Trong không gian phương trình đường phẳng được biểu diễn ở hai dạng chính là phương trình tham số và phương trình chính tắc. Nội dung bài học sẽ giúp các em biết cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng và viết được phương trình trong các trường hợp phổ biến. Bên cạnh đó bài học còn giới thiệu cách tính khoảng cách, góc, xác định vị trí tương đối trong không gian có liên quan đến đường thẳng.
Trong không gian, đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(M(x_0,y_0,z_0)\) và nhận vectơ \(\vec u=(a,;b;c)\) làm Vectơ chỉ phương (VTCP) có phương trình tham số là:
\(\Delta: \left\{\begin{matrix} x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end {matrix}\right.(t\in\mathbb{R})\) (t được gọi là tham số).
Nếu \(a,b,c \ne 0\) thì ta có phương trình \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}=t\).
Hay \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta\).
Trong không gian cho hai đường thẳng: \(\Delta _1\) đi qua M1 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_1}\), \(\Delta _2\) đi qua M2 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_2}\).
Khi đó Vị trí tương đối giữa \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) được xác định như sau:
\(cos(\Delta _1;\Delta _2)=\left | cos(\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}) \right |=\frac{\left | \overrightarrow{u_1}\overrightarrow{u_2} \right |}{ \left | \overrightarrow{u_1} \right |.\left | \overrightarrow{u_2} \right |}\)\(=\frac{\left | a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2 \right |}{\sqrt{a^2_1+b^2_1+c^2_1} .\sqrt{a^2_2+b^2_2+c^2_2}}\)
Trong không gian cho đường thẳng \(\Delta\) có một VTCP \(\overrightarrow{u}=(a;b;c)\), mặt phẳng (P) có một VTPT \(\overrightarrow{n}=(A;B;C)\), khi đó:
Cho điểm M và đường thẳng \(\Delta\) đi qua N và có một VTCP \(\overrightarrow{u}\). Khi đó khoảng cách từ M đến \(\Delta\) xác định bởi công thức:
\(d(M;\Delta )=\frac{\left | \left [ \overrightarrow{NM};\overrightarrow{u} \right ] \right |}{\left | \overrightarrow{u} \right |}\)
Cho đường thẳng \(\Delta\) song song với mặt phẳng (P). M là một điểm thuộc đường thẳng \(\Delta\). Khi đó:
\(d(\Delta;(P))=d(M;(P))\)
Cách 1:
Trong không gian cho đường thẳng \(\Delta _1\) đi qua M1 có một VTCP \(\overrightarrow{u_1}\), \(\Delta _2\) đi qua M2 có một VTCP \(\overrightarrow{u_2}\). Khi đó:
\(d(\Delta _1;\Delta _2)=\frac{\left | [\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}] .\overrightarrow{M_1M_2}\right |}{[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}]}\)
Cách 2:
Gọi AB là đoạn vuông góc chung \(\Delta _1\), \(\Delta _2\) với\(A\in \Delta _1, B\in \Delta _2\) suy ra: \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_1}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_2}=0 \end{matrix}\right.\). Khi đó:
\(d(\Delta _1;\Delta _2)=AB\)
Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) d đi qua A(1; 2;-3) và B(-2; 2;0).
b) d đi qua A(-2;4;3) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha):\) 2x-3y–6z+19=0.
c) d đi qua điểm A(2;-5;3) và song song với đường thẳng \(d':\) \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 3 + 2t\\ z = 5 - 3t \end{array} \right.\).
d) d đi qua điểm M(3;1;5) và song song với hai mặt phẳng (P):2x+3y-2z+1=0 và (Q): x–3y+z-2=0.
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;1} \right).\)
Do d đi qua A và B nên VTCP của d là \(\overrightarrow u = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;1} \right)\).
Mặt khác d đi qua A(1; 2;-3).
Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = 2\\ z = - 3 + t \end{array} \right.\)
b) VTPT của \((\alpha)\) là \(\vec n = (2; - 3; - 6).\)
Do \(d \bot (\alpha )\) nên d nhận \(\vec u =\vec n=(2;-3;-6)\) là VTCP.
Mặt khác d đi qua A(-2;4;3).
Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + 2t\\ y = 4 - 3t\\ z = 3 - 6t \end{array} \right.\)
c) VTCP của d' là \(\overrightarrow {u'} = (1;2; - 3).\)
Do d// d’ nên VTCP của d \(\overrightarrow u = \overrightarrow {u'} = (1;2; - 3).\)
Mặt khác d đi qua điểm A(2;-5;3).
Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = - 5 + 2t\\ z = 3 - 3t \end{array} \right.\)
d) Ta có: \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2;3; - 2)\) và \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = (1; - 3;1)\) lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q).
Do: \(\left\{ \begin{array}{l} d//\left( P \right)\\ d//(Q) \end{array} \right.\) nên d có VTCP là: \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = ( - 3; - 4; - 9).\)
Mặt khác: d đi qua điểm M(3;1;5)
Suy ra phương trình tham số của d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 - 3t\\ y = 1 - 4t\\ z = 5 - 9t \end{array} \right.\)
Xác đinh trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:
a) \({\rm{d}}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 3 + 2t\\ y = - 2 + 3t\\ z = 6 + 4t \end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l} x = 5 + t'\\ y = - 1 - 4t'\\ z = 20 + t' \end{array} \right.\).
b) \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2 + t\\ z = 3 - t \end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t'\\ y = - 1 + 2t'\\ z = 2 - 2t' \end{array} \right.\).
a) d qua A(-3;-2;6) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {2;3;4} \right).\)
d’ qua B(5;-1;20) có VTCP \(\overrightarrow {u'} = \left( {1; - 4;1} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {8;1;14} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4\\ { - 4}&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 1&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&{ - 4} \end{array}} \right|} \right) = \left( {19;2; - 11} \right).\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {AB} = 19.8 + 2.1 - 11.14 = 152 + 2 - 154 = 0\\ \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {19;2; - 11} \right) \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\)
Suy ra d và d' cắt nhau.
b) d qua A(1;2;3) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right).\)
d’ qua B(1;-1;2) có VTCP \(\overrightarrow {u'} = \left( {2; 2;-2} \right).\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {0;-3;-1} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 2&{ - 2} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ { - 2}&2 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 2&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0;0} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {u'} = 2\overrightarrow u \\ \overrightarrow {AB} = \left( {0; - 3; - 1} \right) \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\)
Suy ra d và d' song song với nhau.
Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + at\\ y = t\\ z = - 1 - 2t \end{array} \right.;d':\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t'\\ y = 2 + 2t'\\ z = 3 - t \end{array} \right.\).
d qua A(1;0;-1) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {a;1;2} \right).\)
d’ qua B(1;2;3) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2; - 1} \right).\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {0;2;4} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 2&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&a\\ { - 1}&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&1\\ { - 1}&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( { - 5;a - 2;2{\rm{a}} + 1} \right)\).
Nếu d cắt d' khi:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\ \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {AB} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - 2 \ne 0\\ 2{\rm{a}} - 1 \ne 0\\ 2(a - 2) + 4(2{\rm{a + }}1) = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne 2\\ a \ne \frac{1}{2}\\ a = 0 \end{array} \right. \Rightarrow a = 0 \end{array}\)
Vậy a=0 là giá trị cần tìm.
Tính các khoảng cách sau:
a) Khoảng cách từ điểm A(1;0;1) đến đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}.\)
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = - 1 - t\\ z = 1 \end{array} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 3t'\\ y = 2 + 3t'\\ z = 3t' \end{array} \right.\quad \left( {t,t' \in R} \right)\).
a) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm B(1;0;0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;2;1} \right)\).
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( {0;0; - 1} \right)\\ \left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ 2&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0\\ 1&2 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 2&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( {2; - 2;0} \right). \end{array}\)
Vậy \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\sqrt {4 + 4} }}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
b) Đường thẳng \(\Delta\) qua A(1;-1;1) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;0} \right).\)
Đường thẳng \(\Delta'\) qua B(2;2;0) và VTCP \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 3;3;3} \right).\)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 1} \right)\\ \left[ {\vec u,\vec u'} \right] = \left( { - 3; - 3;0} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\vec u,\vec u'} \right].\overrightarrow {AB} = - 12. \end{array}\)
Vậy: \(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = \frac{{\left| { - 12} \right|}}{{\sqrt {9 + 9 + 0} }} = \frac{{12}}{{3\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2.\)
a) Tính góc tạo bởi đường thẳng (d): \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 2 + t\\ z = 5 + 4t \end{array} \right.\) và \((d'):\frac{{x - 2}}{{ - 1}} + \frac{{y - 4}}{3} + \frac{{z + 3}}{2} = 0.\)
b) Tìm m để đường thẳng \((d):\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ y = 1 - 2t\\ z = 1 - t \end{array} \right.\) và \((d'):\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 2 + (m - 2)t\\ z = t \end{array} \right.\) tạo với nhau một góc 600.
a) VTCP của (d) là: \(\overrightarrow {{u_d}} = (2;1;4).\)
VTCP của (d’) là: \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( { - 1;3;2} \right).\)
Gọi \(\varphi\) là góc tạo bởi hai đường thẳng (d) và (d’) ta có:
\(\begin{array}{l} \cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|\left| {\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.( - 1) + 3.1 + 4.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {4^2}} \sqrt {{{( - 1)}^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt {294} }}\\ \Rightarrow \varphi \approx {88^0}15' \end{array}\)
b) \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2; - 2; - 1} \right)\)
\(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {m;m - 2;1} \right)\)
(d) và (d’) tạo với nhau một góc 600 nên:
\(\begin{array}{l} \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2{m^2} - 4m + 5} }} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2 - \sqrt 2 \\ m = 2 + \sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy \(m=2-\sqrt2\) và \(m=2+\sqrt2\) là các giá trị cần tìm.
