Hỏi đáp Lớp 12

bach dang

Toán 12 26/10/2022

Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị hàm số sau f(x)=x3+ax2+bx+c. Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ là –1

bach dang

Toán 12 26/10/2022

Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị hàm số sau f(x)=x3+ax2+bx+c. Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ là –1

bach dang

Toán 12 26/10/2022

Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị hàm số sau f(x)=x3+ax2+bx+c. Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ là –1

bach dang

Toán 12 26/10/2022

Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị hàm số sau f(x)=x3+ax2+bx+c. Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ là –1

Ta viết hàm số thứ hai dưới dạng

\(y =  - x + 1 - {2 \over {x - 1}}\)

Hoành độ của tiếp điểm (P) và (C) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{- x + 1 - {2 \over {x - 1}} = {x^2} - 3x - 1 \hfill \cr - 1 + {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 2x - 3 \hfill \cr}  \right.\)

Phương trình thứ hai của hệ tương đương với phương trình

\(\eqalign{& {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 2(x - 1)  \cr &  \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = 1 \Leftrightarrow x = 2 \cr} \)

x = 2 cũng là nghiệm của phương trình đầu của hệ.

Hệ có nghiệm duy nhất là x = 2.

Do đó hai đường cong (P) và (C) tiếp xúc với nhau tại điểm A(2;-3).

Lại có: \(f'\left( 2 \right) = g'\left( 2 \right) = 1\) nên phương trình tiếp tuyến chung là:

\(y = 1.\left( {x - 2} \right) - 3\)\( \Leftrightarrow y = x - 5\)

Vậy phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) là y = x – 5.

bach dang

Toán 12 26/10/2022

Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị hàm số sau f(x)=x3+ax2+bx+c. Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ là –1

bach dang

Toán 12 26/10/2022

Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị hàm số sau f(x)=x3+ax2+bx+c. Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ là –1

bach dang

Toán 12 26/10/2022

Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị hàm số sau f(x)=x3+ax2+bx+c. Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ là –1

(C) cắt trục tung tại \(\left( {0;2} \right)\) nên \(2 = f\left( 0 \right)\)

\( \Leftrightarrow 2 = {0^3} + a{.0^2} + b.0 + c\)

\( \Leftrightarrow c = 2\)

Vì đồ thị của hàm số cần tìm đi qua điểm (-1;1) nên \(f\left( { - 1} \right) =  - 1 + 1-b + 2 = 1\).

Do đó \(a = b\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + b\)

Vì đồ thị tiếp xúc với đường thẳng \(y = 1\) tại điểm có hoành độ là -1 nên \(f'( - 1) = 3 - 2a + b = 0\)

Hay \(-2a+b=-3\).

Ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}a = b\\ - 2a + b =  - 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\ - 2a + a =  - 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(a = 3,b = 3,c = 2\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) =  - 3{x^2} + m\\f''\left( x \right) =  - 6x\end{array}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( { - 1} \right) = 0\\f''\left( { - 1} \right) > 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3.{\left( { - 1} \right)^2} + m = 0\\ - 6.\left( { - 1} \right) > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 3 = 0\\6 > 0\left( {dung} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m = 3\end{array}\)

Do đó \(f\left( x \right) =  - {x^3} + 3x + n\).

Đồ thị đi qua \(\left( {1;4} \right)\) \( \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = 4\)

\( \Leftrightarrow  - {1^3} + 3.1 + n = 4\)  

\( \Leftrightarrow 2 + n = 4 \Leftrightarrow n = 2\)

Vậy \(m = 3,n = 2\).

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là nghiệm của phương trình

\(\eqalign{& {x^3} + 1 - 2m(x + 1) = 0  \cr& \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) - 2m\left( {x + 1} \right) = 0\cr&  \Leftrightarrow (x + 1)({x^2} - x + 1 - 2m) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{x =  - 1 \hfill \cr f(x) = {x^2} - x + 1 - 2m = 0(1) \hfill \cr}  \right.\)

Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1, tức là

\(\left\{ \matrix{\Delta  > 0 \hfill \cr f( - 1) \ne 0 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{8m - 3 > 0 \hfill \cr3 - 2m \ne 0 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Leftrightarrow m > {3 \over 8}\) và \(m \ne {3 \over 2}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) =  - \frac{1}{2}x + 1\\g'\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\end{array}\)

(P) và (C ) tiếp xúc nhau \( \Leftrightarrow \) hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\) có nghiệm

Xét hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{4}{x^2} + x + \frac{1}{4} = \sqrt {{x^2} - x + 1} \\ - \frac{1}{2}x + 1 = \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\end{array} \right.\)

Thay \(x = 1\) vào hệ trên ta thấy thỏa mãn.

Do đó hệ có nghiệm \(x = 1\).

Vậy (P) và (C ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ \(x = 1\).

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} - 3x - 2 = {x^2} - 4x + 2\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} + x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 3x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\{x^2} + 3x + 4 = 0\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y =  - 1\end{array}\)

Vậy giao điểm \(\left( {1; - 1} \right)\).

Đồ thị \(\left( {{H_m}} \right)\) của hàm số đã cho đi qua điểm \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi

\({y_0} = {{m{x_0} - 1} \over {{x_0} - m}}\)

Với mọi \(m \ne  \pm 1\) , đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) luôn đi qua điểm \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi phương trình trên (với ẩn số m) nghiệm đúng với mọi \(m \ne  \pm 1\).

Với mọi \(m \ne  \pm 1\), phương trình trên tương đương với phương trình

\(\eqalign{& {y_0}\left( {{x_0} - m} \right) = m{x_0} - 1  \cr &  \Leftrightarrow \left( {{x_0} + {y_0}} \right)m = {x_0}{y_0} + 1 \cr} \)

Phương trình nghiệm đúng với mọi \(m \ne  \pm 1\) khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{{x_0} + {y_0} = 0 \hfill \cr {x_0}{y_0} + 1 = 0 \hfill \cr}  \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{y_0} =  - {x_0} \hfill \cr - x_0^2 + 1 = 0 \hfill \cr}  \right.\)

Hệ phương trình tương đương với mọi \(m \ne  \pm 1\), đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) luôn đi qua hai điểm cố định A(-1;1) và B(1;-1).

Phương trình của đường thẳng đi qua điểm A và có hệ số góc k là

\(y = k\left( {x - {3 \over 2}} \right) - {5 \over 2}\)    \(\left( {{D_k}} \right)\)

Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng \(\left( {{D_k}} \right)\) là nghiệm của phương trình

\(\eqalign{& {x^2} - 3x = kx - {3 \over 2}k - {5 \over 2}  \cr &  \Leftrightarrow 2{x^2} - 2(k + 3)x + 3k + 5 = 0 \cr} \)

Đường thẳng \(\left( {{D_k}} \right)\) là tiếp tuyến của parabol khi và chỉ khi phương trình trên có nghiệm kép, tức là

\(\eqalign{& \Delta ' = {\left( {k + 3} \right)^2} - 2\left( {3k + 5} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow {k^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow k =  \pm 1 \cr} \)

Như vậy có hai tiếp tuyến của parabol đi qua điểm A.

Hệ số góc của hai tiếp tuyến đó là \({k_1} = 1\) và \({k_2} =  - 1\).

Vì  \(k_1.{k_2} =  - 1\) nên hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.