Hỏi đáp Lớp 12

giải giúp mình câu này với mọi người ơi y=-x³+3mx²+3(1-2m)x-1 nghich biến trên R khi :

A. m 1

B. m 1

C. m=1

D. m

Cảm ơn bạn nhiều, lo quá còn 3 tháng nữa thi rồi, không biết có ôn kịp không nữa.

Cảm ơn bạn, thế còn bài này thì sao, nó có cả logarit thì phải tìm m như thế nào đây. Mình chưa rành dạng toán này lắm bạn giúp mình giải câu này luôn nhé!

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 4} \right) - mx + 3\)  đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

A. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right]\) 

B. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\) 

C. \(\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\) 

D. \(\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

Bày này cách làm cũng tương tự bài trên thôi.

Với những bài tập như thế này bạn phải tính đạo hàm và cô lập tham số m trong đạo hàm đó, so sánh nó với một hàm số rồi đi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số đó.

Ta có: \(y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + 4}} - m\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0 \Leftrightarrow m \le \frac{{2x}}{{{x^2} + 4}},\forall x\)

Xét hàm số \(g(x) = \frac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\) ta có \(g'(x) = \frac{{8 - 2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}};g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - 2 \end{array} \right.\)

Ta có \(y\left( 2 \right) = \frac{1}{2};y\left( { - 2} \right) = - \frac{1}{2}\)

Từ bảng biến thiên ta thấy: \(m \le \frac{{2x}}{{{x^2} + 4}},\forall x\) thì \(\Rightarrow m \le - \frac{1}{2} \Rightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right]\)

Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} - mx - 1\)

\(y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - m\)

Hàm số luôn đồng biến khi và chi khi \(m \le \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)

Xét hàm số \(f(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }};\,\,f'(x) = \frac{1}{{\sqrt {{{({x^2} + 1)}^3}} }} > 0,\forall x\) 

Suy ra f(x) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) 

Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = - 1\) 

Vậy để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(m \le - 1.\)

Lời giải hay quá, cảm ơn bạn nhiều. Thế mà mình không biết cứ ôn tiếp tuyến bấy lâu nay!

Năm 2017 không có thi tiếp tuyến đâu bạn. Nhưng mà bài này cũng hay đó, để mình giải cho bạn tham khảo nhé:

Với m=0 ta có: \(y=-3x +2\) là hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

Ta có: \(y' = 3m{x^2} - 6mx - 3 = 3(m{x^2} - 2mx - 1)\)

Hàm số nghịch biến trên  \(\mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a < 0\\ \Delta ' \le 0 \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ {m^2} + m \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ - 1 \le m \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le m < 0.\)

Đồ thị hàm số không có tiếp tiếp song song với trục hoành khi khi y' khác 0 với mọi x. 

Ta thấy với m=-1 thì \(y'=0\Leftrightarrow x=-1\) do đó loại m=-1.

Vậy giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là: \(-1< m\leq 0\)

\(y'=-6x^2+6mx,y'=0\Leftrightarrow x=0\vee x=m\)

+ Nếu  m = 0 \(\Rightarrow y'\leq 0, \forall x\in R\Rightarrow\) hàm số nghịch biến trên ⇒ m = 0 không thoả  YCBT.
+ Nếu \(m\neq 0, y'\geq 0, \forall x\in (0;m)\) khi m > 0  hoặc \(y'\geq 0, \forall x\in (m;0) \ khi \ m <0\)
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (x₁; x₂) với x₂ - x₁ = 1

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} (x_1;x_2)=(0;m)\\ (x_1;x_2)=(m;0) \end{matrix}\) và \(x_2-x_1=1\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} m-0=1\\ 0-m=1 \end{matrix}\Leftrightarrow m=\pm 1\)

Tập xác định: D = R.  
\(y'=3x^2+6x-m\)
y' có \(\Delta '=3(m+3)\)
Nếu m \(\leq\) -3 thì \(\Delta '\leq 0\Rightarrow y'\geq 0, \forall x\Rightarrow\) hàm số đồng biến trên R\(\Rightarrow m\leq\)-3 (thỏa yêu cầu bài toán)
Nếu m > -3 thì \(\Delta '> 0\Rightarrow PT \ \ y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2(x_1 Do đó hàm số đồng biến trên khoảng 
\((-\infty ;0)\Leftrightarrow 0\leq x_1< x_2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta '>0\\ P\geq 0\\ S>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m> -3\\ -m\geq 0\\ -2>0 \end{matrix}\right. (VN)\)
Vậy \(m\leq -3\)

Tập xác định: \(D=R \setminus \left \{ 1 \right \}\)
\(y'=\frac{2x^2-4x+3-m}{(x-1)^2}=\frac{f(x)}{(x-1)^2}\)
Ta có: 
\(f(x)\geq 0\Leftrightarrow m\leq 2x^2-4x+3\)
Đặt \(g(x)=2x^2-4x+3\Rightarrow g'(x)=4x-4\)
Hàm số (2) đồng biến trên \((1;2)\Leftrightarrow y'\geq 0, \forall x\in (1;2)\Leftrightarrow m\leq \underset{(1;2)}{min} \ g(x)\)

Dựa vào BBT của hàm số \(g(x), \forall x\in (1;2)\), ta suy ra \(m\leq 1\)
Vậy \(m\leq 1\) thì hàm số (2) đồng biến trên (1;2).

Hàm số đã cho xác định trên R.
Ta có:
\(y'=\frac{1}{2}\left ( cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2} \right )+a=\frac{\sqrt{2}}{2} sin\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \right )+a\)
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi:
\(y'\geq 0, \forall x\in R\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}sin\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \right )\geq -a, \forall x\in R\)
\(\Leftrightarrow -\frac{\sqrt{2}}{2}\geq -a\Leftrightarrow a\geq \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Ta có

\(y'=(m^2-1)x^2+2(m+1)x-1\)
\(\Delta '_{y'}=(m+1)^2+m^2-1=2m^2+2m\)
Hàm số nghịch biến trên R 
\(\Leftrightarrow y'\geq 0, \forall x\in R\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2-1<0\\ 2m^2+2m\leq 0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -1< m< 1\\ -1\leq m\leq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -1