Sau khi đã tìm hiểu về khái niệm Khối đa diện ở bài trước, bài học này sẽ tiếp tục giới thiệu đến các em thế nào là một đa diện lồi, những bài tập tính toán trong chương trình phổ thông đều được xây dựng trên loại đa diện này. Bên cạnh đó bài học còn trình bày khái niệm và các loại đa diện đều.
Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo theo thứ tự được gọi là khối đa diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều.
Sau khi đã tìm hiểu về khái niệm Khối đa diện ở bài trước, bài học này sẽ tiếp tục giới thiệu đến các em thế nào là một đa diện lồi, những bài tập tính toán trong chương trình phổ thông đều được xây dựng trên loại đa diện này. Bên cạnh đó bài học còn trình bày khái niệm và các loại đa diện đều.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 1 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Khối bát diện đều là khối đa diện đều loại nào?
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Chương 1 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 18 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 18 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 18 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 18 SGK Hình học 12
Bài tập 1.6 trang 12 SBT Hình học 12
Bài tập 1.7 trang 12 SBT Hình học 12
Bài tập 1.8 trang 12 SBT Hình học 12
Bài tập 1.9 trang 12 SBT Hình học 12
Bài tập 6 trang 15 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 15 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 8 trang 15 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 9 trang 15 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 10 trang 15 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 11 trang 20 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 12 trang 20 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 13 trang 20 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 13 trang 20 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 14 trang 20 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Khối bát diện đều là khối đa diện đều loại nào?
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Hình nào dưới đây không có tâm đối xứng?
Khối đa diện đều có 12 mặt thì có bao nhiêu cạnh?
Khối 20 mặt đều có bao nhiêu cạnh?
Khối 12 mặt đều có bao nhiêu đỉnh?
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Khối lập phương là khối đa diện đều thuộc loại nào?
Các mặt của khối 20 mặt đều là những đa giác nào?
Cắt bìa theo mẫu dưới đây (h.1.23), gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều.
Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’).
Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.
Cho hình bát diện đều ABCDEF (h.1.24).
Chứng minh rằng :
a) Các đoạn thẳng AF, BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b) ABFD, AEFC và BCDE là những hình vuông.
Tính \(\sin \) của góc tạo bởi hai mặt kề nhau (tức là hai mặt có một cạnh chung) của một tứ diện đều.
Cho ba đoạn thẳng bằng nhau, đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của chúng. Chứng minh rằng các đầu mút của ba đoạn thẳng ấy là các đỉnh của một hình bát diện đều.
Cho một khối bát diện đều. Hãy chỉ ra một mặt phẳng đối xứng, một tâm đối xứng và một trục đối xứng của nó.
Cho khối bát diện đều ABCDEF (hình vẽ). Gọi O là giao điểm của AC và BD, M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và AE. Tính diện tích thiết diện tạo bởi khối bát diện đó và mặt phẳng (OMN).
Gọi Đ là phép đối xứng qua mặt phẳng (P) và a là một đường thắng nào đó. Giả sử Đ biến đường thẳng a thành đường thẳng a′. Trong trường hợp nào thì :
a) a trùng với a′;
b) a song song với a′;
c) a cắt a′;
d) a và a′ chéo nhau ?
Tìm các mặt phẳng đối xứng của các hình sau đây
a) Hình chóp tứ giác đều ;
b) Hình chóp cụt tam giác đều ;
c) Hình hộp chữ nhật mà không có mặt nào là hình vuông
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Chứng minh rằng :
a) Các hình chóp A.A′B′C′D′ và C.ABCD bằng nhau ;
b) Các hình lăng trụ ABC.A′B′C′ và AA′D′.BB′C′ bằng nhau.
Chứng minh rằng các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm là những phép dời hình.
Chứng minh rằng :
a) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là một phép tịnh tiến ;
b) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng.
Chứng minh rằng phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó.
Cho một khối tứ diện đều. Hãy chứng minh rằng:
a) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.
b) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều.
Hai đỉnh của một khối tám mặt đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối tám mặt đều. Chứng minh rằng trong khối tám mặt đều :
a) Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ;
b) Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau ;
c) Ba đường chéo bằng nhau.
Chứng minh rằng :
a) Tâm các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối tám mặt đều ;
b) Tâm cảc mặt của một khối tám mặt đều là các đỉnh của một khối lập phương.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Tìm ví dụ về khối đa diện lồi và khối đa diện không lồi trong thực tế.
Câu trả lời của bạn
Khối đa diện lồi trong thực tế: kim tự tháp Ai Cập, viên kim cương, rubic
Khối đa diện không lồi trong thực tế: cái bàn
Câu trả lời của bạn
ABCD là tứ diện đều ⇒ tam giác ABC đều ⇒ AB = BC = CA = a
I, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB, BC nên ta có IE, IF, EF là các đường trung bình của tam giác ABC
\(\eqalign{
& \Rightarrow IE = {1 \over 2}BC = {1 \over 2}a \cr
& {\rm{IF = }}{1 \over 2}AB = {1 \over 2}a \cr
& {\rm{EF = }}{1 \over 2}AC = {1 \over 2}a \cr} \)
Nên tam giác IEF là tam giác đều cạnh bằng \({a \over 2}\)
Chứng minh tương tự ta có: IFM, IMN, INE, JEF, JFM, JMN và JNE là những tam giác đều cạnh bằng \({a \over 2}\)
Câu trả lời của bạn
Khối bát diện đều có 6 đỉnh và 12 cạnh.
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương cạnh a nên các mặt là các hình vuông cạnh a
Tứ diện AB’CD’ có các cạnh là các đường chéo của các mặt bên hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ nên tứ diện AB’CD’ có các cạnh bằng nhau
⇒ AB’CD’ là tứ diện đều
Cạnh của tứ diện đều AB’CD’ bằng độ dài đường chéo của hình vuông cạnh a và bằng a√2.
Cho hình bát diện đều \(ABCDEF\)
Chứng minh rằng: Các đoạn thẳng \(AF, BD\) và \(CE\) đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Câu trả lời của bạn
Do \(B, C, D, E\) cách đều \(A\) và \(F\) nên chúng đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng trung trực của \(AF\)).
Tương tự, \(A, B, F, D\) đồng phẳng và \(A, C, F, E\) đồng phẳng.
Gọi \(I\) là giao của \((AF)\) với \((BCDE)\). Khi đó \(B, I, D\) là những điểm chung của hai mặt phẳng \((BCDE)\) và \((ABFD)\) nên chúng thẳng hàng. Tương tự, \(E, I , C\) thẳng hàng.
Vậy \(AF, BD, CE\) đồng quy tại \(I\).
Vì \(BCDE\) là hình thoi nên \(EC\) vuông góc với \(BC\) và cắt \(BC\) tại \(I\) là trung điểm của mỗi đường. \(I\) là trung điểm của \(AF\) và \(AF\) vuông góc với \(BD\) và \(EC\), do đó các đoạn thẳng \(AF, BD\), và \(CE\) đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.
Chứng minh tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(A’, B’, C’, D’\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác đều \(BCD, ACD, ABD, ABC\).
Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\):
Ta có: \({{M{\rm{D}}'} \over {MA}} = {{MA'} \over {M{\rm{D}}}} = {1 \over 3}\) (tính chất đường trung tuyến).
\( \Rightarrow A'D'//A{\rm{D}}\) (định lý Ta-lét).
và \(A'D' = {1 \over 3}A{\rm{D}} = {a \over 3}\)
Tương tự \(A'B' = B'C' = C'A' = B'D' = C'D'\) \( = {a \over 3}\)
Vậy \(A’B’C’D’\) là tứ diện đều.
Cho hình lập phương \((H)\). Gọi \((H’)\) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của \((H)\). Tính tỉ số diện tích toàn phần của \((H)\) và \((H’)\).
Câu trả lời của bạn
Giả sử khối lập phương có cạnh bằng \(a\). Khi đó diện tích toàn phần của nó là: \(S_1 = 6a^2\)
Gọi \(M\) là tâm của hình vuông \(ABCD\); \(Q\) là tâm hình vuông \(ADD'A'\); \(P\) là tâm hình vuông \(ABB'A'\); \(N\) là tâm hình vuông \(BCC'B'\); \(E\) là tâm hình vuông \(DCC'D'\) và \(F\) là tâm hình vuông \(A'B'C'D'\).
Xét bát diện đều thu được, khi đó diện tích toàn phần của nó là \(8\) lần diện tích tam giác đều \(MQE\) (hình vẽ)
Xét tam giác \(ACD’\), ta có \(M, Q\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(AD’\) nên \(MQ\) là đường trung bình của tam giác \(ACD’\), do đó \(MQ = \displaystyle{1 \over 2}C{\rm{D}}' = \displaystyle{{a\sqrt 2} \over 2} \)
Ta có \({S_{MQE}} = \displaystyle{1 \over 2}{\left( {\displaystyle{{a\sqrt 2} \over 2} } \right)^2}.{{\sqrt 3 } \over 2} = {{\sqrt 3 {a^2}} \over 8} \)
Diện tích xung quanh của bát diện đều là: \({S_2} = 8.\displaystyle{{\sqrt 3 {a^2}} \over 8} = {a^2}\sqrt 3 \)
Do đó: \(\displaystyle{{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{6{{\rm{a}}^2}} \over {a^2\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \)
Chứng minh rằng phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó.
Câu trả lời của bạn
CMR "Phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó"
Giả sử \({V_{(O,k)}}\) là phép vị tự tâm O tỉ số \(k\) biến đường thẳng \(a\) thành đường thẳng \(a’\).
Lấy \(M,N \in a\) và \({V_{(O,k)}}\left( M \right) = M';\) \({V_{(O,k)}}\left( N \right) = N'\) thì \(M',N' \in a'\).
Ta có :
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \\
\overrightarrow {ON'} = k\overrightarrow {ON} \\
\Rightarrow \overrightarrow {ON'} - \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {ON} - k\overrightarrow {OM} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {ON'} - \overrightarrow {OM'} = k\left( {\overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} } \right)\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN}
\end{array}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} \) cùng phương với \(\overrightarrow {M'N'} \)
+) Nếu k=1 và O ∈ a thì \(\overrightarrow {OM'} = \overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON'} = \overrightarrow {ON} \) nên M trùng M', N trùng N' hay a trùng a'.
+) Nếu \(k\ne 1\) và O ∉ a thì M'N'//MN nên a'//a.
Do đó hai đường thẳng \(a\) và \(a’\) song song hoặc trùng nhau.
Có thể chia (H1) thành bao nhiêu khối lập phương bằng (H0) ?
Câu trả lời của bạn
Có thể chia (H1 ) thành 5 khối lập phương (H0 )
Cho một khối tứ diện đều. Hãy chứng minh rằng: Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, CD, AC, BD, AD, BC\) của khối tứ diện đều \(ABCD\).
Xét tam giác ABC có M, P, S lần lượt là trung điểm AB, AC, BC nên MP, PS, SM là đường trung bình của tam giác
Suy ra \(MP = \frac{1}{2}BC\), \(PS = \frac{1}{2}AB,SM = \frac{1}{2}AC\).
Mà tứ diện ABCD đều nên AB=BC=CA nên MP=PS=SM hay tma giác MPS đều.
Tương tự ta có các tam giác SPN, SQN, SQM, RPN, RNQ, RQM, RPM đều.
Khi đó, tám tam giác đều đó làm thành khối đa diện với các đỉnh là \(M, N, P, Q, R, S\) mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của bốn cạnh.
Vậy đó là khối tám mặt đều.
Cho một khối tứ diện đều. Hãy chứng minh rằng: Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(A’, B’, C’, D’\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(BCD, CDA, BDA, ABC\) của tứ diện đều \(ABCD\) có trọng tâm \(G\).
Ta có \(\overrightarrow {GA'} = - {1 \over 3}\overrightarrow {GA} \)
\(\overrightarrow {GB'} = - {1 \over 3}\overrightarrow {GB} \)
\(\overrightarrow {GC'} = - {1 \over 3}\overrightarrow {GC} \)
\(\overrightarrow {GD'} = - {1 \over 3}\overrightarrow {GD} \)
Gọi \({V_{\left( {G;{{ - 1} \over 3}} \right)}}\) là phép vị tự tâm \(G\) tỉ số \( - {1 \over 3}\) ta có \(A’, B’, C’, D’\) lần lượt là ảnh của \(A, B, C, D\) qua phép vị tự \(V\).
Từ đó suy ra phép vị tự tâm G tỉ số \(- {1 \over 3}\) biến tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'D'.
Do đó nếu \(ABCD\) là tứ diện đều thì \(A’B’C’D’\) cũng là tứ diện đều.
Chứng minh rằng tâm các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối tám mặt đều ;
Câu trả lời của bạn
Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là tâm của các mặt ABCD, A’B’C’D’, ABB’A’, CDD’C’, BCC’B’, ADD’A’ của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’.
Ta có, M là trung điểm AC và P là trung điểm AB'.
Do đó MP là đường trung bình của tam giác ACB' nên \(MP = \frac{1}{2}B'C = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Tương tự MR=MQ=MS=NP=NR=NQ=NS\(= \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Khi đó tám tam giác MPR, MRQ, MQS, MSP, NPR, NRQ, NQS, NSP là những tam giác đều, chúng làm thành khối đa diện với các đỉnh là \(M, N, P, Q, R, S\) mà mỗi đỉnh có \(4\) cạnh.
Vậy đó là khối tám mặt đều.
Hai đỉnh của một khối tám mặt đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối tám mặt đều. Chứng minh rằng trong khối tám mặt đều ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Câu trả lời của bạn
Giả sử \(SABCDS’\) là khối tám mặt đều. Ba đường chéo của nó là \(SS’, AC\) và \(BD\).
Bốn điểm \(A, B, C, D\) cách đều hai điểm \(S\) và \(S’\) nên cùng nằm trên một mặt phẳng trung trực của SS'.
Mà AB=BC=CD=DA nên ABCD là hình thoi.
Do đó AC, BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Tương tự ta cũng có ASCS' là hình thoi nên đường chéo AC, SS' cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Vậy AC, BD, SS' cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Câu trả lời của bạn
Hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có 3 mặt đối xứng, đó là các mặt phẳng trung trực AB, AD, AA'.
Câu trả lời của bạn
A. Hình hộp
B. Tứ diện đều
C. Hình lăng trụ tứ giác đều
D. Hình lập phương
Câu trả lời của bạn
đáp án B
Câu trả lời của bạn
có 3 trực đối xứng
Tứ diện đều 3 trục đối xứng
Câu trả lời của bạn
có 4 mặt phẳng đối xứng
Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng đó là:
(SAC), (SBD), (SMN), (SIJ) , với M, N, I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD, DA, BC
Có 4 mặt phảng đối xứng
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *