Trong chương trình phổ thông các lớp, các em đã quen với khái niệm bình phương của một số luôn luôn nhận được kết quả là một số không âm, hay số âm không có căn bậc hai. Từ thực tiễn tính toán và nhu cầu của các môn khoa học người ta đã cho ra đời con số i có bình phương bằng -1 là nền tảng của sự ra đời số phức. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em các khái niệm liên quan đến số phức và các tính chất của nó.
Tìm số thực x, y thỏa mãn:
a) \(5x + y + 5xi = 2y - 1 + (x - y)i.\)
b) \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\)
a)
\(\begin{array}{l} 5x + y + 5xi = 2y - 1 + (x - y)i\\ \Leftrightarrow (3x + y) + 5xi = (2y - 1) + (x - y)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + y = 2y - 1\\ 5x = x - y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{1}{7}.\\ y = \frac{4}{7}. \end{array} \right. \end{array}\)
b)
Ta có: \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\) khi:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - x + 2y = 4x - y - 3}\\ {2x + 3y + 1 = 3x - 2y + 2} \end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x - 3y = 3}\\ {x - 5y = - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{9}{{11}}}\\ {y = \frac{4}{{11}}} \end{array}} \right.\)
Tìm số phức z biết:
a) \(\left| z \right| = 5\) và \(z = \overline z\).
b) \(\left| z \right| = 4\) và \(z = -\overline z.\)
c) \(\left| z \right| = 6\) và phần thực của số phức z bằng ba lần phần ảo của z.
Gọi số phức z cần tìm là \(z=x+yi\) suy ra: \(\overline z = x - yi\)
a) Ta có: \(z = \overline z\) nên \(x + yi = x - yi \Leftrightarrow 2yi = 0 \Leftrightarrow y = 0.\)
Mà \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2}} = 5 \Leftrightarrow x = \pm 5.\)
Vậy số phức cần tìm là z=5; z=-5.
b) Ta có: \(z = -\overline z\) nên \(x + yi = -x + yi \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x= 0.\)
Mà \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{y^2}} = 4 \Leftrightarrow y = \pm 4.\)
Vậy số phức z cần tìm là z=4i; z=-4i.
c) Phần thực của số phức z là x và phần ảo là y nên x=3y. Do đó ta có:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ {\left( {3y} \right)^2} + {y^2} = 36 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ {y^2} = \frac{{18}}{5} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{3\sqrt {10} }}{5};x = \frac{{9\sqrt {10} }}{5}\\ y = - \frac{{3\sqrt {10} }}{5};x = - \frac{{9\sqrt {10} }}{5} \end{array} \right. \end{array}\)
vậy ta có \(z = \frac{{9\sqrt {10} }}{5} + \frac{{3\sqrt {10} }}{5}i;\,\,z = - \frac{{9\sqrt {10} }}{5} - \frac{{3\sqrt {10} }}{5}i.\)
Trong chương trình phổ thông các lớp, các em đã quen với khái niệm bình phương của một số luôn luôn nhận được kết quả là một số không âm, hay số âm không có căn bậc hai. Từ thực tiễn tính toán và nhu cầu của các môn khoa học người ta đã cho ra đời con số i có bình phương bằng -1 là nền tảng của sự ra đời số phức. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em các khái niệm liên quan đến số phức và các tính chất của nó.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho số phức \(z = ax + bi\,\left( {a,b \in R} \right)\), mệnh đề nào sau đây là sai?
Tìm điểm biểu diễn của số phức \(z = 5 - 3i\) trên mặt phẳng phức.
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 133 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 133 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 134 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 134 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 134 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 134 SGK Giải tích 12
Bài tập 4.1 trang 198 SBT Toán 12
Bài tập 4.2 trang 198 SBT Toán 12
Bài tập 4.3 trang 199 SBT Toán 12
Bài tập 4.4 trang 199 SBT Toán 12
Bài tập 4.5 trang 199 SBT Toán 12
Bài tập 4.6 trang 199 SBT Toán 12
Bài tập 4.7 trang 200 SBT Toán 12
Bài tập 1 trang 189 SGK Toán 12 NC
Bài tập 2 trang 189 SGK Toán 12 NC
Bài tập 3 trang 189 SGK Toán 12 NC
Bài tập 4 trang 189 SGK Toán 12 NC
Bài tập 5 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 6 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 7 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 8 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 9 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 10 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 11 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 12 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 13 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 14 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 15 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 16 trang 191 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho số phức \(z = ax + bi\,\left( {a,b \in R} \right)\), mệnh đề nào sau đây là sai?
Tìm điểm biểu diễn của số phức \(z = 5 - 3i\) trên mặt phẳng phức.
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Xác định tập hợp các điểm trong hệ tọa độ vuông góc biểu diễn số phức \(z = x + iy\) thỏa mãn điều kiện \(\left| z \right| = 2\).
Số phức thỏa mãn điều kiện vào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo?
Cho số phức z=a+bi . Số phức \(z^2\) có phần thực là :
Cho số phức z = 2 – 2i. Tìm khẳng định sai
Tìm các số thực \(x, y\) sao cho
\(\left( {x - 2y} \right) + \left( {x + y + 4} \right)i = \left( {2x + y} \right) + 2yi\)
Hai số phức \({z_1} = x - 2i,{z_2} = 2 + yi\,\left( {x,y \in R} \right)\) là liên hợp của nhau khi
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thòa mãn \(\left| z \right| = \left| {1 + i} \right|\) là
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết:
a) \(\small z = 1 - \pi i.\)
b) \(\small z = \sqrt{2} - 1\).
c) \(\small z = 2\sqrt{2}\).
d) \(\small z = -7i\).
Tìm các số thực x và y, bết:
a) \(\small (3x - 2) + (2y + 1)i = (x + 1) - (y - 5)i.\)
b) \(\small (1 - 2x) - i\sqrt{3} = \sqrt{5} + (1 - 3y)i.\)
c) \(\small (2x + y) + (2y - x)i = (x - 2y + 3) + (y + 2x + 1)i.\)
Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:
a) Phần thực của z bằng -2.
b) Phần ảo của z bằng 3.
c) Phần thực của z thuộc khoảng (-1; 2).
d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3].
e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [-2; 2].
Tính |z| với:
a)\(\small z=-2+i\sqrt{3}\); b) \(\small z=\sqrt{2}-3i\)
c) \(\small z = -5\); d) \(\small z=i\sqrt{3}\).
Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:
a) |z| = 1.
b) |z| ≤ 1.
c) 1 < |z| ≤ 2.
d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.
Tìm , biết:
a) \(\small z = 1 - i\sqrt{2}\).
b) \(\small z = -\sqrt{2} + i\sqrt{3}\).
c) \(\small z = 5\).
d) \(\small z = 7i\).
Tìm các số thực
a) \(2x + 1 + (1 - 2y)i = 2 - x + (3y - 2)i\)
b) \(4x + 3 + (3y - 2)i = y + 1 + (x - 3)i\)
c) \(4x + 3 + (3y - 2)i = y + 1 + (x - 3)i\)
Cho hai số phức \(\alpha = a + bi,\beta = c + di\). Hãy tìm điều kiện của
a) Đối xứng với nhau qua trục
b) Đối xứng với nhau qua trục
c) Đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba;
d) Đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức
a) Phần thực của
b) Phần thực của
c) Phần ảo của
d) Modun của
Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình 4.2 và hình 4.3?
Hãy biểu diễn các số phức
a) Phần thực của
b) Phần ảo của z lớn hơn 1;
c) Phần ảo của
Cho
A. Nếu z ∈ R thì \(z = \bar z\)
B. Nếu \(z = \bar z\) thì
C. Nếu
D. Nếu
Cho
A. Nếu \(z \in C\backslash R\) thì
B. Nếu
C. Nếu
D. Nếu
Cho các số phức: 2+3i; 1+2i; 2–i
a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức.
b) Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.
c) Viết số đối của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng
Xác định phần thực và phần thực của các số sau:
\(\begin{array}{l}
a)i + \left( {2 - 4i} \right) - \left( {3 - 2i} \right)\\
b){(\sqrt {2 + 3i} )^2}\\
c)\left( {2 + 3i} \right)\left( {2 - 3i} \right)\\
d)i\left( {2 - i} \right)\left( {3 + i} \right)
\end{array}\)
Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.
Thực hiện phép tính:
\(\frac{1}{{2 - 3i}};\frac{1}{{\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}};\frac{{3 - 2i}}{i};\frac{{3 - 4i}}{{4 - i}}\)
Cho \(z = \frac{{ - 1}}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.\)
Hãy tính \(\frac{1}{z};\overline z ;{z^2};{\left( {\overline z } \right)^3};1 + z + {z^2}\)
Chứng minh rằng:
a) Phần thực của số phức z bằng \(\frac{1}{2}\left( {z + \bar z} \right)\) phần ảo của số phức z bằng \(\frac{1}{2}\left( {z - \bar z} \right)\)
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi \(z = - \bar z;\)
c) Với mọi số phức z, z', ta có \(\overline {z + z'} = \bar z + \overline {z'} , \overline {zz'} = \bar z.\overline {z'} \) và nếu z ≠ 0 thì \(\frac{{\overline {z'} }}{{\bar z}} = \overline {\left( {\frac{{z'}}{z}} \right)} \)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có
\({i^{4m}} = 1;{i^{4m + 1}} = i;{i^{4m + 2}} = - 1;{i^{4m + 3}} = - i\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Viết số phức sau dưới dạng lượng giác: \(\eqalign{z = \sin \varphi + i\cos \varphi \,(\varphi \in\mathbb R)}\)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& z = \,\sin \varphi + i\cos \varphi \cr & =\cos \left( {{\pi \over 2} - \varphi } \right) + i\sin\left( {{\pi \over 2} - \varphi } \right)\cr &(\varphi \in \mathbb R) \cr} \)
Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn \({\left( {1 + i} \right)^{19}}\) và công thức Moa-vrơ để tính \(C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}.\)
Câu trả lời của bạn
Theo nhị thức Niu-tơn ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {1 + i} \right)^{19}}\\
= C_{19}^0 + C_{19}^1i + ... + C_{19}^{18}{i^{18}} + C_{19}^{19}{i^{19}}\\
= \left( {C_{19}^0 + C_{19}^2{i^2} + C_{19}^4{i^4} + ... + C_{19}^{18}{i^{18}}} \right)\\
+ \left( {C_{19}^1i + C_{19}^3{i^3} + C_{19}^5{i^5} + ... + C_{19}^{19}{i^{19}}} \right)\\
= \left( {C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... - C_{19}^{18}} \right)\\
+ \left( {C_{19}^1i - C_{19}^3i + C_{19}^5i - ... - C_{19}^{19}i} \right)\\
= \left( {C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... - C_{19}^{18}} \right)\\
+ \left( {C_{19}^1 - C_{19}^3 + C_{19}^5 - ... - C_{19}^{19}} \right)i
\end{array}\)
Phần thực ở vế phải là: \(C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}.\)
Mặt khác:
\(\eqalign{
& {\left( {1 + i} \right)^{19}} = {\left[ {\sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)} \right]^{19}} \cr &= {\left( {\sqrt 2 } \right)^{19}}\left( {\cos {{19\pi } \over 4} + i\sin {{19\pi } \over 4}} \right) \cr
& = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{19}}\left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right)\cr &= {\left( {\sqrt 2 } \right)^{19}}\left( { - {{\sqrt 2 } \over 2} + i{{\sqrt 2 } \over 2}} \right) \cr &= - {2^9} + {2^9}i \cr
& \Rightarrow C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18} \cr &=- {2^9} = - 512. \cr} \)
Gọi M, M’ là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số \(z = 3 + i;\) \(z' = \left( {3 - \sqrt 3 } \right) + \left( {1 + 3\sqrt 3 } \right)i.\) Tính \({{z'} \over z};\)
Câu trả lời của bạn
\(\frac{{z'}}{z} = \frac{{3 - \sqrt 3 + \left( {1 + 3\sqrt 3 } \right)i}}{{3 + i}}\) \(= {{\left[ {3 - \sqrt 3 + \left( {1 + 3\sqrt 3 } \right)i} \right]\left( {3 - i} \right)} \over {3^2+1^2}}\) \( = \frac{{9 - 3\sqrt 3 + 1 + 3\sqrt 3 + \left( {3 + 9\sqrt 3 - 3 + \sqrt 3 } \right)i}}{{10}} \) \(= \frac{{10 + 10\sqrt 3 i}}{{10}}\) \( = 1 + \sqrt 3 i\)
Sử dụng công thức Moa-vrơ để tính \(\sin 4\varphi \) và \(\cos 4\varphi \) theo các lũy thừa của \(\sin \varphi \) và \(\cos \varphi \).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\cos 4\varphi + i\sin 4\varphi = {\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)^4}\)
\(\eqalign{ & = {\cos ^4}\varphi + 4\left( {{{\cos }^3}\varphi } \right)\left( {i\sin \varphi } \right) \cr &+ 6\left( {{{\cos }^2}\varphi } \right)\left( {{i^2}} \right){\sin ^2}\varphi \cr &+ 4\left( {\cos \varphi } \right)\left( {{i^3}{{\sin }^3}\varphi } \right) \cr &+ {i^4}{\sin ^4}\varphi \cr & = {\cos ^4}\varphi - 6{\cos ^2}\varphi {\sin ^2}\varphi + {\sin ^4}\varphi \cr &+ \left( {4{{\cos }^3}\varphi \sin \varphi - 4\cos \varphi {{\sin }^3}\varphi } \right)i. \cr} \)
Từ đó: \(\cos 4\varphi = {\cos ^4}\varphi - 6{\cos ^2}\varphi {\sin ^2}\varphi + {\sin ^4}\varphi \)
\(\sin 4\varphi = 4{\cos ^3}\varphi \sin \varphi - 4\cos \varphi {\sin ^3}\varphi \)
Tính \({\left( {\sqrt 3 - i} \right)^6};{\left( {{i \over {1 + i}}} \right)^{2004}};{\left( {{{5 + 3i\sqrt 3 } \over {1 - 2i\sqrt 3 }}} \right)^{21}}\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\sqrt 3 - i = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right)\\
= 2\left( {\cos \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)} \right)
\end{array}\)
\( \Rightarrow {\left( {\sqrt 3 - i} \right)^6} \) \(= {\left[ {2\left( {\cos \left( { - {\pi \over 6}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 6}} \right)} \right)} \right]^6} \) \( = {2^6}\left[ {\cos \left( { - \pi } \right) + i\sin \left( { - \pi } \right)} \right] = - {2^6}\)
\({i \over {i + 1}} = \frac{{i\left( {1 - i} \right)}}{{1 + 1}} = {{1 + i} \over 2}\) \( = \frac{1}{2}\left( {1 + i} \right) = \frac{1}{2}.\sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right)\) \( = {1 \over {\sqrt 2 }}\left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow{\left( {{i \over {1 + i}}} \right)^{2004}} \cr &= {1 \over {{{(\sqrt 2)}^{2004}}}}\left( {\cos {{2004\pi } \over 4} + i\sin {{2004\pi } \over 4}} \right) \cr & = {1 \over {{2^{1002}}}}\left( {\cos \pi + i\sin \pi } \right) = - {1 \over {{2^{1002}}}} \cr} \)
\({{5 + 3i\sqrt 3 } \over {1 - 2i\sqrt 3 }} = {{\left( {5 + 3i\sqrt 3 } \right)\left( {1 + 2i\sqrt 3 } \right)} \over {1 + 12}}\) \( = {{ - 13 + 13i\sqrt 3 } \over {13}} = - 1 + i\sqrt 3 \)
\( = 2\left( { - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) \) \(= 2\left( {\cos {{2\pi } \over 3} + i\sin {{2\pi } \over 3}} \right)\)
Do đó:
\({\left( {{{5 + 3i\sqrt 3 } \over {1 - 2i\sqrt 3 }}} \right)^{21}} = {2^{21}}\left( {\cos 14\pi + i\sin 14\pi } \right) \) \(= {2^{21}}\)
Cho số phức \({\rm{w}} = - {1 \over 2}\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)\). Tìm các số nguyên dương n để \({{\rm{w}}^n}\) là số thực. Hỏi có chăng một số nguyên dương m để \({{\rm{w}}^m}\) là số ảo?
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\rm{w} = - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i \) \(= \cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}\)
Suy ra \({\rm{w}^n} = \cos {{4\pi n} \over 3} + i\sin {{4\pi n} \over 3}\)
\({\omega ^n}\) là số thực \( \Leftrightarrow \sin {{4n\pi } \over 3} = 0 \Leftrightarrow {{4n\pi } \over 3} = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\)
\( \Leftrightarrow 4n = 3k \)
\( \Leftrightarrow k = \frac{{4n}}{3} = n + \frac{n}{3} \in \mathbb{Z} \Rightarrow n \vdots 3\)
Vậy n chia hết cho 3 (n nguyên dương)
\({\rm{w} ^m}\) (m nguyên dương) là số ảo \( \Leftrightarrow \cos {{4m\pi } \over 3} = 0\) \( \Leftrightarrow {{4m\pi } \over 3} = {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\)
\( \Leftrightarrow 8m = 6k + 3\) (vô lí vì vế trái chẵn, vế phải lẻ).
Vậy không có số nguyên dương m để \({\rm{w} ^m}\) là số ảo.
Hãy viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho trường hợp sau: \(\left| z \right| = 3\) và một acgumen của iz là \({{5\pi } \over 4};\)
Câu trả lời của bạn
Giả sử z=r(cos\(\varphi \)+i sin\(\varphi \))
Vì |z| = 3 => r = 3
Ta có:
\(\begin{array}{l}i = \cos \dfrac{\pi }{2} + i\sin \dfrac{\pi }{2}\\ \Rightarrow iz = 3\left[ {\cos \left( {\varphi + \dfrac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( {\varphi + \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right]\end{array}\)
Mà acgumen của \(iz\) bằng \(\dfrac{{5\pi }}{4}\) nên \(\varphi + \dfrac{\pi }{2} = \dfrac{{5\pi }}{4} \Leftrightarrow \varphi = \dfrac{{3\pi }}{4}\)
Vậy \(z = 3\left( {\cos \dfrac{{3\pi }}{4} + i\sin \dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\).
Các căn bậc hai của z là \(\sqrt 3 \left( {\cos {{3\pi } \over 8} + i\sin {{3\pi } \over 8}} \right)\) và \(-\sqrt 3 \left( {\cos {{3\pi } \over 8} + i\sin {{3\pi } \over 8}} \right)\) hay \(\sqrt 3 \left( {\cos {{11\pi } \over 8} + i\sin {{11\pi } \over 8}} \right)\).
Hãy viết dạng lượng giác của số phức sau: \(1 - i\tan {\pi \over 5}\).
Câu trả lời của bạn
\(1 - i\tan {\pi \over 5} \) \(= 1 - i{{\sin {\pi \over 5}} \over {\cos {\pi \over 5}}}\) \( = {1 \over {\cos {\pi \over 5}}}\left( {\cos {\pi \over 5} - i\sin {\pi \over 5}} \right) \) \(= {1 \over {\cos {\pi \over 5}}}\left[ {\cos \left( { - {\pi \over 5}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 5}} \right)} \right]\)
Hãy viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho trường hợp sau: \(\left| z \right| = {1 \over 3}\) và một acgumen của \({{\overline z } \over {1 + i}}\) là \( - {{3\pi } \over 4}.\)
Câu trả lời của bạn
\(1 + i = \sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \) \(= \sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)\)
Giả sử \(z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\)
\(\left| z \right| = \dfrac{1}{3} \Rightarrow r = \dfrac{1}{3}\)
\(\overline z = r\left( {\cos \varphi - i\sin \varphi } \right)\) \( = \dfrac{1}{3}\left( {\cos \varphi - i\sin \varphi } \right)\) \( = \dfrac{1}{3}\left[ {\cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right)} \right]\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\overline z }}{{1 + i}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}\left[ {\cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right)} \right]}}{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\left[ {\cos \left( { - \varphi - \dfrac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { - \varphi - \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right]\end{array}\)
Mà acgumen của \(\dfrac{{\overline z }}{{1 + i}}\) bằng \( - \dfrac{{3\pi }}{4}\) nên \( - \varphi - \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \varphi = \dfrac{\pi }{2}\)
\( \Rightarrow z = \dfrac{1}{3}\left( {\cos \dfrac{\pi }{2} + i\sin \dfrac{\pi }{2}} \right)\)
Dạng lượng giác của căn bậc hai của z là:
\({1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)\) và \( - {1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right) \) hay \({1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {{5\pi } \over 4} + i\sin {{5\pi } \over 4}} \right)\)
Hãy viết dạng lượng giác của số phức sau: \(\tan {{5\pi } \over 8} + i;\)
Câu trả lời của bạn
\(\tan {{5\pi } \over 8} + i \) \( = \frac{{\sin \frac{{5\pi }}{8}}}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}} + i \) \(= \frac{1}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}}\left( {\sin \frac{{5\pi }}{8} + i\cos \frac{{5\pi }}{8}} \right)\) \(= {{ - 1} \over {\cos {{5\pi } \over 8}}}\left( { - \sin {{5\pi } \over 8} - i\cos {{5\pi } \over 8}} \right)\)
(do \(\cos {{5\pi } \over 8} < 0\))
\( = {1 \over {\cos {{3\pi } \over 8}}}\left( -{\cos {\pi \over 8} + i\sin {\pi \over 8}} \right) \) \(= {1 \over {\cos {{3\pi } \over 8}}}\left( {\cos {{7\pi } \over 8} + i\sin {{7\pi } \over 8}} \right)\)
Hãy viết dạng lượng giác của số phức sau: \({\mkern 1mu} 1 - \cos \varphi - i\sin \varphi {\mkern 1mu} \) \( \left( {\varphi \in\mathbb R,{\mkern 1mu} \varphi \ne k2\pi ,{\mkern 1mu} k \in\mathbb Z} \right){\rm{ }}\)
Câu trả lời của bạn
\(1 - \cos \varphi - i\sin \varphi \) \(= 2\sin^2 {\varphi \over 2} - 2i\sin {\varphi \over 2}\cos {\varphi \over 2} \) \(= 2\sin {\varphi \over 2}\left[ {\sin {\varphi \over 2} - i\cos {\varphi \over 2}} \right]\)
Khi \(\sin {\varphi \over 2} > 0\) thì \(\,1 - \cos \varphi - i\sin \varphi \) \(= {2\sin {\varphi \over 2}} \left[ {\cos \left( {{\varphi \over 2} - {\pi \over 2}} \right) +i\sin\left( {{\varphi \over 2} - {\pi \over 2}} \right)} \right]\) là dạng lượng giác cần tìm.
Khi \(\sin {\varphi \over 2} < 0\) thì \(\,1 - \cos \varphi - i\sin \varphi \) \(= \left( { - 2\sin {\varphi \over 2}} \right)\left[ {\cos \left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 2}} \right)} \right]\) là dạng lượng giác cần tìm.
Còn khi \(\sin {\varphi \over 2} = 0\) thì \(\,\,1 - \cos \varphi - i\sin \varphi = 0 = 0\left( {\cos \alpha + i\sin \alpha } \right)\,\,(\alpha \in\mathbb R\)tùy ý).
Tìm các số thực \(x, y\) thỏa màn: \(2x + 1 + (1 – 2y)i\) \( = 2 – x + (3y – 2)i\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\left( {2x + 1} \right) + \left( {1 - 2y} \right)i\) \( = \left( {2 - x} \right) + \left( {3y - 2} \right)i\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 1 = 2 - x\\1 - 2y = 3y - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 1\\5y = 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\\y = \dfrac{3}{5}\end{array} \right.\)
Vậy \(x = \dfrac{1}{3},y = \dfrac{3}{5}\)
Tìm các số thực \(x, y\) thỏa màn: \(4x + 3 + (3y – 2)i \) \( = y +1 + (x – 3)i\).
Câu trả lời của bạn
\(4x + 3 + \left( {3y - 2} \right)i\) \( = {\rm{ }}y\; + 1 + \left( {x - 3} \right)i\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 3 = y + 1\\3y - 2 = x - 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = - 2\\x - 3y = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {} \right.\)
Vậy \(x = - \dfrac{7}{{11}},y = - \dfrac{6}{{11}}\).
Tìm các số thực \(x, y\) thỏa màn: \(x + 2y + (2x – y)i \) \( = 2x + y + (x + 2y)i\).
Câu trả lời của bạn
\(x + 2y + \left( {2x - y} \right)i\) \( = 2x + y + \left( {x + 2y} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2x + y\\2x - y = x + 2y\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x - 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.\)
Vậy \(x = y = 0\).
Cho hai số phức \(\alpha = a + bi,\beta = c + di\). Hãy tìm điều kiện của \(a, b, c , d\) để các điểm biểu diễn \(\alpha \) và \(\beta \) trên mặt phẳng tọa độ đối xứng với nhau qua trục \(Ox\);
Câu trả lời của bạn
Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) biểu diễn số phức \(\alpha \).
Điểm \(N\left( {c;d} \right)\) biểu diễn số phức \(\beta \).
\(M,N\) đối xứng với nhau qua trục \(Ox\) nếu \(a = c, b = - d\)
Cho hai số phức \(\alpha = a + bi,\beta = c + di\). Hãy tìm điều kiện của \(a, b, c , d\) để các điểm biểu diễn \(\alpha \) và \(\beta \) trên mặt phẳng tọa độ đối xứng với nhau qua trục \(Oy\);
Câu trả lời của bạn
Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) biểu diễn số phức \(\alpha \).
Điểm \(N\left( {c;d} \right)\) biểu diễn số phức \(\beta \).
\(M,N\) đối xứng với nhau qua trục \(Oy\) nếu \(a = - c, b = d\)
Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện phần thực của \(z\) bằng phần ảo của nó.
Câu trả lời của bạn
Đặt \(z = x + yi\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {x;y} \right)\).
Ta có: \(x = y\) nên tập hợp điểm biểu diễn là đường thẳng \(y = x\) hay chính là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba.
Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện phần thực của \(z\) là số đối của phần ảo của nó.
Câu trả lời của bạn
Đặt \(z = x + yi\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {x;y} \right)\).
Ta có: \(x = - y \Leftrightarrow y = - x\) nên tập hợp điểm biểu diễn là đường thẳng \(y = - x\) hay chính là đường phân giác của góc phần tư thứ hai và góc phần tư thứ tư.
Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện Modun của \(z\) bằng \(1\), phần thực của \(z\) không âm.
Câu trả lời của bạn
Đặt \(z = x + yi\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {x;y} \right)\).
Ta có:
\(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 1\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\) và \(x \ge 0\) nên tập hợp điểm biểu diễn là nửa đường tròn tâm \(O\) bán kính bằng \(1\) , nằm bên phải trục \(Oy\).
Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện phần ảo của \(z \) bằng hai lần phần thực của nó cộng với \(1\).
Câu trả lời của bạn
Đặt \(z = x + yi\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {x;y} \right)\).
Ta có: \(y = 2x + 1\) nên tập hợp điểm biểu diễn là đường thẳng \(y = 2x + 1\).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *