Hỏi đáp Lớp 11

Ta có:

\(\begin{array}{l}6{\sin ^2}x + \sin x\cos x - {\cos ^2}x = 2\\ \Leftrightarrow 6{\sin ^2}x + \sin x\cos x - {\cos ^2}x\\ = 2\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x + \sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 0\end{array}\)

Nếu \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), thay vào phương trình được:

\(4 + 0 - 0 = 0\) (vô lí) nên \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) không là nghiệm của phương trình.

Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\) ta được:

\(\begin{array}{l}4{\tan ^2}x + \tan x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x =  - 1\\\tan x = \dfrac{3}{4}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( {\dfrac{3}{4}} \right) + k\pi \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) và \(x = \arctan \left( {\dfrac{3}{4}} \right) + k\pi \).

Ta có:

\(\cos \left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) = \sin {x \over 2}\)

\(\sin \left( {{\pi  \over 2} + {x \over 2}} \right) = \cos {x \over 2}\)

Phương trình đã cho trở thành:

\(3{\sin ^3}{x \over 2} + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2}\)\( - \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} - {\cos ^3}{x \over 2} = 0(*)\)

Với điều kiện \(\cos {x \over 2} \ne 0\) , chia hai vế của (*) cho \({\cos ^3}{x \over 2}\) thì được phương trình

\(3{\tan ^3}{x \over 2} + 3{\tan ^2}{x \over 2} - \tan {x \over 2} - 1 = 0\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {3{{\tan }^3}\frac{x}{2} - \tan \frac{x}{2}} \right) + \left( {3{{\tan }^2}\frac{x}{2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \tan \frac{x}{2}\left( {3{{\tan }^2}\frac{x}{2} - 1} \right) + \left( {3{{\tan }^2}\frac{x}{2} - 1} \right) = 0
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \) \(\left( {\tan {x \over 2} + 1} \right)\left( {3{{\tan }^2}{x \over 2} - 1} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan \frac{x}{2} + 1 = 0\\
3{\tan ^2}\frac{x}{2} - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan \frac{x}{2} = - 1\\
\tan \frac{x}{2} = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\
\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x =  - {\pi  \over 2} + 2k\pi \) và \(x =  \pm {\pi  \over 3} + 2k\pi \).

Những giá trị của \(x\) mà \(\cos x = 0\) thì \(\sin x =  \pm 1\) nên không có nghiệm của phương trình đã cho .

Với \(\cos x \ne 0\) , chia hai vế của nó cho \({\cos ^3}x\) , ta được

\(\begin{array}{l}
2.\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^3}x}} + 4 = 3.\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\\
2{\tan ^3}x + 4 = 3.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\
\Leftrightarrow 2{\tan ^3}x + 4 = 3\tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\
\Leftrightarrow {\tan ^3}x + 3\tan x - 4 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {\tan x - 1} \right)\left( {{{\tan }^2}x + \tan x + 4} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x - 1 = 0\\
{\tan ^2}x + \tan x + 4 = 0\left( {VN} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \tan x = 1\\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array}\)

Ta có:

\(\cos \left( {x - {\pi  \over 2}} \right) = \sin x\)

\(\sin \left( {x + \pi } \right) =  - \sin x\)

\(\sin \left( {{{3\pi } \over 2} - x} \right) =  - \cos x\)

\(\cos \left( {\pi  + x} \right) =  - \cos x\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}4\sin x\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right) + 4\sin \left( {\pi  + x} \right)\cos x\\ + 2\sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - x} \right)\cos \left( {\pi  + x} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 4\sin x.\sin x + 4\left( { - \sin x} \right)\cos x\\ + 2\left( { - \cos x} \right).\left( { - \cos x} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x\\ + 2{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 0\end{array}\)

Nếu \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), thay vào phương trình được:

\(3 - 0 + 0 = 0\) (vô lí) nên \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) không là nghiệm của phương trình.

Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\) ta được:

\(\begin{array}{l}3{\tan ^2}x - 4\tan x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \dfrac{1}{3} + k\pi \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,x = \arctan \dfrac{1}{3} + k\pi \).

\(\begin{array}{l}2{\sin ^2}2x - 3\sin 2x\cos 2x + {\cos ^2}2x = 2\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}2x - 3\sin 2x\cos 2x + {\cos ^2}2x\\ = 2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}2x + 3\sin 2x\cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\cos 2x + 3\sin 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\cos 2x + 3\sin 2x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\cot 2x + 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\2x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( { - 3} \right) + k\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{1}{2}{\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( { - 3} \right) + \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},\) \(x = \dfrac{1}{2}{\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( { - 3} \right) + \dfrac{{k\pi }}{2}\).

\(\begin{array}{l}
\sin 5x\cos 3x = \sin 9x\cos 7x\\
\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right) = \frac{1}{2}\left( {\sin 16x + \sin 2x} \right)\\
\Leftrightarrow \sin 8x + \sin 2x = \sin 16x + \sin 2x\\
\Leftrightarrow \sin 16x = \sin 8x\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
16x = 8x + k2\pi \\
16x = \pi - 8x + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{4}\\
x = \frac{\pi }{{24}} + \frac{{k\pi }}{{12}}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = {{k\pi } \over 4},x = {\pi  \over {24}} + {{k\pi } \over {12}}\).

\(\begin{array}{l}
\sin x\sin 7x = \sin 3x\sin 5x\\
\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\cos 6x - \cos 8x} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos 2x - \cos 8x} \right)\\
\Leftrightarrow \cos 6x - \cos 8x = \cos 2x - \cos 8x\\
\Leftrightarrow \cos 6x = \cos 2x\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
6x = 2x + k2\pi \\
6x = - 2x + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \frac{{k\pi }}{4}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{4}
\end{array}\)

Vậy \(x = {{k\pi } \over 4}\).

Giả sử một góc của tam giác vuông ABC có số đo độ thỏa mãn phương trình đã cho.

Ta viết phương trình đã cho thành

\({\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x\cos x - 3{\cos ^3}x = 0\)        (1)

\(({0^o} < x \le {90^o})\)

Dễ thấy \(x = {90^o}\) không phải nghiệm của phương trình, vậy \(\cos x \ne 0\)

Chia 2 vế phương trình cho \({\cos ^3}x\) được :

(1)\( \Leftrightarrow {\tan ^3}x + 2\tan x - 3 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left( {\tan x - 1} \right)\left( {{{\tan }^2}x + 3\tan x + 3} \right) = 0\)

Vì phương trình \({\tan ^2}x + 3\tan x + 3 = 0\) vô ngiệm , nên (1)\( \Leftrightarrow \tan x = 1\).

Kết hợp với điều kiện \({0^o} < x < {90^o}\) ta thấy chỉ có \(x = {45^o}\) là thỏa mãn.

Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác vuông cân.

\(\eqalign{
& \sin 4x\sin 5x + \sin 4x\sin 3x - \sin 2x\sin x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \sin 4x\sin 5x \cr&+ {1 \over 2}\left( {\cos x - \cos 7x + \cos 3x - \cos x} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \sin 4x\sin 5x + \sin 5x\sin 2x = 0\cr& \Leftrightarrow \sin 5x(\sin 4x + \sin 2x) = 0 \cr} \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \sin 5x.2\sin 3x\cos x = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 5x = 0\\
\sin 3x = 0\\
\cos x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x = k\pi \\
3x = k\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{5}\\
x = \frac{{k\pi }}{3}\\
x = \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\sin 5x + \sin 3x = \sin 4x\\
\Leftrightarrow 2\sin 4x\cos x = \sin 4x\\
\Leftrightarrow \sin 4x\left( {2\cos x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 4x = 0\\
2\cos x - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = k\pi \\
\cos x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{4}\\
x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = {{k\pi } \over 4},x =  \pm {\pi  \over 3} + k2\pi \)