Hỏi đáp Lớp 11

Tập xác định R
\((*)\Leftrightarrow \sqrt{3}(1+cos2x)+3sin2x=3+\sqrt{3}\Leftrightarrow \sqrt{3cos2x+3sin2x=3}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow sin\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\ 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}+k2\pi \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi}{12}+k\pi\\ x=\frac{\pi}{4}+k\pi \end{matrix} \ \ k\in Z\)

- Ta có phương trình \(cos2x-3sinx-2=0\Leftrightarrow 2sin^2+3sinx+1=0\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} sinx=-1\\ sinx=-\frac{1}{2} \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\\ x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ x=\frac{7\pi}{2}+k2\pi \end{matrix}, k\in Z\)
- KL: Phương trình có ba họ nghiệm…

\(\cos ^{2}x+\cos ^{2}2x+\cos ^{2}3x=\frac{3}{2}\) \(\Leftrightarrow \frac{1}{2}(1+\cos 2x)+\frac{1}{2}(1+\cos 4x)+\frac{1}{2}(1+\cos 6x)=\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow (\cos 6x+ \cos 2x)+\cos 4x=0\Leftrightarrow 2\cos 4x.\cos 2x+\cos 4x=0\)

\(\Leftrightarrow \cos 4x(2\cos 2x+1)=0\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} \cos 4x=0\\ \cos 2x=-\frac{1}{2} \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{4}\\ x=\pm \frac{\pi}{3}+k\pi \end{matrix}\)

Phương trình tương đương với \(\sin ^{2}x-\sqrt{3}\sin x\cos x=0\)

\(\Leftrightarrow \sin x(\sin x-\sqrt{3}\cos x)=0\)

\(\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi\)

\(\sin x-\sqrt{3}\cos x=0\Leftrightarrow \tan x=\sqrt{3}\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3}+k\pi\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là \(x=k\pi;x=\frac{\pi}{3}+k\pi\)

\(\sin ^{3}x+\cos ^{4}x=1\Leftrightarrow \sin ^{3}x+\cos ^{4}x=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x\)

\(\Leftrightarrow \sin ^{3}x-\sin ^{2}x+\cos ^{4}x-\cos ^{2}x=0\)

\(\Leftrightarrow \sin ^{2}x(\sin x-1)+\cos ^{2}x(\cos ^{2}x-1)=0\)

\(\Leftrightarrow \sin ^{2}x(\sin x-1)-(1-\sin ^{2}x)\sin ^{2}x=0\)

\(\Leftrightarrow \big \lbrack\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \sin ^{2}x=0\\ \: \sin ^{2}x+\sin x-2=0 \end{matrix}\) \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \sin x=0\\ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \sin x=1 \\ \: \sin x=-2\; (l) \end{matrix}\) \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=k\pi\\ x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \end{matrix}\)

Vậy phương trình có nghiệm: \(x=k\pi; x=\frac{\pi}{2}+k2\pi.\)

TXĐ D = R
Phương trình đã cho \(\Leftrightarrow (2sinx-1)(cosx+3)=0\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} sinx=\frac{1}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ cosx=-3 \ \ (vo \ \ nghiem) \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ x=\frac{5\pi}{6}+l2\pi \end{matrix}\)  , với k, l là số nguyên. Kết luận.

ĐK: \(\sin 2x\neq 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sin x\neq 0\\\cos x\neq 0 \end{matrix}\right.\)

Phương trình trở thành:

\(\frac{2\sin x(3\cos x-1)}{2\sin x.\cos ^{2}x}=2\)

\(\Leftrightarrow 3\cos x-1=2\cos ^{2}x\; (Do \; \sin x\neq 0)\)

\(\Leftrightarrow 2\cos ^{2}x-3\cos x+1=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} \cos x=1\\\cos x=\frac{1}{2} \end{matrix}\)

*) \(\cos x=1\Rightarrow \sin x=0\; (l)\)

*) \(\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+k2\pi\; (k\in Z).\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=\pm \frac{\pi}{3}+k2\pi\)

\(\sqrt{2}\sin 2x-\sqrt{6}\cos x-2\sin x+\sqrt{3}=0\)

\(\Leftrightarrow (2\sin x-\sqrt{3})(\sqrt{2}\cos x-1)=0\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 2\sin x=\sqrt{3}\\\sqrt{2}\cos x=1 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\)

+ Với \(\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi \end{matrix}\)

+ Với \(\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi}{4}+k2\pi\\x=-\frac{\pi}{4}+k2\pi \end{matrix}\)

Vậy...

+ Điều kiện: \(\cos x \neq -\frac{1}{2}\Leftrightarrow x \neq \frac{2\pi}{3}+k2\pi; k \in Z\)

\(Pt \Leftrightarrow \frac{(1- \sin x)(4 \sin x \cos x + 6 \cos x+ 2 \sin x + 3)}{2 \cos x +1}=2\)

\(\Leftrightarrow \frac{(1- \sin x)(2 \sin x +3)(2 \cos x+1)}{2 \cos x+1}=2\)

\(\Leftrightarrow (1- \sin x)(2 \sin x +3)=2\Leftrightarrow 2 \sin ^{2}x+ \sin x-1=0\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} \sin x =-1 \\ \sin x=\frac{1}{2} \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi \\ x=\frac{\pi}{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi \end{matrix}\) thỏa mãn điều kiện

Phương trình đã cho tương đương với 
\(2cos2xcosx=2\sqrt{3}cos2xsinx\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} cos2x=0\\ cosx=\sqrt{3}sinx \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi}{2}\\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{matrix}(k\in Z)\)