Trong chương trình phổ thông các lớp, các em đã quen với khái niệm bình phương của một số luôn luôn nhận được kết quả là một số không âm, hay số âm không có căn bậc hai. Từ thực tiễn tính toán và nhu cầu của các môn khoa học người ta đã cho ra đời con số i có bình phương bằng -1 là nền tảng của sự ra đời số phức. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em các khái niệm liên quan đến số phức và các tính chất của nó.
Tìm số thực x, y thỏa mãn:
a) \(5x + y + 5xi = 2y - 1 + (x - y)i.\)
b) \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\)
a)
\(\begin{array}{l} 5x + y + 5xi = 2y - 1 + (x - y)i\\ \Leftrightarrow (3x + y) + 5xi = (2y - 1) + (x - y)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + y = 2y - 1\\ 5x = x - y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{1}{7}.\\ y = \frac{4}{7}. \end{array} \right. \end{array}\)
b)
Ta có: \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\) khi:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - x + 2y = 4x - y - 3}\\ {2x + 3y + 1 = 3x - 2y + 2} \end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x - 3y = 3}\\ {x - 5y = - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{9}{{11}}}\\ {y = \frac{4}{{11}}} \end{array}} \right.\)
Tìm số phức z biết:
a) \(\left| z \right| = 5\) và \(z = \overline z\).
b) \(\left| z \right| = 4\) và \(z = -\overline z.\)
c) \(\left| z \right| = 6\) và phần thực của số phức z bằng ba lần phần ảo của z.
Gọi số phức z cần tìm là \(z=x+yi\) suy ra: \(\overline z = x - yi\)
a) Ta có: \(z = \overline z\) nên \(x + yi = x - yi \Leftrightarrow 2yi = 0 \Leftrightarrow y = 0.\)
Mà \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2}} = 5 \Leftrightarrow x = \pm 5.\)
Vậy số phức cần tìm là z=5; z=-5.
b) Ta có: \(z = -\overline z\) nên \(x + yi = -x + yi \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x= 0.\)
Mà \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{y^2}} = 4 \Leftrightarrow y = \pm 4.\)
Vậy số phức z cần tìm là z=4i; z=-4i.
c) Phần thực của số phức z là x và phần ảo là y nên x=3y. Do đó ta có:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ {\left( {3y} \right)^2} + {y^2} = 36 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ {y^2} = \frac{{18}}{5} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{3\sqrt {10} }}{5};x = \frac{{9\sqrt {10} }}{5}\\ y = - \frac{{3\sqrt {10} }}{5};x = - \frac{{9\sqrt {10} }}{5} \end{array} \right. \end{array}\)
vậy ta có \(z = \frac{{9\sqrt {10} }}{5} + \frac{{3\sqrt {10} }}{5}i;\,\,z = - \frac{{9\sqrt {10} }}{5} - \frac{{3\sqrt {10} }}{5}i.\)
Trong chương trình phổ thông các lớp, các em đã quen với khái niệm bình phương của một số luôn luôn nhận được kết quả là một số không âm, hay số âm không có căn bậc hai. Từ thực tiễn tính toán và nhu cầu của các môn khoa học người ta đã cho ra đời con số i có bình phương bằng -1 là nền tảng của sự ra đời số phức. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em các khái niệm liên quan đến số phức và các tính chất của nó.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho số phức \(z = ax + bi\,\left( {a,b \in R} \right)\), mệnh đề nào sau đây là sai?
Tìm điểm biểu diễn của số phức \(z = 5 - 3i\) trên mặt phẳng phức.
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 133 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 133 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 134 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 134 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 134 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 134 SGK Giải tích 12
Bài tập 4.1 trang 198 SBT Toán 12
Bài tập 4.2 trang 198 SBT Toán 12
Bài tập 4.3 trang 199 SBT Toán 12
Bài tập 4.4 trang 199 SBT Toán 12
Bài tập 4.5 trang 199 SBT Toán 12
Bài tập 4.6 trang 199 SBT Toán 12
Bài tập 4.7 trang 200 SBT Toán 12
Bài tập 1 trang 189 SGK Toán 12 NC
Bài tập 2 trang 189 SGK Toán 12 NC
Bài tập 3 trang 189 SGK Toán 12 NC
Bài tập 4 trang 189 SGK Toán 12 NC
Bài tập 5 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 6 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 7 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 8 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 9 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 10 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 11 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 12 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 13 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 14 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 15 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 16 trang 191 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho số phức \(z = ax + bi\,\left( {a,b \in R} \right)\), mệnh đề nào sau đây là sai?
Tìm điểm biểu diễn của số phức \(z = 5 - 3i\) trên mặt phẳng phức.
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Xác định tập hợp các điểm trong hệ tọa độ vuông góc biểu diễn số phức \(z = x + iy\) thỏa mãn điều kiện \(\left| z \right| = 2\).
Số phức thỏa mãn điều kiện vào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo?
Cho số phức z=a+bi . Số phức \(z^2\) có phần thực là :
Cho số phức z = 2 – 2i. Tìm khẳng định sai
Tìm các số thực \(x, y\) sao cho
\(\left( {x - 2y} \right) + \left( {x + y + 4} \right)i = \left( {2x + y} \right) + 2yi\)
Hai số phức \({z_1} = x - 2i,{z_2} = 2 + yi\,\left( {x,y \in R} \right)\) là liên hợp của nhau khi
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thòa mãn \(\left| z \right| = \left| {1 + i} \right|\) là
Chứng minh rằng
a) Nếu vecto \(\vec u\) của mạt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ \(\vec u\) là |\(\vec u\)| = |z|, và từ đó nếu các điểm A1, A2 theo thứ tự biểu diễn các số phức z1; z2 thì \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|\)
b) Với mọi số phức z, z', ta có |zz′| = |z||z′| và khi z ≠ 0 thì \(\left| {\frac{{z'}}{z}} \right| = \frac{{|z'|}}{{|z|}}\)
c) Với mọi số phức z, z', ta có |z+z′| ≤ |z| + |z′|.
Xác định tập hợp câc điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) |z - i| = 1
b) \(\left| {\frac{{z - i}}{{z + i}}} \right| = 1\)
c) \(|z| = \mid \overline z - 3 + 4i\mid \)
Chứng minh rằng với mọi số phức z ≠ 1, ta có:
\(1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = \frac{{{z^{10}} - 1}}{{z - 1}}\)
Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?
\({z^2} + {\left( {\bar z} \right)^2};\frac{{z - \bar z}}{{{z^3} + {{\left( {\bar z} \right)}^3}}};\frac{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 + z.\overline z }}\)
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) z2 là số thực âm;
b) z2 là là số ảo;
c) \({z^2} = {\left( {\bar z} \right)^2}\)
d) \(\frac{1}{{z - i}}\) là số ảo
Giải các phương trình sau (với ẩn z)
a) iz + 2 − i = 0
b) (2 + 3i)z = z − 1
c) \(\left( {2 - i} \right)\bar z - 4 = 0\)
d) \(\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\bar z - 2 + 3i} \right) = 0\)
e) z2 + 4 = 0
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
a) Cho số phức z = x + yi. Khi z ≠ i, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\)
b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\) là số thực dương.
a) Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z1, z2, z3. Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?
b) Xét ba điểm A,B,C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z1, z2, z3 thỏa mãn |z1| = |z2| = |z3|
Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi z1 + z2 + z3 = 0
Đố vui. Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A' biểu diễn số phức z′ ≠ 0 và B' biểu diễn số phức zz'.
Hai tam giác OAB, OA'B' có phải là hai tam giác dồng dạng không?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn từng điều kiện sau: \(\left| {{{z - i} \over {z + i}}} \right| = 1\)
Câu trả lời của bạn
Giả sử z=x+yi, \(x,y\in R\).
Ta có:\(\left| {{{z - i} \over {z + i}}} \right| = 1 \) \( \Leftrightarrow \frac{{\left| {z - i} \right|}}{{\left| {z + i} \right|}} = 1\) \(\Leftrightarrow \left| {z - i} \right| = \left| {z + i} \right| \) \(\Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {x + \left( {y + 1} \right)i} \right|\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y + 1 \) \(= {x^2} + {y^2} + 2y + 1\)
\( \Leftrightarrow y = 0 \)
\(\Leftrightarrow \) z là số thực.
Tập hợp M là trục thực \(Ox\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\left( {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right)\left( {z - 1} \right) \\= z + {z^2} + ... + {z^{10}} \\- \left( {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right) \\= z + {z^2} + ... + {z^{10}}\\-1-z-z^2-...-z^9\\= {z^{10}} - 1\)
Vì \(z \ne 1\) nên chia hai vế cho \(z - 1\) ta được: \(1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = {{{z^{10}} - 1} \over {z - 1}}\)
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn từng điều kiện sau: \(\left| z \right| = \left| {\overline z - 3 + 4i} \right|\).
Câu trả lời của bạn
Giả sử z=x+yi, \(x,y\in R\).
\(\left| z \right| = \left| {\overline z - 3 + 4i} \right| \) \(\Leftrightarrow \left| {x + yi} \right| = \left| {x - yi - 3 + 4i} \right|\)
\( \Leftrightarrow \left| {x + yi} \right| = \left| {\left( {x - 3} \right) + \left( {4 - y} \right)i} \right| \) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2}\) \( = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {4 - y} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 6x + 8y = 25\)
Tập hợp M là đường thẳng có phương trình: \(6x + 8y = 25\)
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn từng điều kiện \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2}\);
Câu trả lời của bạn
\(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\)
Ta có \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} \) \(\Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi ={x^2} - {y^2} - 2xyi\) \(\Leftrightarrow xy = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = 0 \hfill \cr} \right.\)
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là các trục tọa độ.
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn từng điều kiện \(z^2\) là là số ảo;
Câu trả lời của bạn
\({z^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\)
\(z^2\) là số ảo \( \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = 0 \Leftrightarrow x = y\) hoặc \(y = -x\)
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hai đường phân giác của các gốc tọa độ.
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn từng điều kiện \(z^2\) là số thực âm;
Câu trả lời của bạn
Giả sử \(z=x+yi\)
\({z^2} = {\left( {x + yi} \right)^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\)
\(z^2\) là số thực âm
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xy = 0\\
{x^2} - {y^2} < 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 0
\end{array} \right.\\
{x^2} < {y^2}
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
0 < {y^2}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
y = 0\\
{x^2} < 0\left( {VN} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y \ne 0
\end{array} \right.\)
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là trục \(Oy\) trừ điểm \(O\).
Giải phương trình sau (với ẩn z): \(iz + 2 - i = 0\);
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle iz + 2 - i = 0 \Leftrightarrow iz = i - 2 \) \(\displaystyle \Leftrightarrow z = {{ - 2 + i} \over i} = {{\left( { - 2 + i} \right)i} \over { - 1}}\) \(= \dfrac{{ - 2i - 1}}{{ - 1}}\) \(\displaystyle \Leftrightarrow z = 1 + 2i\)
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn từng điều kiện \({1 \over {z - i}}\) là số ảo.
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{z - i}} = \dfrac{1}{{x + yi - i}} = \dfrac{1}{{x + \left( {y - 1} \right)i}}\\
= \dfrac{{x - \left( {y - 1} \right)i}}{{\left[ {x + \left( {y - 1} \right)i} \right]\left[ {x - \left( {y - 1} \right)i} \right]}}\\
= \dfrac{{x - \left( {y - 1} \right)i}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{x}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{y - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}i
\end{array}\)
\(\dfrac{1}{{z - i}}\) là số ảo nếu:
\(\begin{array}{l}
\dfrac{x}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} = 0\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
{\left( {y - 1} \right)^2} \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y \ne 1
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy tập hợp các điểm cầm tìm là trục ảo trừ điểm \(I(0; 1)\) biểu diễn số \(i\).
Cách khác:
\({1 \over {z - i}}\) là số ảo \( \Leftrightarrow z - i\) là số ảo và \(z \ne i \Leftrightarrow z\) là số ảo khác i.
Vậy tập hợp các điểm cầm tìm là trục ảo trừ điểm \(I(0; 1)\) biểu diễn số \(i\).
Giải phương trình sau (với ẩn z): \(\left( {2 - i} \right)\overline z - 4 = 0\);
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle \left( {2 - i} \right)\overline z - 4 = 0 \) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left( {2 - i} \right)\overline z = 4 \) \(\displaystyle \Leftrightarrow \overline z = {4 \over {2 - i}} \) \(\displaystyle = {{4\left( {2 + i} \right)} \over {2^2+1^2}} \) \(\displaystyle = {{8+4i} \over {5}} \) \(\displaystyle \Leftrightarrow z = {8 \over 5} - {4 \over 5}i\)
Giải phương trình sau (với ẩn z): \(\left( {2 + 3i} \right)z = z - 1\);
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle \left( {2 + 3i} \right)z = z - 1\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left( {1 + 3i} \right)z = - 1\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow z = {{ - 1} \over {1 + 3i}} \) \(\displaystyle = {{ - 1(1- 3i)} \over {\left( {1 + 3i} \right)\left( {1 - 3i} \right)}} \) \(\displaystyle = {{ - 1 + 3i} \over {1+9}}\) \(\displaystyle = - {1 \over {10}} + {3 \over {10}}i\)
Cho số phức \(z=x+yi\). Khi \(z \ne i\), hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức \({{z + i} \over {z - i}}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\displaystyle {{z + i} \over {z - i}} = {{x + \left( {y + 1} \right)i} \over {x + \left( {y - 1} \right)i}} \) \(\displaystyle = {{\left[ {x + \left( {y + 1} \right)i} \right]\left[ {x - \left( {y - 1} \right)i} \right]} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} \) \(\displaystyle = \frac{{{x^2} + \left( {xy + x} \right)i - \left( {xy - x} \right)i - \left( {{y^2} - 1} \right){i^2}}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\) \(\displaystyle = \frac{{{x^2} + 2xi + \left( {{y^2} - 1} \right)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\) \(\displaystyle = {{{x^2} + {y^2} - 1} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} + {{2x} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}i\)
Vậy phần thực là \(\displaystyle {{{x^2} + {y^2} - 1} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\), phần ảo là \(\displaystyle {{2x} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\).
Giải phương trình sau (với ẩn z): \({z^2} + 4 = 0\);
Câu trả lời của bạn
\({z^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {z^2} - 4{i^2}=0 \) \(\Leftrightarrow \left( {z - 2i} \right)\left( {z + 2i} \right) = 0 \) \( \Leftrightarrow z = 2i\text{ hoặc } z = - 2i\).
Vậy \(S = \left\{ {2i, - 2i} \right\}\)
Giải phương trình sau (với ẩn z): \(\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\overline z - 2 + 3i} \right) = 0\);
Câu trả lời của bạn
\(\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\overline z - 2 + 3i} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ iz - 1 = 0 \hfill \cr z + 3i = 0 \hfill \cr \overline z - 2 + 3i = 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
iz = 1\\
z = - 3i\\
\overline z = 2 - 3i
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = {1 \over i} = - i \hfill \cr z = - 3i \hfill \cr z = 2 + 3i \hfill \cr} \right.\)
Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \left\{ { - i, - 3i,2 + 3i} \right\}\)
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \({{z + i} \over {z - i}}\) là số thực dương.
Câu trả lời của bạn
Với \(z \ne i\),
Theo câu a, \(\dfrac{{z + i}}{{z - i}} \) \( = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{2x}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}i\)
Nên để \(\dfrac{{z + i}}{{z - i}}\) là số thực dương thì \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} = 0\\\dfrac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} > 0\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \ne 0\\{x^2} + {y^2} - 1 > 0\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\{\left( {y - 1} \right)^2} \ne 0\\{y^2} - 1 > 0\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y \ne 1\\\left[ \begin{array}{l}y > 1\\y < - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0,y > 1\\x = 0,y < - 1\end{array} \right.\)
Vậy quỹ tích điểm cần tìm là trục ảo bỏ đi đoạn thẳng IJ, trong đó I(0; 1); J(0; -1).
Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm \(A, B, C\) không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\). Hỏi trọng tâm của tam giác \(ABC\) biểu diễn số phức nào?
Câu trả lời của bạn
Giả sử z1=a1+b1 i => A(a1;b1)
z2=a2+b2 i=>B(a2;b2)
z3=a3+b3 i=>C(a3;b3)
Suy ra trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{a_1} + {a_2} + {a_3}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{b_1} + {b_2} + {b_3}}}{3}\end{array} \right.\)
Lại có \(\dfrac{1}{3}\left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right)\) \( = \dfrac{1}{3}\left( {{a_1} + {b_1}i + {a_2} + {b_2}i + {a_3} + {b_3}i} \right)\) \( = \dfrac{1}{3}\left[ {\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) + \left( {{b_1} + {b_2} + {b_3}} \right)i} \right]\)
\( = \dfrac{{{a_1} + {a_2} + {a_3}}}{3} + \dfrac{{{b_1} + {b_2} + {b_3}}}{3}i\)
Do đó điểm \(G\) biểu diễn số phức \(\dfrac{1}{3}\left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right)\)
Xét ba điểm \(A, B, C\) của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|\). Chứng minh rằng \(A, B, C\) là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi \({z_1} + {z_2} + {z_3} = 0\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|\\
\Leftrightarrow \sqrt {a_1^2 + b_1^2} = \sqrt {a_2^2 + b_2^2} = \sqrt {a_3^2 + b_3^2} \\
\Leftrightarrow OA = OB = OC
\end{array}\)
Do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Tam giác \(ABC\) là tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm \(G\) của nó trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp, tức là \(G \equiv O\) hay:
\(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{a_1} + {a_2} + {a_3}}}{3} = 0\\
\frac{{{b_1} + {b_2} + {b_3}}}{3} = 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a_1} + {a_2} + {a_3} = 0\\
{b_1} + {b_2} + {b_3} = 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow {z_1} + {z_2} + {z_3} = 0\)
Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: \( - i\);\(4i\);\( - 4\);\(1 + 4\sqrt 3 i\).
Câu trả lời của bạn
* Giả sử \(z=x+yi\) là căn bậc hai của \(-i\), ta có:
\({\left( {x + yi} \right)^2} = - i \) \(\Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = - i\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr 2xy = - 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)
Từ (2) suy ra \(y = - {1 \over {2x}}\) thế vào (1) ta được:
\({x^2} - {1 \over {4{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^4} = {1 \over 4} \Leftrightarrow x = \pm {1 \over {\sqrt 2 }}\)
+) Với \(x = {1 \over {\sqrt 2 }}\)ta có \(y = - {1 \over {2x}} = - {1 \over {\sqrt 2 }}\)
+) Với \(x = - {1 \over {\sqrt 2 }}\)ta có \(y = - {1 \over {2x}} = {1 \over {\sqrt 2 }}\)
Hệ có hai nghiệm là: \(\left( { - {1 \over {\sqrt 2 }},{1 \over {\sqrt 2 }}} \right),\left( {{1 \over {\sqrt 2 }}, - {1 \over {\sqrt 2 }}} \right)\)
Vậy \(–i\) có hai căn bậc hai là: \({z_1} = - {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i\),\({z_2} = {1 \over {\sqrt 2 }} - {1 \over {\sqrt 2 }}i\)
* Giả sử \(z=x+yi\) là căn bậc hai của \(4i\), ta có:
\({\left( {x + yi} \right)^2} = 4i \) \(\Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = 4i \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr xy = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)
Thay \(y = {2 \over x}\) vào phương trình thứ nhất ta được:
\({x^2} - {4 \over {{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^4} = 4 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \)
+) Với \(x = \sqrt 2 \) ta có \(y = {2 \over x} = \sqrt 2 \);
+) Với \(x = - \sqrt 2 \) ta có \(y = - \sqrt 2 \)
Hệ có hai nghiệm \(\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\),\(\left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right)\)
Vậy \(4i\) có hai căn bậc hai là:\({z_1} = \sqrt 2 + \sqrt 2 i\); \({z_2} = - \sqrt 2 - \sqrt 2 i\)
* Ta có \( - 4 = 4{i^2} = {\left( {2i} \right)^2}\) do đó \(-4\) có hai căn bậc hai là \( \pm 2i\)
* Giả sử \(z=x+yi\) là căn bậc hai của \(1 + 4\sqrt 3 i\).
\({\left( {x + yi} \right)^2} = 1 + 4\sqrt 3 i\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 1 \hfill \cr \,2xy = 4\sqrt 3 \, \hfill \cr} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = {{2\sqrt 3 } \over x} \hfill \cr {x^2} - {{12} \over {{x^2}}}=1 \hfill \cr} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{2\sqrt 3 }}{x}\\
{x^4} - {x^2} - 12 = 0
\end{array} \right. \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{2\sqrt 3 }}{x}\\
\left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 4\\
{x^2} = - 3\left( {loai} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = {{2\sqrt 3 } \over x} \hfill \cr {x^2} = 4 \hfill \cr} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\) hoặc \(\left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr y = - \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)
Hệ có hai nghiệm \(\left( {2;\sqrt 3 } \right),\left( { - 2; - \sqrt 3 } \right)\)
Vậy \(1 + 4\sqrt 3 i\) có hai căn bậc hai là:\({z_1} = 2 + \sqrt 3 i\),\({z_2} = - 2 - \sqrt 3 i\)
Chứng minh rằng nếu \(z\) là một căn bậc hai của số phức \({\rm{w}}\) thì \(\left| z \right| = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \).
Câu trả lời của bạn
Giả sử \(z=x+yi\) và \(\rm{w}=a+bi\)
\(z\) là một căn bậc hai của số phức w thì \({z^2} = {\rm{w}}\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = a + bi \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = a + bi \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - {y^2} = a \hfill \cr
2xy = b \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} = {a^2} \hfill \cr
4{x^2}{y^2} = {b^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2} = {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = {x^2} + {y^2} \cr} \)
\( \Rightarrow {\left| z \right|^2} = \left| {\rm{w}} \right| \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left| z \right|}^2}} = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \)
Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai sau: \({z^2} = z + 1\);
Câu trả lời của bạn
Ta có \({z^2} = z + 1 \) \(\Leftrightarrow {z^2} - z = 1\) \( \Leftrightarrow {z^2} - z + {1 \over 4} = {5 \over 4}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {z - {1 \over 2}} \right)^2} = {5 \over 4} \) \(\Leftrightarrow z - {1 \over 2} = \pm {{\sqrt 5 } \over 2} \) \(\Leftrightarrow z = {1 \over 2} \pm {{\sqrt 5 } \over 2}\)
Cách khác:
\({z^2} = z + 1 \) \(\Leftrightarrow {z^2} - z - 1=0\)
Ta có: \(\Delta = {1^2} - 4.\left( { - 1} \right) = 5 > 0\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({z_{1,2}} = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\).
Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai sau: \({z^2} + 2z + 5 = 0\)
Câu trả lời của bạn
\({z^2} + 2z + 5 = 0 \) \(\Leftrightarrow {\left( {z + 1} \right)^2} = - 4 = {\left( {2i} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z + 1 = 2i \hfill \cr z + 1 = - 2i \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = - 1 + 2i \hfill \cr z = - 1 - 2i \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = \left\{ { - 1 + 2i; - 1 - 2i} \right\}\)
Cách khác:
Ta có: \(\Delta' = {1^2} - 1.5 = -4 < 0\) có một căn bậc hai là \(2i\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm phức \({z_{1,2}} = -1\pm 2i\).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *