Trong thực tế, ta thường gặp các vật như: hộp phấn, kệ sách, bàn học,.. là các hình trong không gian. Môn học nghiên cứu các hình trong không gian được gọi là Hình học không gian. Để mở đầu cho khái niệm này, DapAnHay xin giới thiệu đến các em bài học Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng.
Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng .
Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết:
Các kí hiệu:
+ \(\left( {ABC} \right)\) là kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng \(A,B,C\) ( h1)
+ (\left( {M,d} \right)\) là kí hiệu mặt phẳng đi qua \(d\) và điểm \(M \notin d\) (h2)
+ \(\left( {{d_1},{d_2}} \right)\) là kí hiệu mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau \({d_1},{d_2}\) (h3)
Trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho đa giác lồi \({A_1}{A_2}...{A_n}\). Lấy điểm \(S\) nằm ngoài \(\left( \alpha \right)\).
Lần lượt nối \(S\) với các đỉnh \({A_1},{A_2},...,{A_n}\) ta được \(n\) tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\). Hình gồm đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\) và \(n\) tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\)được gọi là hình chóp , kí hiệu là \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\).
Ta gọi \(S\) là đỉnh, đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\) là đáy , các đoạn \(S{A_1},S{A_2},...,S{A_n}\) là các cạnh bên, \({A_1}{A_2},{A_2}{A_3},...,{A_n}{A_1}\) là các cạnh đáy, các tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\) là các mặt bên…
Cho bốn điểm \(A,B,C,D\) không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác \(ABC,ABD,\)
\(ACD\) và \(\left( {BCD} \right)\) được gọi là tứ diện \(ABCD\).
Phương pháp: Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến.
Lưu ý: Điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)và \(\left( \beta \right)\)thường được tìm như sau :
Tìm hai đường thẳng \(a,b\) lần lượt thuộc \(\left( \alpha \right)\)và \(\left( \beta \right)\), đồng thời chúng cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( \gamma \right)\) nào đó; giao điểm \(M = a \cap b\) chính là điểm chung của \(\left( \alpha \right)\)và \(\left( \beta \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm \(M\) thuộc cạnh \(SA\).
Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:
a) \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
b) \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {MBD} \right)\).
c) \(\left( {MBC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\).
d) \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
a) Gọi \(O = AC \cap BD\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\end{array}\)Lại có \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)
\( \Rightarrow SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).
b) \(O = AC \cap BD\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {MBD} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {MBD} \right)\).
Và \(M \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {MBD} \right) \Rightarrow OM = \left( {SAC} \right) \cap \left( {MBD} \right)\).
c) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(F = BC \cap AD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F \in BC \subset \left( {MBC} \right)\\F \in AD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\)
Và \(M \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) \Rightarrow FM = \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\)
d) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(E = AB \cap CD\), ta có \(SE = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\).
Phương pháp:
Cho tứ diện \(SABC\). Trên \(SA,SB\) và \(SC\) lấy các điểm \(D,E\) và \(F\) sao cho \(DE\) cắt \(AB\) tại \(I\),\(EF\) cắt \(BC\) tại \(J\), \(FD\) cắt \(CA\) tại \(K\). Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Ta có \(I = DE \cap AB,DE \subset \left( {DEF} \right) \Rightarrow I \in \left( {DEF} \right);\)
\(AB \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow I \in \left( {ABC} \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\).Tương tự \(J = EF \cap BC\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}J \in EF \in \left( {DEF} \right)\\J \in BC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 2 \right)\)\(K = DF \cap AC\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \in DF \subset \left( {DEF} \right)\\K \in AC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 3 \right)\)Từ (1),(2) và (3) ta có \(I,J,K\) là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {DEF} \right)\) nên chúng thẳng hàng.
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\), gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt các cạnh bên \(SA,SB,SC,SD\) tưng ứng tại các điểm \(M,N,P,Q\). Chứng minh MN, PQ, SO đồng quy.
Trong mặt phẳng \(\left( {MNPQ} \right)\) gọi \(I = MP \cap NQ\).
Ta sẽ chứng minh \(I \in SO\) .
Dễ thấy \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}I \in MP \subset \left( {SAC} \right)\\I \in NQ \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {SAC} \right)\\I \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in SO\)
Vậy \(MP,NQ,SO\) đồng qui tại \(I\).
Bài toán 03: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Để tìm giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta cần lưu ý một số trường hợp sau:
Trường hợp 1. Nếu trong \(\left( P \right)\) có sẵn một đường thẳng \(d'\) cắt \(d\) tại \(M\), khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}M \in d\\M \in d' \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in d\\M \in \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow M = d \cap \left( P \right)\)
Trường hợp 2. Nếu trong \(\left( P \right)\) chưa có sẵn \(d'\) cắt \(d\) thì ta thực hiện theo các bước sau:
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) với đáy \(ABCD\) có các cạnh đối diện không song song với nhau và \(M\) là một điểm trên cạnh \(SA\).
a) Tìm giao điểm của đường thẳng \(SB\) với mặt phẳng \(\left( {MCD} \right)\).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng \(MC\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
a) Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(E = AB \cap CD\).
Trong \(\left( {SAB} \right)\) gọi.
Ta có \(N \in EM \subset \left( {MCD} \right) \Rightarrow N \in \left( {MCD} \right)\) và \(N \in SB\) nên \(N = SB \cap \left( {MCD} \right)\).
b) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(I = AC \cap BD\).
Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(K = MC \cap SI\).
Ta có \(K \in SI \subset \left( {SBD} \right)\) và \(K \in MC\) nên \(K = MC \cap \left( {SBD} \right)\).
Trong thực tế, ta thường gặp các vật như: hộp phấn, kệ sách, bàn học,.. là các hình trong không gian. Môn học nghiên cứu các hình trong không gian được gọi là Hình học không gian. Để mở đầu cho khái niệm này, DapAnHay xin giới thiệu đến các em bài học Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Chương 2 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác\(BCD.\) Giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {GAB} \right)\)là:
Cho bốn điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) không đồng phẳng. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BC.\) Trên đoạn \(BD\) lấy điểm \(P\) sao cho \(BP = 2PD.\) Giao điểm của đường thẳng \(CD\) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là giao điểm của:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Chương 2 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 53 SGK Hình học 11
Bài tập 2 trang 53 SGK Hình học 11
Bài tập 3 trang 53 SGK Hình học 11
Bài tập 4 trang 53 SGK Hình học 11
Bài tập 5 trang 53 SGK Hình học 11
Bài tập 6 trang 54 SGK Hình học 11
Bài tập 7 trang 54 SGK Hình học 11
Bài tập 8 trang 54 SGK Hình học 11
Bài tập 9 trang 54 SGK Hình học 11
Bài tập 10 trang 54 SGK Hình học 11
Bài tập 2.1 trang 63 SBT Hình học 11
Bài tập 2.2 trang 63 SBT Hình học 11
Bài tập 2.3 trang 63 SBT Hình học 11
Bài tập 2.4 trang 63 SBT Hình học 11
Bài tập 2.5 trang 64 SBT Hình học 11
Bài tập 2.6 trang 64 SBT Hình học 11
Bài tập 2.7 trang 64 SBT Hình học 11
Bài tập 2.8 trang 64 SBT Hình học 11
Bài tập 2.9 trang 64 SBT Hình học 11
Bài tập 1 trang 49 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 2 trang 50 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 3 trang 50 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 4 trang 50 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 5 trang 50 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 6 trang 50 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 7 trang 50 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 8 trang 50 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 9 trang 50 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 10 trang 50 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 11 trang 50 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 12 trang 51 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 13 trang 51 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 14 trang 51 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 15 trang 51 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 16 trang 51 SGK Hình học 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác\(BCD.\) Giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {GAB} \right)\)là:
Cho bốn điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) không đồng phẳng. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BC.\) Trên đoạn \(BD\) lấy điểm \(P\) sao cho \(BP = 2PD.\) Giao điểm của đường thẳng \(CD\) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là giao điểm của:
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\,\,\,\,\left( {a > 0} \right).\) Các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,SB,\,\,SC\,.\) Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích bằng:
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(M,{\rm{ }}N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD.\) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(MN\) cắt \(AD,{\rm{ }}BC\) lần lượt tại \(P\) và \(Q.\) Biết \(MP\) cắt \(NQ\) tại \(I.\) Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
Cho hình tứ diện ABCD, phát biểu nào sau đây là đúng?
Cho hình chóp S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD, phát biểu nào sau đây là đúng?
Cho hình chóp O.ABC, A’ là trung điểm của OA; các điểm B’, C’ tương ứng thuộc các cạnh OB, OC và không phải là trung điểm của các cạnh này. Phát biểu nào sau đây là đúng.
Cho hình chóp O.ABC, A’ là trung điểm của OA, B’, C’ tương ứng thuộc các cạnh OB, OC và không phải là trung điểm của các cạnh này. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Cho hình chóp S.ABCD, M là điểm nằm trong tam giác SAD. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Em hãy giải thích vì sao các đồ vật có bốn chân như bàn, ghế, … thường dễ bị cập kênh
Với một cái thước thẳng, làm thế nào để phát hiện một mặt bàn có phẳng hay không ? Nói rõ căn cứ vào đâu mà ta làm như vậy
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến \(\Delta\). Trên (P) cho đường thẳng a và trên (Q) cho đường thẳng b. Chứng minh rằng nếu a và b cắt nhau thì giao điểm phải nằm trên \(\Delta\)
Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C cùng nằm ngoài (P). Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB, BC, CA đều cắt mp (P) thì các giao điểm đó thẳng hàng
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?
a. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng cho trước
b. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng chứa điểm đó
c. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó
Hãy tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:
a. Có một mặt phẳng duy nhất đi qua hai đường thẳng cho trước
b. Có một mặt phẳng duy nhất đi qua hai đường thẳng cắt nhau cho trước
c. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng mà hai đường thẳng đó lần lượt nằm trên hai mặt phẳng cắt nhau
Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau. Một đường thẳng c cắt cả a và b. Có thể kết luận rằng ba đường thẳng a, b, c cùng nằm trong một mặt phẳng hay không ?
Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng sao cho chúng đôi một cắt nhau. Chứng minh rằng chúng đồng quy
Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm O và đường thẳng c cắt mp(a , b) ở điểm I khác O. Gọi M là điểm di động trên c và khác I. Chứng minh rằng giao tuyến của các mặt phẳng (M , a), (M , b) nằm trên một mặt phẳng cố định
Cho hình bình hành ABCD nằm trong mặt phẳng (P) và một điểm S nằm ngoài mp(P). Gọi M là điểm nằm giữa S và A ; N là điểm giữa S và B; giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là O
a. Tìm giao điểm của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng SO
b. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN)
Vẽ một số hình biểu diễn của một hình chóp tứ giác trong các trường hợp đáy là tứ giác lồi, đáy là hình bình hành, đáy là hình thang
Thiết diện của một hình tứ diện có thể là tam giác, tứ giác hoặc ngũ giác hay không ?
Dùng bìa cứng cắt và dán lại để thành
a. Một tứ diện đều
b. Một hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông và các mặt bên là các tam giác đều
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Ba điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC nhưng không trùng với S, A, B, C. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(A’B’C’)
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD
a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SMB) và (SAC)
b. Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mp(SAC)
c. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(ABM)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
2 là song song và cắt nhau
Có 3 vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng trong không gian: cắt nhau, trùng nhau, song song
Cho hình chóp SABCD có SA vuông góc đáy và đáy là hình thang vuông tại A và B. có a=AB=BC=1/2AD , SA=a căn2
tính -d(D;(SBC))
d (A;(SCD))
d(B;(SCD)
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Cho tứ giác
Trên mặt phẳng
Xét mặt phẳng
Ta có
Trên mặt phẳng
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
cho 2 đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm O và đường thẳng c cắt mặt phẳng (a , b) tại I khác O . Gọi M là điểm di động trên c và khác I . Chứng minh rằng giao tuyến của các mặt phẳng (M , a) , (M , b) nằm trên một mặt phẳng cố định .
Câu trả lời của bạn
*Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (M,a) và (M,b):
Có M là một điểm chung
Theo bài : a và b cắt nhau tại O
=> O thuộc a ⊂ (M,a) =>O thuộc (M,a)
và O thuộc b ⊂ (M,b) =>O thuộc (M,b)
=>O là điểm chung thứ hai
Vậy: (M,a) ∩ (M,b) = OM
Do đó giao tuyến OM lun thuộc mặt phẳng tạo bởi c và O ( mp (O,c)) là một mp cố định.
giải thích vì sao các đồ vật có 4 chân như bàn , ghế ,... thường bị cập kênh ?
Câu trả lời của bạn
Do bốn chân bàn, ghế không cùng nằm trong cùng một mặt phẳng hay mặt sàn không phẳng làm cho các đồ vật có bốn chân như bàn, ghế, .... thường bị cập bênh.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *