Trong chương trình phổ thông các lớp, các em đã quen với khái niệm bình phương của một số luôn luôn nhận được kết quả là một số không âm, hay số âm không có căn bậc hai. Từ thực tiễn tính toán và nhu cầu của các môn khoa học người ta đã cho ra đời con số i có bình phương bằng -1 là nền tảng của sự ra đời số phức. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em các khái niệm liên quan đến số phức và các tính chất của nó.
Tìm số thực x, y thỏa mãn:
a) \(5x + y + 5xi = 2y - 1 + (x - y)i.\)
b) \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\)
a)
\(\begin{array}{l} 5x + y + 5xi = 2y - 1 + (x - y)i\\ \Leftrightarrow (3x + y) + 5xi = (2y - 1) + (x - y)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + y = 2y - 1\\ 5x = x - y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{1}{7}.\\ y = \frac{4}{7}. \end{array} \right. \end{array}\)
b)
Ta có: \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\) khi:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - x + 2y = 4x - y - 3}\\ {2x + 3y + 1 = 3x - 2y + 2} \end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x - 3y = 3}\\ {x - 5y = - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{9}{{11}}}\\ {y = \frac{4}{{11}}} \end{array}} \right.\)
Tìm số phức z biết:
a) \(\left| z \right| = 5\) và \(z = \overline z\).
b) \(\left| z \right| = 4\) và \(z = -\overline z.\)
c) \(\left| z \right| = 6\) và phần thực của số phức z bằng ba lần phần ảo của z.
Gọi số phức z cần tìm là \(z=x+yi\) suy ra: \(\overline z = x - yi\)
a) Ta có: \(z = \overline z\) nên \(x + yi = x - yi \Leftrightarrow 2yi = 0 \Leftrightarrow y = 0.\)
Mà \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2}} = 5 \Leftrightarrow x = \pm 5.\)
Vậy số phức cần tìm là z=5; z=-5.
b) Ta có: \(z = -\overline z\) nên \(x + yi = -x + yi \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x= 0.\)
Mà \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{y^2}} = 4 \Leftrightarrow y = \pm 4.\)
Vậy số phức z cần tìm là z=4i; z=-4i.
c) Phần thực của số phức z là x và phần ảo là y nên x=3y. Do đó ta có:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ {\left( {3y} \right)^2} + {y^2} = 36 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ {y^2} = \frac{{18}}{5} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{3\sqrt {10} }}{5};x = \frac{{9\sqrt {10} }}{5}\\ y = - \frac{{3\sqrt {10} }}{5};x = - \frac{{9\sqrt {10} }}{5} \end{array} \right. \end{array}\)
vậy ta có \(z = \frac{{9\sqrt {10} }}{5} + \frac{{3\sqrt {10} }}{5}i;\,\,z = - \frac{{9\sqrt {10} }}{5} - \frac{{3\sqrt {10} }}{5}i.\)
Trong chương trình phổ thông các lớp, các em đã quen với khái niệm bình phương của một số luôn luôn nhận được kết quả là một số không âm, hay số âm không có căn bậc hai. Từ thực tiễn tính toán và nhu cầu của các môn khoa học người ta đã cho ra đời con số i có bình phương bằng -1 là nền tảng của sự ra đời số phức. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em các khái niệm liên quan đến số phức và các tính chất của nó.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho số phức \(z = ax + bi\,\left( {a,b \in R} \right)\), mệnh đề nào sau đây là sai?
Tìm điểm biểu diễn của số phức \(z = 5 - 3i\) trên mặt phẳng phức.
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 133 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 133 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 134 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 134 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 134 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 134 SGK Giải tích 12
Bài tập 4.1 trang 198 SBT Toán 12
Bài tập 4.2 trang 198 SBT Toán 12
Bài tập 4.3 trang 199 SBT Toán 12
Bài tập 4.4 trang 199 SBT Toán 12
Bài tập 4.5 trang 199 SBT Toán 12
Bài tập 4.6 trang 199 SBT Toán 12
Bài tập 4.7 trang 200 SBT Toán 12
Bài tập 1 trang 189 SGK Toán 12 NC
Bài tập 2 trang 189 SGK Toán 12 NC
Bài tập 3 trang 189 SGK Toán 12 NC
Bài tập 4 trang 189 SGK Toán 12 NC
Bài tập 5 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 6 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 7 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 8 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 9 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 10 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 11 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 12 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 13 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 14 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 15 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 16 trang 191 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho số phức \(z = ax + bi\,\left( {a,b \in R} \right)\), mệnh đề nào sau đây là sai?
Tìm điểm biểu diễn của số phức \(z = 5 - 3i\) trên mặt phẳng phức.
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Xác định tập hợp các điểm trong hệ tọa độ vuông góc biểu diễn số phức \(z = x + iy\) thỏa mãn điều kiện \(\left| z \right| = 2\).
Số phức thỏa mãn điều kiện vào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo?
Cho số phức z=a+bi . Số phức \(z^2\) có phần thực là :
Cho số phức z = 2 – 2i. Tìm khẳng định sai
Tìm các số thực \(x, y\) sao cho
\(\left( {x - 2y} \right) + \left( {x + y + 4} \right)i = \left( {2x + y} \right) + 2yi\)
Hai số phức \({z_1} = x - 2i,{z_2} = 2 + yi\,\left( {x,y \in R} \right)\) là liên hợp của nhau khi
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thòa mãn \(\left| z \right| = \left| {1 + i} \right|\) là
Chứng minh rằng
a) Nếu vecto \(\vec u\) của mạt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ \(\vec u\) là |\(\vec u\)| = |z|, và từ đó nếu các điểm A1, A2 theo thứ tự biểu diễn các số phức z1; z2 thì \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|\)
b) Với mọi số phức z, z', ta có |zz′| = |z||z′| và khi z ≠ 0 thì \(\left| {\frac{{z'}}{z}} \right| = \frac{{|z'|}}{{|z|}}\)
c) Với mọi số phức z, z', ta có |z+z′| ≤ |z| + |z′|.
Xác định tập hợp câc điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) |z - i| = 1
b) \(\left| {\frac{{z - i}}{{z + i}}} \right| = 1\)
c) \(|z| = \mid \overline z - 3 + 4i\mid \)
Chứng minh rằng với mọi số phức z ≠ 1, ta có:
\(1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = \frac{{{z^{10}} - 1}}{{z - 1}}\)
Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?
\({z^2} + {\left( {\bar z} \right)^2};\frac{{z - \bar z}}{{{z^3} + {{\left( {\bar z} \right)}^3}}};\frac{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 + z.\overline z }}\)
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) z2 là số thực âm;
b) z2 là là số ảo;
c) \({z^2} = {\left( {\bar z} \right)^2}\)
d) \(\frac{1}{{z - i}}\) là số ảo
Giải các phương trình sau (với ẩn z)
a) iz + 2 − i = 0
b) (2 + 3i)z = z − 1
c) \(\left( {2 - i} \right)\bar z - 4 = 0\)
d) \(\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\bar z - 2 + 3i} \right) = 0\)
e) z2 + 4 = 0
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
a) Cho số phức z = x + yi. Khi z ≠ i, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\)
b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\) là số thực dương.
a) Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z1, z2, z3. Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?
b) Xét ba điểm A,B,C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z1, z2, z3 thỏa mãn |z1| = |z2| = |z3|
Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi z1 + z2 + z3 = 0
Đố vui. Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A' biểu diễn số phức z′ ≠ 0 và B' biểu diễn số phức zz'.
Hai tam giác OAB, OA'B' có phải là hai tam giác dồng dạng không?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: |z|=5 và phần ảo của z là 2.
Câu trả lời của bạn
đặc số phức \(z=a+bi;\left(a;b\in R\right)\)
\(\Rightarrow\left|z\right|=5\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}=5\Leftrightarrow a^2+b^2=25\)
\(\Leftrightarrow a^2+2^2=25\Leftrightarrow a^2=21\) (phần ảo của \(z\) là \(2\))
\(\Leftrightarrow a=\pm\sqrt{21}\)
vậy \(z=\sqrt{21}+2i;z=-\sqrt{21}+2i\)
Câu 1: Cho số phức z thỏa \(\left|z\right|\le2\) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(p=2\left|z+1\right|+2\left|z-1\right|+\left|z-\overline{z}-4i\right|\)bằng bao nhiêu.
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Đặt \(z=a+bi\). Ta có: \(|z|\leq 2\Leftrightarrow a^2+b^2\leq 4\)
Có:
\(p=2|z+1|+2|z-1|+|z-\overline{z}-4i|\)
\(=2|(a+1)+bi|+2|(a-1)+bi|+|(a+bi)-(a-bi)-4i|\)
\(=2\sqrt{(a+1)^2+b^2}+2\sqrt{(a-1)^2+b^2}+\sqrt{(2b-4)^2}\)
\(=2\sqrt{(a+1)^2+b^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}+4-2b\)
(do \(a^2+b^2\leq 4\Rightarrow b^2\leq 4\Rightarrow b\leq 2\Rightarrow \sqrt{(2b-4)^2}=4-2b\) )
\(\Leftrightarrow p=2[\sqrt{(a+1)^2+b^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}-b+2]\)
Theo BĐT Mincopxky :
\(p\geq 2(\sqrt{(a+1+1-a)^2+(b+b)^2}-b+2)\)
\(\Leftrightarrow p\geq 2(2\sqrt{b^2+1}-b+2)\)
Xét \(f(b)=2\sqrt{b^2+1}-b+2\) với \(b\in [-2;2]\)
Có: \(f'(b)=\frac{2b}{\sqrt{b^2+1}}-1=0\Leftrightarrow b=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\)
Lập bảng biến thiên ta suy ra \(f(b)_{\min}=f(\frac{\sqrt{3}}{3})=2+\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow p\geq 2f(b)\geq 2(2+\sqrt{3})\)
Vậy \(p_{\min}=4+2\sqrt{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(b=\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{a+1}{1-a}=\frac{b}{b}=1\Rightarrow a=0\)
Xét các số phức z thỏa mãn ( \(\overline{z}\) - 2i) ( z + 2 ) là số thuần ảo . Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng
A . \(2\sqrt{2}\)
B . \(\sqrt{2}\)
C . 2
D . 4
( giải chi tiết đáp án giúp mk nka ) giúp với đi
Câu trả lời của bạn
ta có : \(\left(\overline{z}-2i\right)\left(z+2\right)=\overline{z}z+2\overline{z}-2zi-4i\)
\(=a^2+b^2+2\left(a-bi\right)-2\left(a+bi\right)i-4i\)
\(=a^2+b^2+2a-2bi-2ai-2bi^2-4i\)
\(=a^2+b^2+2a-2bi-2ai+2b-4i\)\(=\left(a^2+b^2+2a+2b\right)-2bi-2ai-4i\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\overline{z}-2i\right)\left(z+2\right)\) là số thuần ảo \(\Leftrightarrow a^2+b^2+2a+2b=0\)
\(\Rightarrow R=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\) \(\Rightarrow\left(B\right)\)
trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức \(\left|\dfrac{z-i}{z+i}\right|=1\)
a. hai đường thẳng y= +/- 1, trừ điểm (o:-1)
b. hình chữ nhật giới hạn bởi các đường x= +/-1: y= +/- 1
c. đường tròn (x+1)2 + (y-1)2 = 1
d. trục 0x
Câu trả lời của bạn
\(\dfrac{\left|z-i\right|}{\left|z+i\right|}\Leftrightarrow\left|z-i\right|=\left|z+i\right|\Leftrightarrow\left|x+yi-i\right|=\left|x+yi+i\right|\)\(\Leftrightarrow\left(\left|x^2+\left(y+1\right)^2\right|\right)^2=\left(\left|x^2+\left(y-1\right)^2\right|\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2y+1=x^2+y^2+2y+1\)
\(\Rightarrow y=0\)
Vậy là trục 0x
Đ/án : D
Cho 2 số phức \(z_1=1-2i, z_2=1+mi\).Tìm m để số phức \(w=\frac{z_2}{z_1}+i\) là số thực
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Ta có: \(w=\frac{z_2}{z_1}+i=\frac{1+mi}{1-2i}+i=\frac{(1+mi)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}+i\)
\(\Leftrightarrow w=\frac{1-2m+i(m+2)}{5}+i=\frac{1-2m+i(m+7)}{5}\)
Do đó, để $w$ là một số thực thì \(1-2m+i(m+7)\) phải là số thực. Điều này xảy ra khi mà \(m+7=0\Leftrightarrow m=-7\)
Vậy........
Xét các số phức z thõa mãn \(\left|z+2-i\right|+\left|z-4-7i\right|=6\sqrt{2}\) . Tìm Max, min của \(\left|z-1+i\right|\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Trên mp tọa độ \(Oxy\) ta xét các điểm \(A(-2,1);B(4,7);C(1,-1)\). Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là $M$
Theo bài ra ta có:
\(|z-(-2+i)|+|z-(4+7i)|=6\sqrt{2}\Leftrightarrow MA+MB=6\sqrt{2}\)
Mà \(AB=\sqrt{(-2-4)^2+(1-7)^2}=6\sqrt{2}\Rightarrow MA+MB=AB\)
Do đó điểm \(M\) nằm trên đoạn thẳng $AB$
Đề bài yêu cầu tìm max min của \(|z-(1-i)|\), tức là tìm max, min của đoạn \(MC\)
Dựa vào hình vẽ, suy ra \(MC_{\min}=d(C,AB)\).
Do biết tọa độ $A,B$ nên dễ dàng viết được PTĐT $AB$ là : \(y=x+3\)
\(\Rightarrow MC_{\min}=d(C,AB)=\frac{|1-(-1)+3|}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\)
Vì \(M\) chỉ chạy trên đoạn $AB$ nên \(MC_{\max}=CA\) hoặc $CB$
Thấy \(CA< CB\Rightarrow CM_{\max}=CB=\sqrt{(4-1)^2+(7+1)^2}=\sqrt{73}\) khi \(M\equiv B\)
Vậy \(\left\{\begin{matrix} |z-1+i|_{\min}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ |z-i+1|=\sqrt{73}\end{matrix}\right.\)
Tìm số phức Z biết |Z|=5 và phần thực lớn hơn phần ảo một đơn vị
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Vì phần thực lớn hơn phần ảo $1$ đơn vị nên đặt số phức \(z=(a+1)+ai\)
Ta có: \(|z|=5\Leftrightarrow |(a+1)+ai|=5\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{(a+1)^2+a^2}=5\)
\(\Leftrightarrow 2a^2+2a+1=25\)
\(\Leftrightarrow 2a^2+2a-24=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+a-12=0\Leftrightarrow (a-3)(a+4)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a=3\\ a=-4\end{matrix}\right.\)
Nếu $a=3$ thì số phức $z=4+3i$
Nếu $a=-4$ thì số phức $z=-3-4i$
Cho \(P = {\left( {1 - i} \right)^2} + {\left( {1 - i} \right)^4} + {\left( {1 - i} \right)^6} + ... + {\left( {1 - i} \right)^{20018}} = a + bi\) . Hiệu 5(a-b) bằng
A. | 3.2^1010-2 | |
B. | ||
C. | ||
D. |
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Ta có: \(P=(1-i)^2+(1-i)^4+....+(1-i)^{2018}\)
\(P(1-i)^2=(1-i)^4+(1-i)^6+...+(1-i)^{2020}\)
\(\Rightarrow P(1-i)^2-P=(1-i)^{2020}-(1-i)^2\)
Để ý \((1-i)^2=-2i\) \(\Rightarrow (1-i)^{2020}=-2^{1010}\)
\(\Rightarrow -P(2i+1)=-2^{1010}+2i\Rightarrow P=\frac{2^{1010}-4-i(2+2^{1011})}{5}\)
\(\Rightarrow a=\frac{2^{1010}-4}{5};b=\frac{-(2+2^{2011})}{5}\)
\(\Rightarrow 5(a-b)=3.2^{1010}-2\). Đáp án A
Với số phức z=x+yi x,y thuộc R mà |z|=1,y= căn3 x và y>0 tìm môdun của số phức z-1/z+1
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
\(z=x+yi\Rightarrow |z|=\sqrt{x^2+y^2}=1(1)\)
\(y=\sqrt{3}x; y>0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x>0\\ y^2=3x^2(2)\end{matrix}\right.\)
Từ \((1); (2)\Rightarrow \sqrt{x^2+3x^2}=1\Leftrightarrow 2x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Số phức \(z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}i}{2}\)
\(\Rightarrow z-\frac{1}{z}+1=1+\sqrt{3}i\)
\(\Rightarrow |z-\frac{1}{z}+1|=\sqrt{1^2+3}=2\) (đây chính là mo đun của số phức đã cho )
Z=2m+(m-b)i tìm m để |z| đạt giá trị nhỏ nhất
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Ta có: \(z=2m+(m-b)i\Rightarrow |z|=\sqrt{(2m)^2+(m-b)^2}\)
\(\Leftrightarrow |z|=\sqrt{5m^2+b^2-2mb}\)
\(\Leftrightarrow |z|=\sqrt{5(m-\frac{b}{5})^2+\frac{4}{5}b^2}\)
Do \(5(m-\frac{b}{5})^2\geq 0, \forall m\in\mathbb{R}\) nên \(|z|\geq \sqrt{\frac{4}{5}b^2}\) hay $|z|$ đạt min bằng \(\sqrt{\frac{4}{5}b^2}\)
Dấu bằng để xảy ra cực trị là tại \((m-\frac{b}{5})^2=0\Leftrightarrow m=\frac{b}{5}\)
tìm số phức z=? biết |z|=z=1+2i
Câu trả lời của bạn
.
z=b6 nhé bạn
Z = 6
z = 1+(2+2b)i
z = 1 +(2+2b)i
z=6
cho số phức z thỏa mãn |z^2-i|=1. tìm gtln của |z|
Câu trả lời của bạn
z=10
cho số phức z=a+bi thỏa mãn z+1+2i-(1+i)|z|=0 và |z|>1 tìm số phức z
Câu trả lời của bạn
hic. bài này dài quá
Ta có:
\(\begin{array}{l} z + 1 + 2i - \left( {1 + i} \right)|z| = 0\\ \Leftrightarrow a + bi + 1 + 2i - \left( {1 + i} \right)\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0\\ \Leftrightarrow a + 1 - \sqrt {{a^2} + {b^2}} + i\left( {2 + b - \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + 1 - \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0\\ 2 + b - \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + 1 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ 2 + b = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow a + 1 = b + 2 \Leftrightarrow b = a - 1\\ \Rightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow {a^2} + 2{\rm{a}} + 1 = {a^2} + {\left( {a - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - 4{\rm{a}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 0\\ a = 4 \end{array} \right. \end{array}\)
Lại có:
\(|z| > 1 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} > 1 \Rightarrow a + 1 > 1 \Leftrightarrow a > 0\)
Vậy a = 4
Suy ra b = 4 - 1=3
Vậy số phức cần tìm là z = 4 + 3i
Tìm số phức z có modun bằng 1 sao cho \(\left | z-3+2i \right |\) nhỏ nhất.
Câu trả lời của bạn
Giả sử \(z = x+yi\) với \(x^2+y^2=1\ \ (1)\)
\(u=3-2i\)
Gọi M (x;y) ; A(3;-2) là điểm biểu diễn của z và u trên mặt phẳng phức.
Suy ra \(\left | z-3+2i \right |=AM\)
Rõ ràng M thuộc đường tròn (C) tâm gốc tọa độ O, bán kính R = 1
Gọi I là giao điểm của tia OA với (C)
Vì A(3;-2) nên I thuộc góc phần tư IV. Suy ra x1 >0
Ta có \(AM \geq OA-OM=\sqrt{13}-1\). Dấu đẳng thức xảy ra khi M I
OA có phương trình \(y=-\frac{2}{3}x\) thay vào (1) suy ra \(x=\frac{3}{\sqrt{13}}\) (vì x1> 0)
Suy ra \(y=\frac{-2}{\sqrt{13}}\)
Vậy \(M\left ( \frac{3}{\sqrt{13}};\frac{-2}{\sqrt{3}} \right )\Rightarrow z=\frac{3}{\sqrt{13}}- \frac{2}{\sqrt{3}}i\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho số phức z thỏa mãn \(\left | z \right |^2 + \overline{z} = 3 + i\). Tìm z.
Câu trả lời của bạn
\(\left | z \right |^2 + \overline{z} = 3 + i\)
Gọi \(z = x + yi\) ta được
\(x^2+ y^2+ x - yi = 3 + i\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 + x = 3\\ -y = 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 1\ \ \\\ x = -2 \end{matrix}\\ y = 1 \end{matrix}\right.\) ta được z = 1 - y và z = -2 - i
Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: \((2 - i)(1 + i) + \bar{z} = 4 - 2i\). Tính môđun của z.
Câu trả lời của bạn
Đặt \(z=a+bi,(a,b\in R)\), khi đó \(\bar{z}=a-bi\). Theo bài ra ta có
\((2-i)(1+i)+a-bi=4-2i\Leftrightarrow a+3+(1-b)i=4-2i\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+3=4\\ 1-b=-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=3 \end{matrix}\right.\)
Do đó \(z=1+3i\), suy ra \(\left | z \right |=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho số phức z thỏa mãn: z = 1 - 3i. Tính mô đun của z.
Câu trả lời của bạn
Ta có: z = 1 - 3i ⇔ z = 1 - 3i
\(\Leftrightarrow z = \frac{6+2i}{1+i} \Leftrightarrow z = \frac{(6+2i)(1-i)}{2} \Leftrightarrow z = 4 - 2i\)
Vậy: Mô đun của z là \(|z| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
Help me!
Cho số phức z thỏa mãn: z = 1 - 3i. Tính mô đun của z.
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(z=1-3i\Leftrightarrow z=1-3i\)
\(\Leftrightarrow z=\frac{6+2i}{1+i}\Leftrightarrow z=\frac{(6+2i)(1-i)}{2}\Leftrightarrow z=4-2i\)
Vậy mô đun của z là \(\left | z \right |=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)
Cứu với mọi người!
Cho số phức z thỏa mãn: \(2z-i.\bar{z}=2+5i\). Tính mođun của số phức z
Câu trả lời của bạn
Đặt \(z=a+bi\) với \(a,b\in R\). Khi đó \(\bar{z}=a-bi\)
\(2\bar{z}-i.\bar{z}=2+5i\Leftrightarrow 2(a+bi)-i(a-bi)=2+5i\)
\(\Leftrightarrow (2a-b)+(-a+2b)i=2+5i\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2a-b=2\\ -a+2b=5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\ b=4 \end{matrix}\right.\)
Suy ra \(z=3+4i\Rightarrow \left | z \right |=\sqrt{3^2+4^2}=5\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *