Nội dung chương Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu xoay quanh việc tính thể tích, diện tích của các vật thể tròn xoay dạng nón, trụ và hình cầu, những vật thể quen thuộc và khá phổ biến trong đời sống. Nội dung bài ôn tập chương sẽ giúp các em Tổng hợp lại kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng giải bài tập, giúp nâng cao chất lượng, hiệu quả học tập.
Cho hình nón có đường sinh \(l\), bán kính đáy \(R\), chiều cao \(h\), ta có các công thức sau:
Cho tam giác ABC vuông tại A có AC=3a, AB=4a. Cho tam giác này quay quanh đường thẳng BC, tính thể tích V của khối tròn xoay thu được.
Kẻ đường cao AH của ∆ABC
Khi quay tam giác ABC quanh đường thẳng BC miền tam giác ABC sinh ra hai khối nón chung đáy có bán kính đáy là R = AH và chiều cao lần lượt là HB và HC.
Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{16{a^2}}} + \frac{1}{{9{a^2}}} = \frac{{25}}{{144{a^2}}}.\)
Suy ra \(A{H^2} = \frac{{25}}{{144{a^2}}}.\)
Mặt khác: \(HB + HC = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 5a.\)
Thể tích khối tròn xoay sinh ra là:
\(V = {V_1} + {V_2} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.\left( {HB + HC} \right) = \frac{1}{3}\pi .\frac{{144{a^2}}}{{25}}.5a = \frac{{144\pi {a^2}}}{{15}}.\)
Cho một cái bể nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2m, 3m, 2m lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của lòng trong đựng nước của bể. Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởi một cái gáo hình trụ có chiều cao là 5 cm bà bán kính đường tròn đáy là 4 cm. Trung bình một ngày được múc ra 170 gáo nước để sử dụng (Biết mỗi lần múc là múc đầy gáo). Hỏi đến ngày thứ bao nhiêu bể sẽ hết nước?
Thể tích nước được đựng đầy trong hình bể là là thể tích của hình hộp chữ nhật: \(V = 2.3.2 = 12\left( {{m^3}} \right).\)
Thể tích nước đựng đầy trong một gáo là: \({V_g} = \pi {4^2}.5 = 80\pi \left( {c{m^3}} \right) = \frac{\pi }{{12500}}\left( {{m^3}} \right).\)
Mội ngày bể được múc ra 170 gáo nước tức trong một ngày lượng được được lấy ra là: \({V_m} = 170.{V_g} = \frac{{17}}{{1250}}\pi \left( {{m^3}} \right)\).
Ta có: \(\frac{V}{{{V_m}}} = \frac{{12}}{{\frac{{17}}{{1250}}\pi }} \simeq 280,8616643\)
Vậy đến ngày thứ 281 bể sẽ hết nước.
Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng \(\frac{3}{4}\) chiều cao của nó. Tìm V1, V2 lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén.
Gọi chiều cao của chiếc chén hình trụ là 2h và bán kính đường tròn đáy của hình trụ là r.
Gọi O là tâm của quả bóng bàn, khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng thiết diện bằng \(\frac{h}{2}\)
Bán kính đường tròn đáy hình trụ là \(AI = \sqrt {O{A^2} - O{I^2}} = \frac{{h\sqrt 3 }}{2}.\)
Thể tích của quả bóng bàn là \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {h^3} = \frac{{4\pi {h^3}}}{3}.\)
Thể tích của chiếc chén là: \({V_2} = \pi {r^2}{h_c} = \pi {\left( {\frac{{h\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}.2h = \frac{{3\pi {h^3}}}{2}.\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC=2a. SA vuông góc (ABC) và \(SA = 2a\sqrt 2\). Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Gọi M là trung điểm của BC.
Do ABC là tam giác vuông cân tại A nên: \(AB = AC = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 ;AM = \frac{{BC}}{2} = a\)
Dựng đường thẳng qua M song song với SA và cắt mặt phẳng trung trực của SA tại 0.
Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Do ABCD là hình chữ nhật nên: \(OM=AE=a \sqrt 2.\)
Mặc khác: \(R = OA = \sqrt {O{M^2} + M{A^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 3\)
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = 4\pi {a^3}\sqrt 3 .\)
Nội dung chương Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu xoay quanh việc tính thể tích, diện tích của các vật thể tròn xoay dạng nón, trụ và hình cầu, những vật thể quen thuộc và khá phổ biến trong đời sống. Nội dung bài ôn tập chương sẽ giúp các em Tổng hợp lại kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng giải bài tập, giúp nâng cao chất lượng, hiệu quả học tập.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Ôn tập chương 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Tính độ dài đường cao h của hình nón.
Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính thể tích V của khối nón sinh ra khi cho tam giác ABC quay xung quanh trục AH.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Tính diện tích xung quanh \(S_{xq}\) của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A’B’C’D’ và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Ôn tập chương 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 1 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 52 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 52 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 52 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 52 SGK Hình học 12
Bài tập 11 trang 53 SGK Hình học 12
Bài tập 12 trang 53 SGK Hình học 12
Bài tập 13 trang 53 SGK Hình học 12
Bài tập 14 trang 53 SGK Hình học 12
Bài tập 15 trang 54 SGK Hình học 12
Bài tập 16 trang 54 SGK Hình học 12
Bài tập 17 trang 54 SGK Hình học 12
Bài tập 18 trang 54 SGK Hình học 12
Bài tập 2.25 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.26 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.27 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.28 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.29 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.30 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.31 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.32 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.33 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.34 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.35 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.36 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.37 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 3.38 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.39 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.40 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.41 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.42 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.43 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.44 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.45 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.46 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.47 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.48 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.49 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 1 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 1 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 8 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 9 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 10 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 11 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 12 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 13 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 14 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 15 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 24 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 25 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 26 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Tính độ dài đường cao h của hình nón.
Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính thể tích V của khối nón sinh ra khi cho tam giác ABC quay xung quanh trục AH.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Tính diện tích xung quanh \(S_{xq}\) của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A’B’C’D’ và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón, các kích thước cho trên hình vẽ (đơn vị đo là dm). Tính thể tích V của khối dụng cụ đó.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có \(AB=AD=2a, AA' = 3\sqrt 2 a.\) Tính điện tích toàn phần S của hình trụ có hai đáy lần lượt ngoại tiếp hai đáy của hình hộp chữ nhật đã cho.
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có độ dài đáy bằng 3a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông có chu vi là 8a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
Gọi \(V_1\) là thể tích giữa khối lập phương và \(V_2\) là thể tích khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\)
Cho khối cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có 3 kích thước lần lượt là a, 2a, 2a. Tính thể tích V của khối cầu.
Có một hộp nhựa hình lập phương người ta bỏ vào hộp đó 1 quả bóng đá. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}},\) trong đó V1 là tổng thế tích của quả bóng đá, V2 là thể tích của chiếc hộp đựng bóng. Biết rằng đường tròn lớn trên quả bóng có thể nội tiếp bốn mặt hình vuông của chiếc hộp.
Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu sao cho (ACB)=90o.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
a) Đường tròn qua ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu.
b) AB là một đường kính của mặt cầu đã cho.
c) AB không phải là đường kính của mặt cầu.
d) AB là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng (ABC).
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Biết AB = AD = a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc BDA quanh cạnh AB.
Một hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Chứng minh rằng hình chóp đó nội tiếp được trong một mặt cầu (các đỉnh của hình chóp nằm trên mặt cầu).
Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, SC. Mặt cầu này còn tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).
a) Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính độ dài đoạn AH.
b) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH.
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên ∆ lấy điểm S sao cho OS = a/2 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Cho hình trụ có bán kính r, trục OO' = 2r và mặt cầu có đường kính OO'.
a) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.
b) Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho.
Cho hình lập phương \(\displaystyle ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(\displaystyle a\). Gọi \(\displaystyle S\) là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông \(\displaystyle ABCD\) và \(\displaystyle A'B'C'D'\). Diện tích \(\displaystyle S\) là:
(A) \(\displaystyle πa^2\)
(B) \(\displaystyle πa^2\sqrt 2 \)
(C) \(\displaystyle πa^2\sqrt 3 \)
(D) \(\displaystyle {{\pi {{\rm{a}}^2}\sqrt 2 } \over 2}\).
Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC' của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh b khi quay quanh trục AA'. Diện tích S là:
(A) \(\pi b^2\)
(B) \(\pi b^2 \sqrt{2}\)
(C) \(\pi b^2 \sqrt{3}\)
(D) \(\pi b^2 \sqrt{6}\)
Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, có SA vuông góc với (ABC) và có SA = a, AB = b và AC = c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A,B,C,S có bán kính r bằng
(A) \(\frac{2(a+b+c)}{3}\) (B) \(2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
(C) \(\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) (D) \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
Cho hai điểm cố định \(A, B\) và một điểm \(M\) di động trong không gian nhưng luôn thoả mãn điều kiện \(\widehat {MAB} = α\) với \(0^0<α<90^0\). Khi đó điểm \(M\) thuộc mặt nào trong các mặt sau:
(A) Mặt nón
(B) Mặt trụ;
(C) Mặt cầu
(D) Mặt phẳng.
Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) vô số
Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu:
(A) Hình chóp tam giác (tứ diện);
(B) Hình chóp ngũ giác đều;
(C) Hình chóp tứ giác;
(D) Hình hộp chữ nhật
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Khi quay các cạnh tứ diện đó quanh trục là cạnh AB, có bao nhiêu hình nón được tạo thành?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a. Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông A'B'C'D'. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:
(A) \(\frac{\pi a^2 \sqrt{3}}{3}\)
(B) \(\frac{\pi a^2 \sqrt{2}}{2}\)
(C) \(\frac{\pi a^2 \sqrt{3}}{2}\)
(D) \(\frac{\pi a^2 \sqrt{6}}{2}\)
Cho tam giác đều ABC cạnh a quay quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện tích xung quanh hình nón đó là:
(A) \(\pi a^2\)
(B) \(2 \pi a^2\)
(C) \(\frac{1}{2} \pi a^2\)
(D) \(\frac{3}{4} \pi a^2\)
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào SAI?
(A) Mặt trụ và mặt nón có chứa các đường thẳng;
(B) Mọi hình chóp luôn nội tiếp trong mặt cầu;
(C) Có vô số mặt phẳng cắt một mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau;
(D) Luôn luôn có hai đường tròn có bán kính khác nhau cùng nằm trên một mặt nón.
Cho hình trụ có bán kính r; O, O' là tâm của hai đáy OO' = 2r. Một mặt cầu (S) tiếp xúc với đáy của hình trụ tại O và O'. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
(A) Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ;
(B) Diện tích mặt cầy bằng \(\frac{2}{3}\) diện tích toàn phần của hình trụ;
(C) Thể tích khối cầu bằng \(\frac{3}{4}\) thể tích khối trụ;
(D) Thể tích khối cầu bằng \(\frac{2}{3}\) thể tích khối trụ;
Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là a, b, c. Khi đó bán kính r của mặt cầu được tính theo công thức:
(A) \(r=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
(B) \(r=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
(C) \(r=\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)}\)
(D) \(r=\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{3}\)
Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a. Thể tích khối trụ đó là:
(A) \(\frac{1}{2} \pi a^3\)
(B) \(\frac{1}{4} \pi a^3\)
(C) \(\frac{1}{3} \pi a^3\)
(D) \(\pi a^3\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Hãy chứng minh rằng các tiếp tuyến của mặt cầu song song với một đường thẳng cố định luôn nằm trên một mặt trụ xác định.
Câu trả lời của bạn
Cho mặt cầu \(S(O;R)\) và đường thẳng \(d\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(O\) và song song với \(d\). Nếu \(d'\) là tiếp tuyến của mặt cầu và \(d' // d\) thì \(d'\) cách \(\Delta \) một khoảng không đổi \(R\). Vậy \(d'\) nằm trên mặt trụ có trục \(\Delta \) và có bán kính bằng \(R\).
Mặt phẳng đi qua trục của một hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh \(2R\). Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng đi qua \(OO’\) của hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông \(ABCD\) cạnh \(2R\), do đó bán kính đáy bằng \(R\) và đường sinh \(AD = 2R\).
Ta có:
\(\eqalign{
& {S_{xq}} = 2\pi .R.2R = 4\pi {R^2} \cr
& {S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{day}} \cr &= 4\pi {R^2} + 2\pi {R^2} = 6\pi {R^2} \cr} \)
Trong trường hợp sau, hãy gọi tên hình tròn xoay: Sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác đó.
Câu trả lời của bạn
Hình tròn xoay sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác đó là hình nón.
Cho điểm \(A\) nằm ngoài mặt cầu \(S\). Chứng minh các đường thẳng đi qua \(A\) tiếp xúc với mặt cầu \(S\) luôn nằm trên một mặt nón xác định.
Câu trả lời của bạn
Giả sử \(Al\) là một tiếp tuyến của mặt cầu \(S(I;R)\) với tiếp điểm là \(M\).
Khi đó nếu \(\Delta \) là đường thẳng \(AI\) và \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(Al\) và \(\Delta \) thì \(\alpha = \widehat {MAI}\).
Ta có: \(\sin \alpha = {{MI} \over {IA}} = {R \over {IA}}\), suy ra góc \(\alpha \) không đổi.
Vậy \(Al\) là đường sinh của mặt nón \((N)\) có đỉnh \(A\) và góc ở đỉnh là \(2\alpha \).
Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó. Chứng minh mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.
Câu trả lời của bạn
Hình nón \((N)\) có đỉnh \(S\) và đường tròn đáy là \((O;r)\).
Lấy điểm \(M\) trên \((O;r)\) thì \(\Delta SOM\) vuông tại \(O\).
\(SO\) là trục của đường tròn \((O;r)\) nên \(I\) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình nón khi và chỉ khi \(I\) thuộc \(SO\) và cách đều hai điểm \(S, M\).
Vậy \(I\) là giao điểm của \(SO\) với mặt phẳng trung trực của \(SM\).
Mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(R = IS\) là mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.
Một mặt cầu gọi là nội tiếp hình nón nếu nó tiếp xúc với mặt đáy của hình nón và tiếp xúc với mọi đường sinh của hình nón. Khi đó hình nón được gọi là ngoại tiếp mặt cầu. Chứng minh mọi hình nón đều có một mặt cầu nội tiếp duy nhất.
Câu trả lời của bạn
Cho hình nón có đỉnh \(S\) và đáy là đường tròn \((O;r)\).
Tâm \(I\) của mặt cầu nội tiếp hình nón nằm trên \(SO\).
Lấy điểm \(A\) cố định trên \((O;r)\) thì \(I\) là giao điểm của \(SO\) với đường phân giác trong của góc \(A\) của \(\Delta SAO\).
\(I\) hoàn toàn xác định và là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón, bán kính mặt cầu là \(R = IO\).
Xét mệnh đề sau đúng hay sai: Mặt cầu, khối cầu đều có vô số mặt phẳng đối xứng.
Câu trả lời của bạn
Đúng: mỗi mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu, khối cầu đều là một mặt phẳng đối xứng của mặt cầu, khối cầu đó.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A, AB = c, AB = b\). Hãy tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đường thẳng \(BC\).
Câu trả lời của bạn
Gọi \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\).
Ta có: \({1 \over {A{H^2}}} = {1 \over {A{B^2}}} + {1 \over {A{C^2}}} = {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \) \(\Rightarrow A{H^2} = {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}\)
Hai tam giác \(ABH\) và \(ACH\) khi quay quanh \(BC\) lần lượt tạo thành hai khối nón \({H_1},{H_2}\) có thể tích lần lượt là
\({V_1} = {1 \over 3}\pi A{H^2}BH\,\,,\,\,{V_2} = {1 \over 3}\pi A{H^2}CH\)
Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác \(ABC\) khi quay quanh \(BC\) là:
\(\eqalign{
& V = {V_1} + {V_2} \cr&= {1 \over 3}\pi A{H^2}BH + {1 \over 3}\pi A{H^2}CH \cr&= {1 \over 3}\pi A{H^2}BC \cr
& = {1 \over 3}\pi {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}\sqrt {{b^2} + {c^2}} \cr&= {{\pi {b^2}{c^2}} \over {3\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} \cr} \)
Xét mệnh đề sau đúng hay sai: Mọi tứ diện luôn có cạnh bên bằng nhau đều có mặt cầu ngoại tiếp.
Câu trả lời của bạn
Đúng: xét tứ diện ABCD, gọi trục của đường tròn ngoại tiếp ∆BCD là ∆ và mặt phẳng trung trực của đoạn AC là (α) thì I = ∆∩(α) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Xét mệnh đề sau đúng hay sai: Mọi hình chóp có cạnh bên bằng nhau đều có mặt cầu ngoại tiếp.
Câu trả lời của bạn
Sai. Mọi hình chóp có cạnh bên bằng nhau và đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn. Khi đó, hình chóp sẽ có mặt cầu ngoại tiếp.
Tâm của mặt cầu ngoại tiếp là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh nên của hình chóp.
Xét mệnh đề sau đúng hay sai: Mọi hình hộp đứng đều có mặt cầu ngoại tiếp.
Câu trả lời của bạn
Sai. Chẳng hạn hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi ABCD với góc BAD = \(60^0\) trong trường hợp này nếu có mặt cầu ngoại tiếp hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ thì tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn – vô lí.
Xét mệnh đề sau đúng hay sai: Mặt nón, hình nón, khối nón đều có vô số mặt đối xứng.
Câu trả lời của bạn
Đúng. Mỗi mặt phẳng đi qua trục của mặt nón đều là một mặt phẳng đối xứng của mặt nón, hình nón, khối nón tương ứng.
Xét mệnh đề sau đúng hay sai: Mặt trụ, hình trụ, khối trụ đều có duy nhất một mặt phẳng đối xứng.
Câu trả lời của bạn
Sai. Mặt trụ, hình trụ,hình trụ có vô số mặt phẳng đối xứng, đó là các mặt phẳng chứa trục của hình trụ.
Xét mệnh đề sau đây đúng hay sai: Mọi đường thẳng đều có chung với mặt trụ (hoặc mặt nón) nhiều nhất là hai điểm.
Câu trả lời của bạn
Sai. Đường sinh nằm trọn trong mặt trụ (mặt nón).
Xét mệnh đề sau đây đúng hay sai: Mặt trụ và mặt nón có chứa các đường thẳng.
Câu trả lời của bạn
Đúng. Mặt trụ, mặt nón đều chứa đường sinh của chúng.
Xét mệnh đề sau đây đúng hay sai: Mọi đường tròn lớn của mặt cầu đều đi qua hai điểm cố định.
Câu trả lời của bạn
Sai. Giả sử có hai điểm cố định A và B thuộc mặt cầu S(O, R).
Xét mặt phẳng trung trực của AB, mặt phẳng này chứa một đường tròn lớn của S (O, R) mà đường tròn này không đi qua A và B.
Xét mệnh đề sau đây đúng hay sai: Hai đường tròn phân biệt cùng nằm trên một mặt trụ có bán kính bằng nhau.
Câu trả lời của bạn
Đúng. Vì đó là hai đường tròn đáy của một hình trụ.
Xét mệnh đề sau đây đúng hay sai: Hai đường tròn phân biệt cùng nằm trên một mặt nón có bán kính khác nhau.
Câu trả lời của bạn
Sai vì có thể xảy ra trường hợp hai đường tròn mà nằm trên hai mặt phẳng cách đều đỉnh của hình nón sẽ có bán kính bằng nhau.
Cho mặt phẳng \((P)\) và điểm \(A\) không thuộc \((P)\). Chứng minh rằng mọi mặt cầu đi qua \(A\) và có tâm nằm trên \((P)\) luôn luôn đi qua hai điểm cố định.
Câu trả lời của bạn
Lấy điểm \(O\) nằm trên mp \((P)\). Gọi \((S)\) là mặt cầu đi qua \(A\) có tâm \(O\).
Gọi \(A’\) là điểm đối xứng của \(A\) qua mp \((P)\) ta có \(OA’ = OA = R\) nên \((S)\) đi qua \(A’\). Vậy mặt cầu \((S)\) luôn đi qua hai điểm cố định \(A\) và \(A’\).
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\), biết \(SA = SB = SC = a\), \(\widehat {ASB} = {60^0},\widehat {BSC} = {90^0},\widehat {CSA} = {120^0}\)
Câu trả lời của bạn
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(SAB, SAC\) ta có:
\(\eqalign{
& A{B^2} = S{A^2} + S{B^2} - 2SA.SB.\cos {60^0} \cr
& = {a^2} + {a^2} - 2{a^2}.{1 \over 2} = {a^2} \Rightarrow AB = a \cr
& A{C^2} = S{A^2} + S{C^2} - 2SA.SC.\cos {120^0} \cr
& = {a^2} + {a^2} - 2{a^2}\left( { - {1 \over 2}} \right) = 3{a^2}\cr & \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \cr} \)
Trong tam giác vuông \(SBC\) có: \(B{C^2} = S{B^2} + S{C^2} = 2{a^2} \) \(\Rightarrow BC = a\sqrt 2 \)
Ta có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(B\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\) thì \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì \(SA = SB = SC\) nên \(SH \bot mp\left( {ABC} \right)\)
Và \(S{H^2} = S{C^2} - H{C^2} \) \(= {a^2} - {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2}\) \( = {{{a^2}} \over 4} \Rightarrow SH = {a \over 2}\)
Gọi O là điểm đối xứng của S qua H.
Khi đó \(OS = 2SH = 2.\frac{a}{2} = a\).
Tam giác OAH vuông tại \(H\) nên theo Pitago ta có
\(OA = \sqrt {A{H^2} + O{H^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = a\)
Lại có SH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và \(O \in SH\) nên \(OA = OB = OC = a\).
Vậy \(OS = OA = OB = OC = a\) hay \(O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) và bán kính \(R = a\).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *