Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Ta có \(a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right)\)
\(\begin{array}{l}
- 1 \le \sin \left( {x + \alpha } \right) \le 1\\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right) \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le y \le \sqrt {{a^2} + {b^2}}
\end{array}\)
Vậy hàm số y nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right]\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\cos \frac{{2\pi }}{5} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{4}\\
\Rightarrow {\tan ^2}\frac{{2\pi }}{5} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{{2\pi }}{5}}} - 1\\
= 1:{\left( {\frac{{\sqrt 5 - 1}}{4}} \right)^2} - 1\\
= 5 + 2\sqrt 5 \\
\Rightarrow \tan \frac{{2\pi }}{5} = \sqrt {5 + 2\sqrt 5 } \\
\Rightarrow \sin x + \sqrt {5 + 2\sqrt 5 } \cos x\\
= \sin x + \tan \frac{{2\pi }}{5}\cos x\\
= \frac{1}{{\cos \frac{{2\pi }}{5}}}\left( {\sin x\cos \frac{{2\pi }}{5} + \sin \frac{{2\pi }}{5}\cos x} \right)\\
= \frac{4}{{\sqrt 5 - 1}}\sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{5}} \right)
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(\eqalign{
& y = \left( {\sin x - 2\cos x} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) - 1 \cr&= 2\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) - 3\sin x\cos x - 1 \cr
& = - 1 - {3 \over 2}\sin 2x - 2\cos 2x \cr} \)
\( = - 1 - \left( {\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x\\
= \frac{5}{2}\left( {\frac{3}{5}\sin 2x + \frac{4}{5}\cos 2x} \right)\\
= \frac{5}{2}\sin \left( {2x + \alpha } \right)
\end{array}\)
với \(\alpha \) thỏa mãn \({\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{3}{5}\\
\sin \alpha = \frac{4}{5}
\end{array} \right.}\)
Mà
\(\begin{array}{l}
- 1 \le \sin \left( {2x + \alpha } \right) \le 1\\
\Rightarrow - \frac{5}{2} \le \frac{5}{2}\sin \left( {2x + \alpha } \right) \le \frac{5}{2}\\
\Rightarrow - \frac{5}{2} \le \frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x \le \frac{5}{2}\\
\Rightarrow - 1 + \frac{5}{2} \ge - 1 - \left( {\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x} \right) \ge - 1 - \frac{5}{2}\\
\Rightarrow \frac{3}{2} \ge y \ge - \frac{7}{2}
\end{array}\)
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là \({3 \over 2}\) và \( - {7 \over 2}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
2\sin 2x + 3\cos 2x = \sqrt {13} \sin 14x\\
\Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt {13} }}\sin 2x + \frac{3}{{\sqrt {13} }}\cos 2x = \sin 14x\\
\Leftrightarrow \cos \alpha \sin 2x + \sin \alpha \cos 2x = \sin 14x\\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \alpha } \right) = \sin 14x\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
14x = 2x + \alpha + k2\pi \\
14x = \pi - 2x - \alpha + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\alpha }{{12}} + \frac{{k\pi }}{6}\\
x = \frac{{\pi - \alpha }}{{16}} + \frac{{k\pi }}{8}
\end{array} \right.
\end{array}\)
trong đó \(\cos \alpha = {2 \over {\sqrt {13} }},\sin \alpha = {3 \over {\sqrt {13} }}.\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
3\sin 2x + 2\cos 2x = 3\\
\Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt {13} }}\sin 2x + \frac{2}{{\sqrt {13} }}\cos 2x = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\\
\Leftrightarrow \cos \alpha \sin 2x + \sin \alpha \cos 2x = \cos \alpha \\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \alpha } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + \alpha = \frac{\pi }{2} - \alpha + k2\pi \\
2x + \alpha = \pi - \frac{\pi }{2} + \alpha + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} - \alpha + k\pi \\
x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
với \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\\
\sin \alpha = \frac{2}{{\sqrt {13} }}
\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = {\pi \over 4} - \alpha + k\pi ,x = {\pi \over 4} + k\pi \).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({3^2} + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 21.\)
Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {21} \), ta được phương trình
\({2 \over {\sqrt {21} }}\cos x + {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt {21} }}\sin x = {9 \over {2\sqrt {21} }}\)
Chọn \(\alpha \) sao cho \(\cos \alpha = {3 \over {\sqrt {21} }}\) và \(\sin \alpha = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt {21} }} = 2\sqrt {{1 \over 7}} \) và chọn được \(\beta \) sao cho \(\cos \beta = {9 \over {2\sqrt {21} }}.\)
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
\(\cos \left( {x - \alpha } \right) = \cos \beta\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow x - \alpha = \pm \beta + k2\pi \\
\Leftrightarrow x = \alpha \pm \beta + k2\pi
\end{array}\)
(trong đó \(\cos \alpha = {3 \over {\sqrt {21} }},\sin \alpha = 2\sqrt {{1 \over 7}} \) và \(\cos \beta = {9 \over {2\sqrt {21} }}\)).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
4\sin x - 3\cos x = 5\\
\Leftrightarrow \frac{4}{5}\sin x - \frac{3}{5}\cos x = 1\\
\Leftrightarrow \cos \alpha \sin x - \sin \alpha \cos x = 1\\
\Leftrightarrow \sin \left( {x - \alpha } \right) = 1\\
\Leftrightarrow x - \alpha = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
\Leftrightarrow x = \alpha + \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array}\)
với \(\cos \alpha = {4 \over 5}\) và \(\sin \alpha = {3 \over 5}\)
Câu trả lời của bạn
\(x = \sqrt 3 \) là nghiệm của phương trình khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
\left( {2\sin \alpha - {{\cos }^2}\alpha + 1} \right).3\\
- \sqrt 3 \sin \alpha .\sqrt 3 + 2{\cos ^2}\alpha \\
- \left( {3 - \sqrt 3 } \right)\sin \alpha = 0\\
\Leftrightarrow 6\sin \alpha - 3{\cos ^2}\alpha + 3\\
- 3\sin \alpha + 2{\cos ^2}\alpha \\
- 3\sin \alpha + \sqrt 3 \sin \alpha = 0\\
\Leftrightarrow - {\cos ^2}\alpha + \sqrt 3 \sin \alpha + 3 = 0\\
\Leftrightarrow - \left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right) + \sqrt 3 \sin \alpha + 3 = 0\\
\Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + \sqrt 3 \sin \alpha + 2 = 0
\end{array}\)
Ta có:
\(\Delta = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - 4.1.2 = - 5 < 0\) nên phương trình trên vô nghiệm.
Vậy không có số \(\alpha \) nào thỏa mãn điều kiện của bài toán.
Câu trả lời của bạn
\(x = 1\) là nghiệm của phương trình đã cho khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
\cos \alpha + 3\sin \alpha - \sqrt 3 \\
+ \sqrt 3 \cos \alpha - 3\sin \alpha - 2\\
+ \sin \alpha - \cos \alpha + \sqrt 3 = 0\\
\Leftrightarrow \sqrt 3 \cos \alpha + \sin \alpha = 2\\
\Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \alpha + \frac{1}{2}\sin \alpha = 1\\
\Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{6}\cos \alpha + \sin \frac{\pi }{6}\sin \alpha = 1\\
\Leftrightarrow \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right) = 1\\
\Leftrightarrow \alpha - \frac{\pi }{6} = k2\pi \\
\Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi }{6} + k2\pi
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(y = 12\cos x + 5\sin x + 14\), ta có phương trình \(y + {5 \over y} - 6 = 0\).
\( \Leftrightarrow {y^2} - 6y + 5 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 1\\
y = 5
\end{array} \right.\)
Do đó
\(\left[ \matrix{
12\cos x + 5\sin x + 14 = 1 \hfill \cr
12\cos x + 5\sin x + 14 = 5 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
12\cos x + 5\sin x = - 13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr
12\cos x + 5\sin x = - 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)
Chia hai vế của phương trình (1) và (2) cho \(13\left( {13 = \sqrt {{{12}^2} + {5^2}} } \right)\), gọi \(\alpha \) là số thỏa mãn \(\cos \alpha = {{12} \over {13}}\) và \(\sin \alpha = {5 \over {13}}\), ta có :
(1) \( \Leftrightarrow \cos (x - \alpha ) = - 1\)
\( \Leftrightarrow x - \alpha = \pi + k2\pi \)
\(\Leftrightarrow x = \alpha + \pi + k2\pi \)
(2) \( \Leftrightarrow \cos (x - \alpha ) = - {9 \over {13}}\)
\(\Leftrightarrow x = \alpha \pm \arccos \left( { - {9 \over {13}}} \right) + k2\pi \)