Hỏi đáp Lớp 11

\(\begin{array}{l}
\sin \left( {3x - 2} \right) = - 1\\
\Leftrightarrow 3x - 2 = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
\Leftrightarrow 3x = 2 - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{2}{3} - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\sqrt 2 \cos \left( {2x - \frac{\pi }{5}} \right) = 1\\
\Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{5}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
\Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{5}} \right) = \cos \frac{\pi }{4}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - \frac{\pi }{5} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
2x - \frac{\pi }{5} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{{9\pi }}{{20}} + k2\pi \\
2x = - \frac{\pi }{{20}} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{9\pi }}{{40}} + k\pi \\
x = - \frac{\pi }{{40}} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\cos \left( {3x - {{15}^0}} \right) = \cos {150^0}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x - {15^0} = {150^0} + k{360^0}\\
3x - {15^0} = - {150^0} + k{360^0}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x = {165^0} + k{360^0}\\
3x = - {135^0} + k{360^0}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = {55^0} + k{120^0}\\
x = - {45^0} + k{120^0}
\end{array} \right.
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\tan \left( {2x + 3} \right) = \tan \frac{\pi }{3}\\
\Leftrightarrow 2x + 3 = \frac{\pi }{3} + k\pi \\
\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} - 3 + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} - \frac{3}{2} + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array}\)

\(\sin 3x - \cos 2x = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin 3x - \sin \left( {{\pi  \over 2} - 2x} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow 2\cos \left( {{x \over 2} + {\pi  \over 4}} \right)\sin \left( {{{5x} \over 2} - {\pi  \over 4}} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\
\sin \left( {\frac{{5x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
\frac{{5x}}{2} - \frac{\pi }{4} = k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
\frac{{5x}}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5}
\end{array} \right.
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \cos 3x\\
\Leftrightarrow \cos 3x = \sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\\
\Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\\
\Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( { - \frac{\pi }{6} - x} \right)\\
\Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{6} + x} \right)\\
\Leftrightarrow \cos 3x - \cos \left( {\frac{\pi }{6} + x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow - 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{{12}}} \right)\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin \left( {2x + \frac{\pi }{{12}}} \right) = 0\\
\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + \frac{\pi }{{12}} = k\pi \\
x - \frac{\pi }{{12}} = k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{{24}} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\sin \left( {3x - \frac{{5\pi }}{6}} \right) + \cos \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \sin \left( {3x - \frac{{5\pi }}{6}} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 3x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \sin \left( {3x - \frac{{5\pi }}{6}} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{4} - 3x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 2\sin \left( { - \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)\cos \left( {3x - \frac{{13\pi }}{{24}}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \cos \left( {3x - \frac{{13\pi }}{{24}}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 3x - \frac{{13\pi }}{{24}} = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
\Leftrightarrow 3x = \frac{{25\pi }}{{24}} + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{{25\pi }}{{72}} + \frac{{k\pi }}{3}
\end{array}\)

Đặt \(y = 2x + {\pi  \over 6}\) thì:

\( - {\pi  \over 3} < x < {\pi  \over 6} \)\(\Leftrightarrow  - {\pi  \over 2} < y < {\pi  \over 2}\)

Ta có phương trình (với ẩn y) \(\sin y = {2 \over 5}\) (1)

Với \( - {\pi  \over 2} < y < {\pi  \over 2},\) phương trình (1) có một nghiệm suy nhất là \(y = \arcsin {2 \over 5}.\)

Vậy với \( - {\pi  \over 3} < x < {\pi  \over 6},\) phương trình đã cho tương đương với phương trình \(2x + {\pi  \over 6} = \arcsin {2 \over 5}\)

Do đó nó cũng có một nghiệm duy nhất là \(x = {1 \over 2}\left( {\arcsin {2 \over 5} - {\pi  \over 6}} \right)\)

Lấy giá trị gần đúng \(\arcsin {2 \over 5} \approx 0,412\) và \({\pi  \over 6} \approx 0,524,\) ta được \(x \approx  - 0,06.\)

Đặt \(y = {x \over 2}\) thì:

\(2\pi  < x < 4\pi  \Leftrightarrow \pi  < y < 2\pi \)

Ta có phương trình \(\cos y = {{\sqrt 2 } \over 3}.\)

Do \(0 < {{\sqrt 2 } \over 3} < 1\) nên phương trình \(\cos y = {{\sqrt 2 } \over 3}\) có duy nhất một nghiệm \(y = \alpha \) thuộc khoảng \(\left( {\pi ;2\pi } \right)\) (có thể thấy rõ điều này trên đường tròn lượng giác).

Vậy trong khoảng \(\left( {2\pi ;4\pi } \right),\) phương trình đã cho tương đương với phương trình \({x \over 2} = \alpha ,\)

Do đó có một nghiệm duy nhất \(x = 2\alpha .\)

Để tính giá trị gần đúng của \(\alpha ,\) ta làm như sau:

Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta tìm được số \(\beta \) thỏa mãn \(0 < \beta  < \pi \) và \(\cos \beta  = {{\sqrt 2 } \over 3}\).

(Cụ thể \(\beta  = \arccos {{\sqrt 2 } \over 3} \approx 1,080\)).

Khi đó, dễ thấy \(2\pi  - \beta \) thỏa mãn \(\pi  < 2\pi  - \beta  < 2\pi \) và \(\cos \left( {\pi  - \beta } \right) = \cos \beta  = {{\sqrt 2 } \over 3},\) nghĩa là \(\alpha  = 2\pi  - \beta .\)

Vì \(\beta  \approx 1,080\) nên giá trị gần đúng nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 2\alpha  \approx 10,41.\)

Đặt \(y = {{3x - \pi } \over 5}.\)

Khi đó \( - {\pi  \over 2} < y < {\pi  \over 2}\) và phương trình đã cho có dạng \(\tan y =  - 3.\)

Với điều kiện \( - {\pi  \over 2} < y < {\pi  \over 2}\), phương trình này có một nghiệm duy nhất \(y = \arctan \left( { - 3} \right).\)

Vì vậy \({{3x - \pi } \over 5} = \arctan \left( { - 3} \right)\) \( \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\left( {5\arctan \left( { - 3} \right) + \pi } \right)\)

Nên \(x = {1 \over 3}\left( {5\arctan \left( { - 3} \right) + \pi } \right)\) cũng là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện \( - {\pi  \over 2} < y < {{7\pi } \over 6}\)

Lấy giá trị gần đúng \(\arctan \left( { - 3} \right) \approx  - 1,249\) , ta được \(x \approx  - 1,03\)