Tìm m để đường thẳng: \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + mt\\ y = (m - 2)t\\ z = 1 + t \end{array} \right.\) và (P): \(2x - 2y - z + 1 = 0\) tạo thành góc 300.
d có VTCP: \(\overrightarrow u = (m,m - 2,1).\)
(P) có VTPT: \(\overrightarrow n = (2; - 2; - 1).\)
d và (P) tạo với nhau một góc 300 nên:
\(\begin{array}{l} \sin {30^0} = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\vec n} \right)} \right| = \frac{1}{2}\,\, \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2{m^2} - 4m + 5} }} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\\ m = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2} \end{array} \right.. \end{array}\)
Vậy \(m = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\) và \(m = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\) là các giá trị cần tìm.
Trong không gian phương trình đường phẳng được biểu diễn ở hai dạng chính là phương trình tham số và phương trình chính tắc. Nội dung bài học sẽ giúp các em biết cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng và viết được phương trình trong các trường hợp phổ biến. Bên cạnh đó bài học còn giới thiệu cách tính khoảng cách, góc, xác định vị trí tương đối trong không gian có liên quan đến đường thẳng.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;0;2) B(2;-1;3). Viết phương trình đường thẳng AB.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;3;-4) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{1} {d_2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{1} .\) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với cả d1 và d2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + z - 3 = 0\) và \(\left( Q \right):3x - 2y + 6 = 0\). Gọi \(\Delta\) là giao tuyến của \((P )\) và \((Q )\). Tìm Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\).
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 89 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 89 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 90 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 90 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 90 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 90 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 3.31 trang 129 SBT Hình học 12
Bài tập 3.32 trang 129 SBT Hình học 12
Bài tập 3.33 trang 129 SBT Hình học 12
Bài tập 3.34 trang 129 SBT Hình học 12
Bài tập 3.35 trang 129 SBT Hình học 12
Bài tập 3.36 trang 130 SBT Hình học 12
Bài tập 3.37 trang 130 SBT Hình học 12
Bài tập 3.38 trang 130 SBT Hình học 12
Bài tập 3.39 trang 130 SBT Hình học 12
Bài tập 3.40 trang 130 SBT Hình học 12
Bài tập 3.42 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.43 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.44 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.45 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 24 trang 102 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 25 trang 102 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 26 trang 102 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 27 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 28 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 29 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 30 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 31 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 32 trang 104 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 33 trang 104 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 34 trang 104 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 35 trang 104 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;0;2) B(2;-1;3). Viết phương trình đường thẳng AB.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;3;-4) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{1} {d_2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{1} .\) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với cả d1 và d2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + z - 3 = 0\) và \(\left( Q \right):3x - 2y + 6 = 0\). Gọi \(\Delta\) là giao tuyến của \((P )\) và \((Q )\). Tìm Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{{z + 3}}{1}\) , điểm\(A\left( {3;2;1} \right).\) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua A cắt đồng thời vuông góc với đường thẳng d.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác OAB có tọa độ các đỉnh là O(0;0;0), A(4;-2;1), B(2;4;-3). Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh O của tam giác OAB.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + t\\ y = 2 - t\\ z = 0 \end{array} \right.\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \((P):\,3x - 3y + 2z + 6 = 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách d từ điểm A(1;-2;3) đến đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 10}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 3t\\ y = - 1 + 2t\\ z = - 2 + t \end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = 3 + 4t\\ z = 5 - 5t \end{array} \right..\) Tìm \(\alpha\) là số đo góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\).
Trong không gian với hệ trục Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(0;1;2) trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 0.\)
Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) d đi qua điểm M(5 ; 4 ; 1) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(2 ; -3 ; 1)\) ;
b) d đi qua điểm A(2 ; -1 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α) có phương trình: \(x + y - z + 5 = 0\);
c) d đi qua điểm B(2 ; 0 ; -3) và song song với đường thẳng ∆ có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = - 3 - 3t\\
z = 4t
\end{array} \right.\)
d) d đi qua hai điểm P(1 ; 2 ; 3) và Q(5 ; 4 ; 4).
Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d: \left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=-3+2t & \\ z= 1+3t& \end{matrix}\right.\) lần lượt trên các mặt phẳng sau:
a) (Oxy).
b) (Oyz).
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:
a) \(d: \left\{\begin{matrix} x=-3+2t & \\ y=-2+3t& \\ z=6+4t& \end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{\begin{matrix} x=5+t'& \\ y=-1-4t'& \\ z=20+t'& \end{matrix}\right.\) ;
b) \(d: \left\{\begin{matrix} x=1+t& \\ y=2+t& \\ z=3-t& \end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{\begin{matrix} x=1+2t'& \\ y=-1+2t'& \\ z=2-2t'.& \end{matrix}\right.\)
Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:
\(d:\left\{\begin{matrix} x=1+at & \\ y=t & \\ z= -1+2t & \end{matrix}\right.\) \(d':\left\{\begin{matrix} x=1-t' & \\ y=2+2t' & \\ z= 3-t'. & \end{matrix}\right.\)
Tìm số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) :
a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=12+4t & \\ y=9+3t & \\ z=1+t & \end{matrix}\right.\) và \((\alpha ): 3x + 5y - z - 2 = 0\);
b) d: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 2 - t\\
z = 1 + 2t
\end{array} \right.\) và \((\alpha ) : x + 3y + z = 0\) ;
c) d: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 1 + 2t\\
z = 2 - 3t
\end{array} \right.\) và \((\alpha ) : x + y + z - 4 = 0\).
Tính khoảng cách giữa đường thẳng ∆: \(\left\{\begin{matrix} x=-3 +2t & \\ y=-1+3t & \\ z=-1 +2t & \end{matrix}\right.\) với mặt phẳng \(\small (\alpha ) : 2x - 2y + z + 3 = 0\).
Cho điểm A(1 ; 0 ; 0) và đường thẳng ∆: \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=1+2t & \\ z=t & \end{matrix}\right.\).
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆.
b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng ∆.
Cho điểm M(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng \(\small (\alpha ): x + y + z -1 = 0\)
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng \(\small (\alpha )\).
b) Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng \(\small (\alpha )\).
c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng \(\small (\alpha )\).
Cho hai đường thẳng: \(d: \left\{\begin{matrix} x=1-t & \\ y=2+2t & \\ z=3t& \end{matrix}\right.\) và \(d': \left\{\begin{matrix} x=1+t' & \\ y=3-2t' & \\ z=1& \end{matrix}\right.\). Chứng minh d và d' chéo nhau.
Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A'BD) và B'D'C).
Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong các trường hợp sau:
a) \(\Delta \) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương \(\vec a = (3;3;1)\) ;
b) \(\Delta \) đi qua điểm B(1; 0; -1) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – y + z + 9 = 0
c) \(\Delta \) đi qua hai điểm C(1; -1; 1) và D(2; 1; 4)
Viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): y +2z = 0 và cắt hai đường thẳng d1: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - t\\
y = t\\
z = 4t
\end{array} \right.\) và d2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - t'}\\
{y = 4 + 2t'}\\
{z = 4}
\end{array}} \right.\)
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:
a) \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{3}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{{z - 4}}{2}\)
b) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1 + t\\
z = 2 - t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 9 + 2t'}\\
{y = 8 + 2t'}\\
{z = 10 - 2t'}
\end{array}} \right.\)
c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = - t\\
y = 3t\\
z = - 1 - 2t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{y = 9}\\
{z = 5t'}
\end{array}} \right.\)
Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song: \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t\\
y = at\\
z = 2 - t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + 2t'}\\
{y = a + 4t'}\\
{z = 2 - 2t'}
\end{array}} \right.\)
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1 + 2t\\
z = 1 - t
\end{array} \right.\) và \((\alpha )\) : x + 2y + z - 3 = 0
b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - t}\\
{y = t}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right.\) và \((\alpha )\) : x + z + 5 = 0
c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 - t\\
y = 2 - t\\
z = 1 + 2t
\end{array} \right.\) và \((\alpha )\) : x +y + z -6 = 0
Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}\)
Cho đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\) và mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – 2y + z + 3 = 0
a) Chứng minh rằng \(\Delta \) song song với \((\alpha )\).
b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \((\alpha )\).
Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng Δ và Δ′ trong các trường hợp sau:
a) \({\rm{\Delta }}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + t}\\
{y = - 1 - t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.\) và \({\rm{\Delta '}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - 3t'}\\
{y = 2 + 3t'}\\
{z = 3t'}
\end{array}} \right.\)
b) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 4 - t\\
z = - 1 + 2t
\end{array} \right.\) và \({\rm{\Delta '}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = t'}\\
{y = 2 - 3t'}\\
{z = - 3t'}
\end{array}} \right.\)
Cho hai đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\)
\({\rm{\Delta '}}:\frac{{x + 2}}{{ - 4}} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{4}\)
a) Xét vị trí tương đối giữa Δ và Δ′ ;
b) Tính khoảng cách giữa Δ và Δ′.
Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\)
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng Δ;
b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng Δ.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
cho (C) \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+z^2=2\) và A(2,2,0) thuộc (C)lập pt tiếp tuyến của (C) tại A biết tiếp tuyến // với (P)2x+y+z=0
A.\(x-2=y-2=\frac{z}{2}\) C.\(x-2=y-2=z\)
B.\(\frac{x-2}{-1}=y-2=z\) D.\(\frac{x-2}{2}=y-2=z\)
Câu trả lời của bạn
Gọi vecto chỉ phương của tiếp tuyến là \(\overrightarrow{u}_{(a,b,c)}\). Ta có :
\(\overrightarrow {AC}=(-1,-1,0);\overrightarrow {n}_{P}=(2,1,1)\)
Theo điều kiện đề bài \(\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{AC},\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{n}_{P}\Rightarrow \overrightarrow{u}=[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{n}_{P}]=(-1,1,1)\)
Do đó phương tiếp tuyến có dạng \(\frac{x-2}{-1}=y-2=z\), tức đáp án $B$ là đáp án đúng
viết pt đường thẳng d qua M(1,-2,3) và vuông góc với 2 đường d1:\(\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{3}\) và d2: x=1-t , y=2+t , z=1+3t
Câu trả lời của bạn
\(d\perp d_1\Rightarrow d\perp\overrightarrow{u_1}\left(1;-1;3\right)\\d\perp d_2\Rightarrow d\perp\overrightarrow{u_2}\left(-1;1;3\right) \)
Suy ra d // \(\left[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}\right]=\left(-6;-6;0\right)\) // \(\overrightarrow{n}\left(1;1;0\right)\)
Vậy d nhận \(\overrightarrow{n}\left(1;1;0\right)\) làm véc-tơ chỉ phương
\(d:\left\{\begin{matrix}x=1+t\\y=-2+t\\z=3\end{matrix}\right.\)
1)cho d: \(\frac{x-7}{7}=\frac{y-5}{5}=\frac{z}{3}\) và d': \(\left\{\begin{matrix}x=2t\\y=-t\\z=2-3t\end{matrix}\right.\)
cho hai điểm A,B di dộng trên d sao cho AB=3, C,D di động trên d' sao cho CD=4. tính thể tích tứ diện ABCD
2) cho đường thẳng \(d_k\): \(\frac{x-3}{k+1}=\frac{y+1}{2k+3}=\frac{z+1}{1-k}\)
CMR \(d_k\)luôn nằm trong 1 mp cố định. Viết PTMP đó
Xác điịnh k để \(d_k\)song vs 2 mp 6x-y-3z-13=0 và x-y+2z-3=0
Câu trả lời của bạn
Câu 2)
Giả sử tồn tại MP cố định đó. Gọi PTMP mà \((d_k)\) luôn đi qua là
\((P):a(x-3)+b(y+1)+c(z+1)=0\) $(1)$
Ta chỉ cần xác định được \(a,b,c\) nghĩa là đã chứng minh được sự tồn tại của mặt phẳng cố định đó.
Vì \(d_k\in (P)\forall k\Rightarrow \overrightarrow{u_{d_k}}\perp \overrightarrow {n_P}\)
\(\Rightarrow a(k+1)+b(2k+3)+c(1-k)=0\) với mọi $k$
\(\Leftrightarrow k(a+2b-c)+(a+3b+c)=0\) với mọi $k$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+2b-c=0\\ a+3b+c=0\end{matrix}\right.\)
Từ đây ta suy ra \(a=\frac{-5b}{2}\) và \(c=\frac{-b}{2}\)
Thay vào \((1)\) và triệt tiêu \(b\) (\(b\neq 0\) bởi vì nếu không thì \(a=c=0\) mặt phẳng không xác định được)
\(\Rightarrow (P): -5x+2y-z+16=0\)
\((d_k)\parallel (6x-y-3z-13=0(1),x-y+2z-3=0(2))\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {u_{d_k}}\perp \overrightarrow {n_1},\overrightarrow{n_2}\)\(\Rightarrow \overrightarrow{u_{d_k}}\parallel[\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}]\)
Mà \(\overrightarrow{n_1}=(6,-1,-3);\overrightarrow{n_2}=(1,-1,2)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{u_{d_k}}\parallel(-5,-15,-5)\) hay \(\frac{k+1}{-5}=\frac{2k+3}{-15}=\frac{1-k}{-5}\Rightarrow k=0\)
Tìm k, biết đường thẳng y= kx + 1 hợp với đường thẳng x-y = 0 một góc 60 độ
Câu trả lời của bạn
lời giải
đường thẳng x-y=0 chính đường phân giác Góc I và (III)
=> hợp chiều dương trục hoành góc 45 độ
d: y =kx+1 hợp với d2: x-y=0 góc 60 độ
=> d: hợp với trục hoành góc 165 độ hoặc 105 độ
từ đó
=>
k1 =-2-can3
k2 =căn3-2
Trong không gian với hệ trục tọa độ 0xyz , cho đường thẳng (d) \(\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{Z-1}{-2}\) A.\(\overrightarrow{u}\) Giải giúp mình với , ths trước nha
Câu trả lời của bạn
Gọi N theo (d) suy ra N(t-1;t;1-2t)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MN}=\left(t;t;-2t+6\right)\)
mà \(\overrightarrow{MN}\perp\overrightarrow{u_d}\Rightarrow t.1+t.1-2\left(-2t+6\right)=0\Leftrightarrow t=2\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MN}=\left(2;2;2\right)hay\overrightarrow{u_{\Delta}}=\left(2;2;2\right)hay\left(1;1;1\right)\)
Cho hai điểm A(0;0;3) và B(1;-2;-3). Gọi A'B' là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng (Oxy). Viết phương trình tham số của đường thẳng A'B'.
Câu trả lời của bạn
Giải:
Gọi \((l)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng đi qua $AB$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$
\(\overrightarrow{n_l}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{Oxy}}]=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{Oz}]=(2,1,0)\)
Suy ra PTMP $(l)$ là : \(2x+y=0\)
Ta thấy \(A'B'=(Oxy)\cap (l)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{u_{A'B'}}=[\overrightarrow{n_{Oxy}},\overrightarrow{n_l}]=(1,-2,0)\)
Mặt khác điểm \((1,-2,0)\) thuộc đường thẳng $A'B'$
\(\Rightarrow \) PTĐT: \(\left\{{}\begin{matrix}x=t+1\\y=-2-2t\\z=0\end{matrix}\right.\)
Tam giác cân ABC. Cạnh đáy BC có pt 4x+3y+1=0 cạnh bên AC có pt 2x-y+3=0. Cạnh bên AB đi qua M(2;1). Viết pt AB
Câu trả lời của bạn
C thuộc BC ; C thuộc AC
\(\left\{{}\begin{matrix}4x+3y+1=0\\2x-y+3=0\end{matrix}\right.\)=> C(-1,1)
AB=BC
Phương trình đường phân giác góc BCA
d1: 2(x+1)-11(y-1) =2x-11y+13
d2:11(x+1)+2(y-1)=11x-2y+9
=> Phương trình AB đi qua (M)
d3: 11(x-2)+2(y-1)=11x+2y-24
d4:2(x-2)-11(y-1)=2x-11y+7
cho mình hỏi tinh chất của tất cả cáctâm đường tròn như nội tiếp tam giác , ngoại tiếp tam giác , trực tâm , trọng tâm
Câu trả lời của bạn
tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác: khoảng cách từ tâm đến 3 đỉnh tam giác là bằng nhau
trực tâm: tích vô hướng bằng 0
trọng tâm: khoảng cách từ 1 đỉnh đến trong tâm bằng 2/3 khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh đối diện
Còn tâm đường tròn nội tiếp mk ko nhớ
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho (d) \(\dfrac{x-1}{-3}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-1}{-2}\) và (P): x-3y+z-4=0.
Viết phương trình hình chiếu của (d) trên (P).
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng chứa \((d)\) và vuông góc với \((P)\)
Khi đó vector pháp tuyến của \((\alpha): \overrightarrow{n_{\alpha}}=[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{u_d}]=(-4,1,7)\)
Mặt khác \((\alpha)\) chứa $(d)$ nên chứa luôn điểm \((4,1,3)\) nên PTMP \((\alpha)\) là :
\(-4x+y+7z-6=0\)
Khi đó hình chiếu \((d')\) của $(d)$ trên $(P)$ là giao của $(P)$ và \((\alpha)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{u_{d'}}=[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_{\alpha}}]=(22,11,11)=11(2,1,1)\)
Mặt khác \((d')=(P)\cap (\alpha)\) nên \((d') \) đi qua điểm \((0,\frac{1}{2},\frac{11}{2})\)
Do đó PT hình chiếu là:\(\frac{x}{2}=\frac{y-\frac{1}{2}}{1}=\frac{z-\frac{11}{2}}{1}\)
A( -3 0 0) B(0 0 3) C (0 -3 0) và mp (p) x + y + z-3=0 gọi M ( a b c) thuộc (p) sao cho | véctơ MA + MB - MC | nhỏ nhất tìm a b c
Câu trả lời của bạn
.
cho đường thẳng (d) : (m-2)x+(m-1)y=1
a)cmr (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
b)tính giá trị của m để khoảng cách từ O đến đến (d) là lớn nhất .
Câu trả lời của bạn
a/ Gọi điểm cố định đó là \(N\left(x_0;y_0\right)\) .
Vì (d) đi qua N nên : \(\left(m-2\right)x_0+\left(m-1\right)y_0-1=0\Leftrightarrow m\left(x_0+y_0\right)-\left(2x_0+y_0+1\right)=0\)
Để (d) luôn đi qua N với mọi m thì \(\begin{cases}x_0+y_0=0\\2x_0+y_0+1=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x_0=-1\\y_0=1\end{cases}\) . Vậy điểm cố định đó là N(-1;1)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Gọi M là tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\Delta:\frac{x-2}{-3}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2}\) và mặt phẳng (P) : x+2y-3z+2=0. Khi đó tọa độ điểm M bao nhiêu?
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Gọi tọa độ của \(M=(a,b,c)\)
Vì \(M\in (\Delta)\Rightarrow \frac{a-2}{-3}=\frac{b}{1}=\frac{c+1}{2}=t\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a=-3t+2\\b=t\\c=2t-1\end{matrix}\right.\)
Mặt khác \(M\in (P)\Rightarrow a+2b-3c+2=0\)
\(\Leftrightarrow -3t+2+2t-3(2t-1)+2=0\)
\(\Leftrightarrow -7t+7=0\Rightarrow t=1\)
Do đó \(M(-1,1,1)\)
A( -3 0 0) B(0 0 3) C (0 -3 0) và mp (p) x + y + z-3=0 gọi M ( a b c) thuộc (p) sao cho | véctơ MA + MB - MC | nhỏ nhất tìm a b c
Câu trả lời của bạn
.
Gọi I(x;y;z) thỏa mãn .
là hình chiếu của lên
Trong mặt phẳng Oxyz cho hai đường thẳng: \(d_1=\left\{\begin{matrix} x=1\\ y=4+2t\\ z=3+t \end{matrix}\right.\) \(d_2=\left\{\begin{matrix} x=-3t\\ y=3+t\\ z=-2 \end{matrix}\right.\)
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 và phương trình mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1, d2.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(A(1;-4+2t;3+t)\) thuộc \(d_1; B(-3t';3+2t';-2)\) thuộc \(d_2\)
\(\Rightarrow \overline{AB}=(-3t'-1;2t'-2t+7;-t-5)\)
Vec tơ chỉ phương của \(d_1, d_2\) lần lượt \(\bar{a_1}=(0;2;1); \bar{a_2}=(-3;2;0)\)
AB là đoạn vuông góc chung của \(d_1, d_2\) khi và chỉ khi: \(\left\{\begin{matrix} \overline{a_1}.\overline{AB}=0\\ \overline{a_2}.\overline{AB}=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4t'-4t+14-t-5=0\\ 49t'+3+4t'-4t+14=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t'=-1\\ t=1 \end{matrix}\right.\)
Vậy A(1;-2;4) và B(3;1;-2)
Phương trình đường vuông góc chung d1 và d2 là:
\(\frac{x-1}{3-1}=\frac{y+2}{1+2}=\frac{z-4}{-2-4}\Leftrightarrow \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-4}{-6}\)
Có vô số mặt cầu tiếp xúc với \(d_1, d_2\) một trong các mặt cầu là mặt cầu nhận AB làm đường kính, có tâm \(I(2;-\frac{1}{2})\) là trung điểm AB và có:
\(R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{4+9+36}}{2}=\frac{7}{2}\)
Phương trình (S) là: \((x-2)^2+(y+\frac{1}{2})^2+(z-1)^2=\frac{49}{4}\)
Trong không gian cho bốn điểm \(A(0;0;-1), B(1;2;1), C(2;1;-1), D(3;3;-3)\). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng AB và điểm N thuộc trục hoành sao cho đường thẳng vuông góc với đường thẳng CD và độ dài MN = 3.
Câu trả lời của bạn
:)
* PT đường thẳng \(AB:\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=2t\\ z=-1+2t \end{matrix}\right.\)
Do \(M\in\) đtAB nên M(t; 2t; -1+2t),
Gọi N (n; 0; 0) \(\in\) (Ox)
\(\overrightarrow{NM}=(t-n;2t;2t-1), \overrightarrow{CD}=(1;2;-2)\)
MN vuông góc CD nên \(\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{CD}=0\Leftrightarrow t+2=n \ (1)\)
\(MN=3\Leftrightarrow (t-n)^2+4t^2+(2t-1)^2=9 \ (2)\)
Giải HPT (1) và (2) ta được: \(\bigg \lbrack\begin{matrix} t=1, n=3\\ t=-\frac{1}{2}, n=\frac{3}{2} \end{matrix}\)
Kết quả \(\bigg \lbrack\begin{matrix} M(1;2;1), \ \ N(3;0;0)\\ M\left ( -\frac{1}{2};-1; -2 \right ), N\left ( -\frac{3}{2};0; 0 \right ) \end{matrix}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;2;-3) và hai đường thẳng \(d_1\left\{\begin{matrix} x=1+3t\\ x=-2-t\\ z=2t \end{matrix}\right., d_2\left\{\begin{matrix} x=2\\ y=2+t\\ z=5t \end{matrix}\right.\) . Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với d1 và cắt d2.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(B = \Delta \cap d_2\). Vì B thuộc \(d_2 \Rightarrow B(2;2 + t; 5t)\)
Do \(\Delta \perp d_1\Rightarrow \overline{AB}\perp \overline{u_1}=\overline{AB}.\overline{u_1}=0\) (*) với \(\overline{u_1}=(3;-1;-2)\) là một VTCP của d1, \(\overline{AB}=(1;t;5t+3)\)
\((*)\Leftrightarrow 3-t+10t+6=0\Leftrightarrow t=-1\) Suy ra \(\overline{AB}=(1;-1;-2)\) ) là 1 VTCP của \(\Delta\)
Vây \(\Delta\) có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=2-t\\ z=-3-2t \end{matrix}\right.\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng \(d: x+y-3=0, \Delta :x-y+2=0\) và điểm M(-1; 3). Viết phương trình đường tròn đi qua M, có tâm thuộc d, cắt Δ tại A, B sao cho AB = \(3\sqrt{2}\).
Câu trả lời của bạn
Gọi đường tròn cần tìm có tâm \(I\in d\Rightarrow I \ (t;3-t)\)
Ta có MI = IA = IB bằng bán kính đường tròn
Gọi H là hình chiếu của I trên Δ thì H là trung điểm của AB. Khi đó \(IH^2=IA^2+HA^2=IM^2+\left (\frac{AB}{2} \right )^2 (*)\)
Mặt khác: \(IM^2=(t+1)^2+r^2;IH=d(I;\Delta )=\frac{\left | t-3+t+2 \right |}{\sqrt{2}}=\frac{\left | 2t-1 \right |}{\sqrt{2}}\)
Thay vào (*) ta được:
\(IH^2=IM^2-\left ( \frac{3\sqrt{2}}{2} \right )^2\Leftrightarrow\left ( \frac{\left | t-3+t+2 \right |}{\sqrt{2}} \right )^2=(t+1)^2+t^2-\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow t=1\)
Với t = 1 \(\Rightarrow\) tâm I (1; 2) \(\Rightarrow\) đường tròn (C) : (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5.
Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình: \(\small d:\left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=2t\\ z=-1 \end{matrix}\right.\)và mặt phẳng \(\small (P): 2x+y-2z-1=0\)
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1;2;1), song song với (P) và vuông góc với đường thẳng d.
b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d, bán kính bằng 3 và tiếp xúc với mp(P).
Câu trả lời của bạn
a.
Vì \(\small \left\{\begin{matrix} \Delta //(P)\\ \Delta \perp d \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_\Delta }\perp \overrightarrow{u_P}\\ \overrightarrow{u_\Delta }\perp \overrightarrow{u_d} \end{matrix}\right.\Rightarrow \overrightarrow{u_\Delta }=\left [ \overrightarrow{u_P},\overrightarrow{u_d } \right ]=(4;-2;3)\)
Vậy PT đường thẳng đi qua M(1;2;1) là \(\small \Delta :\left\{\begin{matrix} x=1+4t\\ y=2-2t\\ z=1+3t \end{matrix}\right.\)
b.
Vì tâm mặt cầu là I \(\small \in\) d nên I(1+t; 2t; -1)
Vì mặt cầu có tâm I, bán kính bằng 3 và tiếp xúc với mp(P) nên
\(\small d(I,(P))=3\Leftrightarrow \frac{\left | 2(1+t)+2t-2(-1)-1 \right |}{\sqrt{4+1+4}}=3\)
\(\small \Leftrightarrow \left | 4t+3 \right |=9\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 4t+3=9\\ 4t+3=-9 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=\frac{3}{2}\\ t=-3 \end{matrix}\)
+ \(\small t=\frac{3}{2}\Rightarrow I\left ( \frac{5}{2};3;-1 \right )\Rightarrow (S)\left ( x- \frac{5}{2} \right )^2+(y-3)^2+(x+1)^2=3^2\)
+ \(\small t=-3\Rightarrow I\left ( -2;-6;-1 \right )\Rightarrow (S)(x+2)^2+(y+6)^2+(z+1)^2=3^2\)
Vậy \(\small (S):\left ( x- \frac{5}{2} \right )^2+(y-3)^2+(x+1)^2=3^2 \ \ or \ \ (S)(x+2)^2+(y+6)^2+(z+1)^2=3^2\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-1}\). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng \(\Delta\), vuông góc với mặt phẳng (Oxy) và viết phương trình đường thẳng \(\Delta\)' là hình chiếu vuông góc của \(\Delta\) lên mặt phẳng (Oxy).
Câu trả lời của bạn
+ Đường thẳng \(\Delta\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u}=(1;2;-1)\), đi qua M(1;-1;0) mặt phẳng (Oxy) có vecto pháp tuyến \(\vec{k}=(0;0;1)\)
+ Suy ra (P) có vectơ pháp tuyến \(\bar{n} = [\bar{u},\bar{ k}] =(2;-1;0)\) và đi qua M
+ Vậy (P) có phương trình \(2(x -1) - ( y +1) = 0\) hay 2x – y – 3 = 0
(Oxy) có phương trình\(z = 0. \Delta '\) là giao tuyến của (P) và (Oxy).
+ Xét hệ \(\left\{\begin{matrix} 2x-y-3=0\\ z=0 \end{matrix}\right.\)
+ Đặt x = t thì hệ trên trở thành \(\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=-3+2t\\ z=0 \end{matrix}\right.\)
+ Vậy \(\Delta\)' có phương trình \(\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=-3+2t\\ z=0 \end{matrix}\right.\)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta _1:\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-3}=\frac{z}{2}\) và \(\Delta _2:\frac{x-3}{6}=\frac{y}{4}=\frac{z-2}{-5}\). Tìm tọa độ giao điểm của \(\Delta\)1 và \(\Delta\)2 và viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho đường thẳng \(\Delta\)2 là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(\Delta\)1 lên mặt phẳng (P).
Câu trả lời của bạn
Viết lại \(\Delta\)1 và \(\Delta\)2 dưới dạng tham số
Giải hệ phương trình tìm được giao điểm A(3; 0; 2)
Đường thẳng \(\Delta\)1 có VTCP \(\bar{u_1}=(2;-3;2)\)
Đường thẳng \(\Delta\)2 có VTCP \(\bar{u_2}=(6;4;-5)\)
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa \(\Delta\)1, \(\Delta\)2, thì (Q) có VTPT là \(\vec{n}=[\bar{u_1},\bar{u_2}]=(7;22;26)\)
Vì \(\Delta\)2 là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(\Delta\)1 lên mặt phẳng (P) \(\Rightarrow\) (P) chứa \(\Delta\)2 và (P) \(\perp\) (Q)
Do đó (P) cũng đi qua A và có VTPT là \(\bar{n_1}=\left [ \bar{n},\bar{u_2} \right ]=(-214;191;-104)\)
(P) có phương trình là:-214x + 191y - 104z + 850 = 0
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *