Trong chương trình phổ thông các lớp, các em đã quen với khái niệm bình phương của một số luôn luôn nhận được kết quả là một số không âm, hay số âm không có căn bậc hai. Từ thực tiễn tính toán và nhu cầu của các môn khoa học người ta đã cho ra đời con số i có bình phương bằng -1 là nền tảng của sự ra đời số phức. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em các khái niệm liên quan đến số phức và các tính chất của nó.
Tìm số thực x, y thỏa mãn:
a) \(5x + y + 5xi = 2y - 1 + (x - y)i.\)
b) \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\)
a)
\(\begin{array}{l} 5x + y + 5xi = 2y - 1 + (x - y)i\\ \Leftrightarrow (3x + y) + 5xi = (2y - 1) + (x - y)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + y = 2y - 1\\ 5x = x - y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{1}{7}.\\ y = \frac{4}{7}. \end{array} \right. \end{array}\)
b)
Ta có: \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\) khi:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - x + 2y = 4x - y - 3}\\ {2x + 3y + 1 = 3x - 2y + 2} \end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x - 3y = 3}\\ {x - 5y = - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{9}{{11}}}\\ {y = \frac{4}{{11}}} \end{array}} \right.\)
Tìm số phức z biết:
a) \(\left| z \right| = 5\) và \(z = \overline z\).
b) \(\left| z \right| = 4\) và \(z = -\overline z.\)
c) \(\left| z \right| = 6\) và phần thực của số phức z bằng ba lần phần ảo của z.
Gọi số phức z cần tìm là \(z=x+yi\) suy ra: \(\overline z = x - yi\)
a) Ta có: \(z = \overline z\) nên \(x + yi = x - yi \Leftrightarrow 2yi = 0 \Leftrightarrow y = 0.\)
Mà \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2}} = 5 \Leftrightarrow x = \pm 5.\)
Vậy số phức cần tìm là z=5; z=-5.
b) Ta có: \(z = -\overline z\) nên \(x + yi = -x + yi \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x= 0.\)
Mà \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{y^2}} = 4 \Leftrightarrow y = \pm 4.\)
Vậy số phức z cần tìm là z=4i; z=-4i.
c) Phần thực của số phức z là x và phần ảo là y nên x=3y. Do đó ta có:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ {\left( {3y} \right)^2} + {y^2} = 36 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ {y^2} = \frac{{18}}{5} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{3\sqrt {10} }}{5};x = \frac{{9\sqrt {10} }}{5}\\ y = - \frac{{3\sqrt {10} }}{5};x = - \frac{{9\sqrt {10} }}{5} \end{array} \right. \end{array}\)
vậy ta có \(z = \frac{{9\sqrt {10} }}{5} + \frac{{3\sqrt {10} }}{5}i;\,\,z = - \frac{{9\sqrt {10} }}{5} - \frac{{3\sqrt {10} }}{5}i.\)
Trong chương trình phổ thông các lớp, các em đã quen với khái niệm bình phương của một số luôn luôn nhận được kết quả là một số không âm, hay số âm không có căn bậc hai. Từ thực tiễn tính toán và nhu cầu của các môn khoa học người ta đã cho ra đời con số i có bình phương bằng -1 là nền tảng của sự ra đời số phức. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em các khái niệm liên quan đến số phức và các tính chất của nó.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho số phức \(z = ax + bi\,\left( {a,b \in R} \right)\), mệnh đề nào sau đây là sai?
Tìm điểm biểu diễn của số phức \(z = 5 - 3i\) trên mặt phẳng phức.
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 133 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 133 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 134 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 134 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 134 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 134 SGK Giải tích 12
Bài tập 4.1 trang 198 SBT Toán 12
Bài tập 4.2 trang 198 SBT Toán 12
Bài tập 4.3 trang 199 SBT Toán 12
Bài tập 4.4 trang 199 SBT Toán 12
Bài tập 4.5 trang 199 SBT Toán 12
Bài tập 4.6 trang 199 SBT Toán 12
Bài tập 4.7 trang 200 SBT Toán 12
Bài tập 1 trang 189 SGK Toán 12 NC
Bài tập 2 trang 189 SGK Toán 12 NC
Bài tập 3 trang 189 SGK Toán 12 NC
Bài tập 4 trang 189 SGK Toán 12 NC
Bài tập 5 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 6 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 7 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 8 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 9 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 10 trang 190 SGK Toán 12 NC
Bài tập 11 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 12 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 13 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 14 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 15 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 16 trang 191 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho số phức \(z = ax + bi\,\left( {a,b \in R} \right)\), mệnh đề nào sau đây là sai?
Tìm điểm biểu diễn của số phức \(z = 5 - 3i\) trên mặt phẳng phức.
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Xác định tập hợp các điểm trong hệ tọa độ vuông góc biểu diễn số phức \(z = x + iy\) thỏa mãn điều kiện \(\left| z \right| = 2\).
Số phức thỏa mãn điều kiện vào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo?
Cho số phức z=a+bi . Số phức \(z^2\) có phần thực là :
Cho số phức z = 2 – 2i. Tìm khẳng định sai
Tìm các số thực \(x, y\) sao cho
\(\left( {x - 2y} \right) + \left( {x + y + 4} \right)i = \left( {2x + y} \right) + 2yi\)
Hai số phức \({z_1} = x - 2i,{z_2} = 2 + yi\,\left( {x,y \in R} \right)\) là liên hợp của nhau khi
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thòa mãn \(\left| z \right| = \left| {1 + i} \right|\) là
Chứng minh rằng
a) Nếu vecto \(\vec u\) của mạt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ \(\vec u\) là |\(\vec u\)| = |z|, và từ đó nếu các điểm A1, A2 theo thứ tự biểu diễn các số phức z1; z2 thì \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|\)
b) Với mọi số phức z, z', ta có |zz′| = |z||z′| và khi z ≠ 0 thì \(\left| {\frac{{z'}}{z}} \right| = \frac{{|z'|}}{{|z|}}\)
c) Với mọi số phức z, z', ta có |z+z′| ≤ |z| + |z′|.
Xác định tập hợp câc điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) |z - i| = 1
b) \(\left| {\frac{{z - i}}{{z + i}}} \right| = 1\)
c) \(|z| = \mid \overline z - 3 + 4i\mid \)
Chứng minh rằng với mọi số phức z ≠ 1, ta có:
\(1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = \frac{{{z^{10}} - 1}}{{z - 1}}\)
Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?
\({z^2} + {\left( {\bar z} \right)^2};\frac{{z - \bar z}}{{{z^3} + {{\left( {\bar z} \right)}^3}}};\frac{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 + z.\overline z }}\)
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) z2 là số thực âm;
b) z2 là là số ảo;
c) \({z^2} = {\left( {\bar z} \right)^2}\)
d) \(\frac{1}{{z - i}}\) là số ảo
Giải các phương trình sau (với ẩn z)
a) iz + 2 − i = 0
b) (2 + 3i)z = z − 1
c) \(\left( {2 - i} \right)\bar z - 4 = 0\)
d) \(\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\bar z - 2 + 3i} \right) = 0\)
e) z2 + 4 = 0
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
a) Cho số phức z = x + yi. Khi z ≠ i, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\)
b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\) là số thực dương.
a) Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z1, z2, z3. Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?
b) Xét ba điểm A,B,C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z1, z2, z3 thỏa mãn |z1| = |z2| = |z3|
Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi z1 + z2 + z3 = 0
Đố vui. Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A' biểu diễn số phức z′ ≠ 0 và B' biểu diễn số phức zz'.
Hai tam giác OAB, OA'B' có phải là hai tam giác dồng dạng không?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai sau: \({z^2} + \left( {1 - 3i} \right)z - 2\left( {1 + i} \right) = 0\).
Câu trả lời của bạn
\({z^2} + \left( {1 - 3i} \right)z - 2\left( {1 + i} \right) = 0\) có biệt thức
\(\Delta = {\left( {1 - 3i} \right)^2} + 8\left( {1 + i} \right) \) \( = 1 - 9 - 6i + 8 + 8i = 2i = {\left( {1 + i} \right)^2}\)
Do đó phương trình có hai nghiệm là: \({z_1} = {1 \over 2}\left[ { - 1 + 3i + \left( {1 + i} \right)} \right] = 2i\)
\({z_2} = {1 \over 2}\left[ { - 1 + 3i - \left( {1 + i} \right)} \right] = - 1 + i\)
Vậy \(S = \left\{ {2i; - 1 + i} \right\}\)
Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?
Câu trả lời của bạn
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(A{z^2} + Bz + C = 0\) là
\(z_{1,2} = {{ - B \pm \delta } \over {2A}}\left( {{\delta ^2} = {B^2} - 4AC} \right)\)
Do đó:
\({z_1} + {z_2} = \dfrac{{ - B + \delta }}{{2A}} + \dfrac{{ - B - \delta }}{{2A}} \) \(= \dfrac{{ - 2B}}{{2A}} = - \dfrac{B}{A}\)
\({z_1}{z_2} = \dfrac{{ - B + \delta }}{{2A}}.\dfrac{{ - B - \delta }}{{2A}} \) \(= \dfrac{{{{\left( { - B} \right)}^2} - {\delta ^2}}}{{4{A^2}}} \) \(= \dfrac{{{B^2} - \left( {{B^2} - 4AC} \right)}}{{4{A^2}}} \) \(= \dfrac{{4AC}}{{4{A^2}}} = \dfrac{C}{A}\)
Do đó
\(\left\{ \begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = - \dfrac{B}{A}\\
{z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A}
\end{array} \right.\)
Vậy công thức Viét vẫn còn đúng.
Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng \(4 – i\) và tích của chúng bằng \(5(1 – i)\).
Câu trả lời của bạn
Giả sử \({z_1} + {z_2} = \alpha \); \({z_1}{z_2} = \beta \)
\({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phương trình:
\(\left( {z - {z_1}} \right)\left( {z - {z_2}} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow {z^2} - \left( {{z_1} + {z_2}} \right)z + {z_1}{z_2} = 0\) \( \Leftrightarrow {z^2} - \alpha z + \beta = 0\)
Theo đề bài \({z_1} + {z_2} = 4 - i\); \({z_1}{z_2} = 5\left( {1 - i} \right)\,\,\)
nên \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phương trình
\({z^2} - \left( {4 - i} \right)z + 5\left( {1 - i} \right) = 0\) (*)
\(\Delta = {\left( {4 - i} \right)^2} - 20\left( {1 - i} \right) \) \(= 16 - 1 - 8i - 20 + 20i = - 5 + 12i\)
Giả sử \({\left( {x + yi} \right)^2} = - 5 + 12i \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = - 5 \hfill \cr 2xy = 12 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {{36} \over {{x^2}}} = - 5 \hfill \cr y = {6 \over x} \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^4} + 5{x^2} - 36 = 0 \hfill \cr y = {6 \over x} \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = 3 \hfill \cr} \right.\,\text{ hoặc }\left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr y = - 3 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(\Delta\) có hai căn bậc hai là \( \pm \left( {2 + 3i} \right)\).
Phương trình bậc hai (*) có hai nghiệm:
\({z_1} = {1 \over 2}\left[ {4 - i + \left( {2 + 3i} \right)} \right] = 3 + i\)
\({z_2} = {1 \over 2}\left[ {4 - i - \left( {2 + 3i} \right)} \right] = 1 - 2i\)
Có phải mọi phương trình bậc hai \({z^2} + Bz + C = 0\) (\(B, C\) là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số \(B, C\) là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?
Câu trả lời của bạn
Nếu phương trình \({z^2} + Bz + C = 0\) có hai nghiệm \({z_1},{z_2}\) là hai số phức liên hợp, \({z_2} = \overline {{z_1}} \), thì theo công thức Vi-ét:
\(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - B\\{z_1}{z_2} = C\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + \overline {{z_1}} = - B\\{z_1}.\overline {{z_1}} = C\end{array} \right.\)
Mà \({z_1} = x + yi \Rightarrow \overline {{z_1}} = x - yi\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {z_1} + \overline {{z_1}} = 2x \in \mathbb{R}\\{z_1}.\overline {{z_1}} = {x^2} + {y^2} \in \mathbb{R}\end{array}\)
Do đó B, C thực.
Điều ngược lại không đúng vì nếu \(B, C\) thực thì \(\Delta = {B^2} - 4AC > 0\) hai nghiệm là số thực phân biệt, chúng không phải là liên hợp với nhau. ( Khi \(\Delta \le 0\) thì phương trình mới có hai nghiệm là hai số phức liên hợp).
Ví dụ: Phương trình \(z^2+2z-3=0\) có nghiệm là z = 1; z =-3.
Giải phương trình: \(\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} - 2iz - 1} \right) = 0\).
Câu trả lời của bạn
Nhận xét:
\({\left( {1 - i} \right)^2} = 1 - 2i - 1 = - 2i \) \(\Rightarrow \frac{{{{\left( {1 - i} \right)}^2}}}{2} = - i \) \(\Rightarrow {\left( {\frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = - i\)
Suy ra \(–i\) có căn bậc hai \( \pm {\frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}}\)
Ta có \(\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} - 2iz - 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ {z^2} + i = 0 \hfill \cr {z^2} - 2iz - 1 = 0 \hfill \cr} \right.\)
* \({z^2} + i = 0 \Leftrightarrow {z^2} = - i \) \(\Leftrightarrow z = \pm {\frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}}\)
* \({z^2} - 2iz - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {z^2} - 2iz + {i^2} = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {z - i} \right)^2} = 0 \) \( \Leftrightarrow z = i\)
Vậy \(S = \left\{ {i;\pm {\frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}} } \right\}\)
Hãy tìm số phức B để phương trình bậc hai \({z^2} + Bz + 3i = 0\) có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
Câu trả lời của bạn
Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình
Theo giả thiết tổng bình phương hai nghiệm bằng 8 nên ta có: \({z_1}^2 + {z_2}^2 = 8\)
Theo định lí Vi-et ta có:
\(\left\{ \matrix{
{z_1} + {z_2} = - B \hfill \cr
{z_1}.{z_2} = 3i \hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{
& {z_1}^2 + {z_2}^2 = 8 \cr &\Leftrightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}.{z_2} = 8 \cr
& \Leftrightarrow {\left( { - B} \right)^2} - 2.3i = 8 \cr
& \Leftrightarrow {B^2} = 8 + 6i \cr
& \Leftrightarrow {B^2} = 9 + 2.3.i + {i^2} \cr
& \Leftrightarrow {B^2} = {\left( {3 + i} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow B = \pm \left( {3 + i} \right) \cr} \)
Tìm nghiệm phức phương trình \(z + {1 \over z} = k\) trong trường hợp sau: \(k = 1\);
Câu trả lời của bạn
\(k = 1\) ta có phương trình \(z + \dfrac{1}{z} = 1 \Leftrightarrow {z^2} - z + 1 = 0\)
Có \(\Delta = 1 - 4 = - 3\) nên phương trình có hai nghiệm \({z_{1,2}} = \dfrac{{1 \pm i\sqrt 3 }}{2}\)
Tìm nghiệm phức phương trình \(z + {1 \over z} = k\) trong trường hợp sau: \(k = \sqrt 2 \)
Câu trả lời của bạn
\(k = \sqrt 2 \) ta có phương trình \(z + \dfrac{1}{z} = \sqrt 2 \Leftrightarrow {z^2} - \sqrt 2 z + 1 = 0\)
Có \(\Delta = 2 - 4 = - 2\) nên phương trình có hai nghiệm \({z_{1,2}} = \dfrac{{\sqrt 2 \pm i\sqrt 2 }}{2}\)
Tìm nghiệm phức phương trình \(z + {1 \over z} = k\) trong trường hợp sau: \(k = 2i\)
Câu trả lời của bạn
\(k = 2i\) ta có phương trình \(z + \dfrac{1}{z} = 2i \Leftrightarrow {z^2} - 2iz + 1 = 0\)
Có \(\Delta = {\left( {2i} \right)^2} - 4 = - 8\) nên phương trình có hai nghiệm \({z_{1,2}} = \dfrac{{2i \pm 2i\sqrt 2 }}{2} = \left( {1 \pm \sqrt 2 } \right)i\)
Giải phương trình sau: \({z^4} - 1 = 0\);
Câu trả lời của bạn
\({z^4} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} - 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {z^2} - 1 = 0 \hfill \cr {z^2} + 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = \pm 1 \hfill \cr z = \pm i \hfill \cr} \right.\)
Phương trình có 4 nghiệm \({z_1} = i,{z_2} = - i,{z_3} = 1,{z_4} = - 1\)
Giải phương trình sau trên C: \({z^3} + 1 = 0\);
Câu trả lời của bạn
\({z^3} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} - z + 1} \right) = 0\)
Nghiệm của \(z + 1 = 0\) là \({z_1} = - 1\)
\({z^2} - z + 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow {\left( {z - {1 \over 2}} \right)^2} = - {3 \over 4} = {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i = {z_2} \hfill \cr z = {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i = {z_3} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = \left\{ { - 1;{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i;{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right\}\)
Giải phương trình sau: \({z^4} + 4 = 0\).
Câu trả lời của bạn
\({z^4} + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow {z^4} - {\left( {2i} \right)^2} = 0 \) \(\Leftrightarrow \left( {{z^2} + 2i} \right)\left( {{z^2} - 2i} \right) = 0\)
Nghiệm của \({z^2} + 2i = 0\) là các căn bậc hai của -2i, đó là \({z_1} = 1 - i\),\({z_2} = - 1 + i\)
(Do \({\left( {1 - i} \right)^2} = 1 - 2i - 1 = - 2i\))
Nghiệm của \({z^2} - 2i = 0\) là các căn bậc hai của 2i, đó là \({z_3} = 1 + i\),\({z_4} = - 1 - i\)
(Do \({\left( {1 + i} \right)^2} = 1 + 2i - 1 = 2i\))
Vậy \({z^4} + 4 = 0\) có bốn nghiệm \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\).
Giải phương trình sau: \(8{z^4} + 8{z^3} = z + 1\).
Câu trả lời của bạn
\(8{z^4} + 8{z^3} = z + 1 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {8{z^3} - 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {2z - 1} \right)\left( {4{z^2} + 2z + 1} \right) = 0\)
Nghiệm của \(z + 1 = 0\) là \({z_1} = - 1\)
Nghiệm của \(2z - 1 = 0\) là \({z_2} = {1 \over 2}\)
Phương trình \(4{z^2} + 2z + 1 = 0\) có \(\Delta ' = 1 - 4 = - 3\) nên có nghiệm là \({z_3} = - {1 \over 4} + {{\sqrt 3 } \over 4}i\) và \({z_4} = - {1 \over 4} - {{\sqrt 3 } \over 4}i\)
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm\({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\)
Hãy tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z): \({z^2} + bz + c = 0\) nhận \(z = 1 + i\) làm một nghiệm.
Câu trả lời của bạn
\(1 + i\) là một nghiệm của phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) khi và chỉ khi
\({\left( {1 + i} \right)^2} + b\left( {1 + i} \right) + c = 0\) \( \Leftrightarrow 1 + 2i - 1 + b + bi + c = 0\) \( \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0\)
\( \Leftrightarrow b + c + \left( {2 + b} \right)i = 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ b + c = 0 \hfill \cr 2 + b = 0 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ b = - 2 \hfill \cr c = 2 \hfill \cr} \right.\)
Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z): \({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0\) nhận \(z = 1 + i\) làm nghiệm và cũng nhận \(z = 2\) là nghiệm.
Câu trả lời của bạn
\(1 + i\) là một nghiệm của \({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0\) khi và chỉ khi
\({\left( {1 + i} \right)^3} + a{\left( {1 + i} \right)^2} + b\left( {1 + i} \right) + c = 0 \) \( \Leftrightarrow \left( {1 + 3i + 3{i^2} + {i^3}} \right) + a\left( {1 + 2i - 1} \right) \) \(+ b + bi + c = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {1 + 3i - 3 - i} \right) + a.2i \) \(+ b + bi + c = 0\) \( \Leftrightarrow - 2 + 2i + 2ai + b + c + bi = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {b + c - 2} \right)+\left( {2 + 2a + b} \right)i = 0\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ b + c - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr 2a + b + 2 = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)
\(2\) là nghiệm của \({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0\) khi và chỉ khi \(8 + 4a + 2b + c = 0\,\,\,\left( 3 \right)\)
Từ (1), (2), (3) ta có hệ: .\(\left\{ \matrix{ b + c = 2 \hfill \cr 2a + b = - 2 \hfill \cr 4a + 2b + c = - 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = - 4 \hfill \cr b = 6 \hfill \cr c = - 4 \hfill \cr} \right.\)
Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: \(\overline z \,;\, - z;\,{1 \over {\overline z }};\,kz\,\left( {k \in \mathbb R^*} \right)\) trong trường hợp sau: \(z = 1 + \sqrt 3 i.\)
Câu trả lời của bạn
\(z = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) \) \(= 2\left( {\cos {\pi \over 3} + i\sin {\pi \over 3}} \right)\)
Áp dụng câu a) ta có: \(\overline z = 2\left( {\cos \left( { - {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 3}} \right)} \right)\)
\( - z = 2\left( {\cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}} \right);\) \({1 \over {\overline z }} = {1 \over 2}\left( {\cos {\pi \over 3} + i\sin {\pi \over 3}} \right)\)
\(\eqalign{ & kz = 2k\left( {\cos {\pi \over 3} + i\sin {\pi \over 3}} \right)\,\,\text{nếu}\,\,k > 0 \cr & kz = - 2k\left( {\cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}} \right)\,\text{nếu}\,\,k < 0 \cr} \)
Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: \(\overline z \,;\, - z;\,{1 \over {\overline z }};\,kz\,\left( {k \in \mathbb R^*} \right)\) trong trường hợp sau: \(z = r\left( {\cos \varphi + i\sin\varphi } \right)\,\left( {r > 0} \right);\)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{ &\overline z = r\left( {\cos \varphi - i\sin \varphi } \right) \cr &= r\left( {\cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right)} \right) \cr & - z = - r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right) \cr &= r\left( {\cos \left( {\pi + \varphi } \right) + i\sin \left( {\pi + \varphi } \right)} \right) \cr & {1 \over z} = {z \over {\overline z .z}} = {1 \over r}\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right) \cr & kz = kr\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\,\,\text{nếu}\,k > 0 \cr & kz = - kr\left( {\cos \left( {\pi + \varphi } \right) + i\sin \left( {\pi + \varphi } \right)} \right)\,\,\text{nếu}\,\,k < 0 \cr} \)
(Vì kz là một số phức có modun là |kz| = |k|. |z| = |k|.r, có acgumen là φ nếu K > 0, là φ+π nếu k < 0)
Viết số phức sau dưới dạng lượng giác: \(\eqalign{1 - i\sqrt 3 ;1 + i;(1 - i\sqrt 3 )(1 + i);{{1 - i\sqrt 3 } \over {1 + i}}}\)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{&1 - i\sqrt 3 = 2\left( {{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) \cr &= 2\left( {\cos \left( { - {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 3}} \right)} \right);\cr
& 1 + i = \sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr & = \sqrt 2 \left( {\cos \left( {{\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 4}} \right)} \right);\, \cr
& (1 - i\sqrt 3 )(1 + i) \cr & = 2\sqrt 2 \left( {{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)\left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr
& = 2\sqrt 2 \left( {\cos \left( { - {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 3}} \right)} \right)\left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right) \cr
&= 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( {{\pi \over 4} - {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 4} - {\pi \over 3}} \right)} \right] \cr
& = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - {\pi \over {12}}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over {12}}} \right)} \right];\,\, \cr
& {{1 - i\sqrt 3 } \over {1 + i}} \cr & = \frac{{2\left( {\cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)} \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)}}\cr &=\frac{2}{{\sqrt 2 }} \left[ {\cos \left( { - {\pi \over 3} - {\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 3} - {\pi \over 4}} \right)} \right] \cr
& = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - {7 \over {12}}\pi } \right) + i\sin \left( { - {7 \over {12}}\pi } \right)} \right]; \cr} \)
Viết số phức sau dưới dạng lượng giác: \(\eqalign{2i\left( {\sqrt 3 - i} \right)} \)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& 2i =2\left( {0 + i} \right)= 2\left( {\cos {\pi \over 2} + i\sin {\pi \over 2}} \right) \cr
& {\sqrt 3 - i} = 2\left( {{{\sqrt 3 } \over 2} - {1 \over 2}i} \right) \cr &= 2\left[ {\cos \left( { - {\pi \over 6}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 6}} \right)} \right]; \cr
& 2i\left( {\sqrt 3 - i} \right) \cr &= 4\left[ {\cos \left( {{\pi \over 2} - {\pi \over 6}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 2} - {\pi \over 6}} \right)} \right] \cr
& = 4\left[ {\cos \left( {{\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 3}} \right)} \right] } \)
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
2i\left( {\sqrt 3 - i} \right) = 2i\sqrt 3 - 2{i^2}\\
= 2\sqrt 3 i + 2 = 4\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\\
= 4\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)
\end{array}\)
Viết số phức sau dưới dạng lượng giác: \(\eqalign{{1 \over {2 + 2i}}} \)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& 2 + 2i = 2\sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr &= 2\sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)\, \cr
& \Rightarrow {1 \over {2 + 2i}} \cr &= {1 \over {2\sqrt 2 }}\left[ {\cos \left( { - {\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 4}} \right)} \right] \cr} \)
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{2 + 2i}} = \frac{{2 - 2i}}{{{2^2} + {2^2}}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i\\
= \frac{1}{4}\left( {1 - i} \right)\\
= \frac{1}{4}.\sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right)\\
= \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)} \right)
\end{array}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *