Tính thể tích khối đa diện là dạng toán quan trọng nhất ở chương này, để có thể giải được các bài tập dạng này đòi hỏi khả năng vân dụng, tổng hợp các kiến thức hình học không gian đã được học và ghi nhớ được các công thức tính thể tích các khối đa diện quen thuộc như khối chóp, khối lăng trụ,...Bên cạnh đó thể tích khối chóp còn được ứng dụng để tính khoảng cách và chứng minh hệ thức.
Giả sử có 1 khối hộp chữ nhật với 3 kích thước a, b, c đều là những số dương. Khi đó thể tích của nó là: \(V=a.b.c\).
\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABC}.SH\)
Trên các đường thẳng SA, SB, SC của hình chóp S.ABC ta lấy lần lượt các điểm . Ta có: .
Thể tích của khối lăng trụ bằng tích số của diện tích mặt đáy với chiều cao của khối lăng trụ đó: \(V=S_{day}.h.\)
\(V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC}.C'H\)
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, \(AB=a \sqrt 2, AC=a \sqrt 3\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SB=a \sqrt 3.\) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a.\)
Suy ra: \({{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 .a = \frac{{{a^2}.\sqrt 2 }}{2}\)
Tam giác SAB vuông tại A có \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = a.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}.\sqrt 2 }}{2}.a = \frac{{{a^3}.\sqrt 2 }}{6}.\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a\sqrt2\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SC=a \sqrt5\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Diện tích ABCD: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 2{a^2}.\)
Ta có: \(AC = AB.\sqrt 2 = a\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2a.\)
Tam giác SAC vuông tại A nên: \(SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = a\).
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.2{a^2}.a = \frac{{2{a^3}}}{3}.\)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng \(a\sqrt3\), cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Gọi M là trung điểm của BC.
O là trọng tâm tam giác ABC suy ra \(SO \bot (ABC).\)
Tam giác ABC đều cạnh \(a\sqrt3\) suy ra:
\(AM=a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{2}.\)
\({\rm{AO = }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}.AM = \frac{2}{3}.\frac{{3a}}{2} = a\).
\({{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin {60^0} = \frac{1}{2}.a\sqrt 3 .a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^2}.\sqrt 3 }}{4}\).
Tam giác SAO vuông tại A nên ta có \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = a.\sqrt 3.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}.\sqrt 3 }}{4}.\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600.Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
\(SA \bot (ABCD)\) nên AC là hình chiếu của SC lên mặt mặt phẳng (ABCD).
Do đó: \(\widehat {(SC,(ABCD))} = \widehat {(SC,AC)} = \widehat {SCA} = {60^o}.\)
Diện tích đáy là: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}} = {a^2}.\)
Tam giác SAC vuông tại A có \(AC=a \sqrt2, \widehat {SCA} = {60^0} \Rightarrow SA = AC.\tan {60^o} = a\sqrt 6.\)
Vậy thể tích khối chóp là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.{a^2}.a\sqrt 6 = \frac{{{a^3}.\sqrt 6 }}{3}.\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh \(BC=a\sqrt2,\) cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Gọi M là trung điểm của BC ta có: \(AM \bot BC\).
Mặt khác: \(SA \bot BC\) do \(SA \bot \left( {ABC} \right).\)
Nên: \(BC \bot (SAM) \Rightarrow SM \bot BC.\)
Suy ra: \(\widehat {((SBC),(ABC))} = \widehat {(SM,AM)} = \widehat {SMA} = {45^o}\).
Tam giác ABC vuông cận tại A có \(BC=a\sqrt2\) suy ra:
\(AB = BC = a\) và \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \(\Rightarrow {{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\)
Tam giác SAM vuông tại A có \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và \(\widehat {SMA} = {45^o}\)
Suy ra: \(SA = AB.\tan {45^o} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}.\sqrt 2 }}{{12}}\).
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, \(AC=a\sqrt3\), cạnh A'B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC=\sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2.\)
Suy ra: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)
Tam giác A'AB vuông tại A nên: \(A'A = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 3 .\)
Vậy thể tích khối lăng trụ là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'A = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\)
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(2a\sqrt3\), hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A'A hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
Gọi M là trung điểm của BC.
G là trọng tâm tam giác ABC suy ra: \(A'G \bot (ABC)\).
Do đó AG là hình chiếu vuông góc của AA' lên mặt phẳng (ABC).
Suy ra: \(\left( {\widehat {{A^/}A,(ABC)}} \right) = \widehat {{A^/}AG} = {30^0}.\)
Tam giác ABC đều cạnh \(2a\sqrt3\) nên: \({S_{ABC}} = {\left( {2a\sqrt 3 } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 3{a^2}\sqrt 3.\)
Tam giác A'AG vuông tại G có \(\widehat A = {30^0},AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.2a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2a.\)
Suy ra: \(A'G = AG.\tan {30^0} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)
Vậy: \({V_{ABC.{A'}{B'}{C'}}} = {S_{ABC}}.{A'}A = 6{a^3}.\)
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=a\sqrt3.\)Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM.
Lời giải:
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S.
Do đó theo công thức tỷ số thể tích, ta có:
\(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{{\rm{SA}}}}{{{\rm{SA}}}}.\frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = 1.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)
Suy ra: \({V_{S.AMN}} = \frac{{{V_{S.ABC}}}}{4} = \frac{{\frac{1}{3}.{a^2}\sqrt 3 .a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{4}\)
Và: \({V_{A.BCNM}} = \frac{3}{4}.{V_{S.ABC}} = {\frac{{3a}}{4}^3}.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, M và N theo thứ tự là trung điểm của SA và SB. Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{S.CDMN}}}}{{{V_{S.CDAB}}}}\).
Ta có:
\({V_{S.MNCD}} = {V_{S.MCD}} + {V_{S.MNC}}\) và \({V_{S.ABCD}} = {V_{S.ACD}} + {V_{S.ABC}}\).
Khi đó: \(\frac{{{V_{S.MCD}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {V_{S.MCD}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}}\)
Mặt khác: \(\frac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.MNC}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\)
Từ trên suy ra \({V_{S.MNCD}} = \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{8}} \right){V_{S.ABCD}} = \frac{3}{8}{V_{S.ABCD}}\).
Tính thể tích khối đa diện là dạng toán quan trọng nhất ở chương này, để có thể giải được các bài tập dạng này đòi hỏi khả năng vân dụng, tổng hợp các kiến thức hình học không gian đã được học và ghi nhớ được các công thức tính thể tích các khối đa diện quen thuộc như khối chóp, khối lăng trụ,...Bên cạnh đó thể tích khối chóp còn được ứng dụng để tính khoảng cách và chứng minh hệ thức.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 1 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 450 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác vuông cân tại B và BA = BC = a. Cạnh bên \(SA = a\sqrt 3\) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với mặt phẳng bằng 450. Hình chiếu của a trên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của A’B’. Tính thể tích V của khối lăng trụ theo a.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Chương 1 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 25 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 25 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 25 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 25 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 1.10 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.11 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.12 trang 18 BT Hình học 12
Bài tập 1.13 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.14 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.15 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.16 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.17 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 15 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 29 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 24 trang 29 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 25 trang 29 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 450 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác vuông cân tại B và BA = BC = a. Cạnh bên \(SA = a\sqrt 3\) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với mặt phẳng bằng 450. Hình chiếu của a trên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của A’B’. Tính thể tích V của khối lăng trụ theo a.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a và đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc 300. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE=2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD.
Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Tính thể tích V của khối tứ diện AB’C’D theo a.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ vì M là trung điểm của CC’. Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp M.ABC. Tính tỷ số thể tích của (H) và khối chóp M.ABC.
Biết thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng V. Tính thể tích \(V_1\) tứ diện A'ABC' theo V.
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC); AC=AD=4; AB=3; BC=5. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy; \(BC = 9m,AB = 10m,AC = 17m\). Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 73m3. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB’D’.
Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng:
\(\frac{{{V_{S.A'B'C'D'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}\)
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với SD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tình thể tích khối tứ diện CDEF theo a.
Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d’. Đoạn thằng AB có độ dài a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài B trượt trên d’. Chứng minh rằng khối tứ diện ABCD có thể tích không đổi.
Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC = b, SA = c.
a) Hãy tính thể tích khối chóp S.ADE
b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB).
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong một tứ diện đều đến các mặt của nó là một số không đổi.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = 2a, AA′ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD.
a) Tính thể tích khối chóp M.AB′C
b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB′C).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, AA′ = c. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của A′B′ và B′C′. Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D′.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, AA′ = c. Gọi E và F lần lượt là những điểm thuộc cạnh BB′ và DD′ sao cho \(BE = \frac{1}{2}EB',DF = \frac{1}{2}FD'\). Mặt phẳng (AEF) chia khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ thành hai khối đa diện (H) và (H′). Gọi (H′) là khối đa diện chứa đỉnh A′. Hãy tính thể tích của (H) và tỉ số thể tích của (H) và (H′).
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B′C′ và C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H′), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính tỉ số giữa thể tích hình đa diện (H) và thể tích hình đa diện (H′).
Cho tam giác ABC cố định và một điểm S thay đổi. Thể tích của khối chóp S.ABC có thay đổi hay không nếu:
a) Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) ;
b) Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với chỉ một cạnh đáy ;
c) Đỉnh S di chuyển trên một đường thẳng song song với một cạnh đáy ?
Hãy chia một khối tứ diện thành hai khối tứ diện sao cho tỉ số thể tích của hai khối tứ diện này bằng một số k > 0 cho trước.
Tính thể tích của khối hộp ABCD.A′B′C′D′, biết rằng AA′B′D′ là khối tứ diện đều cạnh a.
Tính thể tích của khối lăng trụ n-giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a.
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC = b, \(\widehat {ACB} = {60^0}\). Đường thẳng BC′ tạo với mp (AA′C′C) một góc 300
a) Tính độ dài đoạn thẳng AC.
b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A′ cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA′ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600
a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
b) Chứng minh rằng mặt bên BCCB′ là một hình chữ nhật.
c) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ ABC.A′B′C (tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đã cho).
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \(a\sqrt{3}\) . Tính thể tích khối chóp S.ABC và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.
Câu trả lời của bạn
+) Từ giả thiết suy ra tam giác ABC đều cạnh a và SH \(\perp\) (ABC) với H là tâm của tam giác đều \(ABC\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\) và SH là đường cao của hình chóp S.ABC.
Từ giả thiết \(\Rightarrow SA=a\sqrt{3}\Rightarrow\) trong tam giác vuông SAH vuông tại H có \(SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=\frac{2\sqrt{6}a}{3}\)
+) Diện tích tam giác ABC bằng: \(S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.S_{ABC}.SH=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}\)
+) SH là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trong mặt phẳng (SAH) kẻ đường trung trực của cạnh SA cắt SH tại I \(\Rightarrow\) I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính R = IS. Hai tam giác vuông SMI và SHA đồng dạng \(\Rightarrow SI=\frac{SM.SA}{SH}=\frac{3\sqrt{6}}{8}a\)
+) Diện tích mặt cầu là: \(S=4\pi R^2=\frac{27}{8}=\pi a^2\)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A 'B'C'D ' có đáy là hình thoi cạnh a, \(\widehat{BAD}=120^0\) và \(AC' =a\sqrt{5}\). Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A 'B'C'D ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BD theo a.
Câu trả lời của bạn
Gọi O là tâm hình thoi ABCD.
Do hình thoi ABCD có \(\widehat{BAD}=120^0\)
\(\Rightarrow \Delta ABC,\Delta ACD\) đều
\(\Rightarrow AC=a\)
Ta có: \(S_{ABCD}=2S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)
Mà ABCD.A 'B'C'D ' là lăng trụ đứng
\(\Rightarrow \Delta ACC'\) vuông tại \(C\Rightarrow CC'=\sqrt{AC'^2-AC^2}=\sqrt{5a^2-a^2}=2a\)
Vậy \(V_{ABCD.A'B'C'D'}=CC'.S_{ABCD}=2a.\frac{a^2\sqrt{3}}{2}=a^3\sqrt{3}\)
Tứ giác AB'C'D là hình bình hành \(\Rightarrow AB'//C'D\Rightarrow AB'//(BC'D)\)
\(\Rightarrow d(AB',BD) =d(AB',(BC'D))= d(A,(BC'D)) =d(C,(BC'D))\)
Vì \(BD \perp AC,BD \perpCC'\Rightarrow BD\perp (OCC')\Rightarrow (BC'D)\perp (OCC').\)
Trong(OCC'), kẻ CH \(\perp\) OC' (H \(\in\) OC').
\(CH \perp (BC'D)\Rightarrow d(C,(BC'D)) =CH\)
\(\Delta OCC'\) vuông tại \(C\Rightarrow \frac{1}{CH^2}= \frac{1}{CO^2}+ \frac{1}{CC'^2}= \frac{4}{a^2}+ \frac{1}{4a^2}\Rightarrow CH=\frac{2a}{\sqrt{17}}\)
Vậy d(AB',BD) = \(\frac{2a}{\sqrt{17}}\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB =a; AD = 2a, tam giác SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của SD. Tính thể tích khối chóp S.ACD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC.
Câu trả lời của bạn
Gọi H là trung điểm của AB, vì SAB là tam giác đều \(\Rightarrow SH \perp AB\)
Ta có \(\left\{\begin{matrix} (SAB)\perp (ABCD) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ AB=(SAB)\cap (ABCD)\Rightarrow SH\perp (ABCD) \ va \ SH=\sqrt{SA^2-HA^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\ SH\perp AB,SH\subset (SAB) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)
Vì ABCD là hình chữ nhật \(\Rightarrow S_{\Delta ACD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{1}{2}a.2a=a^2\)
Do đó \(V_{S.ACD}=\frac{1}{3}.SH.S_{\Delta ACD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a^2=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}\) (đvtt)
Gọi J là trung điểm của \(CD\Rightarrow IJ//SC\Rightarrow SC//(AIJ)\)
\(\Rightarrow d (AI,SC) = d (SC, (AIJ)) = d (C, (AIJ) )\)
Ta có \(CD\cap (AIJ )=J \Rightarrow d (C, (AIJ)) =d (D, (AIJ))\) (vì J là trung điểm CD).
Vậy \(d (AI, SC) =d (D,(AIJ))\)
Vì H là trung điểm AB, J là trung điểm của CD do đó tứ giác AHJD là hình chữ nhật. Gọi K là tâm của hình chữ nhật AHJD \(\Rightarrow\) IK // SH (vì IK là đường trung bình tam giác SHD).
Ta có \(\left\{\begin{matrix} SH\perp (ABCD)\\ IK//SH \end{matrix}\right.\Rightarrow IK\perp (ABCD)\) và \(IK=\frac{SH}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Ta có \(S_{\Delta ADJ}=\frac{1}{2}.AD.DJ=\frac{a^2}{2}\)
\(V_{I.ADJ}=\frac{1}{3}.IK.S_{\Delta ADJ}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}\)
\(AJ=\sqrt{AD^2+DJ^2}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\)
Vì \(IK\perp (ABCD)\Rightarrow IK\perp AJ\Rightarrow S_{\Delta AIJ}=\frac{1}{2}.IK.AJ=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{17}}{2}=\) \(\frac{a^2\sqrt{51}}{16}\)
Do đó \(d(D,(AIJ))=\frac{3V_{I.ADJ}}{S_{\Delta AIJ}}=\frac{2a\sqrt{17}}{17}\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), cạnh bên SB tạo với đáy góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M, mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích S.ABCD và tính AM theo a để thể tích khối chóp S.BCNM bằng \(\frac{10a^3\sqrt{3}}{27}\).
Câu trả lời của bạn
AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa cạnh SB và mặt phẳng (SAB) chính là góc \(\widehat{SAB} = 60^0\). Trong tam giác vuông SAB ta có \(SA=AB.tan60^0=a\sqrt{3}\)
\(V_{SABCD}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.SA.AB.AD=\frac{1}{3}a\sqrt{3}.a.2a=\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}\)
Đặt AM = x. Xét tam giác SAD, ta có \(\frac{MN}{AD}=\frac{SM}{SA}=\frac{SA-AM}{SA}\)
\(\Rightarrow MN=\frac{SA-AM}{SA}.AD=\frac{a\sqrt{3-x}}{2}=t\)
Ta có \(\frac{V_{SMBC}}{V_{SABC}}=\frac{SM}{SA}=t;\frac{V_{SMNC}}{V_{SADC}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SD}=t^2\)
\(\frac{5}{9}=\frac{V_{SMNBC}}{V_{ABCD}}=\frac{1}{2}(t+t^2)\Leftrightarrow 9t^2+9t-10=0\)
\(\bigg \lbrack\begin{matrix} t=\frac{2}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \\ t=-\frac{5}{3} \ (loai) \end{matrix}\)
Khi đó \(\frac{a\sqrt{3}-x}{2}=\frac{2}{3}\) hay \(x=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Help me!
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SD và mặt đáy hình chóp bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC, SD.
Câu trả lời của bạn
+ \(SA\perp (ABCD);\widehat{SAD}=45^0;SA=a\)
+ \(VS.ABCD=\frac{a^3}{3}\)
+ Gọi I – trung điểm \(SB\Rightarrow SD || (IAC)\)
\(\Rightarrow d(SD,AC)=d(D;(IAC))=\frac{3V_{IACD}}{S_{IAC}}=\frac{\frac{3a^3}{12}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi I là trung điểm AB, H là giao điểm của BD với IC. Các mặt phẳng (SBD) và (SIC) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và IC.
Câu trả lời của bạn
Ta có \(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}\) trong đó \(S_{ABCD}=a^2\)
Do (SIC),(SBD) cùng vuông với đáy suy ra SH \(\perp\) (ABCD)
Dựng \(HE\perp AB \Rightarrow SHE\perp AB\), suy ra \(\widehat{SEH}\) là góc giữa (SAB) và \((ABCD)\Rightarrow (SHE)=60^0\)
Ta có \(SH=HE.tan60^0=\sqrt{3}HE, \frac{HE}{CB}=\frac{HI}{IC}=\frac{1}{3}\Rightarrow HE=\frac{a}{3}\)
Suy ra \(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SH..S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{3}.a^2=\frac{\sqrt{3}a^2}{9}\)
Gọi P là trung điểm của CD, suy ra AP song song với CI \(\Rightarrow d(SA,CI)=d(CI,(SAP))=d(H,(SAP))\)
Dựng HK \(\perp\) AP, suy ra (SHK) \(\perp\) (SAP)
Dựng \(HF \perp SK\Rightarrow HF\perp (SPA) \Rightarrow d (H, (SPA) )=HF\)
Do \(\Delta\)SHK vuông tại \(\Rightarrow \frac{1}{HF^2}=\frac{1}{HK^2}+\frac{1}{HS^2} \ \ (1)\)
Dựng DM \(\perp\) AP, ta thấy DM = HK \(\Rightarrow \frac{1}{HK^2}=\frac{1}{DM^2}=\frac{1}{DP^2}+\frac{1}{DA^2}\)
Thay vào (1) ta có
\(\Rightarrow \frac{1}{HF^2}=\frac{1}{DP^2}+\frac{1}{DA^2}+\frac{1}{HS^2}=\frac{4}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{3}{a^2}=\frac{8}{a^2}\Rightarrow HF=\frac{a}{2\sqrt{2}}\)
Vậy \(d(SA,CI)=\frac{a}{2\sqrt{2}}\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng a .Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a.
Câu trả lời của bạn
Thể tích lăng trụ là:
\(V=AA'.S_{ABC}=a.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}\)
Gọi O, O’ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)ABC, \(\Delta\)A'B'C' khi đó tâm của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ là trung điểm I của OO’. Mặt cầu này có bán kính là:
\(R=IA=\sqrt{AO^2+OI^2}=\sqrt{(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2+(\frac{a}{2})^2}=\frac{a\sqrt{21}}{6}\)
Suy ra diện tích mặt cầu (S) là: \(S=4 \pi R^2= 4\pi (\frac{a\sqrt{21}}{6})^2=\frac{7 \pi a^2}{3}\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = 2 AC = 4. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của đoạn thẳng AC. Cạnh bên SA tạo với mặt đáy một góc 60o. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Câu trả lời của bạn
SH vuông góc (ABC) \(\Rightarrow\) góc giữa SA và (ABC) là: \(\widehat{SAH}=60^0\)
\(\Rightarrow SH=AH.tan\widehat{SAH}=2\sqrt{3}\)
\(\Delta ABC\) vuông tại \(B\Rightarrow BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=2\sqrt{3}\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC=2\sqrt{3}\)
Vậy \(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SH.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.2\sqrt{3}.2\sqrt{3}=4\)
Dựng hình chữ nhật ABCD \(\Rightarrow\) AB // CD \(\Rightarrow\) AB // (SCD) \(\Rightarrow\) d(AB,SC) =d(AB,(SCD))= d(A,(SCD)) =d(H,(SCD)) =2d(H,(SCD)) (do AC = 2HC)
Trong (ABCD), gọi E là trung điểm CD \(\Rightarrow HE \perp CD \Rightarrow CD\perp (SHE)\)
Trong (SHE), kẻ \(HK \perp SE (K \in SE) \Rightarrow HK \perp (SCD) \Rightarrow d(H,(SCD)) =HK\)
Ta có: \(HE=\frac{1}{2}.AD=\sqrt{3}\)
\(\Delta SHE\) vuông tại \(\Rightarrow \frac{1}{HK^2}=\frac{1}{HS^2}+\frac{1}{HE^2}=\frac{1}{12}+\frac{1}{3}=\frac{5}{12}\Rightarrow HK=\frac{2\sqrt{15}}{5}\)
Vậy \(d(AB,SC)=2HK=\frac{4\sqrt{15}}{5}\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, BC = a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AB, biết rằng SH = 2a. Tính theο a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAC), trong đó M là trung điểm của cạnh SB.
Câu trả lời của bạn
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}CA.CB=\frac{1}{2}a^2\)
\(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}.SH=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}a^2.2a=\frac{a^3}{3}\)
Dựng được IP, chứng minh được \(IP\perp (MAC)\)
Tính đúng \(d(B,(MAC))=\frac{4}{5}a\)
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=2a, \(\widehat{ BAC}= 60^0\), cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA=a\sqrt{3}\). Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM theo a.
Câu trả lời của bạn
a
Tam giác ABC có \(BC=AB.tan60^0=2\sqrt{3}a\Rightarrow S_{ABC}=2\sqrt{3}a^2\)
Do đó
\(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.S_{ABC}.SA\)
\(=\frac{1}{3}2.\sqrt{3}a^2.a\sqrt{3}\)
\(=2a^3\)
Gọi N là trung điểm cạnh SA do SB // (CMN) nên
d(SB,CM) = d(SB,(CMN))=d(B,(CMN))=d(A,(CMN))
Kẻ AE vuông góc với MC và AH vuông với NE ta được \(AH\perp (CMN)\Rightarrow d(A,CNM))=AH\)
Ta có \(S_{AMC}=\frac{1}{2}AM.AC.sinCAM=\frac{1}{2}.a.4a.\sqrt{3}\)
Và \(MC=a\sqrt{13}\) nên \(MC=a\sqrt{13}AE=\frac{2S_{AMC}}{MC}=\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{13}}\)
và \(AH=\frac{2\sqrt{3a}}{\sqrt{29}}\)
Vậy \(d(SB,CM)=\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{29}}=\frac{2\sqrt{87}a}{29}\)
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh BC sao cho HC =2HB, góc giữa SA với mặt đáy (ABC) bằng 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.
Câu trả lời của bạn
Áp dụng định lý cosin trong tam giác AHB có
\(AH^2=HB^2+AB^2-2HB.ABcos60^0=\frac{7a^2}{9}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{7}}{3}\)
Góc giữa đường thẳng SA và mp(ABC) là góc \(\angle SAH=45^0\)
Tam giác SHA vuông cân tại H nên \(SH=AH=\frac{a\sqrt{7}}{3}\)
Thể tích của khối chóp S.ABC là \(V=\frac{1}{3}S_{ABC}.AH=\frac{a^3\sqrt{21}}{36}\)
Gọi E là trung điểm của AB, D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD.
Ta có \(AB//CD\Rightarrow d(AB,SC)=d(AB,SCD)=d(B,SCD)=\)\(\frac{3}{2}\)\(d(H,SCD)\)
Trong mp(ABC) Qua H kẻ đường thẳng song song với CE cắt đường thẳng CD tại F và AB tại M thì tứ giác CEMF là hình chữ nhật. Kẻ HK vuông góc với SF tại K.
\(CD\perp (SFM)\Rightarrow CD\perp HK\)
\(\left\{\begin{matrix} CD\perp HK\\ SF\perp HK \end{matrix}\right.\Rightarrow HK\perp (SCD)\)
Ta có \(HF=\frac{2}{3}MF=\frac{2}{3}CE=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Tam giác SHF vuông tại H: \(\frac{1}{SH^2}+\frac{1}{FH^2}=\frac{1}{HK^2}\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{210}}{30}\)
\(\Rightarrow d(AB,SC)=\frac{3}{2}d(H,SCD)=\frac{3}{2}HK=\frac{a\sqrt{210}}{20}\)
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Cho hình lăng trụ đứng ABC. A' B'C' có tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = \(a\sqrt{3}\) . Góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABC) bằng 300. Gọi N là trung điểm của cạnh BB'. Tính thể tích khối lăng trụ ABC A'B'C' và tính cô sin của góc giữa hai đường thẳng AB và CN .
Câu trả lời của bạn
Ta có AC là hình chiếu vuông góc của AC' lên mặt phẳng (ABC) nên \(\widehat{A'CA}=30^0\)
Suy ra \(AA'=AC.tan30^0=a\)
\(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)
Thể tích khối lăng trụ là: \(V=AA'.S_{\Delta ABC}=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}\)
Gọi M là trung điểm của AA', ta có AB \(\parallel\) MN nên góc giữa hai đường thẳng AB và CN là góc \(\widehat{MNC}\)
Ta có \(NM\perp CM\) và \(MN=AB=a, CN=\sqrt{BC^2+BN^2}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\)
Suy ra \(cos\widehat{MNC}=\frac{MN}{NC}=\frac{2}{\sqrt{17}}\)
Vậy \(cos(AB,CN)=\frac{2}{\sqrt{17}}\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB=a, AD=2\sqrt{2}a\) . Hình
chiếu vuông góc của điểm S trên mp(ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mp(ABCD) một góc 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a.
Câu trả lời của bạn
*Gọi H là trọng tâm tam giác BCD. Theo giả thiết ta có \(SH\perp (ABCD)\). Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có \(CH=\frac{2}{3}CO=\frac{1}{3}AC=a\Rightarrow AH=AC-HC=2a\)
Cạnh SA tạo với đáy góc 450, suy ra \(\widehat{SAH}=45^0,SH=AH=2a\)
Diện tích đáy \(S_{ABCD}=AB.AD=a.2\sqrt{2}a=2\sqrt{2}a^2\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là \(V=\frac{1}{3}S_{ABCD}.SH=\frac{1}{3}.2\sqrt{2}a^2.2a=\frac{4\sqrt{2}a^3}{3}\)
*Gọi M là trung điểm SB thì mp(ACM) chứa AC và song song với SD.
Do đó d(SD; AC)= d(SD; (ACM))= d(D; (ACM)).
Chọn hệ tọa độ Oxyz, với A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; \(2 \sqrt{2a}\); 0),
\(C(a;2\sqrt{2}a;0),S(\frac{2a}{3};\frac{4\sqrt{2}a}{3};2a), M(\frac{5a}{6};\frac{2\sqrt{2}a}{3};a)\)
Từ đó viết phương trình mp(ACM) là \(2\sqrt{2}x-y-\sqrt{2}z=0\)
Vậy \(d (SD,AC) =d (D, ACM)=\frac{\left | -2\sqrt{2}a \right |}{\sqrt{8+1+2}}=\frac{2\sqrt{22}a}{11}\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(AD = 3BC = 3\sqrt{3}a\), \(AB = 2\sqrt{2}a\), tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD và góc tạo bởi đường thẳng SA với mặt phẳng (SCD).
Câu trả lời của bạn
Gọi H là trung điểm của AB
\(\left.\begin{matrix} SH \perp AB \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ (SAB) \perp (ABCD) \end{matrix}\right\} \Rightarrow SH \perp (ABCD), S_{ABCD} = 4\sqrt{6}a^2\)
\(SH = a\sqrt{6}, V_{S.ABCD} = 8a^2\)
Hạ \(HE \perp CD, E \in CD; HF \perp SE, F \in SE\)
\(HE \perp CD \Rightarrow HF \perp (SCD), HF = \frac{2\sqrt{6}a}{3}\)
Hạ \(AK \perp (SCD), K \in (SCD)\) ⇒ SK là hình chiếu vuông góc của SA trên (SCD) nên (SA;(SCD)) = (SA; SK)
\(d(A;(SCD)) = \frac{3}{2}d(H;(SCD)) = a\sqrt{6} \Rightarrow AK = a\sqrt{6}\)
(SA; (SCD)) = 600
Cứu với mọi người!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a AD = a,K là hình chiếu vuông góc của B lên đường chéo AC, các điểm H M, lần lượt là trung điểm của AK và DC, SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCDvà khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và MH.
Câu trả lời của bạn
Do SH \(\perp\)(ABCD) nên HB là hình chiếu của SB lên (ABCD)
Suy ra \(\left [ \widehat{SB;(ABCD)} \right ]=\widehat{(SB,HB)}=\widehat{SBH}=45^0\Rightarrow SH=BH\)
Xét tam giác vuông ABC ta có: \(AC=a\sqrt{5},HK=\frac{1}{2}AK=\frac{2a}{\sqrt{5}},BK=\frac{2a}{\sqrt{5}}\)
Xét tam giác vuông BKH ta có \(BH^2=BK^2+HK^2=\frac{4a^2}{5}+\frac{4a^2}{5}=\frac{8a^2}{5}\)
\(\Rightarrow SH=BH=\frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{2a\sqrt{10}}{5}\)
Thể tích khối chóp S.ABCD là
\(V=\frac{1}{3}S_{ABCD}.SH=\frac{1}{3}AB.AD.SH=\frac{1}{3}.2a.a.\frac{2a\sqrt{10}}{5}=\frac{4a^3\sqrt{10}}{15}\)Gọi I là trung điểm của BK, suy ra tứ giác HICM là hình bình hành
Suy ra: \(HI\perp BC\Rightarrow I\) là trực tâm tam giác \(BHC\Rightarrow CI\perp HB\Rightarrow MH\perp HB\)
Mà HB là hình chiếu của SB lên (ABCD) nên MH \(\perp\) SB
Trong (SHB), kẻ HN \(\perp\) SB \((N\in SB)\), ta có:
\(\left\{\begin{matrix} MH\perp HB\\ MH\perp SH \end{matrix}\right.\Rightarrow MH\perp HN\)
Suy ra HN là đoạn vuông góc chung của SB và MH. Suy ra: \(d(SB,MH)=HN\)
Xét tam giác vuông SHB ta có: \(HN=\frac{1}{2}SB=\frac{1}{2}HB.\sqrt{2}=\frac{1}{2}\frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\sqrt{2}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}\)
Vậy \(d(SB,MH)=\frac{2a\sqrt{5}}{5}\)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB = a, BC = 2a, ABC = 1200. Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm cạnh A’B’, góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (A’B’C’) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (ABC).
Câu trả lời của bạn
Gọi H là trung điểm A'B', vì \(AH \perp (A'B'C')\) nên góc giữa AC' và (A'B'C') là \((AC'; HC') = \widehat{AC'H} = 60^0\)
Ta có: \(A'B' = AB = a; B'C' = BC = 2a; B'H = \frac{A'B'}{2} = \frac{a}{2}\)
Áp dụng định lí cosin vào tam giác HB'C' ta có:
\(HC'^2 = HB'^2 + B'C'^2 - 2HB'. B'C' . \cos 120^0 = \frac{21a^2}{4} \Rightarrow H'C = \frac{a\sqrt{21}}{2}\)
∆AHC' vuông tại H: \(AH = HC' . \tan 60^0 = \frac{3a\sqrt{7}}{2}\)
Diện tích ∆ABC: \(S_{ABC} = \frac{1}{2}AB . BC . \sin 120^0 = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)
Thể tích lăng trụ: \(V_{ABC.A'B'C'} = AH . S_{ABC} = \frac{3a^3\sqrt{21}}{4}\)
Gọi M là trung điểm AB. Vẽ \(MK \perp BC\) tại K
Ta có AHB'M là hình chữ nhật. Suy ra \(B'M \perp (ABC) \Rightarrow BC \perp B'M \Rightarrow BC \perp (B'MK)\)
Suy ra \(BC \perp B'K\)
Vậy góc giữa (BCC'B') và (ABC) là \(\alpha = (MK;KB') = \widehat{MKB'}\)
Ta có: \(B'M = AH = \frac{3a\sqrt{7}}{2}\)
∆MKB vuông tại K: \(MK = MB .\sin 60^0 = \frac{a\sqrt{3}}{4}\)
∆MKB' vuông tại M: \(\tan \alpha = \frac{B'M}{MK} = 2\sqrt{21}\)
Vậy góc giữa (BCC'B') và (ABC) là \(\alpha = \arctan 2\sqrt{21}\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, AC = a, H là trung điểm AB, SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tam giác SAB vuông tại S. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD, SC theo a.
Câu trả lời của bạn
Dễ thấy tam giác SAB vuông cân tại S nên \(SH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a\)
Vì tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên \(S_{ABCD}=2.S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}\)
Gọi M là trung điểm SA, O là tâm hình thoi ABCD, khi đó: SC // OM \(\Rightarrow SC//(MBD)\)
\(\Rightarrow d (SC;BD) =d (SC; (MBD)) =d (C; (MBD) )\)
Vì O, H là trung điểm AC và AB nên \(d (C; (MBD)) =d (A; (MBD)) =d( H; (MBD))\)
Gọi P là trung điểm BO, khi đó HP là đường trung bình tam giác ABO nên \(HP=\frac{1}{2}AO=\frac{a}{4}\)
và HP // AO nên \(HP\perp BD\)
mặt khác: \(MH \perp (ABCD)\Rightarrow MH\perp BD\) do đó \(BD\perp (MHP)\). . Gọi K là hình chiếu của H lên MP, khi đó \(HK\perp MP,HK\perp BD\) nên d (H; (MBD)) =HK
\(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{HG^2}+\frac{1}{HP^2}=\frac{36}{a^2}+\frac{16}{a^2}=\frac{52}{a^2}\)
\(\Rightarrow HK=\frac{a}{2\sqrt{13}}\Rightarrow d(SC;BD)=\frac{a}{\sqrt{13}}\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), đường thẳng SB tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 600, M là trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM, AC.
Câu trả lời của bạn
Gọi H là trung điểm AC, theo gia thiết, ta có SH \(\perp\) (ABC), góc giữa SB và (ABCD) là \(\widehat{SBH}=60^0,SH=BH.tan60^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\frac{3a}{2}\)
\(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.S_{ABC}.SH=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{3a}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{8}\)
Gọi N là trung điểm AB. Ta có AC \(\parallel\) (SMN) nên d(SM, AC) = d(H,(SMN)). Gọi D = BH \(\cap\) MN, K là hình chiếu vuông góc của H trên SD. Ta có MN \(\perp\) BH, MN \(\perp\) SH nên MN \(\perp\) HK. Suy ra HK \(\perp\) (SMN). Do đó d (H,(SMN)) = HK.
Tam giác SHB vuông tại H , có đường cao HK, nên \(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{SH^2}+\frac{1}{HD^2}=\frac{52}{9a^2}\)
Từ đó suy ra \(d(SM,AC)=HK=\sqrt{\frac{9a^2}{52}}=\frac{3a\sqrt{13}}{26}\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa cạnh bên SC và đáy bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA.
Câu trả lời của bạn
Gọi H là trung điểm AB
- Lập luận SH \(\perp\) (ABC)
- Tính được \(SH =a \sqrt{} 15\)
Tính được \(V_{S.ABCD}=\frac{4a^3\sqrt{15}}{3}\)
Qua A vẽ đường thẳng \(\Delta\) // BD, gọi E là hình chiếu của H lên \(\Delta\) , K là hình chiếu H lên SE
Chứng minh được: d(BD,SA)=d(BD,(S,\(\Delta\)))=2d(H, (S, \(\Delta\)))=2HK
Tam giác EAH vuông cân tại E, \(HE=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{SH^2}+\frac{1}{HE^2}=\frac{31}{15a^2}\Rightarrow HK=\sqrt{\frac{31}{15}}a\)
\(\Rightarrow d(BD,SA)=2\sqrt{\frac{31}{15}}a\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC \(=a\sqrt{3}\) và mặt bên BB'C'C là hình vuông. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA', BC'.
Câu trả lời của bạn
có ai biết cách giải bài này bằng phương pháp toạ độ k ạ. cho em xin với.
+ Do lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng nên BB' là đường cao của lăng trụ
+ Vì BB' C'C là hình vuông nên \(BB'=BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a\)
+ Do đó \(V_{ABC.A'B'C}=BB'.S_{\Delta ABC}=2a.\frac{1}{2}AB.AC=a.a.a\sqrt{3}=a^3\sqrt{3}\)
+ Vì \(AA'\parallel BB'C'C\) nên d( AA', BC')= d (A, BB'C'C)
+ Trong ABC, hạ \(AH\perp BC(1)\)
+ Vì BB' \(\perp\) ABC' nên AH \(\perp\) BB' (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra AH \(\perp\) BB'C'C \(\Rightarrow AH=d(A,BB'C'C)\)
+ Xét tam giác ABC ta có \(AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{a.a.\sqrt{3}}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Vậy \(d(AA',BC')=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *