Sau khi đã hoàn thành các bài học của chương Khối đa diện, chúng ta dễ dàng nhận thấy để học tốt chương này thì việc nắm vững kiến thức hình học không gian ở lớp 11 là yếu tố mang tính chất quyết định đến khả năng tiếp thu bài và giải bài tập. Bài ôn tập chương Khối đa diện sẽ hệ thống lại tất cả kiến thức cần nắm thông qua những sơ đồ tư duy, hy vọng sẽ giúp cho các em có định hướng học tập hiệu quả hơn.
Hệ thống hóa kiến thức “Đường thẳng và mặt phẳng song song”
Hệ thống hóa kiến thức "Hai mặt phẳng song song"
Hệ thống hóa kiến thức "Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng"
Hệ thống hóa kiến thức "Hai mặt phẳng vuông góc"
Hệ thống hóa kiến thức "Khoảng cách và góc"
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(2a\sqrt{2}\) và \(AA'=a\sqrt{3}\). Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABB'A'.
Ta có \(A'G \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'G\) là chiều cao của lăng trụ ABC.A'B'C'.
Diện tích tam giác đều ABC là: \({S_{ABC}} = A{B^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 2{a^2}\sqrt 3\).
Gọi M là trung điểm của BC, ta có: \(AM = BC.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 6\).
\(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\).
Trong \(\Delta A'GA\) vuông tại G, ta có \(A'G = \sqrt {A'{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {3{a^2} - \frac{8}{3}{a^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là:
\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'G = 2{a^3}\)
Gọi N là trung điểm của AB.
Trong \(\Delta A'GN\), kẻ \(GH \bot A'N\).
Chứng minh được \(GH \bot \left( {ABB'A'} \right)\) tại H.
Suy ra \(d\left( {G,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = GH\).
Ta có \(CN = AM = a\sqrt 6\), \(GN = \frac{1}{3}CN = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) .
\(\frac{1}{{G{H^2}}} = \frac{1}{{A'{G^2}}} + \frac{1}{{G{N^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}} + \frac{9}{{6{a^2}}} = \frac{9}{{2{a^2}}}\) \(\Rightarrow GH = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
Do đó \(d\left( {G,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = GH = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
Vậy \(d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = 3d\left( {G,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = a\sqrt 2\).
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, \(AB = a , \widehat{ ACB} = 60^0, SA\perp (ABC)\). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC), biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(\frac{a}{2}\).
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} SA \bot (ABC) \Rightarrow BC \bot SA\\ BC \bot AB \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB)\\ \Rightarrow (SBC) \bot (SAB). \end{array}\)
Kẻ AH vuông góc SB \((H \in SB)\) suy ra: \(AH \bot (SBC) \Rightarrow AH = \frac{a}{2}.\)
\(BC = \frac{{AB}}{{\tan {{60}^0}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)
Diện tích tam giác ABC là: \(S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{6}\).
Vậy thể tích khối chóp là: \(V_{S.ABC}=\frac{a^3}{18}.\)
Kẻ \(BI \bot AC;\,\,IK \bot SC.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} BI \bot AC\\ BI \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow BI \bot (SAC) \Rightarrow SC \bot BI\) (1)
Mặt khác: \(IK \bot SC\) (2)
\(SC \bot (BIK) \Rightarrow BK \bot SC.\)
Suy ra góc giữa 2 mặt phẳng là \(\widehat{IKB}\).
Xét các tam giác vuông ABC và SBC ta tính được độ dài các đường cao:\(BI=\frac{a}{2};BK=\frac{2a\sqrt{15}}{15}\).
Xét tam giác BIK vuông tại I ta có: \(IK=\frac{a\sqrt{15}}{30};cos\widehat{IKB}=\frac{1}{4}\).
Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48 và ABCD là hình thoi. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là các điểm trên các đoạn SA, SB, SC, SD thỏa mãn: \(SA = 2SM,SB = 3SN;\) \(SC = 4SP;SD = 5SQ.\) Tính thể tích V của khối chóp S.MNPQ.
Ta có: \({V_{SMNPQ}} = {V_{SMQP}} + {V_{SMNP}}\)
Và: \({V_{SADC}} = {V_{SQBC}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\)
Mặt khác:
\(\begin{array}{l} \frac{{{V_{S.MQP}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac{{SQ}}{{SD}}.\frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SP}}{{SC}} = \frac{1}{5}.\frac{1}{2}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{40}}\\ \Rightarrow {V_{S.MQP}} = \frac{1}{{40}}.{V_{S.ADC}} = \frac{1}{{80}}.{V_{S.ABCD}} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SP}}{{SC}}.\frac{{SN}}{{SP}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{4}.\frac{1}{3} = \frac{1}{{24}}\\ \Rightarrow {V_{S.MNP}} = \frac{1}{{24}}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{{48}}.{V_{S.ABCD}} \end{array}\)
\(\Rightarrow {V_{SMNPQ}} = \left( {\frac{1}{{80}} + \frac{1}{{48}}} \right){V_{S.ABCD}} = \frac{8}{5}\)
Sau khi đã hoàn thành các bài học của chương Khối đa diện, chúng ta dễ dàng nhận thấy để học tốt chương này thì việc nắm vững kiến thức hình học không gian ở lớp 11 là yếu tố mang tính chất quyết định đến khả năng tiếp thu bài và giải bài tập. Bài ôn tập chương Khối đa diện sẽ hệ thống lại tất cả kiến thức cần nắm thông qua những sơ đồ tư duy, hy vọng sẽ giúp cho các em có định hướng học tập hiệu quả hơn.
Nội dung bài giảng đã giúp các em có các nhìn tổng quát về nội dung của chương 1 hình học lớp 12 và ôn tập phương pháp giải một số dạng bài tập trọng tâm.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Ôn tập chương 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE=2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD.
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V. Tính thể tích \(V_1\) của khối tứ diện A’B’C'C.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân có cạnh huyền là 4a và thể tích bằng \(a^3\). Tính chiều cao h của khối chóp S.ABC.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Ôn tập chương 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 3 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 27 SGK Hình học 12
Bài tập 11 trang 27 SGK Hình học 12
Bài tập 12 trang 27 SGK Hình học 12
Bài tập 1 trang 27 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 27 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 27 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 28 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 28 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 28 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 28 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 28 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 28 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 28 SGK Hình học 12
Bài tập 1.18 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.19 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.20 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.21 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.22 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.23 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.24 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.25 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.26 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.27 trang 20 SBT Hình học 12
Bài tập 1.28 trang 20 SBT Hình học 12
Bài tập 1.29 trang 20 SBT Hình học 12
Bài tập 1.30 trang 20 SBT Hình học 12
Bài tập 1.31 trang 20 SBT Hình học 12
Bài tập 1.32 trang 20 SBT Hình học 12
Bài tập 1.33 trang 20 SBT Hình học 12
Bài tập 1.34 trang 20 SBT Hình học 12
Bài tập 1.35 trang 20 SBT Hình học 12
Bài tập 1.36 trang 21 SBT Hình học 12
Bài tập 1.37 trang 21 SBT Hình học 12
Bài tập 1.38 trang 21 SBT Hình học 12
Bài tập 1.39 trang 21 SBT Hình học 12
Bài tập 1.40 trang 21 SBT Hình học 12
Bài tập 1.41 trang 21 SBT Hình học 12
Bài tập 1.42 trang 21 SBT Hình học 12
Bài tập 1.43 trang 21 SBT Hình học 12
Bài tập 1.44 trang 22 SBT Hình học 12
Bài tập 1.45 trang 22 SBT Hình học 12
Bài tập 1.46 trang 22 SBT Hình học 12
Bài tập 1.47 trang 22 SBT Hình học 12
Bài tập 1.48 trang 22 SBT Hình học 12
Bài tập 1.49 trang 22 SBT Hình học 12
Bài tập 1.50 trang 22 SBT Hình học 12
Bài tập 1.51 trang 23 SBT Hình học 12
Bài tập 1.52 trang 23 SBT Hình học 12
Bài tập 1.53 trang 23 SBT Hình học 12
Bài tập 1.54 trang 23 SBT Hình học 12
Bài tập 1.55 trang 23 SBT Hình học 12
Bài tập 1.56 trang 23 SBT Hình học 12
Bài tập 1.57 trang 24 SBT Hình học 12
Bài tập 1.58 trang 24 SBT Hình học 12
Bài tập 1.59 trang 24 SBT Hình học 12
Bài tập 1 trang 30 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 31 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 31 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 31 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 31 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 31 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 1 trang 31 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 31 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 32 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 32 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 32 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 32 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 32 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 8 trang 32 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 9 trang 32 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 10 trang 32 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 11 trang 33 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 12 trang 33 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 13 trang 33 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 14 trang 33 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 15 trang 33 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 33 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 33 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 33 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 34 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 34 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 34 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 34 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 34 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 24 trang 35 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 25 trang 35 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 26 trang 35 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 27 trang 35 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 28 trang 35 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 29 trang 36 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 30 trang 36 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 31 trang 36 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 32 trang 36 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE=2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD.
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V. Tính thể tích \(V_1\) của khối tứ diện A’B’C'C.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân có cạnh huyền là 4a và thể tích bằng \(a^3\). Tính chiều cao h của khối chóp S.ABC.
Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 150 m, cạnh đáy dài 220 m. Tính diện tích xung quanh S của kim tự tháp này.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SD = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\), hình chiếu vuông góc H của S lên mặt (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Tính chiều cao h của khối chóp H.SBD theo a.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết hình chóp S.ABC có thể tích bằng \(a^3\). Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết AC’ tạo với mặt phẳng (A'B'C) một góc 600 và AC' = 4a. Tính thể tích V của khối đa diện ABCB’C’.
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, góc \(\widehat{A}\) bằng 600 và cạnh bên AA’ = 2a. Tính thể tích V của khối hộp ABCD.A’B’C’D’.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của cạnh SD. Biết rằng khối chóp S.ABCD có thể tích bằng \(a^3\) và tam giác MAC là tam giác đều cạnh a, hãy tính khoảng cách d từ điểm S đến mặt phẳng (MAC).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA=a. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho \(\frac{{SM}}{{SA}} = k\). Xác định k sao cho mặt phẳng (BMC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Các đỉnh, cạnh, mặt của một khối đa diện phải thoả mãn những tính chất nào?
Tìm một hình tạo bởi các đa giác nhưng không phải là một đa diện.
Thế nào là một khối đa diện lồi. Tìm ví dụ trong một khối đa diện lồi, một khối đa diện không lồi.
Cho hình lăng trụ và hình chóp có cùng diện tích đáy và chiều cao bằng nhau. Tính tỉ số thể tích của chúng.
Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Hãy tính đường cao OH của hình chóp.
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc bằng 600. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC
b) Tính thể tích khối chóp S.DBC
Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a; BC = 6A; CA=7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc bằng 600. Tình thể tích khối chóp đó.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với đáy và AB=a, AD=b, SA=c. Lấy các điểm B', D' theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho \(AB'\perp SB, AD'\perp SD\). Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 600. Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A'BB'C
b) Mặt phẳng đi qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC cắt AC và BC lần lượt tạ E và F. Tính thể tích hình chóp C.A'B'FE.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB' và DD'. Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện. Tính tỉ số của hai khối đa diện đó.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi M là trung điểm A'B', N là trung điểm BC.
a) Tính thể tích khối tứ diện BC.
b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A, (H) là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số \(\frac{V_{(H)}}{V_{(H')}}\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
(A) Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau;
(B) Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau;
(C) Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh;
(D) Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và mặt bằng nhau.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Số các đỉnh hoặc số các mặt của bất kì hình đa diện nào cũng:
(A) lớn hơn hay bằng 4
(B) lớn hơn 4
(C) lớn hơn hay bằng 5
(D) lớn hơn 5
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Số các cạnh của hình đa diện luôn luôn:
(A) Lớn hơn hay bằng 6
(B) Lớn hơn 6
(C) Lớn hơn 7
(D) Lớn hơn hay bằng 8
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI?
(A) Hình tứ diện là khối đa diện lồi
(B) Hình hộp là khối đa diện lồi
(C) Hình chóp là khối đa diện lồi
(D) Hình lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI?
(A) Hình khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau;
(B) Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau;
(C) Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau;
(D) Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
Cho hình chóp S.ABC. Gọi A', B' lần lượt là trung điểm của SA, SB. Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C' và S.ABC là:
(A) \(\frac{1}{2}\)
(B) \(\frac{1}{3}\)
(C) \(\frac{1}{4}\)
(D) \(\frac{1}{8}\)
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A', B', C', D' lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C'D' và S.ABCD là
(A) \(\frac{1}{2}\)
(B) \(\frac{1}{4}\)
(C) \(\frac{1}{8}\)
(D) \(\frac{1}{16}\)
Thể tích khối lăng trụ tam giác đề có tất cả các cạnh bằng a là:
(A) \(\frac{\sqrt{2}}{3}a^3\);
(B) \(\frac{\sqrt{2}}{4}a^3\)
(C) \(\frac{\sqrt{3}}{2}a^3\)
(D) \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^3\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
A. \(6{a^3}\)
B. \(2{a^3}\)
C. \(\dfrac{{8{a^3}}}{3}\)
D. \(8{a^3}\)
Câu trả lời của bạn
Thể tích khối lập phương là \(V = {\left( {2a} \right)^3} = 8{a^3}\)
Chọn đáp án D.
Cho biết những khối đa diện đều nào có mặt là tam giác đều? Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của bao nhiêu mặt?
Câu trả lời của bạn
Các khối đa diện nhiều loại {3; q} có mỗi mặt tam giác đều (trong đó q =3, q =4 hoặc q =5).
- Khối đa diện đều loại {3; 3} là tứ diện đều, mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 cạnh.
- Khối đa diện đều loại {3, 4} là khối 8 mặt đều, mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 cạnh.
- Khối đa diện đều loại {3, 5} là khối 20 mặt đều, mỗi đỉnh là đỉnh chung của 5 cạnh.
Cho biết khối lăng trụ n – giác có bao nhiêu đỉnh, bao nhiêu cạnh và bao nhiêu mặt? Khối chóp n – giác có bao nhiêu đỉnh, bao nhiêu cạnh và bao nhêu mặt?
Câu trả lời của bạn
- Khối lăng trụ n – giác có 2n đỉnh, 3n cạnh và n + 2 mặt.
- Khối chóp n – giác có n + 1 đỉnh, 2n cạnh và n + 1 mặt.
Nếu mỗi kích thước hình hộp chữ nhật được tăng lên k lần thì thể tích của khối đó tăng lên bao nhiêu lần.
Câu trả lời của bạn
Gọi các kích thước hình hộp chữ nhật ban đầu là a, b, c.
Thể tích hình hộp chữ nhật cũ là V=abc.
Khi tăng lên k lần ta được kích thước ka, kb, kc.
Thể tích hình hộp mới là:
ka.kb.kc=\({k^3}\)abc=\({k^3}\)V.
Vậy nếu mỗi kích thước của 1 hình hộp chữ nhật được tăng lên k lần thì thể tích khối hộp đó được tăng lên k3 lần.
Nếu biết thể tích của một khối chóp và diện tích đáy của nó thì có thể biết được chiều cao của khối chóp đó hay không.
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(V = \frac{1}{3}Sh \Rightarrow 3V = Sh \Rightarrow h = \frac{{3V}}{S}\)
Vậy nếu một khối chóp có thể tích là V và diện tích mặt đáy của nó là S thì chiều cao của nó được tính theo công thức
\(h = \frac{{3V}}{S}\)
Nếu tỉ số các cạnh tương ứng của hai tứ diện đồng dạng bằng k thì tỉ số thể tích của hai khối tứ diện ấy bằng bao nhiêu?
Câu trả lời của bạn
Nếu tỉ số các cạnh tương ứng của hai tứ diện đồng dạng bằng k thì tỉ số thể tích của hai khối tứ diện ấy bằng k3.
Cho tứ diện \(ABCD\) có thể tích bằng \(V\). Gọi \(B'\) và \(D'\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\). Mặt phắng \((CB'D')\) chia khối tứ diện thành hai phần. Tính thể tích mỗi phần đó.
Câu trả lời của bạn
Mp \((CB’D’)\) chia khối tứ diện thành hai khối chóp \(C.AB’D’\) và \(C.BB’D’D\).
\(\frac{{{V_{AB'CD'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{AB'}}{{AB}}.\frac{{AC}}{{AC}}.\frac{{AD'}}{{AD}} \) \(= \frac{1}{2}.1.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow {V_{A.B'CD'}} = \frac{1}{4}V \) \(\Rightarrow {V_{BCDB'D'}} = V - \frac{1}{4}V = \frac{3}{4}V\)
Cho khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Chứng minh sáu trung điểm của sáu cạnh \(AB, BC, CC', C'D’, D'A'\) và \(A'A\) nằm trên một mặt phẳng và mặt phẳng đó chia khối hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(M, N, I, J, K, E\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CC’, C’D’, D’A’, A’A\) của khối hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) tâm \(O\).
Ta có \(O\) là tâm hình bình hành \(ABC’D’\) nên \(M, O, J\) thẳng hàng (\(O\) là trung điểm của \(MJ\)). Mặt khác ba đường thẳng \(MN, EI\) và \(KJ\) đôi một song song với nhau (vì cung song song với \(AC\)) nên chúng đồng phẳng.
Vậy \(6\) điểm \(M, N, I, J, K, E\) cùng nằm trên một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Mp \(\left( \alpha \right)\) chia khối hộp thành hai khối đa diện khối thứ nhất có các đỉnh \(M, N, I, J, K, E, A, C, D, D’\) , khối thứ hai có các đỉnh \(M, N, I, J, K, E, C’, A’, B, B’\).
Phép đối xứng qua điểm \(O\) biến tập hợp đỉnh của khối đa diện thứ nhất thành tập hợp đỉnh của khối đa diện thứ hai. Suy ra hai khối đa diện đó bằng nhau và do đó có thể tích bằng nhau.
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A’B'C’\) có diện tích đáy bằng \(S\) và \(AA' = h\). Một mặt phẳng \((P)\) cắt các cạnh \(AA', BB’, CC'\) lần lượt tại \({A_1},{B_1}\) và \(C_1\). Biết \(A{A_1} = a,B{B_1} = b,CC_1 = c\). Tính thể tích hai phần của khối lăng trụ được phân chia bởi mặt phẳng \((P)\).
Câu trả lời của bạn
Kẻ đường cao \(AI\) của tam giác \(ABC\) thì \(AI \bot \left( {BCC'B'} \right)\)
\(\Rightarrow AI = d\left( {{A_1};\left( {BCC'B'} \right)} \right)\). Ta có:
\(\eqalign{
& {V_{_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}}} = {V_{{A_1}.ABC}} + {V_{{A_1}BC{C_1}{B_1}}} \cr
& = \frac{1}{3}A{A_1}.{S_{ABC}} + \frac{1}{3}{S_{BC{C_1}{B_1}}}.d\left( {{A_1},\left( {BC{C_1}{B_1}} \right)} \right)\cr &= {1 \over 3}{\rm{aS + }}{1 \over 3}{S_{BC{C_1}{B_1}}}.AI \cr
& = {1 \over 3}aS + {1 \over 3}.{1 \over 2}\left( {b + c} \right).BC.AI \cr
& = {1 \over 3}aS + {1 \over 3}\left( {b + c} \right)S \cr &= {1 \over 3}\left( {a + b + c} \right)S \cr
& {V_{{A_1}{B_1}{C_1}A'B'C'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} \cr
& = Sh - {1 \over 3}\left( {a + b + c} \right)S \cr &= \frac{1}{3}S\left( {3h - a - b - c} \right) \cr} \)
Cho khối lăng trụ đểu \(ABC.A'B'C’\) và \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\). Mặt phẳng \((B'C'M)\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Hãy tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(B’M\) với \(AA’\); \(N\) là giao điểm của \(IC’\) với \(AC\). Khi đó \(A\) là trung điểm của \(A’I\) và \(N\) là trung điểm của \(AC\).
Đặt \({S_{ABC}} = S\) và \(AA' = h\)
Thiết diện của mp \((B’C’M)\) với khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) là hình thang cân \(MNC’B’\). Mp \((B’C’M)\) chia khối lăng trụ thành hai phần, phần chứa cạnh \(AA’\) có thể tích là \({V_1}\), phần còn lại có thể tích là \({V_2}\). Khi đó ta có:
\(\eqalign{
& {V_1} = {V_{AMN.A'B'C'}} \cr &= {V_{I.A'B'C'}} - {V_{I.AMN}} \cr & = \frac{1}{3}{S_{A'B'C'}}.A'I - \frac{1}{3}{S_{AMN}}.AI\cr &= {1 \over 3}S.2h - {1 \over 3}.{S \over 4}h \cr
& = {2 \over 3}Sh - {1 \over {12}}Sh = {7 \over {12}}Sh \cr &= {7 \over {12}}\left( {{V_1} + {V_2}} \right) \cr
& \Rightarrow 12{V_1} = 7{V_1} + 7{V_2}\Leftrightarrow 5{V_1} = 7{V_2}\cr & \Rightarrow {{{V_1}} \over {{V_2}}} = {7 \over 5} \cr} \)
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đường cao \(SA\) bằng \(a\), đáy là tam giác vuông cân có \(AB = BC = a\). Gọi \(B'\) là trung điểm của \(SB, C'\) là chân đường cao hạ từ \(A\) của tam giác \(SAC\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
Câu trả lời của bạn
Tam giác ABC vuông cân tại B nên \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\)
Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là: \({V_{S.ABC}} = {1 \over 3}{S_{ABC}}.SA = {1 \over 3}.\frac{{{a^2}}}{2} .a = {{{a^3}} \over 6}\)
(A) Năm cạnh
(B) Bốn cạnh
(C) Ba cạnh
(D) Hai cạnh.
Câu trả lời của bạn
Chọn C
Vì không có hình đa diện nào mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của một cạnh hoặc hai cạnh.
Mà tứ diện là hình đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 cạnh nên mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh.
(A) Số cạnh của khối chóp bằng \(n + 1\) ;
(B) Số mặt của khối chóp bằng \(2n\) ;
(C) Số đỉnh của khối chóp bằng \(2n + 1\) ;
(D) Số mặt của khối chóp bằng số đỉnh của nó.
Câu trả lời của bạn
Chọn D
Số cạnh của khối chóp là 2n nên A sai.
Số mặt của khối chóp bằng n+1 nên B sai.
Số đỉnh của khối chóp là n + 1 nên C sai.
Số mặt của khối chóp bằng số đỉnh của nó.
(A) \(d\) song song với \((P)\)
(B) \(d\) nằm trên \((P)\)
(C) \(d \bot \left( P \right)\)
(D) \(d\) nằm trên \((P)\) hoặc \(d \bot \left( P \right)\)
Câu trả lời của bạn
Chọn D
Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến đường thẳng d thành chính nó khi và chỉ khi d nằm trên (P) hoặc \(d \bot \left( P \right)\).
(A) Có một
(B) Có hai
(C) Không có
(D) Có vô số
Câu trả lời của bạn
Chọn B
Có hai phép đối xứng qua mặt phẳng biến \(d\) thành \(d’\), đó là:
Phép đối xứng qua mặt phẳng chứa đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau d, d’ và vuông góc với mp (d, d’) biến d thành d’. Vì hai đường thẳng cắt nhau d, d’ có hai đường phân giác nên có hai phép đối xứng qua mặt phẳng biến d thành d’.
(A) Không có
(B) Có một
(C) Có hai
(D) Có một hoặc hai
Câu trả lời của bạn
Chọn D.
Vì d, d’ phân biệt và đồng phẳng nên d // d’ hoặc d cắt d’.
- Nếu d // d’ thì có 1 phép đối xứng qua mặt phẳng biến d thành d’, (đó là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (d, d’) và cách đều hai đường thẳng d và d’.
- Nếu d cắt d’, có 2 phép đối xứng qua mặt phẳng biến d thành d’ (xem câu 4).
(A) Một
(B) Hai
(C) Ba
(D) Bốn
Câu trả lời của bạn
Chọn D
Hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(4\) mặt phẳng đối xứng là: mp \((SAC)\), mp \((SBD)\), mp trung trực của đoạn \(AB\) và mặt phẳng trung trực của đoạn \(AD\).
(A) \(2\)
(B) \(– 2\)
(C) \( \pm {1 \over 2}\)
(D) \({1 \over 2}\)
Câu trả lời của bạn
Giả sử \({V_{(O,k)}}:A \to B\) thì \(\overrightarrow {OB} = k\overrightarrow {OA} \)
\(\Rightarrow OB = \left| k \right|OA \)\(\Rightarrow OA = \frac{1}{{\left| k \right|}}OB \) \(\Rightarrow \frac{1}{{\left| k \right|}} = 2\) \( \Leftrightarrow \left| k \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow k = \pm \frac{1}{2}\)
Chọn C.
(A) Có một
(B) Không có
(C) Có hai
(D) Có một hoặc không có.
Câu trả lời của bạn
- Nếu O ∈ mp(d,d’) thì có 1 phép vị tự biến d thành d’.
- Nếu O ∉ mp(d, d’) thì không có phép vị tự tâm O nào biến d thành d.
Chọn D.
(A) Một
(B) Hai
(C) Ba
(D) Bốn
Câu trả lời của bạn
Hình thoi có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải hình vuông) có các mặt phẳng đối xứng là: (ACC’A’), (BDD’B’), mặt phẳng trung trực của cạnh AA’.
Chọn C.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *