Hỏi đáp Lớp 11

Mỗi cách bày 6 loại bánh kẹo vào 6 ngăn là một hoán vị của 6 phần tử.

Số cách bày \(6\) loại bánh kẹo vào \(6\) ngăn là \(6!=720\) cách bày bánh kẹo.

Ta có \(2{\sin ^2}3x = 1 - \cos 6x\) và \(\cos 12x = 2{\cos ^2}6x - 1.\) Do đó

\(\eqalign{
& 6{\sin ^2}3x - 3\cos 12x = 14 \cr&\Leftrightarrow 3\left( {1 - \cos 6x} \right) + 2{\cos ^2}6x - 1 = 14 \cr 
& \Leftrightarrow 2{\cos ^2}6x - 3\cos 6x - 12 = 0 \cr&\Leftrightarrow \cos 6x = {{3 \pm \sqrt {105} } \over 4} \cr} \)

Dễ thấy \(\left| {{{3 \pm \sqrt {105} } \over {4}}} \right| > 1\) nên các phương trình này vô nghiệm

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

\(\begin{array}{l}
{\tan ^2}\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = 3\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 3 \\
\tan \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k\pi \\
2x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{3} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \\
2x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{7\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x = - \frac{\pi }{{24}} + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = {{7\pi } \over {24}} + k{\pi  \over 2},x =  - {\pi  \over {24}} + k{\pi  \over 2}\)

\(\begin{array}{l}
\cot \left( {{{45}^0} - x} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\
\Leftrightarrow \cot \left( {{{45}^0} - x} \right) = \cot {60^0}\\
\Leftrightarrow {45^0} - x = {60^0} + k{180^0}\\
\Leftrightarrow x = - {15^0} - k{180^0}
\end{array}\)

\(\eqalign{
& \cos {x \over 2} = - \cos \left( {2x - {{30}^o}} \right)\cr &\Leftrightarrow \cos {x \over 2} + \cos \left( {x - {{30}^o}} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2\cos \left( {{{5x} \over 4} - {{15}^o}} \right)\cos \left( {{{15}^o} - {{3x} \over 4}} \right) = 0 \cr} \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos \left( {\frac{{5x}}{4} - {{15}^0}} \right) = 0\\
\cos \left( {{{15}^0} - \frac{{3x}}{4}} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{{5x}}{4} - {15^0} = {90^0} + k{180^0}\\
{15^0} - \frac{{3x}}{4} = {90^0} + k{180^0}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{{5x}}{4} = {105^0} + k{180^0}\\
\frac{{3x}}{4} = - {75^0} - k{180^0}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = {84^0} + k{144^0}\\
x = - {100^0} - k{240^0}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Ta có: \(\cos \left( {4x + {{2\pi } \over 5}} \right) + \cos \left( {3x - {\pi  \over 4}} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2\cos \left( {{{7x} \over 2} + {{3\pi } \over {40}}} \right)\cos \left( {{x \over 2} + {{13\pi } \over {40}}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos \left( {\frac{{7x}}{2} + \frac{{3\pi }}{{40}}} \right) = 0\\
\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{{13\pi }}{{40}}} \right) = 0
\end{array} \right.\)

+) \(\cos \left( {{{7x} \over 2} + {{3\pi } \over {40}}} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow {{7x} \over 2} + {{3\pi } \over {40}} = {\pi  \over 2} + k\pi \)

\(\Leftrightarrow x = {{17\pi } \over {140}} + k{{2\pi } \over 7}\)

+) \(\cos \left( {{x \over 2} + {{13\pi } \over {40}}} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x \over 2} + {{13\pi } \over {40}} = {\pi  \over 2} + k\pi \)

\(\Leftrightarrow x = {{7\pi } \over {20}} + k2\pi \)

Vậy điều kiện xác định của hàm số đã cho là \(\cos \left( {4x + {{2\pi } \over 5}} \right) + \cos \left( {3x - {\pi  \over 4}} \right) \ne 0\) tức là

 \(x \ne {{17\pi } \over {140}} + k{{2\pi } \over 7}\left( {k \in Z} \right)\) và \(x \ne {{7\pi } \over {20}} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Vậy TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ {\frac{{17\pi }}{{140}} + \frac{{k2\pi }}{7},\frac{{7\pi }}{{20}} + k2\pi ,k \in Z} \right\}\)

Với \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) thì \(0 \le \cos x \le 1\) nên:

GTNN của hàm số là \(0\) khi \(x =  \pm \dfrac{\pi }{2}\)

GTLN của hàm số là \(1\) khi \(x = 0\).

Hàm số xác định khi

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin x\cos x \ne 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x\cos x \ne 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0\\ \Leftrightarrow 2x \ne k\pi ,k \in Z\\ \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z\end{array}\)

Vậy TXĐ của hàm số là \(D = R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\).

Hàm số xác định khi \(\cos x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \cos x \ge 1\)

Mà \( - 1 \le \cos x \le 1\) nên \(\cos x \ge 1 \Leftrightarrow \cos x = 1\)

\( \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in Z\).

Để hàm số không xác định thì: 

\(\begin{array}{l}\dfrac{\pi }{2}\cos x = \dfrac{\pi }{2} + m\pi \\ \Leftrightarrow \cos x = 1+2m\end{array}\)

Mà \( - 1 \le \cos x \le 1\) nên \( - 1 \le 2m +1 \le 1\) \( \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 0\)

\(m \in Z\) nên \(m = -1; 0\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 1\\
\cos x = - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in Z\)

Vậy hàm số không xác định tại \(x = k\pi ,k \in Z\).