Hỏi đáp Lớp 9

\(B = \sqrt {16x + 16}  - \sqrt {9x + 9}  \)\(+ \sqrt {4x + 4}  + \sqrt {x + 1} \)

\( = \sqrt {16\left( {x + 1} \right)}  - \sqrt {9\left( {x + 1} \right)}  \)\(+ \sqrt {4\left( {x + 1} \right)}  + \sqrt {x + 1} \)

\( = 4\sqrt {x + 1}  - 3\sqrt {x + 1}  \)\(+ 2\sqrt {x + 1}  + \sqrt {x + 1} \)

\( = 4\sqrt {x + 1} \)

\(0,1\sqrt {200}  + 2\sqrt {0,08}  + 0,4\sqrt {50} \)\( = 0,1.10.\sqrt 2  + 2 \cdot \dfrac{1}{{10}}\sqrt 2  + 0,4.5.\sqrt 2 \)

\( = \sqrt 2  + \dfrac{2}{5}\sqrt 2  + 2\sqrt 2 \) \( = \dfrac{{17}}{5}\sqrt 2 \) 

\(\sqrt {20}  - \sqrt {45}  + 3\sqrt {18}  + \sqrt {72} \)\( = 2\sqrt 5  - 3\sqrt 5  + 9\sqrt {2}  + 6\sqrt {2} \) \( =  - \sqrt 5  + 15\sqrt {2} \)

\(\sqrt {\dfrac{1}{2}}  + \sqrt {4,5}  + \sqrt {12,5} \) \( = \sqrt {\dfrac{1}{2}}  + \sqrt {\dfrac{9}{2}}  + \sqrt {\dfrac{{25}}{2}} \)

\( = \dfrac{1}{2}\sqrt 2  + \dfrac{3}{2}\sqrt 2  + \dfrac{5}{2}\sqrt 2 \)

\( = \dfrac{{9\sqrt 2 }}{2}\)

Với điều kiện \(a > 0\) và \(a \ne 1\), ta rút gọn M như sau :

\(M = \left( {\dfrac{1}{{a - \sqrt a }} + \dfrac{1}{{\sqrt a  - 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{a - 2\sqrt a  + 1}}\)

\( = \left[ {\dfrac{1}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}} \right]:\dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{a - 2\sqrt a  + 1}}\)

\( = \dfrac{{1 + \sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}} \cdot \dfrac{{{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a  + 1}}\)

\( = \dfrac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a }} = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt a }}\)

Vậy \(M = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt a }}\)

Ta có : \(\dfrac{1}{{\sqrt a }} > 0\) (vì \(a > 0\) ) nên \(1 - \dfrac{1}{{\sqrt a }} < 1\)

Vậy \(M < 1\) .

Biến đổi vế trái, ta có :

\(\dfrac{{a + b}}{{{b^2}}}.\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}}  = \left| a \right|\) với \(a + b > 0\) và \(b \ne 0\)

\( = \dfrac{{a + b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{{\left( {a{b^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}} \)

\( = \dfrac{{a + b}}{{{b^2}}} \cdot \dfrac{{\left| {a{b^2}} \right|}}{{ {a + b} }}\)

\( = \dfrac{{\left| a \right|.{b^2}}}{{{b^2}}} = \left| a \right|\)

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.

\(\left( {\dfrac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right){\left( {\dfrac{{1 - \sqrt a }}{{1 - a}}} \right)^2}\)\( = \left[ {\dfrac{{1 - {{\left( {\sqrt a } \right)}^3}}}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right]{\left[ {\dfrac{{1 - \sqrt a }}{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a } \right)}}} \right]^2}\) \( = \left[ {\dfrac{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a  + a} \right)}}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right]{\left[ {\dfrac{1}{{1 + \sqrt a }}} \right]^2}\)

\( = \left( {1 + 2\sqrt a  + a} \right) \cdot {\left( {\dfrac{1}{{1 + \sqrt a }}} \right)^2}\)

\( = \dfrac{{{{\left( {1 + \sqrt a } \right)}^2}}}{{{{\left( {1 + \sqrt a } \right)}^2}}}\)

\( = 1\)

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.

\(\sqrt {\dfrac{m}{{1 - 2x + {x^2}}}} .\sqrt {\dfrac{{4m - 8mx + 4m{x^2}}}{{81}}} \) (với m > 0 và \(x \ne 1\)) 

\( = \sqrt {\dfrac{m}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}} \sqrt {\dfrac{{4m\left( {1 - 2x + {x^2}} \right)}}{{81}}} \)

\( = \sqrt {\dfrac{{{2^2}{m^2}{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{.9}^2}}}} \)

\( = \dfrac{{\left| {2m} \right|}}{9} = \dfrac{{2m}}{9}\) 

\(\sqrt {\dfrac{a}{b}}  + \sqrt {ab}  + \dfrac{a}{b}\sqrt {\dfrac{b}{a}} \) (\(a > 0\) và \(b > 0\)).

\( = \dfrac{1}{{\left| b \right|}}\sqrt {ab}  + \sqrt {ab}  + \dfrac{a}{{\left| a \right|b}}\sqrt {ab} \)

\( = \dfrac{1}{b}\sqrt {ab}  + \sqrt {ab}  + \dfrac{1}{b}\sqrt {ab} \)

 \(=\dfrac{2\sqrt{ab}}{b}+\sqrt{ab}\) 

\( = \dfrac{{\left( {2 + b} \right)\sqrt {ab} }}{b}\)