Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm thế nào là Hàm số đồng biến, nghịch biến, điều kiện để hàm số đơn điệu trên một miền. Cùng với những ví dụ minh họa các dạng toán liên quan đến Tính đơn điệu của hàm số sẽ giúp các em hình thành và phát triển kĩ năng giải bài tập ở dạng toán này.
Kí hiệu: K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên K.
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:
Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 7\)
b) \(y=x^4-2x^2-1\)
c) \(y=\frac{x+1}{x-1}\)
a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 7\)
b) \(y=x^4-2x^2-1\)
c) \(y=\frac{x+1}{x-1}\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = 2x^3 - 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\) đồng biến trong khoảng \((2; + \infty )\).
Trong phạm vi bài học DapAnHay chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về tính đơn điệu của hàm số. Đây là một dạng toán nền tảng không chỉ trong phạm vi khảo sát hàm số mà còn được ứng dụng trong việc giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức,....các em cần tìm hiểu thêm.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hàm số \(y = {x^2}(3 - x).\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 1} .\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + 3x + 4\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 9 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 10 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 10 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 10 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 10 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 8 SGK Giải tích 12 nâng cao
Bài tập 5 trang 8 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Bài tập 7 trang 8 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Bài tập 8 trang 8 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Bài tập 9 trang 9 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Bài tập 10 trang 9 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Bài tập 1.1 trang 7 SBT Toán 12
Bài tập 1.2 trang 7 SBT Toán 12
Bài tập 1.3 trang 8 SBT Toán 12
Bài tập 1.4 trang 8 SBT Toán 12
Bài tập 1.5 trang 8 SBT Toán 12
Bài tập 1.6 trang 8 SBT Toán 12
Bài tập 1.7 trang 8 SBT Toán 12
Bài tập 1.8 trang 8 SBT Toán 12
Bài tập 1.9 trang 8 SBT Toán 12
Bài tập 1.10 trang 8 SBT Toán 12
Bài tập 1.11 trang 9 SBT Toán 12
Bài tập 1.12 trang 9 SBT Toán 12
Bài tập 1.13 trang 9 SBT Toán 12
Bài tập 1.14 trang 9 SBT Toán 12
Bài tập 1.15 trang 9 SBT Toán 12
Bài tập 1.16 trang 9 SBT Toán 12
Bài tập 1 trang 7 SGK Toán 12 NC
Bài tập 2 trang 7 SGK Toán 12 NC
Bài tập 3 trang 8 SGK Toán 12 NC
Bài tập 4 trang 8 SGK Toán 12 NC
Bài tập 5 trang 8 SGK Toán 12 NC
Bài tập 6 trang 8 SGK Toán 12 NC
Bài tập 7 trang 8 SGK Toán 12 NC
Bài tập 8 trang 8 SGK Toán 12 NC
Bài tập 9 trang 9 SGK Toán 12 NC
Bài tập 10 trang 9 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hàm số \(y = {x^2}(3 - x).\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 1} .\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + 3x + 4\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} - mx - 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right).\)
Tìm tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = - {x^3} + 3{{\rm{x}}^2} - 2\) là:
Cho hàm số \(y = {x^3} - 2{{\rm{x}}^2} + x + 1\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Hàm số \(y = 2{{\rm{x}}^3} + 3{{\rm{x}}^2} + 1\) nghịch biến trên khoảng (hoặc các khoảng) nào sau đây:
Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} - 12{\rm{x}} - 1\). Mệnh đề nào đúng?
Hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x\) đồng biến trên khoảng nào?
Hàm số \(y = \sqrt {25 - {x^2}} \) nghịch biến trên khoảng:
A. (−∞;0)
B. (−5;0)
C. (0;5)
D. (5;+∞)
Hàm số \(y = \frac{x}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}\) đồng biến trên khoảng:
A. (4;+∞)
B. (−4;4)
C. (−∞;−4)
D. R
Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên
A. \(3{\sin ^2}x - {\cos ^2}x + 5 = 0\)
B. \({x^2} - 5x + 6 = 0\)
C. \({x^5} + {x^3} - 7 = 0\)
D. \(3\tan x - 5 = 0\)
Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên
A. \({x^2} - 7x + 12 = 0\)
B. \({x^3} + 5x + 6 = 0\)
C. \({x^4} - 3{x^2} + 1 = 0\)
D. \(2\sin x{\cos ^2}x - 2\sin x - {\cos ^2}x + 1 = 0\)
Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên
A. \((x - 5)({x^2} - x - 12) = 0\)
B. \(- {x^3} + {x^2} - 3x + 2 = 0\)
C. \({\sin ^2}x - 5\sin x + 4 = 0\)
D. \(\sin x - \cos x + 1 = 0\)
Tìm giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 2m{x^2} + 12x - 7\) đồng biến trên
A. \(m = 4\)
B. \(m \in (0; + \infty )\)
C. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right)\)
D. \( - 3 \le x \le 3\)
Tìm giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{ - mx - 5m + 4}}{{x + m}}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định.
A. m < 1 hoặc m > 4
B. 0 < m < 1
C. m > 4
D. 1 ≤ m ≤ 4
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
\(\begin{array}{l}
a)\,y = 2{x^3} + 3{x^2} + 1\\
b)\,y = {x^3} - 2{x^2} + x + 1\\
c)y = x + \frac{3}{x}\\
d)y = x - \frac{2}{x}\\
e)y = {x^4} - 2{x^2} - 5\\
f)y = \sqrt {4 - {x^2}}
\end{array}\)
Chứng minh rằng:
a) Hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
b) Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó
Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên R
a) \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 17x + 4\)
b) \(f\left( x \right) = {x^3} + x - \cos x - 4\)
Với các giá trị nào của a, hàm số \(y = ax - {x^3}\) nghịch biến trên R
Tìm các giá trị của tham số a để hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + a{x^2} + 4x + 3\) đồng biến trên R
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
\(\begin{array}{l}
a)y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 4x - 5\\
b)y = - \frac{4}{3}{x^3} + 6{x^2} - 9x - \frac{2}{3}\\
c)y = \frac{{{x^2} - 8x + 9}}{{x - 5}}\\
d)y = \sqrt {2x - {x^2}} \\
e)y = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \\
f)y = \frac{1}{{x + 1}} - 2x
\end{array}\)
Chứng minh rằng hàm số f(x) = cos2x - 2x + 3 nghịch biến trên R
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) sin x < x với mọi x > 0, sin x > x với mọi x < 0
b) \(\cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi \(x \ne 0\)
c) \(\sin x > x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x > 0, \(\sin x < x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x < 0
Chứng minh rằng sinx + tanx > 2x với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)
Số dân của một thị trấn t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức \(f\left( t \right) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}\) (f(t) được tính bằng nghìn người)
a) Tính số dân của thị trấn vào đầu năm 1908 và đầu năm 1995
b) Xem f là một hàm số xác định trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\). Tính f’(t) và xét chiều biến thiến của h trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\)
c) Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dần của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Hôm nay đột nhiên thầy mình cho làm bài kiểm tra tự luận đánh giá chất lượng để ôn thi THPT QG 2017, làm trắc nghiệm quen rồi, nên mình khá lúng túng không biết có giải đúng không nữa, các bạn giải hai câu này mình tham khảo với.
a) Tìm m để hàm số \(y=x^3+3x^2+(m+1)x+4m\) nghịch biến trên khoảng (-1;1)
b) Tìm m để hàm số \(y=\frac{1}{3}mx^3+2(m-1)x^2+(m-1)x+m\) đồng biến trên khoảng \((2;+\infty )\)
Câu trả lời của bạn
vì y' là một tam thức bâc 2 nên liên tục trên R , do vậy đương nhiên sẽ liên tục trên 2
C ơi cho em hỏi sao mình biết y’(x) liên tục tại -2 đc k ạ???
Cảm ơn long lanh nhiều nhé, mình làm cũng giống bạn.
trang lan hình như bạn quên xét trường hợp m-1=0 rồi.
Lời giải rất chi tiết rõ ràng dễ hiểu, mình có bài tập này mời các bạn cùng giải xem sau, mình giải ra m <=-4/5 đó, có bạn nào ra giống đáp số không?
Cho hàm số \(y=-\frac{m-1}{3}x^3+(m+2)x^2+3mx+5\) với m là tham số thực. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty ;-2)\)
Ta có:
\(y'=-(m-1)x^2+2(m+2)x+3m\)
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty ;-2)\Leftrightarrow y'\geq 0, \forall x\in (-\infty ;-2) \ (*)\)
Vì y'(x) liên tục tại x = -2 nên (*)
\(\Leftrightarrow y'\geq 0, \forall x\in (-\infty ;-2] \ \ (*)\)
\(\Leftrightarrow -m(m-1)x^2+2(m+1)x+3m\geq 0, \forall x\in (-\infty ;-2]\)
\(\Leftrightarrow m(-x^2+2x+3)\geq -x^2-4x, \forall x\in (-\infty ;-2]\)
\(\Leftrightarrow m\leq g(x),\forall x\in (-\infty ;-2]\)
\(\Leftrightarrow m\leq Ming(x),\forall x\in (-\infty ;-2]\)
(Trong đó: \(g(x)=\frac{-x^2-4x}{-x^2+2x+3}\))
Xét hàm số: \(g(x)=\frac{-x^2-4x}{-x^2+2x+3}\) trên nửa khoảng \((-\infty ;-2]\)
\(\Rightarrow g'(x)=\frac{-6(x^2+x+2)}{(-x^2+2x+3)^2}=\frac{-6\left [ \left ( x+\frac{1}{2} \right )^2+\frac{7}{4} \right ]}{(-x^2+2x+3)^2} <0, \forall x\in (-\infty ;-2]\)
⇒ g(x) là hàm số nghịch biến trên \((-\infty ;-2]\)
\(\Rightarrow \underset{(-\infty ;-2]}{Min}g(x)=g(-2)=-\frac{4}{5}\)
Vậy \(m\leq -\frac{4}{5}\) thì hàm số đồng biến trên \((-\infty ;-2)\)
Đây là các bài toán tìm tham số để hàm số đơn điệu trên miền cho trước, lời giải của mình như thế này, bạn tham khảo:
a) Hàm số đã cho xác định trên R.
\(y'=3x^2+6x+m+1\)
Hàm số nghịch biến trên
\((-1;1) \ \ y'\leq 0, \forall x\in (-1;1)\)
\(\Leftrightarrow m\leq -(3x^2+6x+1), \forall x\in (-1;1)\)
\(\Leftrightarrow m\leq \underset{(-1;1)}{min} \ g(x)\) với \(g(x)=-(3x^2+6x+1)\)
Ta có:
\(g'(x)=-6(x+1)<0, \forall x\in (-1;1)\)
Bảng biến thiên:
Kết luận: Dựa vào bảng biến thiên suy ra \(m\leq -10\)
b) YCBT \(\Leftrightarrow y'\geq 0, \forall x\in (2;+\infty )\)
\(\Leftrightarrow mx^2+4(m-1)x+m-1\geq 0, \forall x\in (2;+\infty )\)
\(\Leftrightarrow (x^2+4x+1)m\geq 4x+1, \forall x\in (2;+\infty )\)
\(\Leftrightarrow m\geq \frac{4x+1}{x^2+4x+1}\)
Vì \((x^2+4x+1>0, \forall x\in (2;+\infty ))\)
Xét hàm số \(g(x)=\frac{4x+1}{x^2+4x+1}\) liên tục trên \((2;+\infty )\)
Ta có:
\(g'(x)=-\frac{(4x^2+2x)}{(x^2+4x+1)^2}<0, \forall x\in (2;+\infty )\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra: \(m\geq \frac{9}{13}\)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Tìm a để hàm số \(y=sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}+ax\) đồng biến trên R.
Câu trả lời của bạn
Hàm số đã cho xác định trên R.
Ta có:
\(y'=\frac{1}{2}\left ( cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2} \right )+a=\frac{\sqrt{2}}{2} sin\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \right )+a\)
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi:
\(y'\geq 0, \forall x\in R\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}sin\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \right )\geq -a, \forall x\in R\)
\(\Leftrightarrow -\frac{\sqrt{2}}{2}\geq -a\Leftrightarrow a\geq \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho hàm số \(y=\frac{2x^2-3x+m}{x-1} \ (1)\). Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1;2).
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(y'=3x^2+2mx+(m^2-6)\)
Vì y’ là một tam thức bậc hai có hệ số của bậc cao nhất là 3 > 0 nên muốn tồn tại khoảng nghịch biến thì buộc y’ phải có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
\(\Leftrightarrow \Delta '_{y'}>0\Leftrightarrow -2m^2+18>0\Leftrightarrow -3\leq m\leq 3 \ \ (*)\)
Theo định lý Vi-et ta có:
\(x_1+x_2=-\frac{2m}{3}\)
\(x_1.x_2=\frac{m^2-6}{3}\)
Lúc này khoảng nghịch biến là x1, x2. Như vậy yêu cầu bài toán tương đương:
\(\left | x_1 - x_2 \right |=2\Leftrightarrow (x_1-x_2)^2=4\)
\(\Leftrightarrow ( x_1 + x_2)^2 -4x_1.x_2=4\)
\(\Leftrightarrow \left ( -\frac{2m}{3} \right )^2-4.\frac{m^2-6}{3}=4\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} m=-\frac{3}{\sqrt{2}}\\ \\ m=\frac{3}{\sqrt{2}} \end{matrix}\)
Cả hai giá này đề thỏa (*)
b)
Tập xác định: \(D=R \setminus \left \{ 1 \right \}\)
\(y'=\frac{2x^2-4x+3-m}{(x-1)^2}=\frac{f(x)}{(x-1)^2}\)
Ta có:
\(f(x)\geq 0\Leftrightarrow m\leq 2x^2-4x+3\)
Đặt \(g(x)=2x^2-4x+3\Rightarrow g'(x)=4x-4\)
Hàm số (1) đồng biến trên \((1;2)\Leftrightarrow y'\geq 0, \forall x\in (1;2)\Leftrightarrow m\leq \underset{(1;2)}{min} \ g(x)\)
Dựa vào BBT của hàm số \(g(x), \forall x\in (1;2)\), ta suy ra \(m\leq 1\)
Vậy \(m\leq 1\) thì hàm số (1) đồng biến trên (1;2).
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
(1,5 điểm)
Chứng minh rằng phương trình \(2x^2\sqrt{x-2}=11\) có nghiệm duy nhất.
Xét hàm số \(y=2x^2\sqrt{x-2}\), hàm số này liên tục trên \([2;+\infty )\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(y'=\frac{x(5x-8)}{\sqrt{x-2}}>0, \forall x\in [2;+\infty )\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biên thiên ta thấy đồ thị hàm số \(y=2x^2\sqrt{x-2}\) luôn cắt đường thẳng y = 11 duy nhất tại một điểm nên \(2x^2\sqrt{x-2}=11\) có nghiệm duy nhất
Bạn nào giải giúp mình câu trắc nghiệm này với, thấy đáp án đúng là D nhưng mình giải mãi không ra.
Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} - mx - 1\) đồng biến trên R.
A. \(\left( { - \infty ;1} \right)\)
B. \(\left[ {1; + \infty } \right)\)
C. \(\left[ { - 1;1} \right]\)
D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\)
Câu trả lời của bạn
giải giúp mình câu này với mọi người ơi y=-x3+3mx2+3(1-2m)x-1 nghich biến trên R khi :
A. m 1
B. m 1
C. m=1
D. m
Cảm ơn bạn nhiều, lo quá còn 3 tháng nữa thi rồi, không biết có ôn kịp không nữa.
Cảm ơn bạn, thế còn bài này thì sao, nó có cả logarit thì phải tìm m như thế nào đây. Mình chưa rành dạng toán này lắm bạn giúp mình giải câu này luôn nhé!
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 4} \right) - mx + 3\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
A. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right]\)
B. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\)
C. \(\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\)
D. \(\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
Bày này cách làm cũng tương tự bài trên thôi.
Với những bài tập như thế này bạn phải tính đạo hàm và cô lập tham số m trong đạo hàm đó, so sánh nó với một hàm số rồi đi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số đó.
Ta có: \(y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + 4}} - m\)
Để hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0 \Leftrightarrow m \le \frac{{2x}}{{{x^2} + 4}},\forall x\)
Xét hàm số \(g(x) = \frac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\) ta có \(g'(x) = \frac{{8 - 2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}};g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - 2 \end{array} \right.\)
Ta có \(y\left( 2 \right) = \frac{1}{2};y\left( { - 2} \right) = - \frac{1}{2}\)
Từ bảng biến thiên ta thấy: \(m \le \frac{{2x}}{{{x^2} + 4}},\forall x\) thì \(\Rightarrow m \le - \frac{1}{2} \Rightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right]\)
Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} - mx - 1\)
\(y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - m\)
Hàm số luôn đồng biến khi và chi khi \(m \le \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)
Xét hàm số \(f(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }};\,\,f'(x) = \frac{1}{{\sqrt {{{({x^2} + 1)}^3}} }} > 0,\forall x\)
Suy ra f(x) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = - 1\)
Vậy để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(m \le - 1.\)
Giải giúp em cấu trắc nghiệm về sự đồng biến và nghịch biến này với ạh.
Câu hỏi: Tìm giá trị của tham số m để hàm số \(y = m{x^3} - 3m{x^2} - 3x + 2\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của nó không có tiếp tuyến song song với trục hoành.
A. \(-1<m<0\)
B. \(-1\leq m\leq 0\)
C. \(-1\leq m< 0\)
D. \(-1< m\leq 0\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải hay quá, cảm ơn bạn nhiều. Thế mà mình không biết cứ ôn tiếp tuyến bấy lâu nay!
Năm 2017 không có thi tiếp tuyến đâu bạn. Nhưng mà bài này cũng hay đó, để mình giải cho bạn tham khảo nhé:
Với m=0 ta có: \(y=-3x +2\) là hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
Ta có: \(y' = 3m{x^2} - 6mx - 3 = 3(m{x^2} - 2mx - 1)\)
Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a < 0\\ \Delta ' \le 0 \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ {m^2} + m \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ - 1 \le m \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le m < 0.\)
Đồ thị hàm số không có tiếp tiếp song song với trục hoành khi khi y' khác 0 với mọi x.
Ta thấy với m=-1 thì \(y'=0\Leftrightarrow x=-1\) do đó loại m=-1.
Vậy giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là: \(-1< m\leq 0\)
Bài này phải làm sao mọi người?
Cho hàm số \(y=-2x^3+3mx^2-1\) (1). Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng (x1;x2) với x2 - x1 = 1.
Câu trả lời của bạn
\(y'=-6x^2+6mx,y'=0\Leftrightarrow x=0\vee x=m\)
+ Nếu m = 0 \(\Rightarrow y'\leq 0, \forall x\in R\Rightarrow\) hàm số nghịch biến trên ⇒ m = 0 không thoả YCBT.
+ Nếu \(m\neq 0, y'\geq 0, \forall x\in (0;m)\) khi m > 0 hoặc \(y'\geq 0, \forall x\in (m;0) \ khi \ m <0\)
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (x1; x2) với x2 - x1 = 1
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} (x_1;x_2)=(0;m)\\ (x_1;x_2)=(m;0) \end{matrix}\) và \(x_2-x_1=1\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} m-0=1\\ 0-m=1 \end{matrix}\Leftrightarrow m=\pm 1\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho hàm số \(y=x^3+3x^2-mx-4 \ \ (1)\). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty ;0)\)
Câu trả lời của bạn
Tập xác định: D = R.
\(y'=3x^2+6x-m\)
y' có \(\Delta '=3(m+3)\)
Nếu m \(\leq\) -3 thì \(\Delta '\leq 0\Rightarrow y'\geq 0, \forall x\Rightarrow\) hàm số đồng biến trên R\(\Rightarrow m\leq\)-3 (thỏa yêu cầu bài toán)
Nếu m > -3 thì \(\Delta '> 0\Rightarrow PT \ \ y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2(x_1 Do đó hàm số đồng biến trên khoảng
\((-\infty ;0)\Leftrightarrow 0\leq x_1< x_2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta '>0\\ P\geq 0\\ S>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m> -3\\ -m\geq 0\\ -2>0 \end{matrix}\right. (VN)\)
Vậy \(m\leq -3\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho hàm số \(y=\frac{2x^2-3x+m}{x-1} \ (2)\). Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (1;2).
Câu trả lời của bạn
Tập xác định: \(D=R \setminus \left \{ 1 \right \}\)
\(y'=\frac{2x^2-4x+3-m}{(x-1)^2}=\frac{f(x)}{(x-1)^2}\)
Ta có:
\(f(x)\geq 0\Leftrightarrow m\leq 2x^2-4x+3\)
Đặt \(g(x)=2x^2-4x+3\Rightarrow g'(x)=4x-4\)
Hàm số (2) đồng biến trên \((1;2)\Leftrightarrow y'\geq 0, \forall x\in (1;2)\Leftrightarrow m\leq \underset{(1;2)}{min} \ g(x)\)
Dựa vào BBT của hàm số \(g(x), \forall x\in (1;2)\), ta suy ra \(m\leq 1\)
Vậy \(m\leq 1\) thì hàm số (2) đồng biến trên (1;2).
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Tìm a để hàm số \(y=sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}+ax\) đồng biến trên R.
Câu trả lời của bạn
Hàm số đã cho xác định trên R.
Ta có:
\(y'=\frac{1}{2}\left ( cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2} \right )+a=\frac{\sqrt{2}}{2} sin\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \right )+a\)
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi:
\(y'\geq 0, \forall x\in R\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}sin\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \right )\geq -a, \forall x\in R\)
\(\Leftrightarrow -\frac{\sqrt{2}}{2}\geq -a\Leftrightarrow a\geq \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Xác định m để hàm số \(y=\frac{m^2-1}{3}x^3+(m+1)x^2-x\) nghịch biến trên R
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(y'=(m^2-1)x^2+2(m+1)x-1\)
\(\Delta '_{y'}=(m+1)^2+m^2-1=2m^2+2m\)
Hàm số nghịch biến trên R
\(\Leftrightarrow y'\geq 0, \forall x\in R\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2-1<0\\ 2m^2+2m\leq 0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -1< m< 1\\ -1\leq m\leq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -1
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *