Hỏi đáp Lớp 9

\(\left( {\sqrt 8  - 3\sqrt 2  + \sqrt {10} } \right)\sqrt 2  - \sqrt 5 \)\( = \sqrt {8.2}  - 3\sqrt {2.2}  + \sqrt {20}  - \sqrt 5 \)

\( = 4 - 3.2 + 2\sqrt 5  - \sqrt 5 \) \( = \sqrt 5  - 2\)

\(5\sqrt[3]{6}\) và \(6\sqrt[3]{5}\)

Ta có \(5\sqrt[3]{6}\)\( = \sqrt[3]{{{5^3}}}.\sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{{{5^3}.6}} = \sqrt[3]{{750}}\)

\(6\sqrt[3]{5}\)\( = \sqrt[3]{{{6^3}}}.\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{{216.5}} = \sqrt[3]{{1080}}\)

Vì  \(750 < 1080\) nên \(\sqrt[3]{{750}} < \sqrt[3]{{1080}}\)

Vậy \(5\sqrt[3]{6}\)\( < 6\sqrt[3]{5}\).

5 và \(\sqrt[3]{{123}}\)

Ta có : \(5 = \sqrt[3]{{{5^3}}} = \sqrt[3]{{125}}\)

Vì \(125 > 123\) nên \(\sqrt[3]{{125}} > \sqrt[3]{{123}}\)

Vậy \(5 > \sqrt[3]{{123}}\)

Ta có \(\sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}  = \left| {2x - 1} \right|\)

Vậy ta quy về tìm x biết \(\left| {2x - 1} \right| = 3\)

Ta xét 2 trường hợp :

- Khi \(2x - 1 = 3\) ta có :

\(2x - 1 = 3 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2\)

- Khi \(2x - 1 =  - 3\) ta có :

\(2x - 1 =  - 3 \Leftrightarrow 2x =  - 2 \Leftrightarrow x =  - 1\)

Vậy x phải tìm có hai giá trị: \({x_1} = 2\) và \({x_2} =  - 1\).

\(12 - \sqrt x  - x\)

\( = 12 - 4\sqrt x  + 3\sqrt x  - {\left( {\sqrt x } \right)^2}\)

\( = 4\left( {3 - \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {3 - \sqrt x } \right)\)

\( = \left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {4 + \sqrt x } \right)\)

\(\sqrt {a + b}  + \sqrt {{a^2} - {b^2}} \)\( = \sqrt {a + b}  + \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)} \)

\( = \sqrt {a + b}  + \sqrt {a + b} \sqrt {a - b} \)

\( = \sqrt {a + b} \left( {1 + \sqrt {a - b} } \right)\)

\(\sqrt {ax}  - \sqrt {by}  + \sqrt {bx}  - \sqrt {ay} \)\( = \sqrt {ax}  + \sqrt {bx}  - \left( {\sqrt {by}  + \sqrt {ay} } \right)\)

\( = \sqrt a \sqrt x  + \sqrt b \sqrt x  - \left( {\sqrt {by}  + \sqrt {ay} } \right)\)

\( = \sqrt x \left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right) - \sqrt y \left( {\sqrt b  + \sqrt a } \right)\)

\( = \left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)\)

\(xy - y\sqrt x  + \sqrt x  - 1\)\( = y\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) + \left( {\sqrt x  - 1} \right)\)

\( = \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {y\sqrt x  + 1} \right)\)

Biến đổi vế trái, ta có :

\(\left( {1 + \dfrac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 - \dfrac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a  - 1}}} \right)  \) \(=\left( {1 + \dfrac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 - \dfrac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}{{\sqrt a  - 1}}} \right)  \)\(=\left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a } \right) = 1 - a\)

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.

Biến đổi vế trái ta có :

\(\dfrac{{a\sqrt b  + b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\dfrac{1}{{\sqrt a  - \sqrt b }} = \) \(\dfrac{{\sqrt a \sqrt a \sqrt b  + \sqrt b \sqrt b \sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\dfrac{1}{{\sqrt a  - \sqrt b }}\)

\( = \left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)\)

\( = {\left( {\sqrt a } \right)^2} - {\left( {\sqrt b } \right)^2} = a - b.\)

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.