Hỏi đáp Lớp 11

Điều kiện: \(\tan x\neq \sqrt{3}\; \; (*)\)

Với điều kiện (*), pt \(\Leftrightarrow \sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x-2\sin x=0\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x=\sin x\)

\(\Leftrightarrow \sin (2x-\frac{\pi}{6})=\sin x\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{7\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\; \; \; (k\in Z)\)

Kiểm tra các nghiệm đều thỏa mãn (*). Vậy pt \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{7\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3} \end{matrix},\; \; \; k\in Z\)

\(cos2x(cosx+sinx-1)=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} cos2x=0\\ sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\)
+ Với \(cos2x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}(k\in Z)\)
+ Với \(sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{matrix}(k\in Z)\)

\(\sin 2x-2\sqrt{3}\cos ^{2}x-2\cos x=0\)

\(\Leftrightarrow 2\cos x(\sin x-\sqrt{3}\cos x-1)=0\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} \cos x=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\; \; \; \; \; \; \; \; \; (1)\\\sin x-\sqrt{3}\cos x-1=0\; \; (2) \end{matrix}\)

\((1)\Leftrightarrow \cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in Z)\)

\((2)\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin (x-\frac{\pi}{3})=\sin \frac{\pi}{6}\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\frac{7\pi}{6}+k2\pi \end{matrix}(k\in Z)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=\frac{7\pi}{6}+k2\pi;x=\frac{\pi}{2}+k2\pi,(k\in Z).\)

Phương trình đã cho tương đương

\(sinx-\sqrt{3}cosx=2(2cos^2x-1)\Leftrightarrow sinx-\sqrt{3}cosx=2cos2x\)
\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}cosx-\frac{1}{2}sinx=-cos2x\Leftrightarrow cos(x+\frac{\pi }{6})\) = \(cos(\pi -2x)\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{5\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}\) hoặc \(x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi\) với \(k\in Z\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x=\frac{5\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}\) hoặc \(x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi\) với \(k\in Z\)

Điều kiện: \(sin\neq -1\)
PT tương đương với \(cosx=cos^2x\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} cosx=0\\ cosx=1 \end{matrix}\)
Hay \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} sinx=1\\ sinx=-1(l)\\ cosx=1 \end{matrix}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là: \(x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ;x=k2\pi,(k\in Z)\)

\((sinx+cosx)\left (sinx-\sqrt{3}cosx+1 \right )=0\)
\(tanx=-1, sin\left ( x-\frac{\pi }{3} \right )= sin\left ( -\frac{\pi }{6} \right )\)
\(\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi,x=\frac{\pi }{6}+k2\pi, x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi\)

PT \(\Leftrightarrow (\sin x+\cos x)^{2}.(\cos x-\sin x)=\cos 2x\)

\(\Leftrightarrow (\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)(\sin x+\cos x)=\cos 2x\)

\(\Leftrightarrow \cos2x(\sin x+\cos x)-\cos 2x=0\)

\(\Leftrightarrow \cos2x(\sin x+\cos x-1)=0\)

\(\Leftrightarrow \lbrack\begin{matrix}\cos 2x=0 \\\sin x+\cos x=1 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix}2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ \sin (x+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix}2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4} +k2\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \\ x=2k\pi \\x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{matrix}k\in Z\)

Phương trình ban đầu tương đương: \(1+cos\left ( \frac{\pi }{2}-4x \right )+\sqrt{3}cos4x=cos^2x-1\)
\(\Leftrightarrow sin4x+\sqrt{3}cos4x=4cos^2x-1\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}sin4x+\frac{\sqrt{3}}{1}cos4x=2cos^2x-1\)
\(\Leftrightarrow cos\left ( 4x-\frac{\pi }{4} \right )=cos2x\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{36}+\frac{k\pi}{3} \end{matrix}\)

\(PT\Leftrightarrow (sinx-cosx)(sinx+\sqrt{3}cosx-1)=0\)
Giải được từng phương trình \(sinx-cosx=0\) và \(sinx+\sqrt{3}cosx=1\)

Phương trình đã cho tương đương với \(2cosx.cosx = 2cos^2x \Leftrightarrow 2cosx(cos2x - cosx) = 0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} cosx=0\\ cos2x=cosx \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k\frac{2\pi }{3} \end{matrix}\)