Nội dung bài học sẽ cung cấp đến các em khái niệm, tính chất, cách tính đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit, cùng với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit.
Cho số thực dương \(a\) khác 1.
Hàm số \(y=a^x\) được gọi là hàm số mũ cơ số \(a\).
Cho số thực dương \(a\) khác 1.
Hàm số \(y=\log_ax\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số \(a.\)
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) \(y = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x}\)
b) \(y = {2^{{x^2} - 3x}}\)
c) \(y = \frac{{{2^x} - 1}}{{{5^x}}}\)
d) \(y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\)
a) \(y = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x} \Rightarrow y' = \left( {2x - 2} \right){e^x} + \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x} = \left( {{x^2}} \right){e^x}\)
b) \(y = {2^{{x^2} - 3x}} \Rightarrow y' = (2x - 3){.2^{{x^2} - 3x}}.\ln 2\)
c) \(y = \frac{{{2^x} - 1}}{{{5^x}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} - {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x} \Rightarrow y' = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}.\ln \frac{2}{5} - {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x}.\ln \frac{1}{5}\)
d) \(y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\)
\(\Rightarrow y' = \frac{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) - \left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)}}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\)
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\)
b) \(y = \frac{{\ln x}}{x}\)
c) \(y = \left( {1 + \ln x} \right)\ln x\)
d) \(y = {\log _3}(3{x^2} + 2x + 1)\)
a) \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\)
b) \(y = \frac{{\ln x}}{x} \Rightarrow y' = \frac{1}{{{x^2}}}\left( {\frac{1}{x}.x - \ln x} \right) = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\)
c) \(y = \left( {1 + \ln x} \right)\ln x \Rightarrow y' = \frac{{\ln x}}{x} + \frac{{1 + \ln x}}{x} = \frac{{1 + 2\ln x}}{x}\)
d) \(y = {\log _3}(3{x^2} + 2x + 1)\) \(\Rightarrow y' = \frac{{\left( {3{x^2} + 1x + 1} \right)'}}{{(3{x^2} + 2x + 1).\ln 3}} = \frac{{6x + 2}}{{(3{x^2} + 2x + 1).\ln 3}}\)
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y = {\log _2}(25 - 4{x^2})\)
b) \(y = {\log _{2x + 1}}(3x + 1) - 2{\log _{3x + 1}}(2x + 1)\)
c) \(y = {\log _{\sqrt {3x + 2} }}(1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} )\)
a) Điều kiện: \(25 - 4{x^2} > 0 \Leftrightarrow - \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}\)
Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \frac{5}{2};\frac{5}{2}} \right).\)
b) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < 2x + 1 \ne 1\\ 0 < 3x + 1 \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge - \frac{1}{3}\\ x \ne 0 \end{array} \right.\)
Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).
c) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < 3x + 2 \ne 1\\ 1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - \frac{2}{3}\\ x \ne - \frac{1}{3}\\ x \ne 0 \end{array} \right.\)
Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \frac{2}{3}; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - \frac{1}{3};0} \right\}\).
Tìm m để hàm số \(y={\log _2}(2{x^2} + 3x + 2m - 1)\) xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Điều kiện: \(2{x^2} + 3x + 2m - 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
Ta có: \(\Delta = {3^2} - 4.2.(2m - 1) = 17 - 16m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{17}}{{16}}.\)
Vậy với \(m<\frac{17}{16}\) hàm số xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Nội dung bài học sẽ cung cấp đến các em khái niệm, tính chất, cách tính đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit, cùng với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 4để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng \(f\left( x \right)\) là một trong bốn hàm số được đưa ra trong các phương án A, B, C, D dưới đây. Tìm \(f\left( x \right)\).
Cho các hàm số \(y = {\log _2}x;y = {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x};\)
\(y = \log {\rm{x}};y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}.\)
Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó?
Kết quả tính đạo hàm nào sau đây sai?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 77 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 77 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 77 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 77 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 78 SGK Giải tích 12
Bài tập 2.27 trang 117 SBT Toán 12
Bài tập 2.28 trang 117 SBT Toán 12
Bài tập 2.29 trang 117 SBT Toán 12
Bài tập 2.30 trang 117 SBT Toán 12
Bài tập 2.31 trang 117 SBT Toán 12
Bài tập 2.32 trang 117 SBT Toán 12
Bài tập 2.33 trang 117 SBT Toán 12
Bài tập 2.34 trang 118 SBT Toán 12
Bài tập 2.35 trang 118 SBT Toán 12
Bài tập 2.36 trang 118 SBT Toán 12
Bài tập 2.37 trang 118 SBT Toán 12
Bài tập 2.38 trang 118 SBT Toán 12
Bài tập 2.39 trang 118 SBT Toán 12
Bài tập 2.40 trang 118 SBT Toán 12
Bài tập 2.41 trang 118 SBT Toán 12
Bài tập 2.42 trang 119 SBT Toán 12
Bài tập 2.43 trang 119 SBT Toán 12
Bài tập 2.44 trang 119 SBT Toán 12
Bài tập 2.45 trang 119 SBT Toán 12
Bài tập 47 trang 111 SGK Toán 12 NC
Bài tập 48 trang 112 SGK Toán 12 NC
Bài tập 49 trang 112 SGK Toán 12 NC
Bài tập 50 trang 112 SGK Toán 12 NC
Bài tập 51 trang 112 SGK Toán 12 NC
Bài tập 52 trang 112 SGK Toán 12 NC
Bài tập 53 trang 113 SGK Toán 12 NC
Bài tập 54 trang 113 SGK Toán 12 NC
Bài tập 55 trang 113 SGK Toán 12 NC
Bài tập 56 trang 113 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng \(f\left( x \right)\) là một trong bốn hàm số được đưa ra trong các phương án A, B, C, D dưới đây. Tìm \(f\left( x \right)\).
Cho các hàm số \(y = {\log _2}x;y = {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x};\) \(y = \log {\rm{x}};y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}.\) Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó?
Kết quả tính đạo hàm nào sau đây sai?
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{{9^x}}}\)
Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\).
Tìm đạo hàm của hàm số \(y = {\log _3}\left( {2 + {3^x}} \right).\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \frac{{x - 1}}{{x + 2}}.\)
Cho hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\). Khẳng định nào sau đây sai?
Tìm miền xác định của hàm số y = log5(x - 2x2)
Tìm đạo hàm của hàm số y = x.23x
Tìm x, biết \({9^x} = \frac{1}{3}\)
A.
B.
C. \(x = \frac{1}{2}\)
D. \(x = - \frac{1}{2}\)
Tìm x, biết \({(\sqrt 3 - \sqrt 2 )^x} = \sqrt 3 + \sqrt 2 \)
A.
B.
C. \(x = \frac{1}{2}\)
D.
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến ?
A. \(y = {\log _{\frac{1}{e}}}x\)
B. \(y = {\log _{\frac{\pi }{3}}}x\)
C. \(y = {\log _{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}x\)
D. \(y = {\log _{\frac{e}{3}}}x\)
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến?
A. \(y = \lg x\)
B. \(y = \ln x\)
C. \(y = {\log _{\sqrt 3 }}x\)
D. \(y = {\log _{\frac{2}{e}}}x\)
Khoảng 200 năm trước, hai nhà khoa học Pháp là Clô-zi-ut (Clausius) và Cla-pay-rông (Clapeyron) đã thấy rằng áp lực P của hơi nước (tính bằng milimét thủy ngân, viết tắt là mmHg) gây ra khi nó chiếm khoảng trống phía trên của mặt nước chứa trong một bình kín được tính theo công thức: \(P = a{.10^{\frac{k}{{t + 273}}}}\) , trong đó t là nhiệt độ C của nước, a và k là những hằng số. Cho biết k ≈ −2258,624
a) Tính a biết rằng khi nhiệt độ của nước là 1000C thì áp lực của hơi nước là 760 mmHg (tính chính xác đến hàng phần chục).
b) Tính áp lực của hơi nước khi nhiệt độ của nước là 400C (tính chính xác đến hàng phần chục).
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{_{x \to 0}} \frac{{{e^2} - {e^{3x}} + 2}}{x}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{_{x \to 0}} \frac{{{e^{2x}} - {e^{5x}}}}{x}\)
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
\(\begin{array}{l}
a)y = \left( {x - 1} \right){e^{2x}}\\
b)y = {x^2}.\sqrt {{e^{4x}} + 1} \\
c)y = \frac{1}{2}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)\\
d)y = \frac{1}{2}({e^x} + {e^{ - x}})
\end{array}\)
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên R?
a) \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\)
b) \(y = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} \right)^x}\)
Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\)
b) \(y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}\)
Sử dụng công thức \(L\left( {dB} \right) = 10\log \frac{I}{{{I_0}}}\) (xem bài đọc thêm “Lôgarit trong một số công thức đo lường “ tr.99), hãy tính gần đúng, chính xác đến hàng đơn vị, độ lớn dB của âm thanh có tỉ số \(\frac{I}{{{I_0}}}\) cho bảng sau rồi điền vào cột còn trống:
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{_{x \to 0}} \frac{{\ln (1 + 3x)}}{x}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{_{x \to 0}} \frac{{\ln (1 + {x^2})}}{x}\)
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
\(\begin{array}{l}
a)y = \left( {3x - 2} \right){\ln ^2}x\\
b)y = \sqrt {{x^2} + 1} \ln {x^2}\\
c)y = x.\ln \frac{1}{{1 + x}}\\
d)y = \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{x}
\end{array}\)
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác định của nó?
a) \(y = {\log _{\frac{2}{e}}}x\)
b) \(y = {\log _a}x\) với \(a = \frac{1}{{3\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}\)
Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\)
b) \(y = {\log _{\frac{2}{3}}}x\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Vì \(0 < 0,1 < 1\) nên hàm số \(y = {\left( {0,1} \right)^x}\) nghịch biến.
Mà \(\sqrt 2 > 0\) nên \({(0,1)^{\sqrt 2 }} < {\left( {0,1} \right)^0} = 1\).
Câu trả lời của bạn
Vì \(3,5 > 1\) nên hàm số \(y = {\left( {3,5} \right)^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Mà \(0,1 > 0\) nên \({(3,5)^{0,1}} > {\left( {3,5} \right)^0} = 1\)
Câu trả lời của bạn
Phương trình hoành độ giao điểm: \({2^x} = 8 \Leftrightarrow {2^x} = {2^3} \Leftrightarrow x = 3\).
Vậy giao điểm \(\displaystyle \left( {3;8} \right)\).
Câu trả lời của bạn
Vì \(0 < \dfrac{{\sqrt 5 }}{5} < 1\) nên hàm số \(y = {\left( {\dfrac{{\sqrt 5 }}{5}} \right)^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Mà \( - 1,2 < 0\) nên \({\left( {\dfrac{{\sqrt 5 }}{5}} \right)^{ - 1,2}} > {\left( {\dfrac{{\sqrt 5 }}{5}} \right)^0} = 1\).
Câu trả lời của bạn
Phương trình hoành độ giao điểm: \({3^x} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow {3^x} = {3^{ - 1}} \Leftrightarrow x = - 1\).
Vậy giao điểm \(\left( { - 1;\dfrac{1}{3}} \right)\).
Câu trả lời của bạn
Phương trình hoành độ giao điểm: \({\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^x} = \dfrac{1}{{16}} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^x} = {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow x = 2\)
Vậy giao điểm \(\left( {2;\dfrac{1}{{16}}} \right)\).
Câu trả lời của bạn
Hàm số \(y = {\left( {1,7} \right)^x}\) có \(1,7 > 1\) nên đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Mà \(3 > 0\) nên \({\left( {1,7} \right)^3} > {\left( {1,7} \right)^0} = 1\).
Câu trả lời của bạn
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}
{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = 9 \Leftrightarrow \frac{1}{{{3^x}}} = 9\\
\Leftrightarrow 1 = {3^x}.9 \Leftrightarrow {3^x} = \frac{1}{9}\\
\Leftrightarrow {3^x} = {9^{ - 1}} = {\left( {{3^2}} \right)^{ - 1}} = {3^{ - 2}}\\
\Leftrightarrow x = - 2
\end{array}\)
Vậy giao điểm \(\displaystyle \left( { - 2;9} \right)\).
Câu trả lời của bạn
Hàm số \(y = {\left( {3,2} \right)^x}\) có \(3,2 > 1\) nên đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Mà \(1,5 < 1,6\) nên \(\displaystyle {\left( {3,2} \right)^{1,5}} < \;{\left( {3,2} \right)^{1,6}}\).
Câu trả lời của bạn
Hàm số \(y = {\left( {0,2} \right)^x}\) có \(0 < 0,2 < 1\) nên nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Mà \( - 3 < - 2\) nên \(\displaystyle {\left( {0,2} \right)^{ - 3}} > {\left( {0,2} \right)^{ - 2}}\)
Câu trả lời của bạn
Hàm số \(y = {6^x}\) có \(6 > 1\) nên đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Mà \(\pi > 3,14\) nên \({6^\pi } > {6^{3,14}}\).
Câu trả lời của bạn
Trên đoạn \(\displaystyle \left[ { - 1;1} \right]\), ta có \(y = {2^{|x|}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x},khi\,\,\,x \in {\rm{[}}0;1]}\\{{2^{ - x}},khi\,\,\,x \in {\rm{[}} - 1;0]}\end{array}} \right.\)
+) Trên đoạn \(\displaystyle \left[ {0;1} \right]\), hàm số \(y=2^x\) có \(2 > 1\) nên hàm đồng biến.
+) Trên đoạn \(\displaystyle \left[ { - 1;0} \right]\) hàm số \(y=2^{-x} = \frac{1}{{{2^x}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\) có \(0 < \frac{1}{2} < 1\) nên hàm nghịch biến.
+) Lại có \(y( - 1) = {2^{ - ( - 1)}} = {2^1} = 2,\)\(y(0) = {2^0} = 1,y(1) = {2^1} = 2\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} y = y(1) = y( - 1) = 2,\)\(\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} y = y(0) = 1\).
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(\displaystyle - {x^2} + 5x + 6 > 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {6 - x} \right) > 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow - 1 < x < 6\).
Vậy TXĐ \(\displaystyle D = \left( { - 1;6} \right)\).
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(\displaystyle \dfrac{{x - 4}}{{x + 4}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 4\\x < - 4\end{array} \right.\).
Vậy TXĐ: \(\displaystyle D = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\).
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(\displaystyle {2^x} - 2 > 0 \Leftrightarrow {2^x} > 2\) \(\displaystyle \Leftrightarrow {2^x} > {2^1} \Leftrightarrow x > 1\).
Vậy TXĐ: \(\displaystyle D = \left( {1; + \infty } \right)\).
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(\displaystyle {3^{x - 1}} - 9 > 0 \Leftrightarrow {3^{x - 1}} > 9\) \(\displaystyle \Leftrightarrow {3^{x - 1}} > {3^2} \Leftrightarrow x - 1 > 2\) \(\displaystyle \Leftrightarrow x > 3\).
Vậy TXĐ: \(\displaystyle D = \left( {3; + \infty } \right)\).
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle y' = \frac {{\left( {{x^2} - 3x - 4} \right)'}}{{\left( {{x^2} - 3x - 4} \right)\ln 8}}\)\(\displaystyle = \frac {{2x - 3}}{{({x^2} - 3x - 4)\ln 8}}\)
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle y' = \frac {{\left( {\frac {{{x^2} - 9}}{{x + 5}}} \right)'}}{{\left( {\frac {{{x^2} - 9}}{{x + 5}}} \right)\ln 0,7}}\)\(\displaystyle = \frac {{2x\left( {x + 5} \right) - \left( {{x^2} - 9} \right)}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}.\frac {{x + 5}}{{{x^2} - 9}}.\frac {1}{{\ln 0,7}}\) \(\displaystyle = \frac {{{x^2} + 10x + 9}}{{({x^2} - 9)(x + 5)\ln 0,7}}\)
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle y' = \frac {{\left( {\frac {{x - 4}}{{x + 4}}} \right)'}}{{\frac {{x - 4}}{{x + 4}}\ln \frac {1}{3}}}\)\(\displaystyle = \frac {8}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}.\frac {{x + 4}}{{x - 4}}.\frac {1}{{ - \ln 3}}\) \(\displaystyle = \frac {8}{{ - \left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right).\ln 3}}\) \(\displaystyle = \frac {8}{{(16 - {x^2})\ln 3}}\)
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle y' = \frac {{\left( {{3^{x - 1}} - 9} \right)'}}{{\left( {{3^{x - 1}} - 9} \right)\ln 3}}\)\(\displaystyle = \frac {{{3^{x - 1}}\ln 3}}{{\left( {{3^{x - 1}} - 9} \right)\ln 3}} = \frac {{{3^{x - 1}}}}{{{3^{x - 1}} - 9}}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *