Hỏi đáp Lớp 9

Biến đổi vế trái, ta có :

\(\left( {\dfrac{{\sqrt {14}  - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {15}  - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt 7  - \sqrt 5 }}\)

\( = \left( {\dfrac{{\sqrt 2  \cdot \sqrt 7  - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 3  \cdot \sqrt 5  - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right) . \left( {\sqrt 7  - \sqrt 5 } \right)\)  

\( = \left( {\dfrac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2  - 1} \right)}}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{1 - \sqrt 3 }}} \right) \cdot \left( {\sqrt 7  - \sqrt 5 } \right)\)

\( = \left( { - \sqrt 7  - \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7  - \sqrt 5 } \right)\)

\( =  - \left( {\sqrt 7  + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7  - \sqrt 5 } \right)\)

\( =  - \left[ {{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \right] =  - 2\)

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.

Biến đổi vế trái ta có :

\(\left( {\dfrac{{2\sqrt 3  - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8  - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{{\sqrt 6 }}} \right).\dfrac{1}{{\sqrt 6 }} \)\(=\left( {\dfrac{{2\sqrt 3  - \sqrt 2 \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2  - 2}} - \dfrac{{\sqrt {{2^3}{{.3}^3}} }}{3}} \right) \cdot \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\)

\( = \left( {\dfrac{{\sqrt 3 \left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{2\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}} - \dfrac{{2.3.\sqrt {2.3} }}{3}} \right) \cdot \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\)

\( = \left( {\dfrac{{\sqrt 3 \sqrt 2 \left( {\sqrt 2  - 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}} - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{1}} \right)\dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\)

\( = \left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{2} - 2\sqrt 6 } \right) \cdot \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\)

\( = \dfrac{1}{2} - 2 =  - 1,5.\)

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.

Trước hết, x phải tìm thỏa mãn \(\sqrt {15x} \) xác định.

Ta thấy \(\sqrt {15x} \) xác định khi \(15x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\)

Với \(x \ge 0\) ,ta quy về tìm x biết:

\(\dfrac{5}{3}\sqrt {15x}  - \sqrt {15x}  - 2 = \dfrac{1}{3}\sqrt {15x} \)

Hay \(\left( {\dfrac{5}{3} - 1} \right)\sqrt {15x}  - 2 = \dfrac{1}{3}\sqrt {15x} \)

\(\dfrac{2}{3}\sqrt {15x}  - 2 = \dfrac{1}{3}\sqrt {15x} \)

Ta suy ra \(\dfrac{2}{3}\sqrt {15x}  - \dfrac{1}{3}\sqrt {15x}  = 2\)

Hay \(\dfrac{1}{3}\sqrt {15x}  = 2\)

Hay \(\sqrt {15x}  = 6\)

Từ kết quả \(\sqrt {15x}  = 6\) , theo định nghĩa căn bậc hai, ta có \({6^2} = 15x\)

Giải \(36 = 15x\) có \(x = 2,4\)

Giá trị \(x = 2,4\) thỏa mãn \(x \ge 0\) , đó là giá trị phải tìm.

Ta biến đổi Q như sau :

\(Q = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):\dfrac{b}{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)

\( = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {\dfrac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}}  + a}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right) \times \dfrac{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{b}\)

\( = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{\left( {\sqrt {{a^2} - {b^2}}  + a} \right)\left( {a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} } \right)}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)

\( = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{{a^2} - {{\left( {\sqrt {{a^2} - {b^2}} } \right)}^2}}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)

\( = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{{a^2} - {a^2} + {b^2}}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)

\( = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{{b^2}}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)

\(= \dfrac{{ab - {b^2}}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)

\(= \dfrac{{b\left( {a - b} \right)}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)

\( = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)

\(5\sqrt {\dfrac{1}{5}}  + \dfrac{1}{2}\sqrt {20}  + \sqrt 5 \)      

\( = 5 \cdot \dfrac{1}{5} \cdot \sqrt 5  + \sqrt 5  + \sqrt 5 \)

\( = \left( {1 + 1 + 1} \right)\sqrt 5 \)

\( = 3\sqrt 5 \) 

\(\dfrac{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }} - \dfrac{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }}{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}\)\( = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}}\) \( = \dfrac{{8 - 2\sqrt {15}  - \left( {8 + 2\sqrt {15} } \right)}}{{5 - 3}}\)\(= \dfrac{{ - 4\sqrt {15} }}{2} =  - 2\sqrt {15} \) 

\(\dfrac{{5\sqrt 2  - 2\sqrt 5 }}{{\sqrt {10}  - 2}}\)\( = \dfrac{{\left( {5\sqrt 2  - 2\sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt {10}  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt {10}  - 2} \right)\left( {\sqrt {10}  + 2} \right)}}\) \( = \dfrac{{5\sqrt {20}  + 10\sqrt 2  - 2\sqrt {50}  - 4\sqrt 5 }}{{10 - 4}}\) \( = \dfrac{{10\sqrt 5  + 10\sqrt 2  - 10\sqrt 2  - 4\sqrt 5 }}{6}\) \( = \dfrac{{6\sqrt 5 }}{6} = \sqrt 5 \)

Ta có: \(\sqrt {75} x - \left( {\sqrt {12}  + \sqrt 3 } \right)x = 6\)\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt {75}  - \sqrt {12}  - \sqrt 3 } \right)x = 6\) \( \Leftrightarrow \left( {5\sqrt 3  - 2\sqrt 3  - \sqrt 3 } \right)x = 6\) \(\Leftrightarrow 2\sqrt 3 x = 6\)

Biến đổi vế trái, ta có :

\(\left( {x\sqrt {\dfrac{6}{x}}  + \sqrt {\dfrac{{2x}}{3}}  + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}  = \)\(\left( {x \cdot \dfrac{1}{x}\sqrt {6x}  + \dfrac{1}{3}\sqrt {6x}  + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} \) \( = \dfrac{7}{3}\sqrt {6x} :\sqrt {6x} \) \( = \dfrac{7}{3} = 2\dfrac{1}{3}\)

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.

\(\dfrac{3}{2}\sqrt 6  + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}}  - 4\sqrt {\dfrac{3}{2}} \)\( = \dfrac{3}{2}\sqrt 6  + 2 \cdot \dfrac{1}{3}\sqrt 6  - 4 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt 6 \) \( = \left( {\dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{3} - 2} \right)\sqrt 6 \) \( = \dfrac{1}{6}\sqrt 6 \)

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.