Nội dung chương Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu xoay quanh việc tính thể tích, diện tích của các vật thể tròn xoay dạng nón, trụ và hình cầu, những vật thể quen thuộc và khá phổ biến trong đời sống. Nội dung bài ôn tập chương sẽ giúp các em Tổng hợp lại kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng giải bài tập, giúp nâng cao chất lượng, hiệu quả học tập.
Cho hình nón có đường sinh \(l\), bán kính đáy \(R\), chiều cao \(h\), ta có các công thức sau:
Cho tam giác ABC vuông tại A có AC=3a, AB=4a. Cho tam giác này quay quanh đường thẳng BC, tính thể tích V của khối tròn xoay thu được.
Kẻ đường cao AH của ∆ABC
Khi quay tam giác ABC quanh đường thẳng BC miền tam giác ABC sinh ra hai khối nón chung đáy có bán kính đáy là R = AH và chiều cao lần lượt là HB và HC.
Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{16{a^2}}} + \frac{1}{{9{a^2}}} = \frac{{25}}{{144{a^2}}}.\)
Suy ra \(A{H^2} = \frac{{25}}{{144{a^2}}}.\)
Mặt khác: \(HB + HC = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 5a.\)
Thể tích khối tròn xoay sinh ra là:
\(V = {V_1} + {V_2} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.\left( {HB + HC} \right) = \frac{1}{3}\pi .\frac{{144{a^2}}}{{25}}.5a = \frac{{144\pi {a^2}}}{{15}}.\)
Cho một cái bể nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2m, 3m, 2m lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của lòng trong đựng nước của bể. Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởi một cái gáo hình trụ có chiều cao là 5 cm bà bán kính đường tròn đáy là 4 cm. Trung bình một ngày được múc ra 170 gáo nước để sử dụng (Biết mỗi lần múc là múc đầy gáo). Hỏi đến ngày thứ bao nhiêu bể sẽ hết nước?
Thể tích nước được đựng đầy trong hình bể là là thể tích của hình hộp chữ nhật: \(V = 2.3.2 = 12\left( {{m^3}} \right).\)
Thể tích nước đựng đầy trong một gáo là: \({V_g} = \pi {4^2}.5 = 80\pi \left( {c{m^3}} \right) = \frac{\pi }{{12500}}\left( {{m^3}} \right).\)
Mội ngày bể được múc ra 170 gáo nước tức trong một ngày lượng được được lấy ra là: \({V_m} = 170.{V_g} = \frac{{17}}{{1250}}\pi \left( {{m^3}} \right)\).
Ta có: \(\frac{V}{{{V_m}}} = \frac{{12}}{{\frac{{17}}{{1250}}\pi }} \simeq 280,8616643\)
Vậy đến ngày thứ 281 bể sẽ hết nước.
Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng \(\frac{3}{4}\) chiều cao của nó. Tìm V1, V2 lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén.
Gọi chiều cao của chiếc chén hình trụ là 2h và bán kính đường tròn đáy của hình trụ là r.
Gọi O là tâm của quả bóng bàn, khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng thiết diện bằng \(\frac{h}{2}\)
Bán kính đường tròn đáy hình trụ là \(AI = \sqrt {O{A^2} - O{I^2}} = \frac{{h\sqrt 3 }}{2}.\)
Thể tích của quả bóng bàn là \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {h^3} = \frac{{4\pi {h^3}}}{3}.\)
Thể tích của chiếc chén là: \({V_2} = \pi {r^2}{h_c} = \pi {\left( {\frac{{h\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}.2h = \frac{{3\pi {h^3}}}{2}.\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC=2a. SA vuông góc (ABC) và \(SA = 2a\sqrt 2\). Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Gọi M là trung điểm của BC.
Do ABC là tam giác vuông cân tại A nên: \(AB = AC = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 ;AM = \frac{{BC}}{2} = a\)
Dựng đường thẳng qua M song song với SA và cắt mặt phẳng trung trực của SA tại 0.
Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Do ABCD là hình chữ nhật nên: \(OM=AE=a \sqrt 2.\)
Mặc khác: \(R = OA = \sqrt {O{M^2} + M{A^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 3\)
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = 4\pi {a^3}\sqrt 3 .\)
Nội dung chương Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu xoay quanh việc tính thể tích, diện tích của các vật thể tròn xoay dạng nón, trụ và hình cầu, những vật thể quen thuộc và khá phổ biến trong đời sống. Nội dung bài ôn tập chương sẽ giúp các em Tổng hợp lại kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng giải bài tập, giúp nâng cao chất lượng, hiệu quả học tập.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Ôn tập chương 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Tính độ dài đường cao h của hình nón.
Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính thể tích V của khối nón sinh ra khi cho tam giác ABC quay xung quanh trục AH.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Tính diện tích xung quanh \(S_{xq}\) của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A’B’C’D’ và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Ôn tập chương 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 1 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 52 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 52 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 52 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 52 SGK Hình học 12
Bài tập 11 trang 53 SGK Hình học 12
Bài tập 12 trang 53 SGK Hình học 12
Bài tập 13 trang 53 SGK Hình học 12
Bài tập 14 trang 53 SGK Hình học 12
Bài tập 15 trang 54 SGK Hình học 12
Bài tập 16 trang 54 SGK Hình học 12
Bài tập 17 trang 54 SGK Hình học 12
Bài tập 18 trang 54 SGK Hình học 12
Bài tập 2.25 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.26 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.27 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.28 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.29 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.30 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.31 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.32 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.33 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.34 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.35 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.36 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.37 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 3.38 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.39 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.40 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.41 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.42 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.43 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.44 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.45 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.46 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.47 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.48 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.49 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 1 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 1 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 8 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 9 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 10 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 11 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 12 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 13 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 14 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 15 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 24 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 25 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 26 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Tính độ dài đường cao h của hình nón.
Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính thể tích V của khối nón sinh ra khi cho tam giác ABC quay xung quanh trục AH.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Tính diện tích xung quanh \(S_{xq}\) của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A’B’C’D’ và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón, các kích thước cho trên hình vẽ (đơn vị đo là dm). Tính thể tích V của khối dụng cụ đó.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có \(AB=AD=2a, AA' = 3\sqrt 2 a.\) Tính điện tích toàn phần S của hình trụ có hai đáy lần lượt ngoại tiếp hai đáy của hình hộp chữ nhật đã cho.
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có độ dài đáy bằng 3a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông có chu vi là 8a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
Gọi \(V_1\) là thể tích giữa khối lập phương và \(V_2\) là thể tích khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\)
Cho khối cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có 3 kích thước lần lượt là a, 2a, 2a. Tính thể tích V của khối cầu.
Có một hộp nhựa hình lập phương người ta bỏ vào hộp đó 1 quả bóng đá. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}},\) trong đó V1 là tổng thế tích của quả bóng đá, V2 là thể tích của chiếc hộp đựng bóng. Biết rằng đường tròn lớn trên quả bóng có thể nội tiếp bốn mặt hình vuông của chiếc hộp.
Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu sao cho (ACB)=90o.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
a) Đường tròn qua ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu.
b) AB là một đường kính của mặt cầu đã cho.
c) AB không phải là đường kính của mặt cầu.
d) AB là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng (ABC).
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Biết AB = AD = a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc BDA quanh cạnh AB.
Một hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Chứng minh rằng hình chóp đó nội tiếp được trong một mặt cầu (các đỉnh của hình chóp nằm trên mặt cầu).
Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, SC. Mặt cầu này còn tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).
a) Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính độ dài đoạn AH.
b) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH.
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên ∆ lấy điểm S sao cho OS = a/2 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Cho hình trụ có bán kính r, trục OO' = 2r và mặt cầu có đường kính OO'.
a) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.
b) Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho.
Cho hình lập phương \(\displaystyle ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(\displaystyle a\). Gọi \(\displaystyle S\) là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông \(\displaystyle ABCD\) và \(\displaystyle A'B'C'D'\). Diện tích \(\displaystyle S\) là:
(A) \(\displaystyle πa^2\)
(B) \(\displaystyle πa^2\sqrt 2 \)
(C) \(\displaystyle πa^2\sqrt 3 \)
(D) \(\displaystyle {{\pi {{\rm{a}}^2}\sqrt 2 } \over 2}\).
Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC' của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh b khi quay quanh trục AA'. Diện tích S là:
(A) \(\pi b^2\)
(B) \(\pi b^2 \sqrt{2}\)
(C) \(\pi b^2 \sqrt{3}\)
(D) \(\pi b^2 \sqrt{6}\)
Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, có SA vuông góc với (ABC) và có SA = a, AB = b và AC = c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A,B,C,S có bán kính r bằng
(A) \(\frac{2(a+b+c)}{3}\) (B) \(2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
(C) \(\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) (D) \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
Cho hai điểm cố định \(A, B\) và một điểm \(M\) di động trong không gian nhưng luôn thoả mãn điều kiện \(\widehat {MAB} = α\) với \(0^0<α<90^0\). Khi đó điểm \(M\) thuộc mặt nào trong các mặt sau:
(A) Mặt nón
(B) Mặt trụ;
(C) Mặt cầu
(D) Mặt phẳng.
Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) vô số
Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu:
(A) Hình chóp tam giác (tứ diện);
(B) Hình chóp ngũ giác đều;
(C) Hình chóp tứ giác;
(D) Hình hộp chữ nhật
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Khi quay các cạnh tứ diện đó quanh trục là cạnh AB, có bao nhiêu hình nón được tạo thành?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a. Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông A'B'C'D'. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:
(A) \(\frac{\pi a^2 \sqrt{3}}{3}\)
(B) \(\frac{\pi a^2 \sqrt{2}}{2}\)
(C) \(\frac{\pi a^2 \sqrt{3}}{2}\)
(D) \(\frac{\pi a^2 \sqrt{6}}{2}\)
Cho tam giác đều ABC cạnh a quay quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện tích xung quanh hình nón đó là:
(A) \(\pi a^2\)
(B) \(2 \pi a^2\)
(C) \(\frac{1}{2} \pi a^2\)
(D) \(\frac{3}{4} \pi a^2\)
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào SAI?
(A) Mặt trụ và mặt nón có chứa các đường thẳng;
(B) Mọi hình chóp luôn nội tiếp trong mặt cầu;
(C) Có vô số mặt phẳng cắt một mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau;
(D) Luôn luôn có hai đường tròn có bán kính khác nhau cùng nằm trên một mặt nón.
Cho hình trụ có bán kính r; O, O' là tâm của hai đáy OO' = 2r. Một mặt cầu (S) tiếp xúc với đáy của hình trụ tại O và O'. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
(A) Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ;
(B) Diện tích mặt cầy bằng \(\frac{2}{3}\) diện tích toàn phần của hình trụ;
(C) Thể tích khối cầu bằng \(\frac{3}{4}\) thể tích khối trụ;
(D) Thể tích khối cầu bằng \(\frac{2}{3}\) thể tích khối trụ;
Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là a, b, c. Khi đó bán kính r của mặt cầu được tính theo công thức:
(A) \(r=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
(B) \(r=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
(C) \(r=\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)}\)
(D) \(r=\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{3}\)
Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a. Thể tích khối trụ đó là:
(A) \(\frac{1}{2} \pi a^3\)
(B) \(\frac{1}{4} \pi a^3\)
(C) \(\frac{1}{3} \pi a^3\)
(D) \(\pi a^3\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho hai đường tròn \((O; r)\) và \((O’; r’)\) cắt nhau tại hai điểm \(A, B\) và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt \((P)\) và \((P’)\). Chứng minh rằng có mặt cầu \((S)\) đi qua hai đường tròn đó.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có: \(OM \bot AB\) và \(O'M \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {OO'M} \right)\)
Gọi \(\Delta ,\,\Delta '\) lần lượt là trục của đường tròn \((O; r)\) và \((O’; r’)\) thì \(AB \bot \Delta \,\,,\,\,AB \bot \Delta '\). Do đó \(\Delta ,\,\Delta '\) cùng nằm trong mp \((OO’M)\).
Gọi \(I\) là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\) thì \(I\) là tâm của mặt cầu \((S)\) đi qua hai đường tròn \((O; r)\) và \((O’; r’)\) và \(S\) có bán kính \(R = IA\).
Cho hình nón \((N)\) sinh bởi tam giác đều cạnh \(a\) khi quay quanh một đường cao của tam giác đó. Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón \((N)\) thì có bán kính bằng bao nhiêu?
Câu trả lời của bạn
Hình nón \((N)\) có bán kính đáy \(r = BH = {1 \over 2}a\), chiều cao \(h = AH = {{a\sqrt 3 } \over 2}\) và đường sinh \(l = AB = a\).
Diện tích toàn phần
\({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi {{{a^2}} \over 2} + \pi {{{a^2}} \over 4} = {3 \over 4}\pi {a^2}\)
Thể tích \(V = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {1 \over 3}\pi {{{a^2}} \over 4}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{\sqrt 3 } \over {24}}\pi {a^3}\)
a) Nếu mặt cầu có bán kính \(R\) thì diện tích bằng \(4\pi {R^2}\) nên \(4\pi {R^2} = {3 \over 4}\pi {a^2} \Rightarrow R = {{a\sqrt 3 } \over 4}\)
Một hình thang cân \(ABCD\) có các cạnh đáy \(AB = 2a, BD = 4a\), cạnh bên \(AD = BC = 3a\). Hãy tính thể tích và diện tích toàn phần của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(S\) là giao điểm của hai cạnh bên \(AD\) và \(BC\) của hình thang.
Đường cao \(SO\) của tam giác cân \(SCD\) là trục đối xứng của hình thang, do đó \(SO\) cắt \(AB\) tại trung điểm \(O’\) của \(AB\).
Khi quay quanh \(SO\), tam giác \(SCD\) sinh ra khối nón \(\left( {{N_1}} \right)\) có thể tích \({V_1}\), tam giác \(SAB\) sinh ra khối nón \(\left( {{N_2}} \right)\) có thể tích \({V_2}\), còn hình thang \(ABCD\) sinh ra một khối tròn xoay \(\left( H \right)\) có thể tích \(V = {V_1} - {V_2}\).
Vì \(AB = {1 \over 2}CD\) nên \(AB\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\) nên \(SB = BC = 3a\).
Ta có \(SO' = \sqrt {S{B^2} - O'{B^2}} \) \( = \sqrt {9{a^2} - {a^2}} = 2\sqrt 2 a\)
\(\eqalign{
& SO = 2SO' = 4\sqrt 2 a \cr
& V = {V_1} - {V_2}\cr& = {1 \over 3}\pi O{C^2}.SO - {1 \over 3}\pi O'{B^2}.SO' \cr&= {1 \over 3}\pi 4{a^2}.SO - {1 \over 3}\pi {a^2}SO' \cr
& = {1 \over 3}\pi {a^2}\left( {4SO - SO'} \right) \cr&= {1 \over 3}\pi {a^2}\left( {16\sqrt 2 a - 2\sqrt 2 a} \right) \cr&= {{14\sqrt 2 } \over 3}\pi {a^3} \cr} \)
Diện tích xung quanh của khối tròn xoay \((H)\) là:
\(\eqalign{
& {S_{xq}} = {S_1} - {S_2} \cr&= \pi OC.SC - \pi O'B.SB \cr& = \pi .2a.6a - \pi .a.3a= 9\pi {a^2} \cr
& {S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} \cr& = 9\pi {a^2} + \pi {a^2} + 4\pi {a^2} = 14\pi {a^2} \cr} \)
A. Mọi hình hộp có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Mọi hình hộp đứng có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Mọi hình hộp có mặt bên vuông góc với đáy đều có mặt cầu ngoại tiếp.
D. Mọi hình hộp chữ nhật đều có mặt cầu ngoại tiếp.
Câu trả lời của bạn
Đáp án A, B, C: Sai vì hình hộp có đáy không nội tiếp đường tròn thì không có mặt cầu ngoại tiếp.
Đáp án D đúng vì hình chữ nhật có đường tròn ngoại tiếp.
Chọn (D).
(A) Hình hộp có đáy là hình vuông có thể tích lớn nhất.
(B) Hình lập phương có thể tích lớn nhất.
(C) Hình hộp có kích thước tạo thành cấp số cộng công sai khác 0 có thể tích lớn nhất.
(D) Hình hộp có kích thước tạo thành cấp số nhân công bội khác 1 có thể tích lớn nhất.
Câu trả lời của bạn
Hình hộp nội tiếp một mặt cầu là hình hộp chữ nhật có đường chéo \(d = 2R\). Gọi \(x, y, z\) là các kích thước của hình hộp chữ nhật.
Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {d^2} = 4{R^2}\)
Áp dụng BĐT Cô – si cho 3 số dương ta có:
\(4{R^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} \) \(\ge 3\root 3 \of {{x^2}{y^2}{z^2}} = 3\root 3 \of {{V^2}} \)
\(\Rightarrow {V^2} \le {\left( {{{4{R^2}} \over 3}} \right)^3}\)
\(V\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(x = y = z\).
Chọn (B).
(A) \({{8\sqrt 3 } \over 9}\)
(B) \({8 \over 3}\)
(C) 1
(D) \(2\sqrt 3 \)
Câu trả lời của bạn
Giả sử bán kính mặt cầu là \(R\) và cạnh hình lập phương là a thì thể tích khối cầu là \(V = {4 \over 3}\pi {R^3} \Rightarrow R = 1\)
Mà \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow 1 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow a = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)
Thể tích khối lập phương là \(V = {a^3} = {\left( {{2 \over {\sqrt 3 }}} \right)^3} = {8 \over {3\sqrt 3 }} = {{8\sqrt 3 } \over 9}\).
Chọn (A).
(A) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và bán kính bằng \({{a\sqrt 2 } \over 2}\).
(B) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng \({{a\sqrt 2 } \over 4}\).
(C) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng \({{a\sqrt 2 } \over 2}\).
(D) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và bán kính bằng \({{a\sqrt 2 } \over 4}\).
Câu trả lời của bạn
Gọi \(G\) là trọng tâm tứ diện \(ABCD, AA’\) là đường cao xuất phát từ \(A\) của tứ diện \(ABCD\). Ta có:
\(\eqalign{
& AA' = \sqrt {A{B^2} - BA{'^2}} \cr&= \sqrt {{a^2} - {{{a^2}} \over 3}} = {{a\sqrt 6 } \over 3} \cr
& \Rightarrow GA = GB = GC = GD = {3 \over 4}AA' \cr&= {{a\sqrt 6 } \over 4} \cr} \)
Ta có: \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 2{a^2}\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GM} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GM} } \right)^2} \cr&+ {\left( {\overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GM} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {GD} - \overrightarrow {GM} } \right)^2} \cr&= 2{a^2} \cr
& \Leftrightarrow 4G{A^2} + 4G{M^2}\cr& - 2\overrightarrow {GM} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right) \cr&= 2{a^2} \cr
& \Leftrightarrow M{G^2} = {{{a^2}} \over 2} - G{A^2} = {{{a^2}} \over 8}\cr& \Rightarrow MG = {{a\sqrt 2 } \over 4} \cr} \)
Tập hợp các điểm \(M\) là mặt cầu tâm \(G\) bán kính \({{a\sqrt 2 } \over 4}\) . Chọn (B).
(A) Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.
(B) Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp.
(C) Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.
(D) Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.
Câu trả lời của bạn
Hình chóp có đáy là tứ giác có mặt cầu ngoại tiếp thì đáy phải là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Trong các hình trên chỉ có hình thang cân nội tiếp được nên D đúng.
Chọn (D).
(A) \({{a\sqrt 2 } \over 2}\)
(B) \({{a\sqrt 2 } \over 4}\)
(C) \(a\sqrt 2 \)
(D) \(2a\sqrt 2 \)
Câu trả lời của bạn
Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm hai cạnh \(AB\) và \(CD\) của tứ diện đều \(ABCD\).
\(I\) là trung điểm của \(MN\) thì \(I\) cách đều \(6\) cạnh tứ diện nên \(I\) là tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều.
Bán kính mặt cầu: \(R = {{MN} \over 2}\)
Ta có: \(M{N^2} = A{N^2} - M{A^2} \) \(= A{D^2} - N{D^2} - M{A^2}\) \( = {a^2} - {{{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over 4} = {{{a^2}} \over 2} \)
\(\Rightarrow MN = {{a\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow R = {{a\sqrt 2 } \over 4}\).
Chọn (B).
(A) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau.
(B) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng song song.
(C) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau.
(D) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt và không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Câu trả lời của bạn
Xem bài 3a. phần bài tập ôn tập chương II
Chọn D.
(A) Hai đường thẳng song song;
(B) Một mặt cầu;
(C) Một mặt trụ;
(D) Một mặt nón.
Câu trả lời của bạn
Gọi khoảng cách từ M đến AB là d(M, AB)
Ta có diện tích tam giác MAB là
\(S = \frac{1}{2}d\left( {M,AB} \right).AB\) \( \Rightarrow d\left( {M,AB} \right) = \frac{{2S}}{{AB}}\)
Suy ra M thuộc mặt trụ T trục AB bán kính R = 2S/AB.
Chọn C
(A) Một mặt phẳng;
(B) Một mặt trụ;
(C) Một mặt nón;
(D) Một đường tròn.
Câu trả lời của bạn
\(\sin \widehat {HAB} = {{BH} \over {AB}} = {1 \over 2} \Rightarrow \widehat {HAB} = {30^0}\)
Tập hợp \(l\) là mặt nón có trục AB, đường sinh \(l\), góc ở đỉnh là \({60^0}\).
Gọi \(I\) là hình chiếu của H lên AB.
Ta có: \(BI = BH.\cos{60^0} = {{AB} \over 4} \Rightarrow I\) cố định.
Lại có \(IH = BH\sin {60^0}\) \( = \frac{{AB}}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{AB\sqrt 3 }}{4}\)
Do đó H luôn cách I một khoảng bằng \(\frac{{AB\sqrt 3 }}{4}\) không đổi.
Vậy tập hợp điểm H là đường tròn tâm I bán kính \(\frac{{AB\sqrt 3 }}{4}\)
Chọn (D).
(A) Một mặt phẳng;
(B) Hai đường thẳng;
(C) Một mặt trụ;
(D) Một mặt nón.
Câu trả lời của bạn
Qua O kẻ đường thẳng Δ ⊥ (P) thì góc giữa Δ và l bằng β=90o-30o=60o
Vậy đường thẳng l luôn tạo với Δ một góc không đổi và đi qua điểm O cố định trên (P) nên l thuộc mặt nón (H) trục Δ đỉnh O và góc ở đỉnh bằng = 120o.
Chọn D
(A) Một mặt trụ;
(B) Một mặt cầu;
(C) Một đường tròn;
(D) Một mặt phẳng.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(A’\) là hình chiếu của \(A\) xuống mặt phẳng đáy thì \(AA’ = OO’\). Gọi \(I, M, N\) lần lượt là trung điểm của \(OO’, AB\) và \(AA’\).
Ta có: \(IA = IB\) và \(IM \bot AB\).
Mp(IMN) qua \(I\) và song song với hai mặt phẳng đáy.
Ta có: \(MN = AN.\tan {30^0} = {{a\sqrt 3 } \over 2}.{1 \over {\sqrt 3 }} = {a \over 2}\)
\( \Rightarrow MI = \sqrt {N{I^2} - M{N^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - {{{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
Vậy tập hợp trung điểm \(M\) của \(AB\) là đường tròn tâm \(I\) bán kính \({{a\sqrt 3 } \over 2}\) nằm trong mp\((IMN)\).
Chọn (C).
(A) Một mặt nón cố định;
(B) Một mặt phẳng cố định;
(C) Một mặt trụ cố định;
(D) Một đường tròn cố định.
Câu trả lời của bạn
Gọi I là trung điểm AB ta có \(OI = \sqrt {O{B^2} - I{B^2}} \) \(= \sqrt {{a^2} - {{{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
Tập hợp I là đường tròn tâm O bán kính \({{a\sqrt 3 } \over 2}\) trong mặt phẳng đáy hình nón.
Gọi O’ là trung điểm SO và M là trung điểm của SI thì \(MO' = {1 \over 2}OI = {{a\sqrt 3 } \over 4}\)
Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O’ bán kính \({{a\sqrt 3 } \over 4}\) nằm trong mặt phẳng qua O’ và song song với mặt phẳng đáy.
Chọn (D).
(A) \(\pi {a^2}\sqrt 6 \)
(B) \(\pi {a^2}\sqrt 3 \)
(C) \(\pi {a^2}\sqrt 2 \)
(D) \(\pi {a^2}\sqrt 5 \)
Câu trả lời của bạn
Hình nón tròn xoay sinh bởi đường gấp khúc AC’A’ khi quay quanh \(AA' \) có bán kính đáy \(r=A'C'=a\sqrt 2\) và độ dài đường sinh \(l=AC' = a\sqrt 3 \) nên diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi rl=\pi a\sqrt 2 .a\sqrt 3 = \pi {a^2}\sqrt 6 \)
Chọn (A).
(A) Một đường tròn;
(B) Một mặt trụ;
(C) Một mặt nón;
(D) Một mặt cầu.
Câu trả lời của bạn
Gọi Oz là tia phân giác của góc xOy, I là trung điểm AB và \(\alpha = \widehat {xOy}\)
\(\widehat {AMB} = {90^0} \Rightarrow \Delta AMB\) vuông tại M nên \(MI = \frac{{AB}}{2}\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
Ta có: \(Oz \bot \left( Q \right) \Rightarrow Oz \bot MI\) \( \Rightarrow \widehat {MIO} = {90^0}\)
Xét hai tam giác vuông MOI và BOI có
\(\widehat {MIO} = \widehat {BIO} = {90^0}\)
\(MI = BI = \frac{{AB}}{2}\)
Chung OI
Suy ra ΔMOI=ΔBOI (hai cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow \widehat {MOI} = \widehat {BOI} \Rightarrow \widehat {MOz} = \widehat {yOz} = \frac{\alpha }{2}\)
Vậy M thuộc mặt nón (H) trục Oz, đỉnh O góc đỉnh α.
Chọn C
(A) \(8\sqrt 6 \pi {a^3}\)
(B) \(6\sqrt 6 \pi {a^3}\)
(C) \({4 \over 3}\sqrt 6 \pi {a^3}\)
(D) \(4\sqrt 3 \pi {a^3}\)
Câu trả lời của bạn
Bán kính mặt cầu là:
\(R = \sqrt {{{\left( {\frac{h}{2}} \right)}^2} + {r^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a\sqrt 6 \)
Thể tích khối cầu \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\) \( = \frac{4}{3}\pi {\left( {a\sqrt 6 } \right)^3} = 8\pi {a^3}\sqrt 6 \)
Chọn (A).
(A) Luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định;
(B) Luôn cách một mặt phẳng cho trước qua trục hình trụ một khoáng h ;
(C) Cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông ;
(D) Cả ba tính chất trên đều sai.
Câu trả lời của bạn
\(mp\left( \alpha \right)\) luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định đường cao OO’ bán kính đáy h.
Chọn (A).
(A) \({{a\sqrt 3 } \over 4}\)
(B) \({{a\sqrt 2 } \over 4}\)
(C) \({{a\sqrt 2 } \over 2}\)
(D) \({{a\sqrt 3 } \over 2}\)
Câu trả lời của bạn
Khi quay tam giác đều cạnh a quanh đường cao ta được hình nón có bán kính đáy \(r = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\) và đường sinh \(l = AB = a\)
Diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = \pi rl + \pi {r^2}\) \( = \pi {{{a^2}} \over 2} + \pi {{{a^2}} \over 4} = \pi {a^2}{3 \over 4}\)
Diện tích mặt cầu bán kính R là \(4\pi {R^2}\).
Suy ra \(4\pi {R^2} = \pi {a^2}{3 \over 4} \Rightarrow R = {{a\sqrt 3 } \over 4}\).
Chọn (A).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *