Tính thể tích khối đa diện là dạng toán quan trọng nhất ở chương này, để có thể giải được các bài tập dạng này đòi hỏi khả năng vân dụng, tổng hợp các kiến thức hình học không gian đã được học và ghi nhớ được các công thức tính thể tích các khối đa diện quen thuộc như khối chóp, khối lăng trụ,...Bên cạnh đó thể tích khối chóp còn được ứng dụng để tính khoảng cách và chứng minh hệ thức.
Giả sử có 1 khối hộp chữ nhật với 3 kích thước a, b, c đều là những số dương. Khi đó thể tích của nó là: \(V=a.b.c\).
\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABC}.SH\)
Trên các đường thẳng SA, SB, SC của hình chóp S.ABC ta lấy lần lượt các điểm . Ta có: .
Thể tích của khối lăng trụ bằng tích số của diện tích mặt đáy với chiều cao của khối lăng trụ đó: \(V=S_{day}.h.\)
\(V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC}.C'H\)
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, \(AB=a \sqrt 2, AC=a \sqrt 3\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SB=a \sqrt 3.\) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a.\)
Suy ra: \({{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 .a = \frac{{{a^2}.\sqrt 2 }}{2}\)
Tam giác SAB vuông tại A có \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = a.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}.\sqrt 2 }}{2}.a = \frac{{{a^3}.\sqrt 2 }}{6}.\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a\sqrt2\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SC=a \sqrt5\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Diện tích ABCD: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 2{a^2}.\)
Ta có: \(AC = AB.\sqrt 2 = a\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2a.\)
Tam giác SAC vuông tại A nên: \(SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = a\).
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.2{a^2}.a = \frac{{2{a^3}}}{3}.\)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng \(a\sqrt3\), cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Gọi M là trung điểm của BC.
O là trọng tâm tam giác ABC suy ra \(SO \bot (ABC).\)
Tam giác ABC đều cạnh \(a\sqrt3\) suy ra:
\(AM=a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{2}.\)
\({\rm{AO = }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}.AM = \frac{2}{3}.\frac{{3a}}{2} = a\).
\({{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin {60^0} = \frac{1}{2}.a\sqrt 3 .a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^2}.\sqrt 3 }}{4}\).
Tam giác SAO vuông tại A nên ta có \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = a.\sqrt 3.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}.\sqrt 3 }}{4}.\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600.Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
\(SA \bot (ABCD)\) nên AC là hình chiếu của SC lên mặt mặt phẳng (ABCD).
Do đó: \(\widehat {(SC,(ABCD))} = \widehat {(SC,AC)} = \widehat {SCA} = {60^o}.\)
Diện tích đáy là: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}} = {a^2}.\)
Tam giác SAC vuông tại A có \(AC=a \sqrt2, \widehat {SCA} = {60^0} \Rightarrow SA = AC.\tan {60^o} = a\sqrt 6.\)
Vậy thể tích khối chóp là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.{a^2}.a\sqrt 6 = \frac{{{a^3}.\sqrt 6 }}{3}.\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh \(BC=a\sqrt2,\) cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Gọi M là trung điểm của BC ta có: \(AM \bot BC\).
Mặt khác: \(SA \bot BC\) do \(SA \bot \left( {ABC} \right).\)
Nên: \(BC \bot (SAM) \Rightarrow SM \bot BC.\)
Suy ra: \(\widehat {((SBC),(ABC))} = \widehat {(SM,AM)} = \widehat {SMA} = {45^o}\).
Tam giác ABC vuông cận tại A có \(BC=a\sqrt2\) suy ra:
\(AB = BC = a\) và \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \(\Rightarrow {{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\)
Tam giác SAM vuông tại A có \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và \(\widehat {SMA} = {45^o}\)
Suy ra: \(SA = AB.\tan {45^o} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}.\sqrt 2 }}{{12}}\).
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, \(AC=a\sqrt3\), cạnh A'B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC=\sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2.\)
Suy ra: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)
Tam giác A'AB vuông tại A nên: \(A'A = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 3 .\)
Vậy thể tích khối lăng trụ là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'A = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\)
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(2a\sqrt3\), hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A'A hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
Gọi M là trung điểm của BC.
G là trọng tâm tam giác ABC suy ra: \(A'G \bot (ABC)\).
Do đó AG là hình chiếu vuông góc của AA' lên mặt phẳng (ABC).
Suy ra: \(\left( {\widehat {{A^/}A,(ABC)}} \right) = \widehat {{A^/}AG} = {30^0}.\)
Tam giác ABC đều cạnh \(2a\sqrt3\) nên: \({S_{ABC}} = {\left( {2a\sqrt 3 } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 3{a^2}\sqrt 3.\)
Tam giác A'AG vuông tại G có \(\widehat A = {30^0},AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.2a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2a.\)
Suy ra: \(A'G = AG.\tan {30^0} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)
Vậy: \({V_{ABC.{A'}{B'}{C'}}} = {S_{ABC}}.{A'}A = 6{a^3}.\)
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=a\sqrt3.\)Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM.
Lời giải:
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S.
Do đó theo công thức tỷ số thể tích, ta có:
\(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{{\rm{SA}}}}{{{\rm{SA}}}}.\frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = 1.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)
Suy ra: \({V_{S.AMN}} = \frac{{{V_{S.ABC}}}}{4} = \frac{{\frac{1}{3}.{a^2}\sqrt 3 .a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{4}\)
Và: \({V_{A.BCNM}} = \frac{3}{4}.{V_{S.ABC}} = {\frac{{3a}}{4}^3}.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, M và N theo thứ tự là trung điểm của SA và SB. Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{S.CDMN}}}}{{{V_{S.CDAB}}}}\).
Ta có:
\({V_{S.MNCD}} = {V_{S.MCD}} + {V_{S.MNC}}\) và \({V_{S.ABCD}} = {V_{S.ACD}} + {V_{S.ABC}}\).
Khi đó: \(\frac{{{V_{S.MCD}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {V_{S.MCD}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}}\)
Mặt khác: \(\frac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.MNC}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\)
Từ trên suy ra \({V_{S.MNCD}} = \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{8}} \right){V_{S.ABCD}} = \frac{3}{8}{V_{S.ABCD}}\).
Tính thể tích khối đa diện là dạng toán quan trọng nhất ở chương này, để có thể giải được các bài tập dạng này đòi hỏi khả năng vân dụng, tổng hợp các kiến thức hình học không gian đã được học và ghi nhớ được các công thức tính thể tích các khối đa diện quen thuộc như khối chóp, khối lăng trụ,...Bên cạnh đó thể tích khối chóp còn được ứng dụng để tính khoảng cách và chứng minh hệ thức.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 1 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 450 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác vuông cân tại B và BA = BC = a. Cạnh bên \(SA = a\sqrt 3\) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với mặt phẳng bằng 450. Hình chiếu của a trên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của A’B’. Tính thể tích V của khối lăng trụ theo a.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Chương 1 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 25 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 25 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 25 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 25 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 1.10 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.11 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.12 trang 18 BT Hình học 12
Bài tập 1.13 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.14 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.15 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.16 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.17 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 15 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 29 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 24 trang 29 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 25 trang 29 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 450 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác vuông cân tại B và BA = BC = a. Cạnh bên \(SA = a\sqrt 3\) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với mặt phẳng bằng 450. Hình chiếu của a trên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của A’B’. Tính thể tích V của khối lăng trụ theo a.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a và đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc 300. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE=2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD.
Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Tính thể tích V của khối tứ diện AB’C’D theo a.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ vì M là trung điểm của CC’. Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp M.ABC. Tính tỷ số thể tích của (H) và khối chóp M.ABC.
Biết thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng V. Tính thể tích \(V_1\) tứ diện A'ABC' theo V.
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC); AC=AD=4; AB=3; BC=5. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy; \(BC = 9m,AB = 10m,AC = 17m\). Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 73m3. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB’D’.
Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng:
\(\frac{{{V_{S.A'B'C'D'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}\)
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với SD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tình thể tích khối tứ diện CDEF theo a.
Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d’. Đoạn thằng AB có độ dài a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài B trượt trên d’. Chứng minh rằng khối tứ diện ABCD có thể tích không đổi.
Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC = b, SA = c.
a) Hãy tính thể tích khối chóp S.ADE
b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB).
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong một tứ diện đều đến các mặt của nó là một số không đổi.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = 2a, AA′ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD.
a) Tính thể tích khối chóp M.AB′C
b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB′C).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, AA′ = c. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của A′B′ và B′C′. Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D′.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, AA′ = c. Gọi E và F lần lượt là những điểm thuộc cạnh BB′ và DD′ sao cho \(BE = \frac{1}{2}EB',DF = \frac{1}{2}FD'\). Mặt phẳng (AEF) chia khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ thành hai khối đa diện (H) và (H′). Gọi (H′) là khối đa diện chứa đỉnh A′. Hãy tính thể tích của (H) và tỉ số thể tích của (H) và (H′).
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B′C′ và C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H′), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính tỉ số giữa thể tích hình đa diện (H) và thể tích hình đa diện (H′).
Cho tam giác ABC cố định và một điểm S thay đổi. Thể tích của khối chóp S.ABC có thay đổi hay không nếu:
a) Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) ;
b) Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với chỉ một cạnh đáy ;
c) Đỉnh S di chuyển trên một đường thẳng song song với một cạnh đáy ?
Hãy chia một khối tứ diện thành hai khối tứ diện sao cho tỉ số thể tích của hai khối tứ diện này bằng một số k > 0 cho trước.
Tính thể tích của khối hộp ABCD.A′B′C′D′, biết rằng AA′B′D′ là khối tứ diện đều cạnh a.
Tính thể tích của khối lăng trụ n-giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a.
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC = b, \(\widehat {ACB} = {60^0}\). Đường thẳng BC′ tạo với mp (AA′C′C) một góc 300
a) Tính độ dài đoạn thẳng AC.
b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A′ cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA′ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600
a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
b) Chứng minh rằng mặt bên BCCB′ là một hình chữ nhật.
c) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ ABC.A′B′C (tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đã cho).
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cứu với mọi người!
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy góc 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SD. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, CD
Câu trả lời của bạn
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm AB
Khi đó \(SM\perp AB,OM \perp AB\)
Do đó góc giữa hai mặt (SAB), (ABCD) là \(\widehat{SMO}=60^0\) (theo gt)
S.ABCD là hình chóp đều nên \(SO\perp (ABCD)\)
Suy ra \(SO\perp OM\), do đó \(SO = OM.tan60^0=\frac{a}{2}\sqrt{3}\)
Vậy thể tích khối chóp là: \(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.S_{ABCD}.SO=\frac{1}{3}.a^2.\frac{a}{2}.\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}\)
Gọi K là trung điểm CD. Dựng đường thẳng d qua N, song song với CD, d cắt SK tại I.
Khi đó CD // (MNI), do đó d(MN, CD) = d(K, (MNI)).
Ta có MI \(\perp\) SK (do \(\Delta\)SMK đều) ⇒ MI \(\perp\) IK
Mà IK \(\perp\) IN (do IN // CD). Suy ra IK \(\perp\) (MNI)
Từ đó d(MN,CD) = d(K,(MNI)) = IK
Ta có \(\Delta\)SKM là tam giác đều, I là trung điểm SK. Do đó: d(MN,CD) = KI = \(\frac{SM}{2}=\frac{a}{2}\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a; BCD = 600 SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) vuông góc với nhau. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) theo a.
Câu trả lời của bạn
Theo giả thiết ABCD là hình thoi cạnh a và \(BCD=60^0\Rightarrow \Delta BCD\) đều và diện tích hình thoi ABCD là \(S_{ABCD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)
Ta có \(\left\{\begin{matrix} BD\perp AC\\ BD\perp SA \end{matrix}\right.\Rightarrow BD\perp (SAC)\Rightarrow BD\perp SC\)
Gọi \(O=AC\cap BD\), trong (SAC) kẻ \(OM\perp SC,M\in SC\Rightarrow SC\perp (MBD)\)
Do đó BMD là góc giữa (SCB) và (SCD) \(\Rightarrow BMD=90^0\Rightarrow OM=\frac{1}{2}.BD=\frac{a}{2}\)
Ta thấy \(\Delta SAC\sim \Delta OMC\Rightarrow \frac{SA}{OM}=\frac{AC}{MC}\)
\(\Rightarrow SA=\frac{AC.OM}{\sqrt{OC^2-OM^2}}=\frac{a\sqrt{3}.\frac{a}{2}}{ \sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)
Thể tích khối chóp cần tìm là
\(V=\frac{1}{2}.SA.S_{ABCD}=\frac{a^3\sqrt{2}}{4}\)
Ta có O là trung điểm của AC nên \(d (C, (SBD)) =d (A, (SBD))\)
Trong (SAC), kẻ \(AH\perp SO,H\in SO\) mà \(AH\perp BD\) nên \(AH\perp (SBD)\)
\(\Rightarrow AH=d(A,(SBD))\)
Trong tam giác SAO vuông tại A có
\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AO^2}=\frac{2}{3a^2}+\frac{4}{3a^2} =\frac{2}{a^2}\)
\(\Rightarrow AH=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) là \(\frac{a}{\sqrt{2}}\)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, \(AB = a , \widehat{ ACB} = 60^0, SA\perp (ABC)\). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC), biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(\frac{a}{2}\).
Câu trả lời của bạn
Vì (SAB)\(\perp\)(SAC) nên kẻ AH \(\perp\) SB
Suy ra \(AH=\frac{a}{2}\). Tính được \(SA=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Tính được \(BC=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
\(S_{\Delta AB\Delta C}=\frac{a^2\sqrt{3}}{6}, V_{S.ABC}=\frac{a^3}{18}\)
Kẻ BI \(\perp\) AC; kẻ IK \(\perp\) SC
Suy ra góc giữa 2 mặt phẳng là \(\widehat{IKB}\)
Tính được \(BI=\frac{a}{2};BK=\frac{2a\sqrt{15}}{15}\)
\(IK=\frac{a\sqrt{15}}{30};cos\widehat{IKB}=\frac{1}{4}\)
Bài này phải làm sao mọi người?
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).SC tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 450 .Gọi E là trung điểm của BC .Tính Thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC.
Câu trả lời của bạn
Có \(SA\perp (ABCD)\rightarrow SA\) là đường cao của chóp .AC là hình chiếu vuông góc của
SC trên (ABCD)
ABCD là hình vuông cạnh a nên \(AB=BC=CD=AD=a, AC=a\sqrt{2}\)
\(S_{ABCD}=AB^2=a^2\)
Tam giác \(\Delta\)SAC
+ Có DE và SC là hai đường thẳng chéo nhau vuông cân tại \(A\rightarrow SA=AC=a\sqrt{2}\)
Thể tích khối chóp S.ABCD
\(V=\frac{1}{3}.SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}a\sqrt{2}a^2=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}\)
+ Trong (ABCD) kẻ CF// DE cắt AD kéo dài tại AK vuông góc với CF cắt ED tại H và CF tại K
Ta có \(\left\{\begin{matrix} DE//CF\subset (SCF)\\ DE \not\subset (SCF) \\ \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} DE // (SCF)\\ d(SC,DE)=d(DE,(SCF))=d(H,(SCF)) \end{matrix}\right.\)
tứ giác CEDF là hình bình hành từ giả thiết
\(CE=DF=\frac{a}{2}, AF=AD+DF=a+\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}\)
\(DE=CF=\sqrt{CD^2+CE^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
\(S_{\Delta ACF}=\frac{1}{2}.AF.CD=\frac{1}{2}AK.CF\rightarrow AK= \frac{AF.CD}{CF}=\frac{\frac{3}{2}a.a}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{3\sqrt{5}a}{5}\)
Trong tam giác AFK ta có
\(\frac{AH}{AK}=\frac{AD}{AF}=\frac{a}{\frac{3a}{2}}=\frac{2}{3}\rightarrow \frac{HK}{AK}=\frac{1}{3}\rightarrow d(H,(SCF))=\frac{1}{3}d(A,(SCF))\)
Có \(\left\{\begin{matrix} CF\perp AK\\ CF\perp SA \end{matrix}\right.\rightarrow CF\perp (SAK)\)
Trong tam giác vuông \(\Delta\)SAK kẻ đường cao AI ta có
\(\left\{\begin{matrix} AI\perp SK\\ AI\perp CF \end{matrix}\right.\rightarrow AI\perp (SCF)\rightarrow AH=d(A,(SCF))\)
\(\frac{1}{AI^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{5}{9a^2}= \frac{19}{18a^2}\)
\(\rightarrow AI=\frac{3\sqrt{38}a}{19}\rightarrow d(SC;DE)=\frac{\sqrt{38}a}{19}\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HD =2HA. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SB, BC biết góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 300. Tính theo a thể tích của khối chóp S ABCD . và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, SD.
Câu trả lời của bạn
Ta có \(AH=\frac{a}{3}, DH=\frac{2a}{3}\), do \(SH \perp (ABCD)\Rightarrow SH\) là chiều cao của khối chóp S.ABCD và góc giữa SB với mặt phẳng (ABCD) là góc \(\widehat{SBH}=30^0\)
Vì \(tan \widehat{SBH}=tan 30^0=\frac{SH}{HB}\Leftrightarrow SH=HB.tan30^0 =\sqrt{AB^2+AH^2}.tan 30^0\)\(=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{9}}.\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{30}}{9}\)
Khi đó \(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}\) với \(SH=\frac{a\sqrt{30}}{9},S_{ABCD}=a^2\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}. \frac{a\sqrt{30}}{9}.a^2=\frac{a^3\sqrt{30}}{27}\) (đvtt)
Do M, N lần lượt là trung điểm của SB và BC nên MN // SC ⇒ MN // (SDC) ⇒ d (MN; SD) = d (MN; (SCD)) =d (N; (SCD)) = \(\frac{1}{2}\) d (B, (SCD))
Mà AB // CD ⇒ AB // (SC) ⇒ d(B;(SCD)) = d(A;(SCD))=\(\frac{3}{2}\) d(H;(SCD))
Do đó \(d(MN;SD)=\frac{3}{4}.d(H;(SCD))\) .Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên \(SD\Rightarrow d(H;(SCD))=HI\)
Ta có \(\frac{1}{HI^2}=\frac{1}{HS^2}+\frac{1}{HD^2}=\frac{81}{30a^2}+ \frac{9}{4a^2}=\frac{99}{20a^2}\Leftrightarrow HI=a.\sqrt{\frac{20}{99}}= \frac{2a}{3}.\sqrt{\frac{5}{11}}\)
Vậy \(d(MN;SD)=\frac{3}{4}.\frac{2a}{3}.\sqrt{\frac{5}{11}}=\frac{a}{2}.\sqrt{\frac{5}{11}}\)
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc \(\widehat{ABC} = 60^0\), hai mặt phẳng (SAC)và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 300. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD theo a.
Câu trả lời của bạn
Gọi O = AC \(\cap\) BD, M là trung điểm AB và I là trung điểm của AM.
Do tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên
\(CM \perp AB,OI \perp AB\) và \(CM\perp \frac{a\sqrt{3}}{2},OI=\frac{a\sqrt{3}}{4},S_{ABCD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)
Vì (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD) nên SO \(\perp\) (ABCD).
Do \(AB \perp OI\Rightarrow AB\perp SI\). Suy ra \(\left [ \widehat{(SAB),(ABCD)} \right ]=\widehat{(OI,SI)}=\widehat{SIO}=30^0\)
Xét tam giác vuông SOI ta được \(SO=OI.tan30^0=\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a}{4}\)
Suy ra \(V=\frac{1}{3}.S_{ABCD}.SO=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.\frac{a}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}\)
Gọi J = OI \(\cap\) CD và H là hình chiếu vuông góc của J trên SI
Suy ra \(IJ=2OI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) và \(JH\perp (SAB)\)
Do CD // AB ⇒ CD // (SAB)
Suy ra \(d(SA,CD)=d[CD,(SAB)]=d[J,(SAB)]=JH\)
Xét tam giác vuông IJH ta được \(JH=IJ.sin30^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Vậy \(d(SA,CD)=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \(\widehat{SAB}= \widehat{SAD} =\widehat{BAD}=60^0\) và cạnh bên SA = a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB.
Câu trả lời của bạn
Theo giả thiết: \(\Delta ABD, \Delta SAB, \Delta SAD\) là các tam giác đều
\(\Rightarrow SA=SB=SD=AB=BD=DA=a\)
SABD là hình tứ diện đều, hình chiếu H là trọng tâm tam giác ABD
\(AH=\frac{2}{3}AO=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=a\sqrt{\frac{2}{3}}\)
Ta lại có: \(AC=2AO=a\sqrt{3}\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}.AC.BD=\frac{1}{2}.a\sqrt{3}a=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)
Vậy \(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}\) (đvtt)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD và AB.
Do SABD là tứ diện đều nên MN là đường cao của \(\Delta MAB; \Delta NSD\)
Vậy, MN là đoạn vuông góc chung của SD và AB.
Ta có \(MN=\sqrt{AM^2-AN^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Vậy \(d(SD,AB)=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M là trung điểm CD, SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) với H là giao điểm của AC với BM. Góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM theo a.
Câu trả lời của bạn
Dựng \(HE\perp CD,E \in CD \Rightarrow (SHE)\perp CD\), suy ra \(\widehat{SEH}\) là góc giữa (SCD) và (ABCD) \(\Rightarrow \widehat{SEH}=60^0\)
Ta có \(SH=HE.tan60^0=\sqrt{3}.HE\)
\(\left.\begin{matrix} \frac{CH}{HA}=\frac{CM}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{CH}{CA}=\frac{1}{3}\\ \frac{HE}{AD}=\frac{CH}{CA} \end{matrix}\right\}\Rightarrow \frac{HE}{AD}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow HE=\frac{1}{3}AD=\frac{a}{3}\Rightarrow SH==\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Ta có \(S_{ABCD}=a^2\)
Suy ra \(V_{SABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{3}.a^2= \frac{a^3\sqrt{3}}{9}\) (đvtt)
Ta có \(\left\{\begin{matrix} AB//CD\\ CD\subset (SCD)\\ SM\subset (SCD) \end{matrix}\right.\Rightarrow d(AB,SM)=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))\)
Lại có \(\left\{\begin{matrix} AH\cap (SCD)=C\\ \frac{AC}{HC}=3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{d(A,(SCD))}{d(H,(SCD))}=3\Rightarrow d(A,(SCD))=3d(H,(SCD))\)
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE, ta có
\(CD\perp (SHE),HK\subset (SHE)\Rightarrow CD\perp HK\)
Do đó \(HK\perp (SCD)\Rightarrow d(H,(SCD))=HK\)
Xét tam giác vuông SHE có:
\(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{SH^2}+\frac{1}{HE^2}=\frac{1}{\left ( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right )^2 }+\frac{1}{\left ( \frac{a}{3} \right )^2}=\frac{12}{a^2}\)
\(\Rightarrow HK=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow d(A,(SCD))=3HK =\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC, đường thẳng A’B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 450. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh A’B vuông góc với B’C.
Câu trả lời của bạn
Bài này phải làm sao mọi người?
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C', ABC đều có cạnh bằng a, AA'=a và đỉnh A' cách đều A, B, C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và A'B. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AMN).
Câu trả lời của bạn
Gọi O là tâm tam giác đều \(ABC\Rightarrow A'O\perp (ABC)\)
\(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2},AO=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
\(A'O=\sqrt{AA'^2-AO^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C': V=S_{\Delta ABC}.A'O=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{3}= \frac{a^3\sqrt{2}}{4}\)
\(\Rightarrow d[C,(AMN)]=d[B,(AMN)]=\frac{3V_{ABMN}}{S_{\Delta AMN}}\)
Ta có \(V_{ABMN}=\frac{1}{4}.V_{A'ABC}=\frac{1}{4}.\frac{1}{3}.OA'.S_{ABC}=V_{NAMC}=\frac{a^3\sqrt{2}}{48}\)
Ta lại có: \(\Delta A'AB;\Delta ABC\) là 2 tam giác đều cạnh a nên \(AM=AN=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) ,suy ra \(\Delta\)AMN cân tại A
Gọi E là trung điểm AM suy ra A \(AE\perp MN,MN=\frac{A'C}{2}=\frac{a}{2}\)
\(\Rightarrow AE=\sqrt{AN^2-NE^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{16}}=\frac{a\sqrt{11}}{4}\)
\(S_{AMN}=\frac{1}{2}.MN.AE=\frac{a^2\sqrt{11}}{16}\)
\(\Rightarrow d[C,(AMN)]=\frac{3a^3\sqrt{2}}{48}:\frac{a^2\sqrt{11}}{16}=\frac{a\sqrt{22}}{11}\) (đvđd)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và SAD = 900. Gọi I là trung điểm của SD. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ACI).
Câu trả lời của bạn
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C', có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB =a, AC = \(a\sqrt{3}\), mặt bên BCC'B' là hình vuông, M, N lần lượt là trung điểm của CC' và B'C'. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B' và MN.
Câu trả lời của bạn
Ta có BC= BB’=2a
\(V_{ABC.A'B'C'}=BB'.S_{\Delta ABC}=2a.\frac{1}{2}a.a\sqrt{3}=a^3\sqrt{3}\)
gọi P là trung điểm của A’C’ mp(CA’B’) // mp(PMN) nên suy ra khoảng cách d(A’B’;MN)= d(A’B’;(MNP))= d(A’;(MNP))= d(C’;(MNP))= C’H (H là hình
chiếu vuông góc của C’ lên mp(MNP)
Cm được H thuộc cạnh PM áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MPC
\(C'H=\frac{C'M.C'P}{\sqrt{C'P^2+C'M^2}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}\)
Bài này phải làm sao mọi người?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SD=\frac{a}{32}\) . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB . Gọi K là trung điểm của đoạn AD. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD .
Câu trả lời của bạn
Từ giả thiết ta có SH l| đường cao của hình chóp S.ABCD và
\(SH=\sqrt{SD^2-HD^2}=\sqrt{SD^2-(AH^2+AD^2)}=\sqrt{(\frac{3a}{2})^2- (\frac{a}{2})^2-a^2=a}\)
Diện tích của hình vuông ABCD là \(a^2, V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.a.a^2=\frac{a^3}{3}\)
Từ giả thiết ta có HK // BD ⇒ HK // (SBD)
Do vậy: d (HK, SD) = d (H, (SBD))
Gọi E là hình chiếu vuông góc của H lên BD, F là hình chiếu vuông góc của H lên SE
Ta có BD \(\perp\) SH, BD \(\perp\) HE ⇒ BD \(\perp\) (SHE) ⇒ BD \(\perp\) HFmà HF \(\perp\) SE nên suy ra
HF \(\perp\) (SBD) ⇒ HF = d (H (SBD))(2)
\(HE=HB.sinHBE=\frac{a}{2}.sin45^0=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)
Xét tam giác vuông SHE có:
\(HF.SE=SH.HE\Rightarrow HF=\frac{SH.HE}{SE}= \frac{a\frac{a\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{(\frac{a\sqrt{2}}{4})^2}+a^2}=\frac{a}{3}(3)\)
+) Từ (1), (2), (3) ta có d (HK, SD)= \(\frac{a}{3}\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông tại B, AB = a, AA' = 2a, A'C = 3a. Gọi M là trung điểm A'C'. I là giao điểm AM và A'C
a, Tính VIABC
b, Tính d(A,(IBC))
Câu trả lời của bạn
cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có AA’=3a. Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB=a. Tính thể tích khối lăng trụ. Ai giúp mình bài này với ạ
a,
Trong \(\Delta AA'C\) \(AC^2=A'C^2-AA'^2=9a^2-4a^2=5a^2\)
Trong \(\Delta ABC \ \ \ BC^2=AC^2-AB^2=5a^2-a^2=4a^2\)
\(\Rightarrow BC=2a\)
\(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.BA.BC=\frac{1}{2}.a.2a=a^2\)
\(V_{A'ABC}=\frac{1}{3}.AA'.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.2a.a^2=\frac{2a^3}{3}\)
AC // A'M
\(\frac{IC}{IA'}=\frac{AC}{A'M}=2\)
\(\Rightarrow \frac{IC}{IA'+IC}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{IC}{A'C}=\frac{2}{3}\)
Kẻ IH vuông góc AC, H thuộc AC
\(\Rightarrow \frac{IH}{AA'}=\frac{IC}{A'C}=\frac{2}{3}\)
\(\frac{V_{IABC}}{V_{A'ABC}}=\frac{IH}{AA'}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow V_{IABC}=\frac{2}{3}.V_{A'ABC}=\frac{4a^3}{9}\)
b)
\(d(A;(IBC))=d(A;(A'BC))=\frac{3V_{A.A'BC}}{S_{A'BC}}=\frac{2a^3}{S_{A'BC}}\)
\(BC\perp AB, BC\perp BB'\Rightarrow BC\perp (ABB')\Rightarrow BC\perp A'B\)
\(S_{A'BC}=\frac{1}{2}.BC.BA'\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{AC'^2-AB^2}.\sqrt{AA'^2+AB^2}=\frac{1}{2}\sqrt{5a^2-a^2}. \sqrt{4a^2+a^2}\)
\(=a^2\sqrt{5}\)
\(d(A;(IBC))=\frac{2a^3}{a^2\sqrt{5}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}\)
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA \(\perp\) (ABCD). G là trọng tâm \(\Delta\)SAB. Tính d(G,(SAC))
Câu trả lời của bạn
Gọi O = AC \(\cap\) BD
BO \(\perp\) AC (do ABCD là hình vuông)
BO \(\perp\) SA (SA \(\perp\) (ABCD))
⇒ BO \(\perp\) (SAC)
⇒ d(B;(SAC)) = BO = \(\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Gọi M là trung điểm SA
\(\frac{d(G;(SAC))}{d(B;(SAC))}=\frac{GM}{BM}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow d(G;(SAC))=\frac{1}{3}d(B;(SAC))=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}= \frac{a\sqrt{2}}{6}\)
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
a, Tính VSABC
b, Tính d(A;(SBC))
Câu trả lời của bạn
sau bằng 2d(H,(SBC)) vậy
a,
(SAB) \(\perp\) (ABC), có giao tuyến là AB
Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH \(\perp\) AB (do \(\Delta\)SAB cân tại S)
⇒ SH \(\perp\) (ABC)
* \(\Delta\)SAB
SA2 + SB2 = BA2 =a2
do SA = SB nên 2SA2 = a2 ⇒ SA = \(\frac{a}{\sqrt{2}}\)
\(SH=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}\)
\(dt\Delta ABC=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
\(V_{SABC}=\frac{1}{3}.SH.dtABC\)
\(=\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}\)
b,
H là trung điểm AB nên d( a,(SBC)) = 2d (H;(ABC))
Kẻ HK \(\perp\) BC (K \(\in\) BC) (1)
HI \(\perp\) SK (I \(\in\) SK) (*)
SH \(\perp\) BC (2)
Từ (1) (2) BC \(\perp\) (SHK) ⇒ BC \(\perp\) HI (**)
Từ (*) (**) HI \(\perp\) (SBC)
d(H,(SBC)) = HI
H là trung điểm AB
\(HK=\frac{1}{2}AN\) (N là trung điểm BC)
\(=\frac{1}{2}. \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Trong \(\Delta SHK\)
\(\frac{1}{HI^2}=\frac{1}{HS^2}+\frac{1}{HK^2}\)
\(\frac{1}{\left ( \frac{a}{2} \right )^2}+\frac{1}{(\frac{a\sqrt{3}}{4})^2}= \frac{4}{a^2}+\frac{16}{3a^2}=\frac{28}{3a^2}\Rightarrow HI =\frac{a}{2}.\sqrt{\frac{3}{7}}= \frac{a\sqrt{21}}{14}\)
\(d(A;(SBC))=2d(H;(SBC))=\frac{a\sqrt{21}}{7}\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho tứ diện đều ABCD, AB = a. M là điểm nằm trong tứ diện. Tính tổng các khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện.
Câu trả lời của bạn
Gọi hA, hB, hC, hD lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (ACD), (ABD), (ABC)
hA + hB + hC + hD = \(\frac{3.V_{MBCD}}{S_{BCD}}=\frac{3.V_{MACD}}{S_{ACD}}+\frac{3.V_{MABD}}{S_{ABD}}+ \frac{3.V_{MABC}}{S_{ABC}}\)
\(=\frac{3(V_{MBCD}+V_{MACD}+V_{MABD}+V_{MABC})}{S_{BCD}}\)
(do SBCD = SACD = SABD = SABC)
\(=\frac{3.V_{ABCD}}{S_{BCD}}=AH \ \ (AH\perp (BCD), H \in (BCD))\)
Gọi N là trung điểm CD ⇒ BN = \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(BH=\frac{2}{3}BN=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Trong \(\Delta AHB: \ \ AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2}\)
\(=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
Vậy hA + hB + hC + hD = \(\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
Cứu với mọi người!
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa A'C và (ABC) bằng 600
a, Tính VABC.A'B'C'
b, Tính d(B; (ACC'A')
Câu trả lời của bạn
a,
HC là hình chiếu vuông góc của A'C lên (ABC)
\(\widehat{(A'C, (ABC))}=\widehat{(A'C, HC)}=60^0\Rightarrow \widehat{A'CH}=60^0\)\(CH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) (do \(\Delta\)ABC đều cạnh a)
Trong \(\Delta A'HC\)
\(A'H=CH.tan 60^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\frac{3a}{2}\)
\(V_{ABC.A'B'C'}=A'H.dt\Delta ABC=\frac{3a}{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{8}\)b,
d(B;(ACC'A')) = 2d(H,(ACC'A'))
H là trung điểm của AB
Kẻ HK \(\perp\) AC K \(\in\) AC (1)
HI \(\perp\) A'K I \(\in\) A'K (2)
Lại có A'H \(\perp\) AC (do A'H \(\perp\) (ABC)) (3)
Từ (1) (3) AC \(\perp\) (A'HK) ⇒ AC \(\perp\) HI (4)
Từ (2) (4) HI \(\perp\) (ACC'A')
d(H;(ACC'A')) = HI
Trong \(\Delta A'HK\)
\(\frac{1}{HI^2}=\frac{1}{HA'^2}+\frac{1}{HK^2}= \frac{1}{(\frac{3a}{2})^2}+ \frac{1}{(\frac{a\sqrt{3}}{4})^2}=\frac{4}{9a^2}+\frac{16}{3a^2}= \frac{52}{9a^2}\Rightarrow HI=\frac{3a}{\sqrt{52}}\)
\(d(B;(ACC'A'))=\frac{6a}{\sqrt{52}}\)
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), AB = AC = SA = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SI, AC.
Câu trả lời của bạn
Diện tích tam giác ABC là \(S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC=2a^2\)
Thể tích của khối chóp S.ABC là \(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABC}=\frac{4a^3}{3}\)
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SI và AC
Gọi K là trung điểm của AB. Khi đó IK // AC nên AC // (SIK)
\(\Rightarrow d(SI,AC)=d(AC,(SIK))=d(A,(SIK))\)
Kẻ \(AH \perp SK (H \in SK)\)
\(AC \perp SA ; AC \perp AB \Rightarrow AC \perp (SAB); IK // AC\)
nên \(IK\perp (SAB)\Rightarrow IK\perp AH\)
Do đó \(AH\perp (SIK)\Rightarrow d(A,(SIK))=AH\)
Ta có: \(AH.SK=SA.AK\Rightarrow AH=\frac{SA.AK}{\sqrt{SA^2+AK^2}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại C, AB = 2a, AA'= a và A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc bằng 600. Gọi N là trung điểm của BB’, M là trung điểm của AA’. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (BC’N).
Câu trả lời của bạn
Gọi H là trung điểm của AB. \(\Delta\)ABC cân tại C nên CH \(\perp\) AB
Mặt khác \(CH \perp AA',\) suy ra CH \(CH\perp (ABB'C')\)
Hình chiếu vuông góc của A'C trên (ABB'C') là \(A'H\Rightarrow CA'H=60^0\)
\(A'H=\sqrt{A'A^2+AH^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\)
\(tan60^0=\frac{CH}{A'H}\Rightarrow CH=a\sqrt{6}\)
\(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.CH=\frac{1}{2}.2a.a\sqrt{6}=a^2\sqrt{6}\)
\(V=S_{\Delta ABC}.AA'=a^3\sqrt{6}\)
Chọn hệ trục Hxyz như hình vẽ. Khi đó:
\(H(0;0;0), A(-a;0;0), B(a;0;0), C(0;a\sqrt{6};0), A'(-a;0;a)\)
\(B'(a;0;a), C'(0;a\sqrt{6};a), M(a;0;\frac{a}{2}),N(-a;0;\frac{a}{2})\)
HS tự tính theo Phương pháp tọa độ. Đáp số: \(d=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{37}}a\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *