Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm, cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, các tính chất, định lý liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng,...
Đường thẳng a được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu a vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P).
Kí hiệu: \(a \bot \left ( P \right )\)
Định nghĩa đường thẳng vuông góc mặt phẳng
\(a \bot mp(P) \Leftrightarrow a \bot c,\forall c \subset (P)\)
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b của mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left ( P \right ).\)
Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.
Tính chất 1: Có một và chỉ một đường mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
\(\left. \begin{array}{l} a//b\\ \left( \alpha \right) \bot a \end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot b\)
\(\left. \begin{array}{l} a \bot (\alpha )\\ b \bot (\alpha )\\ a \ne b \end{array} \right\} \Rightarrow a//b\)
\(\left. \begin{array}{l} a \bot (\alpha )\\ \left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\)
\(\left. \begin{array}{l} a \bot (\alpha )\\ a \bot \left( \beta \right)\\ \left( \alpha \right) \ne \left( \beta \right) \end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\)
\(\left. \begin{array}{l} a//(\alpha )\\ b \bot \left( \alpha \right) \end{array} \right\} \Rightarrow b \bot a\)
\(\left. \begin{array}{l} a \bot b\\ b \bot \left( \alpha \right)\\ a \not\subset \left( \alpha \right) \end{array} \right\} \Rightarrow a//\left( \alpha \right)\)
Cho đường thẳng d nằm trong mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) và b là đường thẳng không thuộc \(\left ( \alpha \right )\) đồng thời không vuông góc với \(\left ( \alpha \right )\). Gọi b' là hình chiếu vuông góc của b trên \(\left ( \alpha \right )\). Kho đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b'.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, \(SA \bot (ABC).\)
a) Chứng minh rằng: \(BC \bot (SAC)\).
b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh rằng: \(AE \bot (SBC).\)
c) Gọi (P) là mặt phẳng qua AE và vuông góc với SB, (P) giao với SB tại D. Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: \(AF \bot (SAB).\)
a) Ta có: \(BC \bot AC{\rm{ }}(gt){\rm{ (1)}}\)
Mặt khác: \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABC)\\ BC \subset (ABC) \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot BC\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(BC \bot (SAB).\)
b) Ta có: \(AE \bot SC{\rm{ (3) (gt)}}\)
Theo câu a ta có: \(BC \bot (SAB) \Rightarrow AE \bot BC{\rm{ (4)}}\)
Từ (3) (4) suy ra: \(AE \bot (SBC).\)
c) Ta có mặt phẳng (P) chính là mặt phẳng (ADE).
Từ \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABC)\\ AF \subset (ABC) \end{array} \right\} \Rightarrow AF \bot SA{\rm{ (5)}}\)
Do \(SB \bot (ADE) \Rightarrow AF \bot SB{\rm{ (6)}}\).
Từ (5) (6) suy ra: \(AF \bot (SAB).\)
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(SA \bot (ABCD)\), AD=2a, AB=BC=a. Chứng minh rằng: Tam giác SCD vuông.
Ta có: \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABCD)\\ CD \subset (ABCD) \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot CD(1)\)
Gọi I là trung điểm của AD. Tứ giác ABCI là hình vuông.
Do đó, \(\widehat {ACI} = {45^0}.\) (*)
Mặt khác tam giác CID vuông cân tại I nên \(\widehat {BCI} = {45^0}.\) (**)
Từ (*) (**) suy ra: \(\widehat {ACD} = {90^0}\) hay \(AC \bot CD (2)\).
Từ (1) và (2) suy ra: \(CD \bot (SAC) \Rightarrow CD \bot SC\).
Hay tam giác SCD vuông tại C.
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, \(SA = a\sqrt 6\). Tính sin của góc giữa:
a) SC và (SAB).
b) AC và (SBC).
a) Ta có: \(BC \bot AB{\rm{ (gt)}}\).
\(SA \bot BC\) (Vì \(SA \bot (ABCD)\))
Suy ra: \(BC \bot (SAB).\)
Do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAB).
\(\Rightarrow (SC,(SAB)) = \widehat {BSC}.\)
Ta có: \(\sin (SC,(SAB)) = \sin \widehat {BSC} = \frac{{BC}}{{SC}} = \frac{a}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
b) Trong mặt phẳng (SAB) kẻ: \(AH \bot SB{\rm{ (H}} \in {\rm{SB)}}.\)
Theo câu a ta có: \(BC \bot (SAB) \Rightarrow AH \bot BC\) nên \(AH \bot (SBC)\) hay CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mặt phẳng (SBC).
\(\Rightarrow (AC,(SBC)) = \widehat {ACH}.\)
Xét tam giác vuông SAB có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{7}{{6{a^2}}} \Rightarrow AH = a.\sqrt {\frac{6}{7}} .\)
Vậy: \(\sin (AC,(SBC)) = \sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}.\)
Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm, cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, các tính chất, định lý liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng,...
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Khẳng định nào sau đây sai?
Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh bằng a, AB vuông góc với (BCD) và AB = 2a. Góc giữa CM với mặt phẳng (BCD) là:
Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh bằng a, AB vuông góc với (BCD) và AB = 2a. Tang của góc giữa AC với mặt phẳng (ABD) bằng:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 104 SGK Hình học 11
Bài tập 2 trang 104 SGK Hình học 11
Bài tập 3 trang 104 SGK Hình học 11
Bài tập 4 trang 105 SGK Hình học 11
Bài tập 5 trang 105 SGK Hình học 11
Bài tập 6 trang 105 SGK Hình học 11
Bài tập 7 trang 105 SGK Hình học 11
Bài tập 8 trang 105 SGK Hình học 11
Bài tập 3.16 trang 145 SBT Hình học 11
Bài tập 3.17 trang 145 SBT Hình học 11
Bài tập 3.18 trang 145 SBT Hình học 11
Bài tập 3.19 trang 145 SBT Hình học 11
Bài tập 3.20 trang 145 SBT Hình học 11
Bài tập 3.21 trang 145 SBT Hình học 11
Bài tập 12 trang 102 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 13 trang 102 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 14 trang 102 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 15 trang 102 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 16 trang 103 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 17 trang 103 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 18 trang 103 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 19 trang 103 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 20 trang 103 SGK Hình học 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Khẳng định nào sau đây sai?
Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh bằng a, AB vuông góc với (BCD) và AB = 2a. Góc giữa CM với mặt phẳng (BCD) là:
Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh bằng a, AB vuông góc với (BCD) và AB = 2a. Tang của góc giữa AC với mặt phẳng (ABD) bằng:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD). Tam giác SBC là:
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O và SA = SC, SB= SD. Đường thẳng DB không vuông góc với đường thẳng nào sau đây?
Đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P) thì:
Mệnh đề nào sau đây sai?
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Cho hình tứ diện ABCD có ba cạnh AB. BC, CD đôi một vuông góc. Đường thẳng AB vuông góc với:
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD; góc BAC bằng góc BAD bằng 600. Gọi M, N là trung điểm của AB và CD.
Đường thẳng CD vuông góc với mặt phẳng
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ mp(ABC), các tam giác ABC và SBC không vuông. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC.
Chứng minh rằng :
a. AH, SK, BC đồng quy ;
b. SC ⊥ mp(BHK)
c. HK ⊥ mp(SBC).
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
a. Chứng minh rằng SG ⊥ (ABC). Tính SG.
b. Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm C1 nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P).
a. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD. Chứng minh rằng AD ⊥ BC. Vậy, các cạnh đối diện của tứ diện đó vuông góc với nhau. Tứ diện như thế gọi là tứ diện trực tâm.
b. Chứng minh các mệnh đề sau đây là tương đương :
i. ABCD là tứ diện trực tâm.
ii. Chân đường cao của tứ diện hạ từ một đỉnh trùng với trực tâm của mặt đối diện.
iii. \(A{B^2} + C{D^2} = A{C^2} + B{D^2} = A{D^2} + B{C^2}\)
c. Chứng minh rằng bốn đường cao của tứ diện trực tâm đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tứ diện nói trên.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Toán
C6
Câu trả lời của bạn
.
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Giúp mình câu b với ạ
Câu trả lời của bạn
.
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Giúp em phần bài tập mẫu:2,4,5 với phần bài tập tự rèn với ạ :((((
Câu trả lời của bạn
bài 1 tự rèn luyênn
bài 5
bài 2 bài tập mẫu Ta có CD//AB nên AE//CD mà AE=AB/2=a = CD. nên AECD là hbh nên CE // AD nên CE vuông góc AB lại có CE vuông SA nên CE vuông (SAB)
Câu trả lời của bạn
cho hình chóp tứ S.ABCD, đáy là hình chữ nhật, SA=SB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và DC . Chứng minh rằng AB vuông góc với (SIJ)
Câu trả lời của bạn
cho hình chóp tứ S.ABCD, đáy là hình chữ nhật, SA=SB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và DC . Chứng minh rằng AB vuông góc với (SIJ)
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA⊥(ABCD) và SA=\(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)
a) chứng minh BD⊥SC
b) Chứng minh BD⊥(SAC)
c) tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
a)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên \(AC\perp BD(1)\)
\(SA\perp (ABCD); BD\subset (ABCD)\Rightarrow SA\perp BD(2)\)
Từ \((1); (2)\Rightarrow BD\perp (SAC)\Rightarrow BD\perp SC\)
Ta có đpcm.
b) Vừa chứng minh tại phần a.
c)
Vì \(SA\perp (ABCD)\) nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ xuống mặt phẳng $(ABCD)$
\(\Rightarrow \angle (SC, (ABCD))=\angle (SC,AC)=\widehat{SCA}\)
Áp dụng đl Pitago: \(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a\)
\(\Rightarrow \tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{6}}{3.\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow \angle (SC, (ABCD))=\widehat{SCA}=30^0\)
Chứng minh rằng tập hợp những điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm O của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC đó ?
Câu trả lời của bạn
Theo giả thiết các mặt của hình hộp đều là hình thoi
Ta có ABCD là hình thoi nên \(AC\perp BD\)
Theo tính chất của hình hộp : BD // B'D', do đó \(AC\perp B'D'\)
có bao nhiêu đường thẳng song song với mặt phẳng (alpha) và đi qua điểm O cho trước
Câu trả lời của bạn
:o
theo mình là vô số đường bạn nhé, các đường ấy nằm trong mặt phẳng duy nhất đi qua điểm O và song song với (alpha)
Mình nghĩ là chỉ một đường thôi. Nếu có nhiều thì các đường thẳng đó trùng nhau.
Cho hình chop' SABCD , ABCD là hình vuông cạnh a ,SA vuông góc với (ABCD),SA=2a Tính
a,cos(SB;(ABCD))
b,cos(SC;(SAB))
c,cos(SB,CD)
d,cos ((SBC);(ABCD))
e,cos((SBC);(SAD))
f,cos((SBC);(SCD))
Câu trả lời của bạn
a) Ta có: \(SA \bot (ABCD)\)
Suy ra BA là hình chiếu vuông góc của BS lên (ABCD).
Vậy \(\left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA}\)
\(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = .....\)
Bạn tự làm tiếp nhé.
b) Tương tự câu a.
c) Ta có AB//CD suy ra (SB;CD)=(SB;BA).
d) ((SBC);(ABCD))
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot SB\,(1)\)
Mặt khác: \(AB \bot BC\) (2)
\(\left( {SBC} \right) \cap (ABCD) = BC\) (3)
Từ (1)(2)(3) suy ra: \(\left( {(SBC);\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SBA}\)
e) Giao tuyến của mặt phẳng (SBC) và (SAD) là đường thẳng St đi qua S và song song với BC (1)
Mà theo câu d ta có:
\(\begin{array}{l}BC \bot (SAB) \Rightarrow St \bot (SAB)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}St \bot SA\,(2)\\St \bot SB\,(3)\end{array} \right.\end{array}\)
Suy ra: \(\left( {\left( {SBC} \right);\left( {SAD} \right)} \right) = \widehat {ASB}\)
f) làm tương tự.
Cho hình lăng trụ đều ABCA'B'C' .AB=a,AA'=3a.Tính :
a,cos(AB;(BCC'B'))
b,cos(AB';CA')
c,cos(AB';(ACC'A'))
d,cos((ABC);(ABC'))
e,cos (AA';(BCA'))
Câu trả lời của bạn
a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC.
Do ABC là tam giác đều nên H cũng là trung điểm của BC.
Ta có: \(BB' \bot (ABC) \Rightarrow BB' \bot AH\,(1)\)
Mặt khác: \(AH \bot BC\,(2)\)
Từ (1) (2) suy ra: \(AH \bot \left( {BB'C'C} \right)\)
Do đó BH chính là hính chiều vuông góc của BA trên (BB’C’C)
Suy ra: \(\left( {AB,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \left( {AB;BH} \right) = {60^0}\) (Do ABC là tam giác đều).
b) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của A’B’, AA’, AC, AB.
Ta có MN//AB’, PN//A’C.
Do đó \((AB',CA') = (NM;NP) = \widehat {MNP}\)
Ta có: \(AB' = \sqrt {A'B{'^2} + AA{'^2}} = a\sqrt {10} \)
Suy ra \(MN = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}.\)
Tương tự \(PN = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}.\) .
\(MP = \sqrt {M{Q^2} + Q{P^2}} = \sqrt {9{a^2} + \frac{1}{4}{a^2}} = \frac{{a\sqrt {37} }}{2}\)
Áp dụng định lý cosin vào tam giác MNP ta có:
\(\cos \widehat {MNP} = \frac{{N{M^2} + N{P^2} - M{P^2}}}{{2NM.NP}} = - \frac{{17}}{{20}}.\)
Mình giải 2 ý thấy đuối rồi, các câu khác bạn tự làm tiếp nhé!
Cho hình chop' SABCD , ABCD là hình vuông cạnh a ,SA vuông góc với (ABCD),SA=a Tính
a,cos(SB;(ABCD))
b,cos(SC;(SAB))
c,cos(SB,CD)
d,cos ((SBC);(ABCD))
e,cos((SBC);(SAD))
f,cos((SBC);(SCD))
Câu trả lời của bạn
SA=2a nhé . mình ghi nhầm
a) Ta có: \(SA \bot (ABCD)\)
Suy ra BA là hình chiếu vuông góc của BS lên (ABCD).
Vậy \(\left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA}\)
\(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = .....\)
Bạn tự làm tiếp nhé.
b) Tương tự câu a.
c) Ta có AB//CD suy ra (SB;CD)=(SB;BA).
d) ((SBC);(ABCD))
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot SB\,(1)\)
Mặt khác: \(AB \bot BC\) (2)
\(\left( {SBC} \right) \cap (ABCD) = BC\) (3)
Từ (1)(2)(3) suy ra: \(\left( {(SBC);\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SBA}\)
e) Giao tuyến của mặt phẳng (SBC) và (SAD) là đường thẳng St đi qua S và song song với BC (1)
Mà theo câu d ta có:
\(\begin{array}{l}BC \bot (SAB) \Rightarrow St \bot (SAB)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}St \bot SA\,(2)\\St \bot SB\,(3)\end{array} \right.\end{array}\)
Suy ra: \(\left( {\left( {SBC} \right);\left( {SAD} \right)} \right) = \widehat {ASB}\)
f) làm tương tự.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *