Tính thể tích khối đa diện là dạng toán quan trọng nhất ở chương này, để có thể giải được các bài tập dạng này đòi hỏi khả năng vân dụng, tổng hợp các kiến thức hình học không gian đã được học và ghi nhớ được các công thức tính thể tích các khối đa diện quen thuộc như khối chóp, khối lăng trụ,...Bên cạnh đó thể tích khối chóp còn được ứng dụng để tính khoảng cách và chứng minh hệ thức.
Giả sử có 1 khối hộp chữ nhật với 3 kích thước a, b, c đều là những số dương. Khi đó thể tích của nó là: \(V=a.b.c\).
\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABC}.SH\)
Trên các đường thẳng SA, SB, SC của hình chóp S.ABC ta lấy lần lượt các điểm . Ta có: .
Thể tích của khối lăng trụ bằng tích số của diện tích mặt đáy với chiều cao của khối lăng trụ đó: \(V=S_{day}.h.\)
\(V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC}.C'H\)
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, \(AB=a \sqrt 2, AC=a \sqrt 3\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SB=a \sqrt 3.\) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a.\)
Suy ra: \({{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 .a = \frac{{{a^2}.\sqrt 2 }}{2}\)
Tam giác SAB vuông tại A có \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = a.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}.\sqrt 2 }}{2}.a = \frac{{{a^3}.\sqrt 2 }}{6}.\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a\sqrt2\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SC=a \sqrt5\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Diện tích ABCD: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 2{a^2}.\)
Ta có: \(AC = AB.\sqrt 2 = a\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2a.\)
Tam giác SAC vuông tại A nên: \(SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = a\).
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.2{a^2}.a = \frac{{2{a^3}}}{3}.\)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng \(a\sqrt3\), cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Gọi M là trung điểm của BC.
O là trọng tâm tam giác ABC suy ra \(SO \bot (ABC).\)
Tam giác ABC đều cạnh \(a\sqrt3\) suy ra:
\(AM=a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{2}.\)
\({\rm{AO = }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}.AM = \frac{2}{3}.\frac{{3a}}{2} = a\).
\({{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin {60^0} = \frac{1}{2}.a\sqrt 3 .a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^2}.\sqrt 3 }}{4}\).
Tam giác SAO vuông tại A nên ta có \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = a.\sqrt 3.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}.\sqrt 3 }}{4}.\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600.Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
\(SA \bot (ABCD)\) nên AC là hình chiếu của SC lên mặt mặt phẳng (ABCD).
Do đó: \(\widehat {(SC,(ABCD))} = \widehat {(SC,AC)} = \widehat {SCA} = {60^o}.\)
Diện tích đáy là: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}} = {a^2}.\)
Tam giác SAC vuông tại A có \(AC=a \sqrt2, \widehat {SCA} = {60^0} \Rightarrow SA = AC.\tan {60^o} = a\sqrt 6.\)
Vậy thể tích khối chóp là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.{a^2}.a\sqrt 6 = \frac{{{a^3}.\sqrt 6 }}{3}.\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh \(BC=a\sqrt2,\) cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Gọi M là trung điểm của BC ta có: \(AM \bot BC\).
Mặt khác: \(SA \bot BC\) do \(SA \bot \left( {ABC} \right).\)
Nên: \(BC \bot (SAM) \Rightarrow SM \bot BC.\)
Suy ra: \(\widehat {((SBC),(ABC))} = \widehat {(SM,AM)} = \widehat {SMA} = {45^o}\).
Tam giác ABC vuông cận tại A có \(BC=a\sqrt2\) suy ra:
\(AB = BC = a\) và \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \(\Rightarrow {{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\)
Tam giác SAM vuông tại A có \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và \(\widehat {SMA} = {45^o}\)
Suy ra: \(SA = AB.\tan {45^o} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}.\sqrt 2 }}{{12}}\).
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, \(AC=a\sqrt3\), cạnh A'B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC=\sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2.\)
Suy ra: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)
Tam giác A'AB vuông tại A nên: \(A'A = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 3 .\)
Vậy thể tích khối lăng trụ là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'A = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\)
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(2a\sqrt3\), hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A'A hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
Gọi M là trung điểm của BC.
G là trọng tâm tam giác ABC suy ra: \(A'G \bot (ABC)\).
Do đó AG là hình chiếu vuông góc của AA' lên mặt phẳng (ABC).
Suy ra: \(\left( {\widehat {{A^/}A,(ABC)}} \right) = \widehat {{A^/}AG} = {30^0}.\)
Tam giác ABC đều cạnh \(2a\sqrt3\) nên: \({S_{ABC}} = {\left( {2a\sqrt 3 } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 3{a^2}\sqrt 3.\)
Tam giác A'AG vuông tại G có \(\widehat A = {30^0},AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.2a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2a.\)
Suy ra: \(A'G = AG.\tan {30^0} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)
Vậy: \({V_{ABC.{A'}{B'}{C'}}} = {S_{ABC}}.{A'}A = 6{a^3}.\)
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=a\sqrt3.\)Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM.
Lời giải:
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S.
Do đó theo công thức tỷ số thể tích, ta có:
\(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{{\rm{SA}}}}{{{\rm{SA}}}}.\frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = 1.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)
Suy ra: \({V_{S.AMN}} = \frac{{{V_{S.ABC}}}}{4} = \frac{{\frac{1}{3}.{a^2}\sqrt 3 .a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{4}\)
Và: \({V_{A.BCNM}} = \frac{3}{4}.{V_{S.ABC}} = {\frac{{3a}}{4}^3}.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, M và N theo thứ tự là trung điểm của SA và SB. Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{S.CDMN}}}}{{{V_{S.CDAB}}}}\).
Ta có:
\({V_{S.MNCD}} = {V_{S.MCD}} + {V_{S.MNC}}\) và \({V_{S.ABCD}} = {V_{S.ACD}} + {V_{S.ABC}}\).
Khi đó: \(\frac{{{V_{S.MCD}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {V_{S.MCD}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}}\)
Mặt khác: \(\frac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.MNC}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\)
Từ trên suy ra \({V_{S.MNCD}} = \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{8}} \right){V_{S.ABCD}} = \frac{3}{8}{V_{S.ABCD}}\).
Tính thể tích khối đa diện là dạng toán quan trọng nhất ở chương này, để có thể giải được các bài tập dạng này đòi hỏi khả năng vân dụng, tổng hợp các kiến thức hình học không gian đã được học và ghi nhớ được các công thức tính thể tích các khối đa diện quen thuộc như khối chóp, khối lăng trụ,...Bên cạnh đó thể tích khối chóp còn được ứng dụng để tính khoảng cách và chứng minh hệ thức.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 1 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 450 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác vuông cân tại B và BA = BC = a. Cạnh bên \(SA = a\sqrt 3\) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với mặt phẳng bằng 450. Hình chiếu của a trên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của A’B’. Tính thể tích V của khối lăng trụ theo a.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Chương 1 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 25 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 25 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 25 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 25 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 1.10 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.11 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.12 trang 18 BT Hình học 12
Bài tập 1.13 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.14 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.15 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.16 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.17 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 15 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 29 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 24 trang 29 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 25 trang 29 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 450 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác vuông cân tại B và BA = BC = a. Cạnh bên \(SA = a\sqrt 3\) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với mặt phẳng bằng 450. Hình chiếu của a trên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của A’B’. Tính thể tích V của khối lăng trụ theo a.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a và đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc 300. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE=2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD.
Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Tính thể tích V của khối tứ diện AB’C’D theo a.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ vì M là trung điểm của CC’. Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp M.ABC. Tính tỷ số thể tích của (H) và khối chóp M.ABC.
Biết thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng V. Tính thể tích \(V_1\) tứ diện A'ABC' theo V.
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC); AC=AD=4; AB=3; BC=5. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy; \(BC = 9m,AB = 10m,AC = 17m\). Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 73m3. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB’D’.
Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng:
\(\frac{{{V_{S.A'B'C'D'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}\)
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với SD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tình thể tích khối tứ diện CDEF theo a.
Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d’. Đoạn thằng AB có độ dài a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài B trượt trên d’. Chứng minh rằng khối tứ diện ABCD có thể tích không đổi.
Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC = b, SA = c.
a) Hãy tính thể tích khối chóp S.ADE
b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB).
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong một tứ diện đều đến các mặt của nó là một số không đổi.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = 2a, AA′ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD.
a) Tính thể tích khối chóp M.AB′C
b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB′C).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, AA′ = c. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của A′B′ và B′C′. Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D′.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, AA′ = c. Gọi E và F lần lượt là những điểm thuộc cạnh BB′ và DD′ sao cho \(BE = \frac{1}{2}EB',DF = \frac{1}{2}FD'\). Mặt phẳng (AEF) chia khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ thành hai khối đa diện (H) và (H′). Gọi (H′) là khối đa diện chứa đỉnh A′. Hãy tính thể tích của (H) và tỉ số thể tích của (H) và (H′).
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B′C′ và C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H′), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính tỉ số giữa thể tích hình đa diện (H) và thể tích hình đa diện (H′).
Cho tam giác ABC cố định và một điểm S thay đổi. Thể tích của khối chóp S.ABC có thay đổi hay không nếu:
a) Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) ;
b) Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với chỉ một cạnh đáy ;
c) Đỉnh S di chuyển trên một đường thẳng song song với một cạnh đáy ?
Hãy chia một khối tứ diện thành hai khối tứ diện sao cho tỉ số thể tích của hai khối tứ diện này bằng một số k > 0 cho trước.
Tính thể tích của khối hộp ABCD.A′B′C′D′, biết rằng AA′B′D′ là khối tứ diện đều cạnh a.
Tính thể tích của khối lăng trụ n-giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a.
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC = b, \(\widehat {ACB} = {60^0}\). Đường thẳng BC′ tạo với mp (AA′C′C) một góc 300
a) Tính độ dài đoạn thẳng AC.
b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A′ cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA′ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600
a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
b) Chứng minh rằng mặt bên BCCB′ là một hình chữ nhật.
c) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ ABC.A′B′C (tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đã cho).
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có các cạnh AB=2a,AD=a. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = \(\frac{a}{2}\), cạnh AC cắt MD tại H . Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a. Tính thể tích khối chóp S.HCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC theo a.
Câu trả lời của bạn
*) Tính thể tích khối chóp S.HCD:
Hai tam giác vuông AMD và DAC có \(\frac{AM}{AD}=\frac{AD}{DC}=\frac{1}{2}\) nên đồng dạng
Suy ra \(\widehat{ADH}=\widehat{DCH}\), mà \(\widehat{ADH}=\widehat{HDC}=90^0\Rightarrow \widehat{DHC}=90^0\)
\(\Delta\)ADC vuông tại \(D:AC^2=AD^2+DC^2\Rightarrow AC=a\sqrt{5}\)
Hệ thức lượng \(\Delta ADC: DH.AC=DA.DC\)
Suy ra: \(DH=\frac{DC.DA}{AC}=\frac{2a}{\sqrt{5}}\)
\(\Delta\)DHC vuông tại \(H: HC=\sqrt{DC^2-DH^2}=\frac{4a}{\sqrt{5}}\)
Do đó diện tích \(\Delta HCD:S_{HCD}=\frac{1}{2}.DH.HC=\frac{4a^2}{5}\)
Thể tích khối chóp S.HCD: \(V_{S.HCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{HCD}=\frac{4a^3}{15}\)
*) Tính khoảng cách giữa SD và AC:
Dựng HE \(\perp\) SD. Ta có SH \(\perp\) (ABCD) nên SH \(\perp\) AC và DH \(\perp\) AC, do đó AC \(\perp\) (SHD). Mà HE \(\subset\) (SHD) nên HE \(\perp\) AC
Từ đó HE là đoạn vuông góc chung của SD và AC nên HE = d (SD;AC)
\(\Delta\)SHD vuông tại H nên: \(\frac{1}{HE^2}=\frac{1}{SH^2}+\frac{1}{HD^2}\Rightarrow HE=\frac{2a}{3}\)
Vậy \(d(SD;AC)=HE=\frac{2a}{3}\)
Cứu với mọi người!
Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = AB = a, AC = a và \(\widehat{ASC} = \widehat{ABC} = 90^0\). Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBC).
Câu trả lời của bạn
+ Kẻ SH vuông góc \(AC (H \in AC) \Rightarrow SH \perp (ABC)\)
\(\Rightarrow SC = BC = a\sqrt{3}, SH = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(S_{\Delta ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow V_{\Delta ABC} = \frac{1}{3} S_{\Delta ABC} . SH = \frac{a^3}{4}\)
Gọi M là trung điểm SB và \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Ta có: \(SA = AB = a, SC = BC = a\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow AM \perp SB\) và \(CM \perp SB\)
\(\Rightarrow \cos \varphi = \left | \cos \widehat{AMC} \right |\)
\(+\ \Delta SAC = \Delta BAC \Rightarrow SH = BH = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow SB = \frac{a\sqrt{6}}{2}\)
AM là trung tuyến ∆SAB nên: \(AM^2 = \frac{2AS^2 + 2AB^2 - SB^2}{4} = \frac{10a^2}{16} \Rightarrow AM = \frac{a\sqrt{10}}{4}\)
Tương tự: \(CM = \frac{a\sqrt{42}}{4} \Rightarrow \cos \widehat{AMC} = \frac{AM^2 + CM^2 - AC^2}{2.AM.CM} = -\frac{\sqrt{105}}{35}\)
Vậy: \(\cos \varphi = \frac{\sqrt{105}}{35}\)
Help me!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Gọi M là trung điểm của CD, N là hình chiếu vuông góc của D trên SM. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SBC) theo a.
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\widehat{SCA}=(\widehat{SC(ABCD)})=60^0\)
Suy ra \(SA=AC.tan60^0=a\sqrt{6}\)
(Thí sinh tính được \(S_{ABCD}=a^2\) cũng cho điểm phần này)
\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.a\sqrt{6}a^2=\frac{a^3\sqrt{6}}{3}\)
Vì tam giác ΔSDM vuông tại D có đường cao DH nên ta có: \(\frac{SN}{SM}=\frac{SD^2}{SM^2}=\frac{28}{29}\)
Suy ra \(d(N(SBC))=\frac{28}{29}d(M,(SBC))\)
Mặt khác, M là trung điểm của CD nên \(d(M(SBC))=\frac{1}{2}d(D,(SBC))\) (2)
Hơn nữa, do AD // (SBC) nên d(D,(SBC)) = d(A,(SBC) = AH với H = AH \(\perp\) SB (3).
Từ (1),(2) và (3) suy ra: \(d(N,(SBC))=\frac{14}{29}d(A,(SBC))=\frac{14}{29}AH\)
Tam giác ΔSAB vuông tại A có đường cao AK nên: \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AB^2}=\frac{7}{6a^2}\)
Suy ra: \(d(N,(SBC))=\frac{14}{29}AH=\frac{2a\sqrt{42}}{29}\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của AD, góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy bằng 600. Gọi M là trung điểm của DC. Tính thể tích khối chóp S.ABM và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
Câu trả lời của bạn
+) Tính thể tích
Gọi H là trung điểm của AD.
Vì HB là hình chiếu của SB lên đáy nên \((SB; (ABCD)) = \widehat{SBH} = 60^0\)
Trong tam giác SBH có \(SH = BH \tan 60^0 = \frac{a\sqrt{15}}{2}\)
\(V_{SABM} = \frac{1}{2}V_{SABCD} = \frac{a^3\sqrt{15}}{12}\) (đvtt)
+) Tính khoảng cách:
Dựng hình bình hành ABME
Vì \(BM//(SAE) \Rightarrow d(SA,BM) = d(M,(SAE)) = 2d(D,(SAE)) = 4d(H,(SAE))\)
Kẻ \(HI \perp AE; HK \perp SI,(I \in AE,K \in SI)\)
Chứng minh \(HK \perp (SAE) \Rightarrow d(H,(SAE)) = HK\)
Vì \(\Delta AHI \sim \Delta AED \Rightarrow HI = \frac{DE.AH}{AE} = \frac{a}{2\sqrt{5}}\)
Trong tam giác SHI có \(\frac{1}{HK^2} = \frac{1}{HI^2} + \frac{1}{SH^2} = \frac{304}{15a^2} \Rightarrow HK = \frac{a\sqrt{15}}{a\sqrt{19}}\)
Vậy \(d(SA,BM) = \frac{a\sqrt{15}}{\sqrt{19}}\)
Cứu với mọi người!
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh AC a = 2, góc \(\widehat{BAC}=30^0\), SA vuông góc với đáy và SA = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB với AC.
Câu trả lời của bạn
Tình thể tích khối chóp SABC.
Trong tam giác ABC ta có: \(AB=AC.cos30^0=2a.\frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\)
\(BC=AC.sin30^0=2a.\frac{1}{2}=a\)
Vậy thể tích khối chóp SABC là
\(V=\frac{1}{3}.SA.S_{ABC}=\frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}BA.BC=\frac{1}{6}.a.a.a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}\)
Tình khoảng cách giữa SB và AC
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng Bx // AC. Khi đó AC // (SBx), do đó \(d(AC;SB)=d(A;(SBx))\)
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ AK \(\perp\) Bx, vì
\(AS\perp Bx\Rightarrow Bx\perp (SAK)\Rightarrow (SBx)\perp (SAK)\). Trong mặt phẳng (SAK) kẻ \(AH\perp SK\Rightarrow AH\perp (SBx)\). Vậy \(d(A;(SBx))=AH\)
Trong tam giác ABK vuông tại K có \(\widehat{BAK} = 60^0\) ta có
\(AK=AB.cos60^0=a\sqrt{3}.\frac{1}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Trong tam giác SAK ta có: \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{4}{3a^2}=\frac{7}{3a^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\)
Vậy \(d(AC;SB)=AH=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\)
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Các mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho AB = 2a, AD > a. SA = BC = a, CD = \(2a\sqrt{5}\). Gọi H là điểm nằm trên đoạn AD sao cho AH = a. Tính thể tích của khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BH và SC theo a.
Câu trả lời của bạn
Do (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy nên SA \(\perp\) (ABCD). AHCB là hình bình hành, suy ra CH=AB=2a, \(HD=\sqrt{CD^2-CH^2}=4a\Rightarrow AD=5a\)
\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}(a+5a)2a=6a^2\)
\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=2a^3\)
Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ CE//BH (E thuộc AD), ta có \(d_{(BH,SC)}=d_{(BH,(SCE))}=d_{(H,(SCE))}=\frac{1}{2}d_{(A,(SCE))}\)
Kẻ \(AF\perp CE,AJ\perp SF\Rightarrow AJ\perp (SCE)\)
\(d_{(A,(SCE))}=AJ\)
Gọi K là giao điểm của BH và A F
\(\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AH^2}+\frac{1}{AB^2}\Rightarrow AK=\frac{2a}{\sqrt{5}}\Rightarrow AF=\frac{4a}{\sqrt{5}}\)
\(\frac{1}{AJ^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AF^2}\Rightarrow AJ=\frac{4a}{\sqrt{21}}\)
\(d_{(BH,SC)}=\frac{1}{2}d_{(A,(SCE))}=\frac{2a}{\sqrt{21}}\)
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông tại A với AB = a; \(AC = 2a\sqrt{2}\). HÌnh chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn BC thỏa mãn HB = 2HC, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.
Câu trả lời của bạn
Diện tích dáy hình chóp là
\(S_{ABC} = \frac{1}{2}a.2a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}\)
Ta có: \(SH \perp (ABC)\)
⇒ (SB,(ABC)) = SBH = 600
BC = 3a ⇒BH = 2a
Xét tam giác SHB ta có:
\(SH = BH . \tan 60^0 = 2a\sqrt{3}\)\(SH = BH. \tan 60^0 = 2a\sqrt{3}\)
Thể tích khối chóp S.ABC là:
\(V = \frac{1}{3}.2a\sqrt{3}.a^2\sqrt{2} = \frac{2a^3\sqrt{6}}{3} \ (dvtt)\)
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ xác định điểm D sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành (Do \(\angle BAC = 90^0\) nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật)
Suy ra : AC // mp (SBD)
\(\Rightarrow d(AC,SB) = d(AC,(SBD)) = d(C,(SBD)) = \frac{3}{2}d(H,(SBD))\)
Kẻ HI //CD, (I thuộc BD), \(HK \perp SI\)
Ta có: Tứ giác ABDC là hình chữ nhật nên \(HI \perp BD\) mà \(SH \perp BD\)
Do đó: \(BD \perp (SHI) \Rightarrow BD \perp HK\). Từ đó có: \(HK \perp SI\) và \(HK \perp BD\)
Suy ra: \(HK \perp (SBD)\)
Nên \(d(AC,SB) = \frac{3}{2} d(H,(SBD)) = \frac{3}{2}HK\)
Xét tam giác SIH vuông tại H với HK là đường cao ta có:
\(\frac{1}{HK^2} = \frac{1}{HS^2} + \frac{1}{HI^2} = \frac{1}{12a^2} + \frac{9}{4a^2} = \frac{7}{3a^2}\)
\(\Rightarrow HK = \frac{a\sqrt{21}}{7}\)
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và đường thẳng AC là \(d(AC, SB) = \frac{3}{2}HK = \frac{3a\sqrt{21}}{14}\)
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB. SC tạo với đáy một góc 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC.
Câu trả lời của bạn
HC là hình chiếu của SC trên mp(ABCD) nên góc giữa SC và mp(ABCD) là SCH.
Từ gt suy ra \(SCH=45^0\)
Suy ra SH = HC = \(a\sqrt{2}\).
\(S_{ABCD}=2a^2\)
Vậy \(V_{ABCD}=\frac{2\sqrt{2}a^3}{3}\) (đvtt)
Kẻ đt d đi qua B và song song với AC. Gọi E là hình chiếu của H trên đt d.
Suy ra AC // (SBE)
\(\Rightarrow d (SB,AC) =d (AC, (SBE)) =d (A, (SBE))= 2d (H, (SBE) )\)(Vì AB = 2HB)
Gọi F là hình chiếu của H trên SE
Khi đó: BE \(\perp\) SHE, HF \(\perp\) SBE
Suy ra d(H, (SBE)) = HF
\(HE=HB.sinEBH=HB.sinBAC=HB.\frac{BC}{AC}=\frac{a}{\sqrt{5}}\)
\(\frac{1}{HF^2}=\frac{1}{HE^2}+\frac{1}{HS^2}=\frac{11}{2a^2}\Rightarrow HF=\frac{a\sqrt{22}}{11}\)
Vậy \(d(SB,AC)=\frac{2a\sqrt{22}}{11}\)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a và AD = 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên đáy là trung điểm H của đoạn AB. Cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).
Câu trả lời của bạn
\(SH\perp (ABCD)\Rightarrow hc_{ABCD}SC=HC\)
\(\Rightarrow (SC,(ABCD))=(SC,HC)=SCH=60^0\)
\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)AB=\frac{3a^2}{2}\)
\(HC=\sqrt{BC^2+BH^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
\(SH=HC.tan60^0=\frac{a\sqrt{15}}{2}\)
\(V_{S.ABCD}=\frac{a^3\sqrt{15}}{4}\) (đvtt)
Vẽ HM \(\perp\) DC tại M \(\Rightarrow\) DC \(\perp\) (SHM)
Vẽ \(HK \perp SM\) tại \(K \Rightarrow HK\perp (SCD) \Rightarrow HK= d (H (SCD))\)
Gọi \(I=AB\cap DC\)
BC là đường trung bình của tam giác AID \(\Rightarrow\) B là trung điểm AI.
Ta có \(AC\perp DC\)
\(HM//AC\Rightarrow \frac{HM}{AC}=\frac{IH}{IA}=\frac{3}{4}AC=\frac{3a\sqrt{2}}{4}\)
\(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{SH^2}+\frac{1}{HM^2}\Rightarrow d(H,(SCD))=HK=\frac{3a\sqrt{65}}{26}\)
Help me!
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a. H là trung điểm cạnh AB, SH vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên \(SA = \frac{a\sqrt{5}}{2}\). Tính thể tích hình chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng HC và SD.
Câu trả lời của bạn
\(SH \perp (ABCD)\). Tam giác SHA vuông tại H
\(SH = \sqrt{SA^2 - HA^2} = a\)
\(V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} S_{ABCD}.SH = \frac{2a^3}{3}\) (đvTT)
Kẻ đường thẳng Dx // HC, kẻ \(HI \perp ID\) ((I thuộc Dx), kẻ \(HK \perp SI\) (K thuộc SI). Khi đó \(HK \perp (SID)\), HC // (SID).
d(HC,SD) = d(HC,(SID)) = d(H,(SID)) = HK
\(HI = d(D,HC) = 2d(B,HC) = 2BE = \frac{4a}{\sqrt{17}} . \ \ \ (BE \perp HC\) tại \(E)\)
Trong tam giác vuông SHI có \(HK = \frac{4a\sqrt{33}}{33}\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho hình chóp đều S.ABC có các cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên với mặt đáy là 60o; gọi E là trung điểm của BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AE và SC.
Câu trả lời của bạn
E trung điểm của BC nên \(AB\perp BC\) và \(SE\perp BC\) suy ra góc giữa SA và (ABCD) là \(\widehat{SAE}=60^0\)
có \(AE=\frac{a\sqrt{3}}{2};HE=\frac{a\sqrt{3}}{6};AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Trong tam giác vuông SHA có \(SH=AH.tan60^0=a\)
Diện tích đáy là \(S_{ABC}=\frac{1}{2}AE.BC=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
Thể tích khối chóp S.ABC là \(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.a.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}\) (đvtt)
Dựng hình chữ nhật HECF. Có \(CF\perp HF\) và \(CF\perp SH\Rightarrow CF\perp (SHF)\)
Hạ \(HK\perp SF\Rightarrow HK\perp (SCF)\)
Do \(CF//AE\Rightarrow d(AE,SC)=d(AE,(SCF))=d(H,(SCF))=HK\)
\(CE=HF=\frac{a}{2}\)
Trong tam giác vuông SHF có \(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{SH^2}+\frac{1}{HF^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{4}{a^2}=\frac{5}{a^2}\)
\(\Rightarrow HK=\frac{a}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow d(AE,SC)=\frac{a}{\sqrt{5}}\)
Bài này phải làm sao mọi người?
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB = AC = a, I là trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC, mặt phẳng (SAB) tạo với đáy 1 góc bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB) theo a.
Câu trả lời của bạn
Gọi K là trung điểm của AB \(HK \perp AB \ (1)\)
Vì \(SH \perp (ABC)\) nên \(SH \perp AB\ (2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AB \perp SK\)
Do đó góc giữa (SAB) với đáy bằng góc giữa SK và HK và bằng SKH = 600
Ta có \(SH = HK \tan SKH = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Vậy \(V_{S.ABC} = \frac{1}{3}S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AB.AC.SH = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}\)
Vì IH // SB nên IH // (SAB). Do đó a(I,(SAB)) = d(H,(SAB))
Từ H kẻ \(HM \perp SK\) tại \(M \Rightarrow HM \perp (SAB) \Rightarrow d(H,(SAB)) = HM\)
Ta có \(\frac{1}{HM^2} = \frac{1}{HK^2} + \frac{1}{SH^2} = \frac{16}{3a^2} \Rightarrow HM = \frac{a\sqrt{3}}{4}\). Vậy \(d(I,(SAB)) = \frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Bài này phải làm sao mọi người?
Cho hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = AC= a, trên cạnh BC lấy điểm H sao cho \(\overline{BH}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\), SH vuông góc với mp(ABC), góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính theo a thể tích hình chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Câu trả lời của bạn
\(BC=a\sqrt{2};BH=\frac{1}{4}BC=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)
I là trung điểm BC, suy ra \(AI\perp BC;AI=\frac{1}{2}BC=\frac{a\sqrt{2}}{2};HI=BH=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)
\(AH=\sqrt{AI^2+IH^2}=\sqrt{\frac{2a^2}{4}+\frac{2a^2}{16}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}\)
\(SH=AH.tan60^0=\frac{a\sqrt{10}}{4}.\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{30}}{4}\)
\(S_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}=\frac{a^2}{2};V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a^2}{2}.\frac{a\sqrt{30}}{4}=\frac{a^3\sqrt{30}}{24}\)
Tử B, kẻ đường thẳng song song với AC, Tử C, kẻ đường thẳng song song với AB, hai đường thẳng này cắt nhau tại D.
Tử H, kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB và DC lần lượt tại K và J
Ta có \(SC \subset mp (SDC) ;AB// mp (SDC )\)
Nên \(d(AB,SC)=d(AB,(DSC))=d(K,(SDC))=\frac{4}{3}.d(H,(SDC))\) vì \(KJ=\frac{4}{3}HJ\)
Từ H kẻ \(HL\perp SJ\), ta chứng minh được \(HL\perp mp(SDC)\Rightarrow d(H;(SDC))=HL\)
\(HJ=\frac{3}{4}BD=\frac{3a}{4};SJ=\sqrt{SH^2+HJ^2}=\sqrt{\frac{30a^2}{16}+\frac{9a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{39}}{4}\)
\(HL=\frac{SH.HJ}{SJ}=\frac{3a\sqrt{130}}{52}\)
\(d(AB,SC)=\frac{4}{3}.d(H,(SDC))=\frac{4}{3}HL=\frac{a\sqrt{130}}{13}\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 450 , hình chiếu của A lên mặt phẳng (A'B'C') là trung điểm của A'B'. Gọi M là trung điểm của B'C'. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C theo a và côsin của góc giữa hai đường thẳng A'M, AB'.
Câu trả lời của bạn
Gọi H là trung điểm của A'B'. Khi đó \(AH\perp (A'B'C')\). Suy ra
\(\widehat{AA'H}=(\widehat{AA',(A'B'C')})=45^0\)
Do đó \(AH=A'H=\frac{a}{2}\). Suy ra \(V_{ABC.A'B'C'}=\frac{a}{2}.\frac{1}{2} a.a.sin60^0=\frac{a^3\sqrt{3}}{8}\)
Gọi N là trung điểm của BC. Khi đó \(\widehat{(A'M,AB')}=(\widehat{AN,AB'})\)
Trong tam giác vuông HAB' ta có
\(AB'=\sqrt{AH^2+HB'^2}=\sqrt{\left ( \frac{a}{2} \right )^2+\left ( \frac{a}{2} \right )^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Tam giác ABC đều cạnh a nên \(AN=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Gọi K là trung điểm của AB. Khi đó B'K // AH nên B'K \(\perp\) KN. Suy ra
\(B'N=\sqrt{B'K^2+KN^2}=\sqrt{\left ( \frac{a}{2} \right )^2+\left ( \frac{a}{2} \right )^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Áp dụng hệ quả của định lý hàm số côsin trong tam giác AB'N ta có
\(cos (\widehat{A'M,AB'})=\left | cosNAB' \right |=\frac{\left | \frac{2a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-\frac{2a^2}{4} \right |}{2.\frac{a\sqrt{2}}{2}. \frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc\(\widehat{ ACB} = 60 ^0\), mặt phẳng (A’BD) tạo với đáy một góc 600. Tính theo a thể tích khối hộp và khoảng cách giữa hai đường thẳng CD’, BD.
Câu trả lời của bạn
Tính thể tích:
Từ \(\widehat{ACB}=60^0\), suy ra \(\Delta ABC\) đều suy ra AC = a
\(\Rightarrow S_{ABCD}=AC.CB.sin60^0=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)
Gọi \(O = AC\cap BD\). Từ giả thiết suy ra góc giữa (A’BD) với mặt đáy là \(\widehat{A'OA}=60^0\)
\(\Rightarrow A'A=OA.tan60^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Suy ra \(V=S_{ABCD}.A'A=\frac{3a^2}{4}\)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng CD’, BD
Trong \(\Delta A'AO\) hạ \(AH\perp A'O\). Do \(\left\{\begin{matrix} BD\perp AC\\ BD\perp A'A \end{matrix}\right.\Rightarrow BD\perp (A'AO)\Rightarrow BD\perp AH\)
Từ đó suy ra \(AH\perp (A'BD)\). Ta có CD’//A’B ⇒ CD' // (A'BD)
\(\Rightarrow d (CD', BD) =d( C,( A'BD)) =d (A, (A' BD)) =AH\)
Trong ∆AHO vuông tại H có \(AH=OA.sin60^0=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Vậy \(d(CD',BD)=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a, hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AB = 3AH. Góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Câu trả lời của bạn
Diện tích đáy là: dt \((\Delta ABC)=\frac{1}{2}AB.AC.sin60^0\Rightarrow SH=AH.tan60^0=a\sqrt{3}\)
Thể tích khối chóp S.ABC là: \(V=\frac{1}{3}SH.dt(\Delta ABC)=\frac{9a^3}{4}\)
Kẻ AD \(\parallel\) BC thì d(SA,BC)=d(BC,(SAD))=d(B,(SAD))=3d(H,(SAD)) Vì AB=3AH
Kẻ HI \(\perp\) AD và HK \(\perp\) SI ,do AD \(\perp\) SH nên AD \(\perp\) (SHI) \(\Rightarrow\) AD \(\perp\) HK Suy ra:
d(H,(SAD)) = HK. Ta có \(HI=AH.sin60^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Trong tam giác SHI , ta có:
\(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{HI^2}+\frac{1}{HS^2}=\frac{5}{3a^2}\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{15}}{5}\)
Vậy \(d(SA,BC)=\frac{3a\sqrt{15}}{5}\)
Help me!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, \(SC=\frac{a\sqrt{6}}{2}\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD, SB theo a.
Câu trả lời của bạn
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) ta có H là trung điểm AD.
\(SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Xét tam giác SHC vuông tại H ta có:
\(HC=\sqrt{SC^2-SH^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{2}-\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)
Xét tam giác DHC; \(DH=\frac{a}{2}\)
\(cos\widehat{HDC}=\frac{DH^2+DC^2+HC^2}{2.DH.DC}=\frac{\frac{a^2}{4}+a^2-\frac{3a^2}{4}}{\frac{2a}{a}a}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \widehat{HDC}=60^{0}\)
Suy ra tam giác ADC đều cạnh a, suy ra \(S_{ABCD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)
Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD là :
\(V=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3}{4}\)
d(AD,SB)=d(AD,(SBC))=d(H,(SBC))
Do tam giác ACD là tam giác đều nên \(CH\perp AD\Rightarrow CH\perp CB\)
\(\left\{\begin{matrix} BC\perp CH \\ BC\perp SH \end{matrix}\right. \Rightarrow BC\perp (SHC)\)
Trong mặt phẳng SHC kẻ \(HK\perp SC\) tại K ta có
\(\left\{\begin{matrix} HK\perp SC \\ HK\perp BC \end{matrix}\right. \Rightarrow HK\perp (SBC)\)
Do đó:\(D(AD,SB)=HK\)
Xét tam giác SHC vuông tại H
\(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{HS^2}+\frac{1}{HC^2}=\frac{1}{\frac{3a^2}{4}}+\frac{1}{\frac{3a^2}{4}}= \frac{8}{3a^2}\)
\(\Rightarrow HK^2=\frac{3a^2}{8}\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}\)
Vậy: d(AD,SB)= \(\frac{a\sqrt{6}}{4}\)
(Có thể tính \(HK=\frac{1}{2}SC\))
(Có thể tính khoảng cách cần tìm theo công thức thể tích).
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SB hợp với đáy một góc 30o. Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Tính thể tích khối chóp S.ABM và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AM theo a.
Câu trả lời của bạn
Gọi H là trung điểm AC
Ta có \(SH\perp (ABC),\widehat{SBH}=30^0\)
\(\Rightarrow SH=\frac{a}{2},S_{ABM}=\frac{a^2\sqrt{3}}{8}\Rightarrow V_{S.ABM}=\frac{a^3\sqrt{3}}{48}\)
Kẻ Bt//AM => AM//(SBt) \(\Rightarrow d_{AM,SB} = d_{AM,(SBt)}\)
Gọi I là hình chiếu của H lên Bt, J = HI \(\cap\) AM
Gọi L là hình chiếu của H lên SI
\(\frac{d_{(J,(SBt))}}{d_{(H,(SBt))}}=\frac{2}{3}\Rightarrow d_{(J,(SBt))}= \frac{2}{3}d_{(H,(SBt))}=\frac{2}{3}HL\)
\(HL=\frac{3a}{2\sqrt{13}}\Rightarrow d_{(AM,SB)}=\frac{a\sqrt{13}}{13}\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, SA \(\perp\) mp (ABCD), SC tạo với mp (ABCD) một góc 450 và \(SC=2a\sqrt{2}\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến mp (SCD) theo a .
Câu trả lời của bạn
Vẽ hình đúng, nêu được công thức thể tích \(V=\frac{1}{3}S_{ABCD}.SA\)
và tính được \(SA=AC=2a\)
\(BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=a\sqrt{3}\)
\(S_{ABCD}=AB.BC=a^2\sqrt{3}\)
Từ đó: \(V=\frac{a^32\sqrt{3}}{3}\)
* G là trọng tâm tam giác ABC nên \(\frac{GD}{BD}=\frac{2}{3}\Rightarrow d(G,(SCD))=\frac{2}{3}d(B,(SCD))\)
+ Gọi H là hình chiếu của A lên SD thì \(AH\perp (SCD)\)
Vì AB // mp (SCD) nên d(B, (SCD)) = d (A, (SCD)) =AH
+ Trong \(\Delta\)SAD có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{3a^2}\Rightarrow AH=\frac{2a\sqrt{21}}{7}\)
\(\Rightarrow d(G,(SCD))=\frac{2}{3}.d(B,(SCD))=\frac{4a\sqrt{21}}{21}\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm cạnh CC’. Tính theo a thể tích khối chóp A.BB’C’C và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’N).
Câu trả lời của bạn
d(M(AB′N))=32d(C,(AB′N))=32CH=9a4√13
Tam giác ABC đều cạnh a và M là trung điểm BC nên:
\(AM\perp BC\) và \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
AM \(\perp\) BC và AA’ \(\perp\) BC \(\Rightarrow\) A’M \(\perp\) BC
\(\Rightarrow\) Góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) là A 'MA 600.
Tam giác A’AM vuông tại A nên:
\(AA'=AM.tan60^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\frac{3a}{2}\)
Diện tích hình chữ nhật BB’C’C là: \(S_{BB'C'C}=BB'.BC=\frac{3a^2}{2}\)
AM \(\perp\) BC và AM \(\perp\) BB’ \(\Rightarrow\) AM \(\perp\) (BB’C’C)
Thể tích khối chóp S.ABCD là: \(\Rightarrow V=\frac{1}{3}.S_{BB'C'C}.AM=\frac{1}{3}.\frac{3a^2}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2 }=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}\)
Trong mặt phẳng (BB’C’C), B’N cắt BC tại D.
Khi đó: C là trung điểm BD và BAD = 900
Gọi E là trung điểm AD, ta có: CE \(\perp\) AD. Dựng CH \(\perp\) NE (H \(\in\) NE).
AD \(\perp\) CE và AD \(\perp\) CN \(\Rightarrow\) AD \(\perp\) (CNE) \(\Rightarrow\) AD \(\perp\) CH
CH \(\perp\) NE và CH \(\perp\) AD \(\Rightarrow\) CH \(\perp\) (AB’N).
Ta có: \(CE=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2},CN=\frac{1}{2}CC'=\frac{3a}{4}\)
\(\frac{1}{CH^2}=\frac{1}{CE^2}+\frac{1}{CN^2}=\frac{4}{a^2}+\frac{16}{9a^2}=\frac{52}{9a^2}\)
\(\Rightarrow CH=\frac{3a}{2\sqrt{13}}\)
Do đó: \(d(M(AB'N))=\frac{3}{2}d(C,(AB'N))=\frac{3}{2}CH=\frac{9a}{4\sqrt{13}}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *