \right) = \ln 1 - \ln e = 0 - 1 = - 1\).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *