Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền, các phương pháp ứng dụng đạo hàm để tìm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đi kèm với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành và phát triển kĩ năng giải bài tập ở dạng toán này.
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập D.
M được gọi là GTLN của \(f(x)\) trên D nếu: \(\left\{\begin{matrix} f(x)\leq M\\ \exists x_0, f(x_0)=M \end{matrix}\right.\).
m được gọi là GTNN của \(f(x)\) trên D nếu: \(\left\{\begin{matrix} m\leq f(x), \forall x\in D\\ \forall x_0\in D, f(x_0)=m \end{matrix}\right.\).
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập hợp D, ta tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.
Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x)\) liên tục trên một đoạn \([a;b].\)
Tìm các điểm \(x_i\in (a ; b)\) (i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó \(f'(x_i)=0\) hoặc \(f'(x_i)\) không xác định.
Tính \(f(x),f(b),f(x_i)\) (i = 1, 2, . . . , n).
Khi đó :
Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
a) Hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+5\).
b) Hàm số \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1},x\in(1;3].\)
Lời giải:
a) Hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+5\).
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
\(y'=3x^2-6x-9.\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
b) Xét hàm số \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1}\) xác định trên \((1;3].\)
\(y'=\frac{x^2-2x-5}{(x+1)^2}\)
\(y' = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right]\\ x = 1 - \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right] \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất \(\mathop {Min}\limits_{x \in (1;3]} y = 9\), Hàm số không có giá trị lớn nhất.
Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\).
b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\).
c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2\).
Lời giải:
a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\) xác định trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\).
\({f^/}\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 2\)
\({f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x - 2 = 0\)
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{11}}{3};f\left( 0 \right) = 1\).
Vậy: \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = \frac{{11}}{3}\); \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = 1\)
b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) xác định trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\)
\({f^/}\left( x \right) = - \frac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in\left [ -\frac{1}{2};1 \right ]\)
Ta có: \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 0;f\left( 1 \right) = - 3\)
Vậy: \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} = 0\); \(\mathop {min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} = - 3\)
c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2\).
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
Ta có: \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2 = - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 2co{\mathop{\rm s}\nolimits} x + 3\)
Đặt: \(t = {\cos ^2}x\) suy ra \(t \in \left[ { - 1;1} \right];\forall x \in \mathbb{R}\).
Xét hàm số: \(g\left( t \right) = - {t^2} - 2t + 3\) trên đoạn \([-1;1]\).
Ta có: \({g^/}\left( t \right) = - 2t - 2\)
\({g^/}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)
Tính: \(g\left( { - 1} \right) = 4;g\left( 1 \right) = 0\).
Vậy: \(\max f(x) = \mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} g(t) = 4\); \(\min f(x) = \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} g(t) = 0\).
DapAnHay giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất, trọng tâm bài học các em cần phải nắm được hai phương pháp tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Để kiểm tra xem đã nắm được bài học hay chưa, cũng như rèn luyện khả năng giải bài tập, xin mời các em làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 6\) trên \(\left[ { - 4;4} \right]\).
Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y = x\sqrt {1 - {x^2}}\) trên tập xác định. Tính M-m.
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - \sqrt 3 {\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right).\)
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 3sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 23 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 24 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 24 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 24 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 24 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.34 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.35 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.36 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.37 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.38 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.39 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.40 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.41 trang 21 SBT Toán 12
Bài tập 1.42 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 1.43 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 1.44 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 1.45 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 1.46 trang 22 SBT Toán 12
Bài tập 16 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 17 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 18 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 19 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 20 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 21 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 22 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 23 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 24 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 25 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 26 trang 23 SGK Toán 12 NC
Bài tập 27 trang 24 SGK Toán 12 NC
Bài tập 28 trang 24 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp, các em có thể đặt câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 6\) trên \(\left[ { - 4;4} \right]\).
Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y = x\sqrt {1 - {x^2}}\) trên tập xác định. Tính M-m.
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - \sqrt 3 {\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right).\)
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \log _2^2x - 4{\log _2}x + 1\) trên đoạn [1;8].
Tìm giá trị của m để hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + m\) có giá trị nhỏ nhất trên [-1;1] bằng 0?
GTLN của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) trên khoảng (0;4) đạt được
GTLN của hàm số y=-x2+4x+7 đạt được khi x bằng:
GTLN của hàm số \(y = {\sin ^2}x - \sqrt 3 \cos x\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)
GTNN của hàm số \(y = x + 2 + \frac{1}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = 2sin2x + 2sinx - 1
b) y = cos22x - sinx.cosx + 4
Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.
Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng: P(n) = 480 - 20n2
Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất.
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\)
b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}}\)
c) \(f\left( x \right) = \sqrt {5 - {x^2}} \)
d) \(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} - 1} \)
Tìm giá trị của m để hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + mx - 1}}{{x - 1}}\) có cực đại và cực tiểu.
Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức: \(G\left( x \right) = 0,025{x^2}\left( {30 - x} \right)\), trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó.
Cho parabol (P): y = x2 và điểm A(-3; 0). Xác định điểm M thuộc parabol (P) sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất và tìm khoảng cách ngắn nhất đó.
Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc dòng nước là 6km/h. Nếu vận tốc bơi của con cá khi nước đứng yên là v(km/h) thì năng lượng tiêu hao của con cá trong t giờ được cho bởi công thức E(v) = cv3t, trong đó cc là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là \(f\left( t \right) = 45{t^2} - {t^3},t = 0,1,2,...,25\)
Nếu coi f là hàm số xác định trên đoạn [0; 25] thì f′(t) được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t.
a) Tính tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ 5
b) Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đó
c) Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 600
d) Xét chiều biến thiên của hàm số f trên đoạn [0; 25]
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x} \) trên đoạn [-3; -1]
b) \(f\left( x \right) = x + \sqrt {4 - {x^2}} \)
c) \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^2}x + 2\)
d) f(x) = x - sin2x trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\pi } \right]\)
Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40cm, hãy xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - 9\\
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x - 9 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \in \left[ { - 4;4} \right]\\
x = - 3 \in \left[ { - 4;4} \right]
\end{array} \right.\\
f\left( { - 4} \right) = 21,f\left( 4 \right) = 77\\
f\left( 1 \right) = - 4,f\left( { - 3} \right) = 28
\end{array}\)
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 4;4} \right]} f(x) = f(1) = - 4;\)
\(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ { - 4;4} \right]} {\rm{ }}f(x){\rm{ }} = f(4) = 77\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 4{x^3} - 16x\\
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 16x = 0\\
\Leftrightarrow 2x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \in \left[ { - 1;3} \right]\\
x = 2 \in \left[ { - 1;3} \right]\\
x = - 2 \notin \left[ { - 1;3} \right]
\end{array} \right.\\
f\left( { - 1} \right) = 9,f\left( 3 \right) = 25\\
f\left( 0 \right) = 16,f\left( 2 \right) = 0
\end{array}\)
Vậy:
\(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;3} \right]} f(x) = f(2) = 0\)
\(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;3} \right]} f(x) = f(3) = 25\)
Câu trả lời của bạn
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
Do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) hay cũng đồng biến trên \(\left[ { - 3;1} \right]\).
\( \Rightarrow \)\(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]} f(x) = f( - 3) = - 46;\)
\(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]} f(x) = f(1) = 2\)
Câu trả lời của bạn
Để khối lượng riêng \(d\) lớn nhất thì thể tích V phải nhỏ nhất.
Do đó, ta tìm T trong khoảng \({0^o}C\) và \({30^o}C\) để V nhỏ nhất.
\(\begin{array}{l}
V'\left( T \right) = - 0,06426 + 0,0170086T - 0,0002037{T^2}\\
V'\left( T \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
T = 79,5318\left( {KTM} \right)\\
T = 3,9665 \in \left( {0;10} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
Do đó V nhỏ nhất khi \(T = 3,9665{(^o}C)\). Khi đó \(d\) lớn nhất.
Câu trả lời của bạn
Gọi x, y là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là 10 cm, 0 < x < 10 và 0 < y < 10.
Diện tích tam giác là \(S = {1 \over 2}xy(c{m^2})\)
Ta có \({x^2} + {y^2} = 100\)
S đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({x^2}{y^2} = {x^2}(100 - {x^2})\) đạt giá trị lớn nhất.
Bài toán quy về: Tìm \(x \in \left( {0;10} \right)\) sao cho tại đó hàm số \(z = {x^2}(100 - {x^2}),x \in \left( {0;10} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
\(\begin{array}{l}
z' = 2x\left( {100 - {x^2}} \right) + {x^2}\left( { - 2x} \right)\\
= - 4{x^3} + 200x\\
z' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 200x = 0\\
\Leftrightarrow - 4x\left( {{x^2} - 50} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \notin \left( {0;10} \right)\\
x = 5\sqrt 2 \in \left( {0;10} \right)\\
x = - 5\sqrt 2 \notin \left( {0;10} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
Do đó hàm số đạt GTLN tại \(x = 5\sqrt 2\). Khi đó \( y = 5\sqrt 2 \).
Trong các tam giác vuông đó, tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất.
Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác đó là \(x = y = 5\sqrt 2 \) (cm).
Câu trả lời của bạn
\(f'(v) = 290,4.{{ - 0,36{v^2} + 264} \over {{{(0,36{v^2} + 13,2v + 264)}^2}}},\)\(v > 0\)
\(f'(v) = 0 \Leftrightarrow v = {{\sqrt {264} } \over {0,6}}\)
f đạt giá trị lớn nhất khi \(v = {{\sqrt {264} } \over {0,6}} \approx 27,08\) (km/h)
\(f({{\sqrt {264} } \over {0,6}}) \approx f(27,08) \approx 8,9\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(f'(x) = \dfrac{{ - x}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }} = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0 \in \left[ { - 4;4} \right]\)
Mặt khác, ta có \(f\left( { - 4} \right) = f\left( 4 \right) = 3\); \(f\left( 0 \right) = 5\).
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 4;4]} f(x) = 3;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 4;4]} f(x) = 5\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(f'\left( x \right) = - \dfrac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} = 0\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Mà \(x \in \left[ {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{{5\pi }}{6}} \right]\)nên \(x = \dfrac{\pi }{2}\).
Mà \(f\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }},f\left( {\dfrac{{5\pi }}{6}} \right) = 2\), \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 1\).
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{{5\pi }}{6}} \right]} f(x) = 1;\mathop {\max }\limits_{\left[ {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{{5\pi }}{6}} \right]} f(x) = 2\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(f'(x) = 1 - \dfrac{9}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 9}}{{{x^2}}}\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 \in \left[ {2;4} \right]\\x = - 3 \notin \left[ {2;4} \right]\end{array} \right.\)
Mà \(f\left( 2 \right) = \dfrac{{13}}{2},f\left( 3 \right) = 6,f\left( 4 \right) = \dfrac{{25}}{4}\)
Suy ra : \(\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}2;4]} f(x) = 6;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}2;4]} f(x) = \dfrac{{13}}{2}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(f'(x) = 2\cos x + 2\cos 2x\)\( = 4\cos \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{{3x}}{2}\)
\(f'(x) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \dfrac{x}{2} = 0}\\{\cos \dfrac{{3x}}{2} = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi }\\{x = \dfrac{\pi }{3}}\end{array}} \right.\) (do \(x \in \left[ {0;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right]\))
Ta có: \(f(0) = 0,f\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2},\)\(f(\pi ) = 0,f\left( {\dfrac{{3\pi }}{2}} \right) = - 2\)
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right]} f(x) = - 2;\)\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right]} f(x) = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
Câu trả lời của bạn
\(s = 6{t^2} - {t^3},t > 0\)\( \Rightarrow v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 12t - 3{t^2}\)
Ta có \(v'\left( t \right) = 12 - 6t\), \(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2\).
Hàm số \(v\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \((2; + \infty )\).
Do đó \(\max v\left( t \right) = v\left( 2 \right) = 12\left( {m/s} \right)\)
Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi \(t = 2\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = - 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in \left[ {0;3} \right]\).
Mà \(y\left( 0 \right) = -0^2+4.0-5=- 5\)
\(y\left( 2 \right) = -2^2+4.2-5= - 1\)
\(y\left( 3 \right) = -3^2+4.3-5=- 2\)
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = - 1\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - 9\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ { - 4;3} \right]\\x = - 3 \in \left[ { - 4;3} \right]\end{array} \right.\)
Mà \(f\left( { - 4} \right) = 13,f\left( { - 3} \right) = 20,\) \(f\left( 1 \right) = - 12,f\left( 3 \right) = 20\).
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4;3} \right]} f\left( x \right) = - 12\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} < 0,\) \(\forall x \in \left[ {0;2} \right]\).
Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) suy ra \(f\left( 0 \right) \ge f\left( x \right) \ge f\left( 2 \right)\) hay \(\dfrac{1}{3} \ge f\left( x \right) \ge - 3\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = \dfrac{1}{3},\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = - 3\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y = \dfrac{1}{{\sin x + \cos x}}\)\( = \dfrac{1}{{\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}\).
Có \( \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).
Do đó \( \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}} \ge \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) hay \(y \ge \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \).
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} y = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\), dấu “=” xảy ra khi \(x = \dfrac{\pi }{4}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = \dfrac{{ - 2x - 1}}{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2}\).
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm số đạt GTLN \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ; + \infty } \right)} y = \dfrac{4}{3}\) khi \(x = - \dfrac{1}{2}\).
Tìm GTNN (2x-y-1)2 + (x-2y+3)2
Câu trả lời của bạn
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{1}{x} + 2} \right)\) và nêu nhận xét về khoảng cách \(MH\) khi \(x → 0\) (H.17)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& {\lim _{x \to {0^ + }}}({1 \over x} + 2) = + \infty \cr
& {\lim _{x \to {0^ - }}}({1 \over x} + 2) = - \infty \cr} \)
Khi \(x \) dần đến \(0\) thì độ dài đoạn \(MH\) dần tiến đến \(0\).
Cho hàm số: \(y = {{2 - x} \over {x - 1}}\) (H.16) có đồ thị (C).
Nêu nhận xét về khoảng cách từ điểm M(x; y) ∈ (C) tới đường thẳng y = -1 khi |x| → +∞
Câu trả lời của bạn
Khoảng cách từ điểm M(x; y) ∈ (C) tới đường thẳng y = -1 khi |x| → +∞ dần tiến về 0.
Câu trả lời của bạn
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *