Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền, các phương pháp ứng dụng đạo hàm để tìm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đi kèm với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành và phát triển kĩ năng giải bài tập ở dạng toán này.
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập D.
M được gọi là GTLN của \(f(x)\) trên D nếu: \(\left\{\begin{matrix} f(x)\leq M\\ \exists x_0, f(x_0)=M \end{matrix}\right.\).
m được gọi là GTNN của \(f(x)\) trên D nếu: \(\left\{\begin{matrix} m\leq f(x), \forall x\in D\\ \forall x_0\in D, f(x_0)=m \end{matrix}\right.\).
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập hợp D, ta tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.
Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x)\) liên tục trên một đoạn \([a;b].\)
Tìm các điểm \(x_i\in (a ; b)\) (i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó \(f'(x_i)=0\) hoặc \(f'(x_i)\) không xác định.
Tính \(f(x),f(b),f(x_i)\) (i = 1, 2, . . . , n).
Khi đó :
Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
a) Hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+5\).
b) Hàm số \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1},x\in(1;3].\)
Lời giải:
a) Hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+5\).
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
\(y'=3x^2-6x-9.\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
b) Xét hàm số \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1}\) xác định trên \((1;3].\)
\(y'=\frac{x^2-2x-5}{(x+1)^2}\)
\(y' = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right]\\ x = 1 - \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right] \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất \(\mathop {Min}\limits_{x \in (1;3]} y = 9\), Hàm số không có giá trị lớn nhất.
Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\).
b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\).
c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2\).
Lời giải:
a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\) xác định trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\).
\({f^/}\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 2\)
\({f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x - 2 = 0\)
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{11}}{3};f\left( 0 \right) = 1\).
Vậy: \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = \frac{{11}}{3}\); \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = 1\)
b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) xác định trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\)
\({f^/}\left( x \right) = - \frac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in\left [ -\frac{1}{2};1 \right ]\)
Ta có: \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 0;f\left( 1 \right) = - 3\)
Vậy: \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} = 0\); \(\mathop {min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} = - 3\)
c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2\).
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
Ta có: \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2 = - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 2co{\mathop{\rm s}\nolimits} x + 3\)
Đặt: \(t = {\cos ^2}x\) suy ra \(t \in \left[ { - 1;1} \right];\forall x \in \mathbb{R}\).
Xét hàm số: \(g\left( t \right) = - {t^2} - 2t + 3\) trên đoạn \([-1;1]\).
Ta có: \({g^/}\left( t \right) = - 2t - 2\)
\({g^/}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)
Tính: \(g\left( { - 1} \right) = 4;g\left( 1 \right) = 0\).
Vậy: \(\max f(x) = \mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} g(t) = 4\); \(\min f(x) = \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} g(t) = 0\).
DapAnHay giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất, trọng tâm bài học các em cần phải nắm được hai phương pháp tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Để kiểm tra xem đã nắm được bài học hay chưa, cũng như rèn luyện khả năng giải bài tập, xin mời các em làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 6\) trên \(\left[ { - 4;4} \right]\).
Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y = x\sqrt {1 - {x^2}}\) trên tập xác định. Tính M-m.
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - \sqrt 3 {\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right).\)
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 3sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 23 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 24 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 24 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 24 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 24 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.34 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.35 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.36 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.37 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.38 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.39 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.40 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.41 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.42 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 1.43 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 1.44 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 1.45 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 1.46 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 16 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 17 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 18 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 19 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 20 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 21 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 22 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 23 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 24 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 25 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 26 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 27 trang 24 SGK Toán 12 NC
Bài tập 28 trang 24 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp, các em có thể đặt câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 6\) trên \(\left[ { - 4;4} \right]\).
Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y = x\sqrt {1 - {x^2}}\) trên tập xác định. Tính M-m.
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - \sqrt 3 {\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right).\)
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \log _2^2x - 4{\log _2}x + 1\) trên đoạn [1;8].
Tìm giá trị của m để hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + m\) có giá trị nhỏ nhất trên [-1;1] bằng 0?
GTLN của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) trên khoảng (0;4) đạt được
GTLN của hàm số y=-x2+4x+7 đạt được khi x bằng:
GTLN của hàm số \(y = {\sin ^2}x - \sqrt 3 \cos x\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)
GTNN của hàm số \(y = x + 2 + \frac{1}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) \(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 35\) trên các đoạn \([-4; 4]\) và \([0;5]\).
b) \(y = x^4 - 3x^2 + 2\) trên các đoạn \([0;3]\) và \([2;5]\).
c) \(y =\frac{ (2-x)}{(1-x)}\) trên các đoạn \([2;4]\) và \([-3;-2]\).
d) \(y =\sqrt{(5-4x)}\) trên đoạn \([-1;1]\).
Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 48 m2 , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
a) \(y=\frac{4}{1+x^2}\).
b) \(y=4x^3-3x^4\).
Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = \left | x \right |\);
b) \(y = x+\frac{4}{x} ( x > 0)\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = \sqrt {25 - {x^2}} \) trên đoạn
b) \(f\left( x \right) = |{x^2} - 3x + 2|\) trên đoạn
c) \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sin x}}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\);
d) \(f\left( x \right) = 2\sin x + \sin 2x\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\).
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{x}{{4 + {x^2}}}\) trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\);
b) \(y = \frac{1}{{\cos x}}\) trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\);
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = x + \frac{9}{x}\) trên đoạn [2;4].
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
Cho số dương m. Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất.
Một chất điểm chuyển động theo quy luật
Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0).
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 5\) trên đoạn [0;3] bằng:
A. - 1
B. 1
C. 2
D. 0
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 7\) trên đoạn [-4;3] bằng:
A. - 5
B. 0
C. 7
D. - 12
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = \frac{{2x - 1}}{{x - 3}}\) trên đoạn [0;2] bằng:
A. \(\frac{1}{3}\) và 3
B. \(\frac{3}{2}\) và -1
C. 2 và -3
D. \(\frac{1}{2}\) và 5
Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất.
A. 13 và 0
B. \(\frac{{13}}{2}\) và \( - \frac{{13}}{2}\)
C. 15 và 2
D. 30 và 15
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\) trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) là:
A. 1
B. \(\frac{4}{3}\)
C. \(\frac{5}{3}\)
D. 0
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{1}{{\sin x + \cos x}}\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) là:
A. 1
B. \(2\sqrt 2 \)
C. \( - \sqrt 2 \)
D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5\) trên đoạn [-2; 3]
b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4\) trên đoạn [-4; 0]
c) \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left( {0; + \infty } \right)\)
d) \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 4\) trên đoạn [2; 4]
e) \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}}\) trên đoạn [0; 1]
f) \(f\left( x \right) = x - \frac{1}{x}\) trên đoạn (0; 2]
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: \(y=\dfrac{x}{2-x}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {x \over {2 - x}} = + \infty ;\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {x \over {2 - x}} = - \infty \) nên đường thẳng \(\displaystyle x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x \over {2 - x}} = - 1;\)\( \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x \over {2 - x}} = - 1\) nên đường thẳng \(\displaystyle y = -1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: \(y=\dfrac{-x+7}{x+1}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \dfrac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = + \infty ;\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \dfrac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - \infty\) nên \(\displaystyle x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - 1;\)\( \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - 1\) nên đường thẳng \(\displaystyle y=-1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\\
= {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= 1 - \frac{1}{2}.4{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= 1 - \frac{1}{2}{\left( {2\sin x\cos x} \right)^2}\\
= 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x
\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}2x \ge 0 \Rightarrow \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \ge 0\\
\Rightarrow 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 1 - 0 = 1
\end{array}\)
\(\Rightarrow f\left( x \right) \le 1\) với mọi \(x \in {\mathbb{R}}\)
Mà \(f\left( 0 \right) = 1\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\mathbb {R}} f\left( x \right) = 1\)
Lại có,
\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}2x \le 1 \Rightarrow \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le \frac{1}{2}\\
\Rightarrow 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \ge 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\\
\Rightarrow f\left( x \right) \ge \frac{1}{2}
\end{array}\)
với mọi \(x \in {\mathbb{R}}\)
Mà \(f\left( {{\pi \over 4}} \right) = 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2}\)
Vậy \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb {R}}} = {1 \over 2}\).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5\) trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\).
Câu trả lời của bạn
\(D = \left[ { - 2;3} \right]\)
\(f'\left( x \right) = 2x + 2\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x=- 1 \in \left[ { - 2;3} \right]\)
Ta có: \(f\left( { - 2} \right) = - 5;f\left( { - 1} \right) = - 6;\) \(f\left( 3 \right) = 10\).
Vậy: \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]} = - 6;\mathop {\max \,f\left( x \right) = 10}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]} \).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: \(f\left( x \right) = {{{x^3}} \over 3} + 2{x^2} + 3x - 4\) trên đoạn \(\left[ { - 4;0} \right]\).
Câu trả lời của bạn
\(D = \left[ { - 4;0} \right]\)
\(f'\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \in \left[ { - 4;0} \right] \hfill \cr
x = - 3 \in \left[ { - 4;0} \right] \hfill \cr} \right.\)
Ta có: \(f\left( { - 4} \right) = - {{16} \over 3};f\left( { - 1} \right) = - {{16} \over 3};\) \(f\left( { - 3} \right) = - 4;f\left( 0 \right) = - 4\)
Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]} = - {{16} \over 3};\) \(\mathop {\max \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]} = - 4\).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: \(f\left( x \right) = x + {1 \over x}\) trên đoạn \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Câu trả lời của bạn
\(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
\(f'\left( x \right) = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}}\) với mọi \(x \ne 0\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
\(x=1\in \left( {0; + \infty } \right.)\)
\(x=-1\not\in \left( {0; + \infty } \right.)\)
Vậy \(\mathop {\min \,\,f\left( x \right) = f\left( 1 \right)}\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)} = 2\).
Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 4\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\).
Câu trả lời của bạn
\(D = \left[ {2;4} \right]\)
\(f'\left( x \right) = - 2x + 2\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \notin \left[ {2;4} \right]\)
Ta có: \(f\left( 2 \right) = 4;f\left( 4 \right) = - 4\)
Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = - 4;\) \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = 4\).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: \(f\left( x \right) = {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).
Câu trả lời của bạn
\(D = \left[ {0;1} \right]\)
\(f'\left( x \right) = {{2{x^2} + 8x + 6} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr
x = - 3 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr} \right.\)
Ta có: \(f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = {{11} \over 3}\)
Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} = 2;\) \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} = {{11} \over 3}\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: \(f\left( x \right) = x - {1 \over x}\) trên đoạn \(\left( {0;2} \right]\).
Câu trả lời của bạn
\(D = \left( {0;2} \right]\)
\(f'\left( x \right) = 1 + {1 \over {{x^2}}} > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;2} \right]\)
\(f\left( 2 \right) = {3 \over 2}\)
Vậy \(\mathop {\,\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} = {3 \over 2}\) .
Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {0;2} \right]\).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: \(y = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x + 4\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y = 1 - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 4 \) \(= - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 5\)
Đặt \(t = \sin 2x, - 1 \le t \le 1\)
\(y = f\left( t \right) = - {t^2} - {1 \over 2}t + 5\)
\(f'\left( t \right) = - 2t - {1 \over 2}\)
\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - {1 \over 4} \in \left[ { - 1;1} \right]\)
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = {9 \over 2};f\left( { - {1 \over 4}} \right) = {{81} \over {16}};\) \(f\left( 1 \right) = {7 \over 2}\)
BBT:
\(\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = {7 \over 2};\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = {{81} \over {16}}\)
Vậy \(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {7 \over 2}\) đạt được khi \(\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)
\(\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {{81} \over {16}}\) đạt được khi
\(\sin 2x = - \frac{1}{4} \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k2\pi \\
2x = \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k2\pi
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{2}\arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k\pi \\
x = \frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}\arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k\pi
\end{array} \right.\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: \(y = 2{\sin ^2}x + 2\sin x - 1\).
Câu trả lời của bạn
Đặt \(t = \sin x, - 1 \le t \le 1\)
\(y = f\left( t \right) = 2{t^2} + 2t - 1\)
Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\).
Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\mathbb R\).
\(f'\left( t \right) = 4t + 2;f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - {1 \over 2}\)
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = - 1;f\left( { - {1 \over 2}} \right) = - {3 \over 2};\) \(f\left( 1 \right) = 3\)
Bảng biến thiên:
\(\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = - {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = 3\)
Vậy \(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = - {3 \over 2}\) đạt được khi
\(\sin x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.\)
\(\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = 3\) đạt được khi \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)
Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có \(n\) con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng: \(P(n)=480 – 20n\). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất.
Câu trả lời của bạn
Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có \(n\) con cá thì sau một vụ, số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng \(nP(n)=480n-20n^2\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 480x - 20{x^2}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
(Biến số \(n \in {\mathbb{N}}^*\) được thay bằng biến số \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\))
Ta có \(f'\left( x \right) = 480 - 40x\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 12\)
Bảng biến thiên:
Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), hàm số \(f\) đạt giá trị lớn nhất tại điểm \(x=12\).
Từ đó suy ra rằng trên tập \(\mathbb N^*\) các số nguyên dương, hàm số \(f\) đạt giá trị lớn nhất tại điểm \(n=12\).
Vậy muốn thu hoạch được nhều nhất sau một vụ thì trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ phải thả \(12\) con cá.
Tìm cực trị của hàm số sau: \(f\left( x \right) = {x \over {{x^2} + 1}}\).
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D = {\mathbb{R}}\)
\(f'\left( x \right) = {{{x^2} + 1 - 2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = {{1 - {x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1,f\left( 1 \right) = {1 \over 2} \hfill \cr
x = - 1,f\left( { - 1} \right) = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-1\), giá trị cực tiểu \(f\left( { - 1} \right) = - {1 \over 2}\).
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=1\), giá trị cực đại \(f\left( 1 \right) = {1 \over 2}\).
Cho một tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\). Người ta dựng một hình chữ nhật \(MNPQ\) có cạnh \(MN\) nằm trên cạnh \(BC\), hai đỉnh \(P\) và \(Q\) theo thứ tự nằm trên hai cạnh \(AC\) và \(AB\) của tam giác. Xác định vị trí của điểm \(M\) sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.
Câu trả lời của bạn
Đặt \(BM = x\left( {0 < x < {a \over 2}} \right)\)
Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\) ta có \(AH = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
\(\Delta BMQ = \Delta CNP\) \( \Rightarrow BM = NC = x\) \(\Rightarrow MN = a - 2x\)
\(QM//AH\) nên \({{QM} \over {AH}} = {{BM} \over {BH}} \) \(\Rightarrow QM = {{AH.BM} \over {BH}} = {{{{a\sqrt 3 } \over 2}.x} \over {{a \over 2}}} = x\sqrt 3 \)
Diện tích hình chữ nhật \(MNPQ\) là
\(S\left( x \right) = MN.QM = \left( {a - 2x} \right).x\sqrt 3 \) \(= \sqrt 3 \left( {ax - 2{x^2}} \right)\)
Ta tìm giá trị lớn nhất của \(S\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0;{a \over 2}} \right)\)
Ta có : \(S'\left( x \right) = \sqrt 3 \left( {a - 4x} \right)\)
\(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = {a \over 4}\)
\(S\left( {{a \over 4}} \right) = {{\sqrt 3 } \over 8}{a^2}\)
Vậy \(S\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại điểm \(x = {a \over 4}\) và giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật là: \(\mathop {\max \,\,\,S\left( x \right)}\limits_{x \in \left( {0;{a \over 2}} \right)} = S\left( {{a \over 4}} \right) = {{\sqrt 3 } \over 8}{a^2}\)
Tìm cực trị của hàm số sau: \(f\left( x \right) = {{{x^3}} \over {x + 1}}\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D = {\mathbb {R}}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
\(\eqalign{
& f'\left( x \right) = {{3{x^2}\left( {x + 1} \right) - {x^3}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\cr&= {{2{x^3} + 3{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2}\left( {2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cr
& f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {2x + 3} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr
& f\left( { - {3 \over 2}} \right) = {{27} \over 4} \cr} \)
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = - {3 \over 2}\), giá trị cực tiểu \(f\left( { - {3 \over 2}} \right) = {{27} \over 4}\).
Hàm số không có cực đại.
Tìm cực trị của hàm số sau: \(f\left( x \right) = \sqrt {5 - {x^2}} \)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D = \left[ { - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]\)
\(f'\left( x \right) = {{ - 2x} \over {2\sqrt {5 - {x^2}} }} = {{ - x} \over {\sqrt {5 - {x^2}} }}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;f\left( 0 \right) = \sqrt 5 \)
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), giá trị cực đại \(f\left( 0 \right) = \sqrt 5 \).
Hàm số không có cực tiểu.
Tìm cực trị của hàm số sau: \(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} - 1} \).
Câu trả lời của bạn
\(f\left( x \right)\) xác định khi và chỉ khi \({x^2} - 1 \ge 0\) \( \Leftrightarrow x \le - 1\) hoặc \(x \ge 1\).
TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
\(f'\left( x \right) = 1 + {x \over {\sqrt {{x^2} - 1} }} = {{\sqrt {{x^2} - 1} + x} \over {\sqrt {{x^2} - 1} }}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = - x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr
{x^2} - 1 = {x^2} \hfill \cr} \right.\) vô nghiệm
Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\) và đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\).
Hàm số không có cực trị.
Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức: \(G\left( x \right) = 0,025{x^2}\left( {30 - x} \right)\), trong đó \(x\) là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( \(x\) được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó.
Câu trả lời của bạn
\(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
\(G\left( x \right) = 0,75{x^2} - 0,025{x^3}\)
\(G'\left( x \right) = 1,5x - 0,075{x^2}\)
\(G'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 20\).
\(\eqalign{
& \mathop {\max G\left( x \right)}\limits_{x > 0} = G\left( {20} \right) = 100 \cr } \)
Vậy liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là \(20\) mg.
Khi đó, độ giảm huyết áp là \(100\).
Tìm giá trị của \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^2} + mx - 1} \over {x - 1}}\) có cực đại và cực tiểu.
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(D = {\mathbb{R}}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
\(f'\left( x \right) = {{\left( {2x + m} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + mx - 1} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \) \(= {{{x^2} - 2x + 1 - m} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 - m = 0\) (\(x\ne 1\)) (1)
Hàm số \(f\) có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\), tức là
\(\left\{ \matrix{
\Delta ' = 1-(1-m) > 0 \hfill \cr
{1^2} - 2.1 + 1 - m \ne 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
m \ne 0
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow m > 0\) .
Vậy \(m>0\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) có cực đại và cực tiểu.
Cho parabol \((P): y = x^2\) và điểm \(A (-3;0)\). Xác định điểm \(M\) thuộc parabol \((P)\) sao cho khoảng cách \(AM\) là ngắn nhất và tìm khoảng cách ngắn nhất đó.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(M\left( {x;{x^2}} \right)\)
Ta có: \(A{M^2} = {(x + 3)^2} + {x^4} = {x^4} + {x^2} + 6x + 9\)
\(AM\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(f(x) = {x^4} + {x^2} + 6x + 9\) đạt giá trị nhỏ nhất
Ta có: \(f'(x) = 4{x^3} + 2x + 6 = 2(x + 1)(2{x^2} - 2x + 3)\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1;f\left( { - 1} \right) = 5\)
\(f\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm \(x = -1\), giá trị nhỏ nhất là \(f (-1) = 5\).
\(AM\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(M\) ở vị trí \({M_0} (-1; 1)\) khi đó \(AM_0=\sqrt 5\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *