Tính thể tích khối đa diện là dạng toán quan trọng nhất ở chương này, để có thể giải được các bài tập dạng này đòi hỏi khả năng vân dụng, tổng hợp các kiến thức hình học không gian đã được học và ghi nhớ được các công thức tính thể tích các khối đa diện quen thuộc như khối chóp, khối lăng trụ,...Bên cạnh đó thể tích khối chóp còn được ứng dụng để tính khoảng cách và chứng minh hệ thức.
Giả sử có 1 khối hộp chữ nhật với 3 kích thước a, b, c đều là những số dương. Khi đó thể tích của nó là: \(V=a.b.c\).
\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABC}.SH\)
Trên các đường thẳng SA, SB, SC của hình chóp S.ABC ta lấy lần lượt các điểm . Ta có: .
Thể tích của khối lăng trụ bằng tích số của diện tích mặt đáy với chiều cao của khối lăng trụ đó: \(V=S_{day}.h.\)
\(V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC}.C'H\)
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, \(AB=a \sqrt 2, AC=a \sqrt 3\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SB=a \sqrt 3.\) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a.\)
Suy ra: \({{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 .a = \frac{{{a^2}.\sqrt 2 }}{2}\)
Tam giác SAB vuông tại A có \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = a.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}.\sqrt 2 }}{2}.a = \frac{{{a^3}.\sqrt 2 }}{6}.\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a\sqrt2\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SC=a \sqrt5\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Diện tích ABCD: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 2{a^2}.\)
Ta có: \(AC = AB.\sqrt 2 = a\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2a.\)
Tam giác SAC vuông tại A nên: \(SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = a\).
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.2{a^2}.a = \frac{{2{a^3}}}{3}.\)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng \(a\sqrt3\), cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Gọi M là trung điểm của BC.
O là trọng tâm tam giác ABC suy ra \(SO \bot (ABC).\)
Tam giác ABC đều cạnh \(a\sqrt3\) suy ra:
\(AM=a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{2}.\)
\({\rm{AO = }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}.AM = \frac{2}{3}.\frac{{3a}}{2} = a\).
\({{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin {60^0} = \frac{1}{2}.a\sqrt 3 .a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^2}.\sqrt 3 }}{4}\).
Tam giác SAO vuông tại A nên ta có \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = a.\sqrt 3.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}.\sqrt 3 }}{4}.\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600.Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
\(SA \bot (ABCD)\) nên AC là hình chiếu của SC lên mặt mặt phẳng (ABCD).
Do đó: \(\widehat {(SC,(ABCD))} = \widehat {(SC,AC)} = \widehat {SCA} = {60^o}.\)
Diện tích đáy là: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}} = {a^2}.\)
Tam giác SAC vuông tại A có \(AC=a \sqrt2, \widehat {SCA} = {60^0} \Rightarrow SA = AC.\tan {60^o} = a\sqrt 6.\)
Vậy thể tích khối chóp là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.{a^2}.a\sqrt 6 = \frac{{{a^3}.\sqrt 6 }}{3}.\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh \(BC=a\sqrt2,\) cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Gọi M là trung điểm của BC ta có: \(AM \bot BC\).
Mặt khác: \(SA \bot BC\) do \(SA \bot \left( {ABC} \right).\)
Nên: \(BC \bot (SAM) \Rightarrow SM \bot BC.\)
Suy ra: \(\widehat {((SBC),(ABC))} = \widehat {(SM,AM)} = \widehat {SMA} = {45^o}\).
Tam giác ABC vuông cận tại A có \(BC=a\sqrt2\) suy ra:
\(AB = BC = a\) và \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \(\Rightarrow {{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\)
Tam giác SAM vuông tại A có \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và \(\widehat {SMA} = {45^o}\)
Suy ra: \(SA = AB.\tan {45^o} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}.\sqrt 2 }}{{12}}\).
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, \(AC=a\sqrt3\), cạnh A'B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC=\sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2.\)
Suy ra: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)
Tam giác A'AB vuông tại A nên: \(A'A = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 3 .\)
Vậy thể tích khối lăng trụ là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'A = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\)
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(2a\sqrt3\), hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A'A hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
Gọi M là trung điểm của BC.
G là trọng tâm tam giác ABC suy ra: \(A'G \bot (ABC)\).
Do đó AG là hình chiếu vuông góc của AA' lên mặt phẳng (ABC).
Suy ra: \(\left( {\widehat {{A^/}A,(ABC)}} \right) = \widehat {{A^/}AG} = {30^0}.\)
Tam giác ABC đều cạnh \(2a\sqrt3\) nên: \({S_{ABC}} = {\left( {2a\sqrt 3 } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 3{a^2}\sqrt 3.\)
Tam giác A'AG vuông tại G có \(\widehat A = {30^0},AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.2a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2a.\)
Suy ra: \(A'G = AG.\tan {30^0} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)
Vậy: \({V_{ABC.{A'}{B'}{C'}}} = {S_{ABC}}.{A'}A = 6{a^3}.\)
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=a\sqrt3.\)Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM.
Lời giải:
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S.
Do đó theo công thức tỷ số thể tích, ta có:
\(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{{\rm{SA}}}}{{{\rm{SA}}}}.\frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = 1.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)
Suy ra: \({V_{S.AMN}} = \frac{{{V_{S.ABC}}}}{4} = \frac{{\frac{1}{3}.{a^2}\sqrt 3 .a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{4}\)
Và: \({V_{A.BCNM}} = \frac{3}{4}.{V_{S.ABC}} = {\frac{{3a}}{4}^3}.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, M và N theo thứ tự là trung điểm của SA và SB. Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{S.CDMN}}}}{{{V_{S.CDAB}}}}\).
Ta có:
\({V_{S.MNCD}} = {V_{S.MCD}} + {V_{S.MNC}}\) và \({V_{S.ABCD}} = {V_{S.ACD}} + {V_{S.ABC}}\).
Khi đó: \(\frac{{{V_{S.MCD}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {V_{S.MCD}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}}\)
Mặt khác: \(\frac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.MNC}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\)
Từ trên suy ra \({V_{S.MNCD}} = \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{8}} \right){V_{S.ABCD}} = \frac{3}{8}{V_{S.ABCD}}\).
Tính thể tích khối đa diện là dạng toán quan trọng nhất ở chương này, để có thể giải được các bài tập dạng này đòi hỏi khả năng vân dụng, tổng hợp các kiến thức hình học không gian đã được học và ghi nhớ được các công thức tính thể tích các khối đa diện quen thuộc như khối chóp, khối lăng trụ,...Bên cạnh đó thể tích khối chóp còn được ứng dụng để tính khoảng cách và chứng minh hệ thức.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 1 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 450 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác vuông cân tại B và BA = BC = a. Cạnh bên \(SA = a\sqrt 3\) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với mặt phẳng bằng 450. Hình chiếu của a trên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của A’B’. Tính thể tích V của khối lăng trụ theo a.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Chương 1 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 25 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 25 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 25 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 25 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 1.10 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.11 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.12 trang 18 BT Hình học 12
Bài tập 1.13 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.14 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.15 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.16 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.17 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 15 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 29 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 24 trang 29 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 25 trang 29 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 450 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác vuông cân tại B và BA = BC = a. Cạnh bên \(SA = a\sqrt 3\) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với mặt phẳng bằng 450. Hình chiếu của a trên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của A’B’. Tính thể tích V của khối lăng trụ theo a.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a và đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc 300. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE=2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD.
Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Tính thể tích V của khối tứ diện AB’C’D theo a.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ vì M là trung điểm của CC’. Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp M.ABC. Tính tỷ số thể tích của (H) và khối chóp M.ABC.
Biết thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng V. Tính thể tích \(V_1\) tứ diện A'ABC' theo V.
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC); AC=AD=4; AB=3; BC=5. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy; \(BC = 9m,AB = 10m,AC = 17m\). Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 73m3. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB’D’.
Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng:
\(\frac{{{V_{S.A'B'C'D'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}\)
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với SD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tình thể tích khối tứ diện CDEF theo a.
Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d’. Đoạn thằng AB có độ dài a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài B trượt trên d’. Chứng minh rằng khối tứ diện ABCD có thể tích không đổi.
Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC = b, SA = c.
a) Hãy tính thể tích khối chóp S.ADE
b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB).
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong một tứ diện đều đến các mặt của nó là một số không đổi.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = 2a, AA′ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD.
a) Tính thể tích khối chóp M.AB′C
b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB′C).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, AA′ = c. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của A′B′ và B′C′. Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D′.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, AA′ = c. Gọi E và F lần lượt là những điểm thuộc cạnh BB′ và DD′ sao cho \(BE = \frac{1}{2}EB',DF = \frac{1}{2}FD'\). Mặt phẳng (AEF) chia khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ thành hai khối đa diện (H) và (H′). Gọi (H′) là khối đa diện chứa đỉnh A′. Hãy tính thể tích của (H) và tỉ số thể tích của (H) và (H′).
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B′C′ và C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H′), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính tỉ số giữa thể tích hình đa diện (H) và thể tích hình đa diện (H′).
Cho tam giác ABC cố định và một điểm S thay đổi. Thể tích của khối chóp S.ABC có thay đổi hay không nếu:
a) Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) ;
b) Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với chỉ một cạnh đáy ;
c) Đỉnh S di chuyển trên một đường thẳng song song với một cạnh đáy ?
Hãy chia một khối tứ diện thành hai khối tứ diện sao cho tỉ số thể tích của hai khối tứ diện này bằng một số k > 0 cho trước.
Tính thể tích của khối hộp ABCD.A′B′C′D′, biết rằng AA′B′D′ là khối tứ diện đều cạnh a.
Tính thể tích của khối lăng trụ n-giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a.
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC = b, \(\widehat {ACB} = {60^0}\). Đường thẳng BC′ tạo với mp (AA′C′C) một góc 300
a) Tính độ dài đoạn thẳng AC.
b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A′ cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA′ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600
a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
b) Chứng minh rằng mặt bên BCCB′ là một hình chữ nhật.
c) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ ABC.A′B′C (tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đã cho).
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DH và SC.
Câu trả lời của bạn
\(\Delta SAB\Rightarrow SH\perp AB\) mà \((SAB)\perp (ABCD)\Rightarrow SH\perp (ABCD)\)
\(SH=\frac{a\sqrt{3}}{2};S_{ABCD}=a^2\Rightarrow V_{ABCD}=\frac{1}{3}S.S_{ABCD}=\frac{\sqrt{3}a^3}{6}\)
Dựng hình bình hành HDCE \(\Rightarrow\) E \(\in\) AB . HD // CE \(\Rightarrow\) d (DH , SC) = d (H ,(SCE))
Kẻ HI \(\perp\) CE, HK \(\perp\) SE ta có HK \(\perp\) (SCE) \(\Rightarrow\) d (H ,(SCE)) = HK
Ta có \(d(H,CE)=d(C,DH)=\frac{2S_{CDH}}{HD}=\frac{S_{ABCD}}{\sqrt{AD^2+AH^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}a\)
\(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{HI^2}+\frac{1}{HS^2}=\frac{19}{3a^2}\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{57}}{19}\)
Vậy \(d(DH,SC)=\frac{a\sqrt{57}}{19}\)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, có đáy ABC là tam giác vuông cân ở B và AB = a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Biết diện tích mặt bên ABB’A’ bằng 3a2
a) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(ACB’).
Câu trả lời của bạn
a,
Diện tích tam giác ABC là:
\(S=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}a^2\)
Theo gt ta có : \(A'H.AB=3a^2\Rightarrow A'H=3a\)
Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
\(V=S.A'H=\frac{3}{2}a^3\)
b,
\(d(B;(ACB'))= 2d(H;(ACB'))= 2HK\)
Với K là trực tâm tam giác AEI và
\(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{HA^2}+\frac{1}{HI^2}+\frac{1}{HE^2}=\frac{9}{a^2}\Rightarrow HK=\frac{a}{3}\)
Vậy \(d(B;(ACB'))=2HK=\frac{2a}{3}\)
Cứu với mọi người!
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a và BC = \(a\sqrt{3}\). Gọi BH là đường cao của tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng BH và SC, biết SH \(\perp\) (ABC) và góc giữa SB với mặt phẳng (ABC) bằng 600.
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\frac{1}{HB^2}=\frac{1}{BA^2}+\frac{1}{BC^2}\Rightarrow HB=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Góc giữa SB và (ABC) là \((\widehat{SBH})=60^0\)
Suy ra \(SH=HB.tan60^0=\frac{3a}{2}\)
Diện tích đáy: \(S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SH.S_{\Delta ABC}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}\)
Ta có HB \(\perp\) (SAC) (Vì (SAC) \(\perp\) (ABC), HB \(\perp\) AC ). Trong mp(SAC), dựng HK \(\perp\) SC.
Khi đó HK là đường vuông góc chung của HB và SC, hay d(HB; SC) = HK
Ta có \(HC=\sqrt{BC^2-HB^2}=\frac{3a}{2}\)
Khi đó \(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{HS^2}+\frac{1}{HC^2}\Rightarrow HK=\frac{3a\sqrt{2}}{4}\)
Vậy \(d(HB; SC) =\frac{3a\sqrt{2}}{4}\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều có cạnh bằng a, cạnh bên tạo với đáy góc 300. Biết hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC.
Câu trả lời của bạn
+ Gọi H là trung điểm BC
\(\Rightarrow A'H\perp (ABC)\)
\(\Rightarrow\) góc A'AH bằng 300
Ta có \(AH=\frac{a\sqrt{3}}{2};A'H=AH.tan30^0=\frac{a}{2}\)
\(S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
\(V=S_{ABC}.A'H=\frac{a^3\sqrt{3}}{8}\)
+ Gọi G là tâm của tam giác ABC, qua G kẻ đt (d) // A’H cắt AA’ tại E
+ Gọi F là trung điểm AA’, trong mp(AA’H) kẻ đt trung trực của AA’ cắt (d) tại I => I là tâm m/c ngoại tiếp tứ diện A’ABC và bán kính R = IA.
Ta có: Góc AEI bằng 600, EF =1/6.AA’ = a/6
\(IF=EF.tan.60^0=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)
\(R=\sqrt{AF^2+FI^2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Bài này phải làm sao mọi người?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình chữ nhật với AB = a AD = a\(\sqrt{3}\). Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của tam giác ABC và SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SAvà CD.
Câu trả lời của bạn
Ta có \(SBH=(SB,(ABCD))=60^0\)
\(BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=2a\)
\(\Rightarrow BH=\frac{1}{3}BD=\frac{2a}{3}\)
Suy ra \(SH=BH.tan60^0=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)
\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{2a\sqrt{3}}{3}.a.a\sqrt{3}=\frac{2a^3}{3}\)
Ta có \(d (SA, CD) =d (CD, (SAB)) =d (D, (SAB)) =3d (H, (SAB))\)
Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên AB ; K là hình chiếu vuông góc của
H trên SI.
Vì \(SH\perp AB,HI\perp AB\) nên \(HK\perp AB\). Suy ra \(HK\perp (SAB)\)
Do đó d(SA,CD) = 3d(H,(SAB))=3HK
Ta có \(\frac{IH}{AD}=\frac{BH}{BD}=\frac{1}{3}AD=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Tam giác SHI vuông tại H và HK là đường cao nên \(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{HA^2}+\frac{1}{HI}=\frac{15}{4a^2}\)
Vậy \(d(SA,CD)=3HK=\frac{2a\sqrt{15}}{5}\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông tại A với AB = a; \(AC=2a\sqrt{2}\). Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn BC thỏa mãn HB = 2HC, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC . và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.
Câu trả lời của bạn
Diện tích đáy hình chóp là \(S_{ABC}=\frac{1}{2}a.2a\sqrt{2}=a^2\sqrt{2}\)
Ta có \(SH\perp (ABC)\)
\(\Rightarrow (SB,(ABC))=SBH=60^0\)
\(BC=3a\Rightarrow BH=2a\)
Xét tam giác SHB ta có: \(SH=BH.tan60^0=2a\sqrt{3}\)
Thể tích khối chóp S.ABC là
\(V=\frac{1}{3}.2a\sqrt{3}.a^2\sqrt{2}=\frac{2a^3\sqrt{6}}{3}\) (đvtt)
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ xác địnhđiểm D sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành (Do \(\angle BAC =90^0\) nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật)
Suy ra: AC // mp (SBD)
\(\Rightarrow d(AC,SB)=d(AC,(SBD))=d(C,(SBD))=\frac{3}{2}d(H,(SBD))\)
Kẻ HI // CD, (I thuộc BD), HK vuông góc với SI
Ta có: Tứ giác ABDC là hình chữ nhật nên HI \(\perp\) BD mà SH \(\perp\) BD
Do đó : BD \(\perp\) (SHI) \(\Rightarrow\) BD \(\perp\) HK. Từ đó có: HK \(\perp\) SI và HK \(\perp\) BD
suy ra HK \(\perp\) (SBD).
Nên \(d(AC,SB)=\frac{3}{2}d(H,(SBD))=\frac{3}{2}HK\)
Xét tam giác SIH vuông tại H với HK là đường cao ta có:
\(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{HS^2}+\frac{1}{HI^2}=\frac{1}{12a^2} +\frac{9}{4a^2}=\frac{7}{3a^2}\)
\(\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{21}}{7}\)
Vậy khoảng cách giữa hai đt SB và đtAC là \(d(AC,SB) =\frac{3}{2}HK=\frac{3a\sqrt{21}}{14}\)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng AB là điểm H thuộc đoạn AB sao cho BH= 2AH, góc giữa SC và mặt đáy ABCD bằng 450 . Gọi I là giao điểm của HC và BD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).
Câu trả lời của bạn
\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}\)
\(CH^2=BH^2+BC^2=\frac{13}{9}a^2CH=a\frac{\sqrt{13}}{3}\)
Góc giữa SC và mặt đáy là góc \(SCA=45^0\Rightarrow SH=CH=\frac{a\sqrt{13}}{3}\)
\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a}{3}\sqrt{13}.a^2=\frac{a^3\sqrt{13}}{9}\) (đvtt)
\(\frac{d(I(SCD))}{d(H,(SCD))}=\frac{IC}{HC}\) và \(\frac{IC}{IH}=\frac{CD}{BH}=\frac{3}{2}\)
và \(CH^2=BH^2+BC^2=\frac{13}{9}a^2\)
\(\frac{1}{HM^2}=\frac{1}{SH^2}+\frac{1}{HK^2}=\frac{22}{13a^2}\Rightarrow HM=\frac{a\sqrt{286}}{22}\)
\(d(I,(SCD))=\frac{3}{5}d(H,(SCD))=\frac{3}{5}HM=\frac{3a\sqrt{286}}{110}\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D, đáy ABCD là hình chữ nhật có \(AB =a, AD =a\sqrt{3}\) . Biết góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B'C và C'D' theo a .
Câu trả lời của bạn
Do ABCD.A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên A'A \(\perp\) (ABCD)
Suy ra góc giữa A'C và mặt phẳng (ABCD) là \((A'CA)=60^0\)
Có \(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2a\Rightarrow A'A=AC.tan60^0=2a\sqrt{3}\)
ABCD là hình chữ nhật có \(AB=a, AD=a\sqrt{3}\Rightarrow S_{ABCD}=AB.AD=a^2\sqrt{3}\)
Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' là \(V=A'A.S_{ABCD}=6a^3\)
Do C’D//AB’ nên C’D//(AB’C)
Suy ra d(C'D,B'C) = d(C'D,(AB'C)) = d(C',(AB'C) = d(B,AB'C))
Do BC’ giao với mp(AB’C) tại trung điểm của BC’ (vì BCC’B’ là hình chữ nhật)
Kẻ \(BM\perp AC\Rightarrow AC\perp (BB'M)\Rightarrow (AB'C)\perp (BB'M)\) theo giao tuyến B'M
Kẻ \(BH\perp B'M\Rightarrow BH\perp (AB'C)\) hay d(B,(AB'C)) = BH
Có \(\frac{1}{BH^2}=\frac{1}{B'B^2}+\frac{1}{BM^2}=\frac{1}{B'B^2}+\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{AB^2}=\frac{17}{12a^2}\Rightarrow BH=\frac{2a\sqrt{51}}{17}\)
Vậy \(d(C'D,B'C)=\frac{2a\sqrt{51}}{17}\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Cạnh AC = a , BC =\(a \sqrt{5 }\). Mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng đáy và tam giác SAB đều. Gọi K điểm thuộc cạnh SCsao cho SC=3SK. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BK theo a .
Câu trả lời của bạn
Gọi H là trung điểm của \(AB\Rightarrow SH \perp AB\) ( do tam giác SAB đều)
Do \((SAB) \perp (ABC)\Rightarrow SH \perp(ABC)\)
Do tam giác ABC vuông tại A nên \(AB=2a\Rightarrow SH=a\sqrt{3}\)
\(dt(\Delta ABC)=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.2a.a=a^2\)
\(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}a^2=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}\)
Kẻ KM song song với AC cắt SA tại M. Khi đó AC KM / / suy ra AC // (BKM)
Do đó d(AC,BK)=d (AC, (BKM))
Ta có \(AC\perp AB, AC \perp SH\) nên \(AC\perp (SAB)\)
Kẻ \(AI \perp BM\) , do KM // AC nên \(AI \perp KM\) suy ra \(AI\perp (BKM)\)
Suy ra \(d (AC, BK) =d (AC ,(BKM)) =d (A, (BKM) )=AI\)
Ta có \(\frac{MA}{SA}=\frac{KC}{SC}=\frac{2}{3}\Rightarrow S_{\Delta AMB}=\frac{2}{3}S_{\Delta SAB}=\frac{2}{3}.(2a)^2.\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{2}{3}a^2\sqrt{3}\)
Ta lại có \(BM=\sqrt{AB^2+AM^2-2AB.AM.cos60^0}=\frac{2a\sqrt{7}}{3}\)
Do đó \(AI=\frac{2S_{\Delta ABM}}{BM}=\frac{2\sqrt{21}a}{7}\)
Vậy \(d(AC,BK)=AI=\frac{2\sqrt{21}a}{7}\)
Help me!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều và AB = BC = CD = a. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), góc giữa SC và (ABCD) bằng 600. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).
Câu trả lời của bạn
Gọi H là giao điểm của AC và BD. Do (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH vuông góc với (ABCD). Góc giữa SC và (ABCD) là góc \(\widehat{SCH}\) suy ra \(\widehat{SCA}=60^0\). Ta có \(AC=a\sqrt{3}\)
Do BC // AD suy ra \(\frac{HC}{HA}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}\Rightarrow HC=\frac{1}{3}AC=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Xét tam giác SHC vuông tại H, có: SH= HC. tan600= a
Ta có \(S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}=\frac{1}{2}AB.BD+\frac{1}{2}BC.CD.sin120^0=\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}\)
Vậy \(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3} .S_{ABCD}.SH=\frac{3a^3\sqrt{3}}{4}\)
Gọi I là trung điểm AD, K là hình chiếu vuông góc của H lên đường thẳng SI.
suy ra K là hình chiếu của H trên (SAD). Gọi M là hình chiếu của C trên (SAD)
suy ra SM là hình chiếu của SC trên (SAD) do đó góc giữa SC và (SAD) là \(\widehat{MSA}\)
Ta có \(HI=\frac{1}{2}.AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Xét tam giác SHI vuông tại H, có: \(HK=\frac{HI.HS}{\sqrt{HI^2+HS^2}}=\frac{a}{2}\Rightarrow MC=\frac{3}{2}HK=\frac{3a}{4}\)
Xét tam giác SHC vuông tại H, có: \(SC=2HC=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)
Xét tam giác SMC vuông tại M, có: \(sin\widehat{MSC}=\frac{MC}{SC}=\frac{3\sqrt{3}}{8}\Rightarrow \widehat{MSC}\approx 40^030'\)
Vậy góc giữa SC và (SCD) là \(\widehat{MSC}\approx 40^030'\)
Help me!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy.Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300. Gọi E là trung điểm của BC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE, SC theo a.
Câu trả lời của bạn
* Vì \(\left\{\begin{matrix} CB\perp AB\\ CB\perp SA \end{matrix}\right.\Rightarrow CB\perp (SAB)\Rightarrow\) hình chiếu của SC lên mp(SAB)
\(\Rightarrow SB=BC.cot30^0=a\sqrt{3}\Rightarrow SA=a\sqrt{2}\)
* Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:
\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}a\sqrt{2}.a^2=\frac{\sqrt{2}a^3}{3}\) (dvtt)
+ Từ C dựng CI // DE \(\Rightarrow CE=DI=\frac{a}{2}\) và DE // (SCI)
\(\Rightarrow d(DE,SC)=d(DE,CSI)\)
Từ A kẻ AK \(\perp\) CI cắt ED tại H, cắt CI tại K
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} SA\perp CI\\ AK\perp CI \end{matrix}\right.\Rightarrow CI\perp (SAK)\Rightarrow (SCI)\perp (SAK)\) theo giao tuyến SK
Trong mặt phẳng (SAK) kẻ \(HT\perp AK\Rightarrow HT\perp (SCI)\)
\(\Rightarrow d(DE,SC)=d(H,(SCI))=HT\)
+ Ta có \(S_{ACI}=\frac{1}{2}.AK.CI=\frac{1}{2}.CD.AI\Rightarrow AK=\frac{CD.AI}{CI}\)
\(=\frac{a.\frac{3}{2}a}{\sqrt{a^2+\left ( \frac{a}{2} \right )^2}}=\frac{3a}{\sqrt{5}}\)
Kẻ KM // AD\((M\in ED)\Rightarrow \frac{HK}{HA}=\frac{KM}{AD}=\frac{1}{2}\Rightarrow HK=\frac{1}{3} AK=\frac{a}{\sqrt{5}}\)
Lại có: \(sinSKA=\frac{SA}{SK}=\frac{HT}{HK}\Rightarrow HT=\frac{SA.HK}{SK} \frac{a\sqrt{2}.\frac{a}{\sqrt{5}}}{\sqrt{2a^2+\frac{9a^2}{5}}}=\frac{\sqrt{38}}{19}\)
Vậy \(d(ED,SC)=\frac{\sqrt{38}}{19}\)
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có cạnh AB = a, AD = 2a. Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SAD. Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SCD).
Câu trả lời của bạn
Tính thể tích:
Diện tích đáy SABCD = 2a2
Ta thấy góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc \(\widehat{SCO}\)
Ta có \(OC = \frac{a\sqrt{5}}{2}\)
\(SO = OC.\tan 60^0 = \frac{a\sqrt{15}}{2}\)
Vậy \(V_{S.ABCD}= \frac{a^3\sqrt{15}}{3}\)
Gọi M là trung điểm của AD, N là trung điểm của DC
Ta thấy GM \(\cap\) (SCD) = S và SG = \(\frac{2}{3}\) SM nên d(G; (SCD)) = \(\frac{2}{3}\) d(M; (SCD)) (1)
Mặt khác MO // DC suy ra MO // (SCD) nên d(M; (SCD)) = d(O; (SCD))
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên SN
Vì SO,ON \(\perp\) CD ⇒ CD \(\perp\) (SNO) ⇒ CD \(\perp\) OH
Do đó OH vuông góc với mặt phẳng (SCD) suy ra d(O; (SCD)) = OH (2)
Ta có \(OS = \frac{a\sqrt{15}}{2};\ ON = a\)
Xét tam giác SON vuông tại O có OH là đường cao
\(\Rightarrow \frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OS^2} + \frac{1}{ON^2} = \frac{4}{15a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{19}{15a^2} \Rightarrow OH = \frac{a\sqrt{285}}{19}\)
Kết hợp với (1) và (2) ta có \(d(G;(SCD)) = \frac{2a\sqrt{285}}{57}\)
Cứu với mọi người!
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh AB= 3a, BC = 5a. Hình chiếu vuông góc của điểm B' trên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Góc giữa hai mặt phẳng (ABB'A') và mặt phẳng (ABC) bẳng 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (ACC'A').
Câu trả lời của bạn
Gọi H, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AB
Ta có \(B'H\perp (ABC)\) và \(HN\perp AB\). Suy ra góc giữa hai mặt phẳng \((ABB'A')\) và \((ABC)\) là \(\widehat{B'NH}=60^0\)
\(\Delta ABC\) vuông tại A, có \(AB=3a, BC=5a\). Suy ra \(AC=4a\Rightarrow HN=2a\)
\(\Delta B'HN\) vuông tại H, có \(\widehat{B'HN}=60^0,HN=2a\). Suy ra
\(tan\widehat{B'HN}=\frac{B'H}{HN}=\sqrt{3}\Rightarrow B'H=2a\sqrt{3}\)
Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là
\(V_{ABC.A'B'C'}=B'H.S_{ABC}=2a\sqrt{3}.\frac{3a.4a}{2}=12\sqrt{3}a^3\) (đvtt)
Gọi E là giao điểm của B H ' và CC’ nên H là trung điểm của B’E, Gọi M là trung điểm của AC, F là hình chiếu của H lên ME
Ta có: \(HF\perp ME\) (1)
\(AC\perp MH;AC\perp B'H\Rightarrow AC\perp HF(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra
\(HF\perp (ACC'A')\Rightarrow d(H,(ACC'A'))=HF=\frac{1}{2}d(B'(ACC'A'))\)
\(HM=\frac{1}{2}AB=\frac{3a}{2};HE=B'H=2\sqrt{3}a\)
\(\Delta MHE\) vuông tại H có đường cao HF; \(HF=\frac{HM.HE}{\sqrt{HM^2+HE^2}}=\frac{6a\sqrt{19}}{19}\)
\(d(B'(ACC'A'))=2HF=\frac{12a\sqrt{19}}{19}\)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SC sao cho BM vuông góc với DN . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và DN.
Câu trả lời của bạn
\(AC\cap BD=\left \{ O \right \}\)
Ta chọn hệ trục tọa độ (Oxyz), gốc O, trục Ox cùng hướng tia DB, trục Oy cùng hướng tia AC , trục Oz cùng hướng tia OS . Đặt SO = h > 0 , từ đó có:
\(O(0;0;0), A(-\sqrt{2};0;0;0),B(0;\sqrt{2};0), C(\sqrt{2};0;0),D(0;-\sqrt{2};0),S(0;0;h)\)
\(\Rightarrow M(-\frac{\sqrt{2}}{2};0\frac{h}{2});N(\frac{\sqrt{2}}{2};0;\frac{h}{2}) \Rightarrow \overline{BM}=(-\frac{\sqrt{2}}{2};-\sqrt{2};\frac{h}{2})\)
\(\overline{DN}=(\frac{\sqrt{2}}{2};\sqrt{2};\frac{h}{2})\)
Do \(BN\perp DN\Rightarrow \overline{BM}.\overline{DN}=0\Rightarrow -\frac{2}{4}-2+ \frac{h^2}{4}=0\Rightarrow h=\sqrt{10}\)
Mặt khác \(S_{ABCD}=2^2=4\)
Vậy \(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\sqrt{10}.4=\frac{4\sqrt{10}}{3}\)
\(AB\parallel CD\Rightarrow AB\parallel (SCD)\supset DN\)
\(\Rightarrow d(AB,BN) =d(AB,(SCD))=2d(O,(SCD))\)
Phương trình \((SCD):\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{-\sqrt{2}}+\frac{z}{\sqrt{10}}=1\Leftrightarrow (SCD):\sqrt{5}x-\sqrt{5}y+z-\sqrt{10}=0\)
\(\Rightarrow d(O,(SCD))=\frac{\left | \sqrt{5}.0- \sqrt{5}.0+0-\sqrt{10}\right |}{\sqrt{11 }}=\frac{\sqrt{110}}{11}\)
\(\Rightarrow d(AB,DN)=\frac{2\sqrt{110}}{11}\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = 2a, AD = a, K là hình chiếu vuông góc của B lên đường chéo AC, các điểm H, M lần lượt là trung điểm của AK và DC, SH và \(SH=\frac{2a\sqrt{10}}{5}\) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và MH.
Câu trả lời của bạn
\(SH\perp (ABCD)\Rightarrow V_{ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}\)
\(S_{ABCD}=AB.AD=2a^2\)
Thể tích khối chóp S.ABCD là \(V=\frac{4a^3\sqrt{10}}{15}\)
Gọi I là trung điểm của BK, suy ra tứ giác HICM là hình bình hành
Suy ra: \(HI\perp BC\Rightarrow I\) là trực tâm tam giác BHC \(\Rightarrow CI\perp HB\Rightarrow MH\perp HB\)
Mà HB là hình chiếu của SB lên (ABCD) nên MH \(\perp\) SB
Trong (SHB), kẻ \(HN\perp SB \ (N\in SB)\), ta có:
\(\left\{\begin{matrix} MH\perp HB\\ MH\perp SH \end{matrix}\right.\Rightarrow MH\perp HN\)
Suy ra HN là đoạn vuông góc chung của SB và MH . Suy ra: d(SB, MH) = HN
Xét tam giác vuông SHB ta có: \(HN=\frac{1}{2}.SB=\frac{1}{2}.HB.\sqrt{2}=\frac{1}{2}.\frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{5 }}.\sqrt{2}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}\)
Vậy \(d(SB, MH) =\frac{2a\sqrt{5}}{5}\)
Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA \(\perp\) mp(ABC), tam giác SBC đều cạnh a, góc giữa đường thẳng SC và mp(ABC) bằng 300. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Câu trả lời của bạn
Gọi M là trung điểm BC thì \(BC\perp SM\Rightarrow BC\perp AM\)
Góc giữa SC và mp(ABC) là \(\widehat{SCA}=30^0\)
Do
\(SC=a\Rightarrow SA=\frac{a}{2},AC=\frac{\sqrt{3}a}{2}\Rightarrow AM=\sqrt{AC^2-CM^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}.BC.AM=\frac{\sqrt{2}a^2}{4}\)
\(\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.S_{ABC}.SA=\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{2}a^2}{4}.\frac{a}{2 }=\frac{\sqrt{2}a^3}{24}\)
Trong mp(ABC) kẻ đường thẳng d qua C và song song với AB.
Từ điểm A kẻ \(AD\perp d, AH\perp SD\), thì \(d(AB;SC)=d(A;(SCD))=AH\)
\(AD=d(C;AB)=\frac{2.S_{ABC}}{AB}=\frac{\sqrt{2}a^2}{2}:\frac{\sqrt{3}a}{2}=\frac{\sqrt{6}a}{3}\)
\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AD^2}=\frac{4}{a^2}+\frac{3}{2a^2}=\frac{11}{2a^2}\)
Vậy \(AH=\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}\Rightarrow d(AB;SC)=\frac{\sqrt{22}a}{11}\)
Cho hình chóp S.ABC có \(SA\perp (ABC),SA=a\sqrt{6}\), cạnh bên SB tạo với mp(ABC) một góc 60o. Tam giác ABC cân tại đỉnh A, có góc \(\widehat{BAC} = 45 ^0\). Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SC.
Câu trả lời của bạn
\(SA\perp (ABC)\Rightarrow \widehat{ABS}=(\widehat{SB,(ABC)})=60^0\)
\(\Rightarrow AB=SA.cot60^0=a\sqrt{2}=AC\)
\(V_{(S.ABC)}=\frac{1}{3}dt.(\Delta ABC).SA=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.AB.AC. sin45^0 .SA=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}\)Kẻ CD // AB, \(AK\perp CD, AH\perp SK\Rightarrow d(AB,SC)=...=AH\)
\(AK=AC.sin45^0=a\)
Tam giác vuông
\(SAK\Rightarrow \frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AK^2} =\frac{1}{6a^2}+\frac{1}{a^2}\)
Suy ra \(d(AB,SC)=AH=\frac{a\sqrt{6}}{\sqrt{7}}=\frac{a\sqrt{42}}{7}\)
Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D'. Đáy ABCD là hình thoi cạnh a; A'C \(=a\sqrt{2}\) ; góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (ADD'A') bằng 450. Tính theo a thể tích khối hộp đã cho và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (A'BC).
Câu trả lời của bạn
Kẻ BE vuông góc với AD tại E
Mà AB vuông góc với AA'
⇒ AB vuông góc với (ADD'A')
⇒ Góc giữa AB và (ADD'A') là \(BAE=45^0\Rightarrow BAD=45^0\) hoặc \(BAE=135^0\)
*TH1: \(BAD=45^0\Rightarrow ABC=135^0\)
Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác ABC ta có:
\(AC^2=AB^2+BC^2-2AB.BC.135^0\)
\(AC^2=a(2+\sqrt{2})>A'C^2\) (vô lý)
*TH2: \(BAD=135^0\Rightarrow ABC=45^0\)
Áp dụng định lý hàm số cos cho \(\Delta\) ABC ta có: \(AC^2=AB^2+BC^2-2AB.BC.cos45^0\)
\(AC^2=a^2(2-\sqrt{2})\)
Trong tam giác AA'C vuông tại A có: \(AA'=\sqrt{A'C^2-AC^2}=a.\sqrt[4]{2}\)
Diện tích đáy ABCD là: \(S=AB.BC.sin45^0=a^2\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Thể tích khối hộp là: \(V=S_{ABCD}.AA'=a^2\frac{\sqrt{2}}{2}.a\sqrt[4]{2}\)
Vậy \(V=a^3.\frac{\sqrt[4]{8}}{2}\)
Do AD song song với BC, mà \(BC\subset (A'BC)\)
⇒ AD song song với (A'BC)
⇒ d (D; (A'BC))=d (A; (A'BC))
Kẻ AK vuông góc với BC tại K
Kẻ AH vuông góc với A'K tại H
Ta có: \(BC\perp AK;BC\perp AA'\Rightarrow BC\perp (AA'K)\)
\(\Rightarrow BC\perp AK\). Mà ta có \(A'K\perp AH\)
\(\Rightarrow AH\perp (A'BC)\) tại H
\(d (D; (A'BC)) =d (A; (A'BC) =)AH\)
Trong tam giác AKB vuông tại K có: \(AK=AB.sin45^0=a.\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Delta AA'K\) vuông tại \(A\Rightarrow \frac{1}{AH^2}=\frac{1}{A'A^2}+\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{a^2\sqrt{2}} +\frac{2}{a^2}=\frac{2\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}a^2}\)
\(\Rightarrow AH^2=a^2\left ( \frac{4-\sqrt{2}}{7} \right )\Rightarrow AH= \frac{a\sqrt{28-7\sqrt{2}}}{7}\)
Vậy \(d(D;(A'BC))=\frac{a\sqrt{28-7\sqrt{2}}}{7}\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm BC. Biết AB = a, BC = \(a\sqrt{3}\) . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SB.
Câu trả lời của bạn
Gọi H là trung điểm AB. Do tam giác ABC đều nên \(SH\perp AB\)
Lại có \((SAB)\perp (ABC)\), suy ra \(SH\perp (ABC)\), tính \(SH=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)
Tam giác ABC vuông tại A nên \(AC=a\sqrt{2},S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}\)
Thể tích \(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}. \frac{a^2\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3\sqrt{6}}{12}\)
Gọi D là điểm sao cho AMBD là hình bình hành.
Ta có: d (AM, SB) =d (AM, (SBD))= d (A, (SBD))= d (H, (SBD))
AMBD là hình bình hành, lại có MA = MB nên AMBD là hình thoi. Do đó M, H, D thẳng hàng và \(HD\perp HB\)
Gọi E là hình chiếu vuông góc của H lên BD, F là hình chiếu vuông góc của H lên SE, ta có \(HF\perp (SBD),d(H,SBD)=HF\)
\(\frac{1}{HF^2}=\frac{1}{HE^2}+\frac{1}{HS^2}=\frac{1}{HB^2}+\frac{1}{HD^2} +\frac{1}{HS^2}=\frac{22}{3a^2}\)
\(\Rightarrow d(H,(SBD))=\frac{a\sqrt{3}}{22}\)
\(d (AM, SB) =d (H (SBD))=2.\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{22}}=\frac{a\sqrt{66}}{11}\)
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác đều cạnh bằng a, hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC và góc giữa đường thẳng A’A với mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’).
Câu trả lời của bạn
Ta có góc giữa đường thẳng A’A với mặt phẳng (ABC) là góc giữa đường thẳng A’A với đường thẳng AH.
Suy ra A'AH = 600
Do đó \(A'H=AH.tan60^0=\frac{3a}{2}\)
Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C': V =S_{ABC}.A'H=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{3a}{2} =\frac{3a^3\sqrt{3}}{8}\)
Trong mp(ABC) dựng \(HN\perp AC\) tại N. Suy ra HN // BM (M là trung điểm của AC) và \(HN=\frac{1}{2}BM=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Trong mp(A’HN) dựng HK \(\perp\) A’N tại K . Khi đó ta có
\(\bigg \lbrack\begin{matrix} AC\perp HN\\ AC\perp A'H \end{matrix}\Rightarrow AC\perp (A'HN)\Rightarrow AC\perp HK\)
Suy ra \(HK\perp (ACC'A')\). Do đó d(H,(ACC'A'))=HK
Ta có \(\frac{d(B,(ACC'A'))}{d(H,(ACC'A'))}=\frac{CB}{CH}=2\)
Suy ra \(d(B,(ACC'A'))=2d(H,(ACC'A'))\)
\(2HK=2.\frac{HN.A'H}{\sqrt{HN^2+A'H^2}}=2\frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{3a}{2 }}{\sqrt{\frac{3a^2}{16}+\frac{9a^2}{4}}}=\frac{3a\sqrt{13}}{13}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *