Trong không gian phương trình đường phẳng được biểu diễn ở hai dạng chính là phương trình tham số và phương trình chính tắc. Nội dung bài học sẽ giúp các em biết cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng và viết được phương trình trong các trường hợp phổ biến. Bên cạnh đó bài học còn giới thiệu cách tính khoảng cách, góc, xác định vị trí tương đối trong không gian có liên quan đến đường thẳng.
Trong không gian, đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(M(x_0,y_0,z_0)\) và nhận vectơ \(\vec u=(a,;b;c)\) làm Vectơ chỉ phương (VTCP) có phương trình tham số là:
\(\Delta: \left\{\begin{matrix} x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end {matrix}\right.(t\in\mathbb{R})\) (t được gọi là tham số).
Nếu \(a,b,c \ne 0\) thì ta có phương trình \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}=t\).
Hay \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta\).
Trong không gian cho hai đường thẳng: \(\Delta _1\) đi qua M1 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_1}\), \(\Delta _2\) đi qua M2 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_2}\).
Khi đó Vị trí tương đối giữa \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) được xác định như sau:
\(cos(\Delta _1;\Delta _2)=\left | cos(\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}) \right |=\frac{\left | \overrightarrow{u_1}\overrightarrow{u_2} \right |}{ \left | \overrightarrow{u_1} \right |.\left | \overrightarrow{u_2} \right |}\)\(=\frac{\left | a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2 \right |}{\sqrt{a^2_1+b^2_1+c^2_1} .\sqrt{a^2_2+b^2_2+c^2_2}}\)
Trong không gian cho đường thẳng \(\Delta\) có một VTCP \(\overrightarrow{u}=(a;b;c)\), mặt phẳng (P) có một VTPT \(\overrightarrow{n}=(A;B;C)\), khi đó:
Cho điểm M và đường thẳng \(\Delta\) đi qua N và có một VTCP \(\overrightarrow{u}\). Khi đó khoảng cách từ M đến \(\Delta\) xác định bởi công thức:
\(d(M;\Delta )=\frac{\left | \left [ \overrightarrow{NM};\overrightarrow{u} \right ] \right |}{\left | \overrightarrow{u} \right |}\)
Cho đường thẳng \(\Delta\) song song với mặt phẳng (P). M là một điểm thuộc đường thẳng \(\Delta\). Khi đó:
\(d(\Delta;(P))=d(M;(P))\)
Cách 1:
Trong không gian cho đường thẳng \(\Delta _1\) đi qua M1 có một VTCP \(\overrightarrow{u_1}\), \(\Delta _2\) đi qua M2 có một VTCP \(\overrightarrow{u_2}\). Khi đó:
\(d(\Delta _1;\Delta _2)=\frac{\left | [\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}] .\overrightarrow{M_1M_2}\right |}{[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}]}\)
Cách 2:
Gọi AB là đoạn vuông góc chung \(\Delta _1\), \(\Delta _2\) với\(A\in \Delta _1, B\in \Delta _2\) suy ra: \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_1}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_2}=0 \end{matrix}\right.\). Khi đó:
\(d(\Delta _1;\Delta _2)=AB\)
Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) d đi qua A(1; 2;-3) và B(-2; 2;0).
b) d đi qua A(-2;4;3) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha):\) 2x-3y–6z+19=0.
c) d đi qua điểm A(2;-5;3) và song song với đường thẳng \(d':\) \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 3 + 2t\\ z = 5 - 3t \end{array} \right.\).
d) d đi qua điểm M(3;1;5) và song song với hai mặt phẳng (P):2x+3y-2z+1=0 và (Q): x–3y+z-2=0.
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;1} \right).\)
Do d đi qua A và B nên VTCP của d là \(\overrightarrow u = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;1} \right)\).
Mặt khác d đi qua A(1; 2;-3).
Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = 2\\ z = - 3 + t \end{array} \right.\)
b) VTPT của \((\alpha)\) là \(\vec n = (2; - 3; - 6).\)
Do \(d \bot (\alpha )\) nên d nhận \(\vec u =\vec n=(2;-3;-6)\) là VTCP.
Mặt khác d đi qua A(-2;4;3).
Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + 2t\\ y = 4 - 3t\\ z = 3 - 6t \end{array} \right.\)
c) VTCP của d' là \(\overrightarrow {u'} = (1;2; - 3).\)
Do d// d’ nên VTCP của d \(\overrightarrow u = \overrightarrow {u'} = (1;2; - 3).\)
Mặt khác d đi qua điểm A(2;-5;3).
Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = - 5 + 2t\\ z = 3 - 3t \end{array} \right.\)
d) Ta có: \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2;3; - 2)\) và \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = (1; - 3;1)\) lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q).
Do: \(\left\{ \begin{array}{l} d//\left( P \right)\\ d//(Q) \end{array} \right.\) nên d có VTCP là: \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = ( - 3; - 4; - 9).\)
Mặt khác: d đi qua điểm M(3;1;5)
Suy ra phương trình tham số của d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 - 3t\\ y = 1 - 4t\\ z = 5 - 9t \end{array} \right.\)
Xác đinh trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:
a) \({\rm{d}}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 3 + 2t\\ y = - 2 + 3t\\ z = 6 + 4t \end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l} x = 5 + t'\\ y = - 1 - 4t'\\ z = 20 + t' \end{array} \right.\).
b) \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2 + t\\ z = 3 - t \end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t'\\ y = - 1 + 2t'\\ z = 2 - 2t' \end{array} \right.\).
a) d qua A(-3;-2;6) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {2;3;4} \right).\)
d’ qua B(5;-1;20) có VTCP \(\overrightarrow {u'} = \left( {1; - 4;1} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {8;1;14} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4\\ { - 4}&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 1&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&{ - 4} \end{array}} \right|} \right) = \left( {19;2; - 11} \right).\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {AB} = 19.8 + 2.1 - 11.14 = 152 + 2 - 154 = 0\\ \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {19;2; - 11} \right) \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\)
Suy ra d và d' cắt nhau.
b) d qua A(1;2;3) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right).\)
d’ qua B(1;-1;2) có VTCP \(\overrightarrow {u'} = \left( {2; 2;-2} \right).\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {0;-3;-1} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 2&{ - 2} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ { - 2}&2 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 2&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0;0} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {u'} = 2\overrightarrow u \\ \overrightarrow {AB} = \left( {0; - 3; - 1} \right) \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\)
Suy ra d và d' song song với nhau.
Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + at\\ y = t\\ z = - 1 - 2t \end{array} \right.;d':\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t'\\ y = 2 + 2t'\\ z = 3 - t \end{array} \right.\).
d qua A(1;0;-1) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {a;1;2} \right).\)
d’ qua B(1;2;3) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2; - 1} \right).\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {0;2;4} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 2&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&a\\ { - 1}&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&1\\ { - 1}&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( { - 5;a - 2;2{\rm{a}} + 1} \right)\).
Nếu d cắt d' khi:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\ \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {AB} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - 2 \ne 0\\ 2{\rm{a}} - 1 \ne 0\\ 2(a - 2) + 4(2{\rm{a + }}1) = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne 2\\ a \ne \frac{1}{2}\\ a = 0 \end{array} \right. \Rightarrow a = 0 \end{array}\)
Vậy a=0 là giá trị cần tìm.
Tính các khoảng cách sau:
a) Khoảng cách từ điểm A(1;0;1) đến đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}.\)
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = - 1 - t\\ z = 1 \end{array} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 3t'\\ y = 2 + 3t'\\ z = 3t' \end{array} \right.\quad \left( {t,t' \in R} \right)\).
a) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm B(1;0;0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;2;1} \right)\).
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( {0;0; - 1} \right)\\ \left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ 2&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0\\ 1&2 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 2&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( {2; - 2;0} \right). \end{array}\)
Vậy \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\sqrt {4 + 4} }}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
b) Đường thẳng \(\Delta\) qua A(1;-1;1) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;0} \right).\)
Đường thẳng \(\Delta'\) qua B(2;2;0) và VTCP \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 3;3;3} \right).\)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 1} \right)\\ \left[ {\vec u,\vec u'} \right] = \left( { - 3; - 3;0} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\vec u,\vec u'} \right].\overrightarrow {AB} = - 12. \end{array}\)
Vậy: \(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = \frac{{\left| { - 12} \right|}}{{\sqrt {9 + 9 + 0} }} = \frac{{12}}{{3\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2.\)
a) Tính góc tạo bởi đường thẳng (d): \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 2 + t\\ z = 5 + 4t \end{array} \right.\) và \((d'):\frac{{x - 2}}{{ - 1}} + \frac{{y - 4}}{3} + \frac{{z + 3}}{2} = 0.\)
b) Tìm m để đường thẳng \((d):\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ y = 1 - 2t\\ z = 1 - t \end{array} \right.\) và \((d'):\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 2 + (m - 2)t\\ z = t \end{array} \right.\) tạo với nhau một góc 600.
a) VTCP của (d) là: \(\overrightarrow {{u_d}} = (2;1;4).\)
VTCP của (d’) là: \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( { - 1;3;2} \right).\)
Gọi \(\varphi\) là góc tạo bởi hai đường thẳng (d) và (d’) ta có:
\(\begin{array}{l} \cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|\left| {\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.( - 1) + 3.1 + 4.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {4^2}} \sqrt {{{( - 1)}^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt {294} }}\\ \Rightarrow \varphi \approx {88^0}15' \end{array}\)
b) \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2; - 2; - 1} \right)\)
\(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {m;m - 2;1} \right)\)
(d) và (d’) tạo với nhau một góc 600 nên:
\(\begin{array}{l} \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2{m^2} - 4m + 5} }} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2 - \sqrt 2 \\ m = 2 + \sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy \(m=2-\sqrt2\) và \(m=2+\sqrt2\) là các giá trị cần tìm.
Tìm m để đường thẳng: \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + mt\\ y = (m - 2)t\\ z = 1 + t \end{array} \right.\) và (P): \(2x - 2y - z + 1 = 0\) tạo thành góc 300.
d có VTCP: \(\overrightarrow u = (m,m - 2,1).\)
(P) có VTPT: \(\overrightarrow n = (2; - 2; - 1).\)
d và (P) tạo với nhau một góc 300 nên:
\(\begin{array}{l} \sin {30^0} = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\vec n} \right)} \right| = \frac{1}{2}\,\, \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2{m^2} - 4m + 5} }} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\\ m = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2} \end{array} \right.. \end{array}\)
Vậy \(m = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\) và \(m = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\) là các giá trị cần tìm.
Trong không gian phương trình đường phẳng được biểu diễn ở hai dạng chính là phương trình tham số và phương trình chính tắc. Nội dung bài học sẽ giúp các em biết cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng và viết được phương trình trong các trường hợp phổ biến. Bên cạnh đó bài học còn giới thiệu cách tính khoảng cách, góc, xác định vị trí tương đối trong không gian có liên quan đến đường thẳng.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;0;2) B(2;-1;3). Viết phương trình đường thẳng AB.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;3;-4) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{1} {d_2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{1} .\) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với cả d1 và d2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + z - 3 = 0\) và \(\left( Q \right):3x - 2y + 6 = 0\). Gọi \(\Delta\) là giao tuyến của \((P )\) và \((Q )\). Tìm Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\).
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 89 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 89 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 90 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 90 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 90 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 90 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 3.31 trang 129 SBT Hình học 12
Bài tập 3.32 trang 129 SBT Hình học 12
Bài tập 3.33 trang 129 SBT Hình học 12
Bài tập 3.34 trang 129 SBT Hình học 12
Bài tập 3.35 trang 129 SBT Hình học 12
Bài tập 3.36 trang 130 SBT Hình học 12
Bài tập 3.37 trang 130 SBT Hình học 12
Bài tập 3.38 trang 130 SBT Hình học 12
Bài tập 3.39 trang 130 SBT Hình học 12
Bài tập 3.40 trang 130 SBT Hình học 12
Bài tập 3.42 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.43 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.44 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.45 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 24 trang 102 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 25 trang 102 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 26 trang 102 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 27 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 28 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 29 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 30 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 31 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 32 trang 104 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 33 trang 104 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 34 trang 104 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 35 trang 104 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;0;2) B(2;-1;3). Viết phương trình đường thẳng AB.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;3;-4) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{1} {d_2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{1} .\) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với cả d1 và d2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + z - 3 = 0\) và \(\left( Q \right):3x - 2y + 6 = 0\). Gọi \(\Delta\) là giao tuyến của \((P )\) và \((Q )\). Tìm Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{{z + 3}}{1}\) , điểm\(A\left( {3;2;1} \right).\) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua A cắt đồng thời vuông góc với đường thẳng d.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác OAB có tọa độ các đỉnh là O(0;0;0), A(4;-2;1), B(2;4;-3). Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh O của tam giác OAB.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + t\\ y = 2 - t\\ z = 0 \end{array} \right.\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \((P):\,3x - 3y + 2z + 6 = 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách d từ điểm A(1;-2;3) đến đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 10}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 3t\\ y = - 1 + 2t\\ z = - 2 + t \end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = 3 + 4t\\ z = 5 - 5t \end{array} \right..\) Tìm \(\alpha\) là số đo góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\).
Trong không gian với hệ trục Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(0;1;2) trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 0.\)
Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) d đi qua điểm M(5 ; 4 ; 1) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(2 ; -3 ; 1)\) ;
b) d đi qua điểm A(2 ; -1 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α) có phương trình: \(x + y - z + 5 = 0\);
c) d đi qua điểm B(2 ; 0 ; -3) và song song với đường thẳng ∆ có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = - 3 - 3t\\
z = 4t
\end{array} \right.\)
d) d đi qua hai điểm P(1 ; 2 ; 3) và Q(5 ; 4 ; 4).
Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d: \left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=-3+2t & \\ z= 1+3t& \end{matrix}\right.\) lần lượt trên các mặt phẳng sau:
a) (Oxy).
b) (Oyz).
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:
a) \(d: \left\{\begin{matrix} x=-3+2t & \\ y=-2+3t& \\ z=6+4t& \end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{\begin{matrix} x=5+t'& \\ y=-1-4t'& \\ z=20+t'& \end{matrix}\right.\) ;
b) \(d: \left\{\begin{matrix} x=1+t& \\ y=2+t& \\ z=3-t& \end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{\begin{matrix} x=1+2t'& \\ y=-1+2t'& \\ z=2-2t'.& \end{matrix}\right.\)
Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:
\(d:\left\{\begin{matrix} x=1+at & \\ y=t & \\ z= -1+2t & \end{matrix}\right.\) \(d':\left\{\begin{matrix} x=1-t' & \\ y=2+2t' & \\ z= 3-t'. & \end{matrix}\right.\)
Tìm số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) :
a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=12+4t & \\ y=9+3t & \\ z=1+t & \end{matrix}\right.\) và \((\alpha ): 3x + 5y - z - 2 = 0\);
b) d: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 2 - t\\
z = 1 + 2t
\end{array} \right.\) và \((\alpha ) : x + 3y + z = 0\) ;
c) d: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 1 + 2t\\
z = 2 - 3t
\end{array} \right.\) và \((\alpha ) : x + y + z - 4 = 0\).
Tính khoảng cách giữa đường thẳng ∆: \(\left\{\begin{matrix} x=-3 +2t & \\ y=-1+3t & \\ z=-1 +2t & \end{matrix}\right.\) với mặt phẳng \(\small (\alpha ) : 2x - 2y + z + 3 = 0\).
Cho điểm A(1 ; 0 ; 0) và đường thẳng ∆: \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=1+2t & \\ z=t & \end{matrix}\right.\).
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆.
b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng ∆.
Cho điểm M(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng \(\small (\alpha ): x + y + z -1 = 0\)
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng \(\small (\alpha )\).
b) Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng \(\small (\alpha )\).
c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng \(\small (\alpha )\).
Cho hai đường thẳng: \(d: \left\{\begin{matrix} x=1-t & \\ y=2+2t & \\ z=3t& \end{matrix}\right.\) và \(d': \left\{\begin{matrix} x=1+t' & \\ y=3-2t' & \\ z=1& \end{matrix}\right.\). Chứng minh d và d' chéo nhau.
Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A'BD) và B'D'C).
Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong các trường hợp sau:
a) \(\Delta \) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương \(\vec a = (3;3;1)\) ;
b) \(\Delta \) đi qua điểm B(1; 0; -1) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – y + z + 9 = 0
c) \(\Delta \) đi qua hai điểm C(1; -1; 1) và D(2; 1; 4)
Viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): y +2z = 0 và cắt hai đường thẳng d1: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - t\\
y = t\\
z = 4t
\end{array} \right.\) và d2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - t'}\\
{y = 4 + 2t'}\\
{z = 4}
\end{array}} \right.\)
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:
a) \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{3}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{{z - 4}}{2}\)
b) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1 + t\\
z = 2 - t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 9 + 2t'}\\
{y = 8 + 2t'}\\
{z = 10 - 2t'}
\end{array}} \right.\)
c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = - t\\
y = 3t\\
z = - 1 - 2t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{y = 9}\\
{z = 5t'}
\end{array}} \right.\)
Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song: \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t\\
y = at\\
z = 2 - t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + 2t'}\\
{y = a + 4t'}\\
{z = 2 - 2t'}
\end{array}} \right.\)
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1 + 2t\\
z = 1 - t
\end{array} \right.\) và \((\alpha )\) : x + 2y + z - 3 = 0
b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - t}\\
{y = t}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right.\) và \((\alpha )\) : x + z + 5 = 0
c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 - t\\
y = 2 - t\\
z = 1 + 2t
\end{array} \right.\) và \((\alpha )\) : x +y + z -6 = 0
Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}\)
Cho đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\) và mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – 2y + z + 3 = 0
a) Chứng minh rằng \(\Delta \) song song với \((\alpha )\).
b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \((\alpha )\).
Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng Δ và Δ′ trong các trường hợp sau:
a) \({\rm{\Delta }}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + t}\\
{y = - 1 - t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.\) và \({\rm{\Delta '}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - 3t'}\\
{y = 2 + 3t'}\\
{z = 3t'}
\end{array}} \right.\)
b) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 4 - t\\
z = - 1 + 2t
\end{array} \right.\) và \({\rm{\Delta '}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = t'}\\
{y = 2 - 3t'}\\
{z = - 3t'}
\end{array}} \right.\)
Cho hai đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\)
\({\rm{\Delta '}}:\frac{{x + 2}}{{ - 4}} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{4}\)
a) Xét vị trí tương đối giữa Δ và Δ′ ;
b) Tính khoảng cách giữa Δ và Δ′.
Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\)
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng Δ;
b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng Δ.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P):\(2x+y-2z+1=0\) và hai điểm \(A(1;-2;3), B(3;2;-1)\). Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc (P). Tìm điểm M trên trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến (Q) bằng \(\sqrt{17}\) .
Câu trả lời của bạn
\(\overrightarrow{AB}=(2;4;-4)\) và véc tơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow{n_P}=(2;1;-2)\)
Gọi \(\overrightarrow{n_Q}\) là véc tơ pháp tuyến của (Q). Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{n_Q}\perp \overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{n_Q}\perp \overrightarrow{n_P} \end{matrix}\right.\Rightarrow\)Chọn \(\overrightarrow{n_Q}=\left [ \overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{n_P}\right ]=(-4;-4;-6)=-2(2;2;3)\)
Do đó \((Q):2(x-1)+2(y+2)+3(z-3)=0\Leftrightarrow 2x+2y+3z-7=0\)
M thuộc Ox \(\Rightarrow M(m;0;0)\). Do đó: \(d(M,(Q))=2\Leftrightarrow \frac{\left | 2m-7 \right |}{\sqrt{17}}=\sqrt{17}\)
\(\Leftrightarrow \left | 2m-7 \right |=17\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} m=12\\ m=-5 \end{matrix}\)
Vậy M (12; 0; 0) hoặc M (-5; 0; 0)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (-1;-1; 2), B(3;1;1) và mặt phẳng (P); x - 2y + 3z - 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB, tìm góc giữa đường thẳng AB với mặt phẳng (P), và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\overrightarrow{AB}=(2;2;3)\) và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow{n}=(1;-2;3)\)
Phương trình đường thẳng AB là \(\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}\)
Gọi \(\phi\) là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) ta có
\(sim\phi =\frac{\left | 2.1+2.(-2)+3.3 \right |}{\sqrt{2^2+2^2+3^2}.\sqrt{1^2+(-2)^2+3^2}}=\frac{\sqrt{238}}{34}\)
Gọi M là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P), tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{\begin{matrix} x=3+2t\\ y=1+2t\\ z=1+3t\\ x-2y+3z-5=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow t=\frac{1}{7}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{23}{7}\\ y=\frac{9}{7}\\ z=\frac{10}{7} \end{matrix}\right.\)
Vậy tọa độ giao điểm là M( \(\frac{23}{7};\frac{9}{7};\frac{10}{7}\))
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng \((P): 2x+y+z-2=0\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-3}\) cắt nhau tại điểm A. Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua A, nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d.
Câu trả lời của bạn
Gọi A (1+2t;t;-2-3t) là giao điểm của d và (P)
\(\Rightarrow 2(1+2t)+t-2-3t-2=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow A(3;1;-5)\)
Một véc tơ pháp tuyến của (P) là \(\overline{n_P}\) = (2;1;1)
Một véc tơ chỉ phương của d là \(\overline{u_P}\) = (2;1;-3)
\(\Rightarrow\) một véc tơ chỉ phương của \(\Delta\) là \(\overrightarrow{u}=\left [ \overline{n_P};\overline{u_d }\right ]=(-4;8;0)\)
phương trình \(\Delta :\left\{\begin{matrix} x=3-4t\\ y=1+8t\\ z=-5 \end{matrix}\right. \ (t\in R)\)
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z = 0 và hai đường thẳng \(d: \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{2},d': \frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{1}\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng d và cắt đường thẳng d'.
Câu trả lời của bạn
mp(P) có VTPT \(\overrightarrow{n_P}=(2;-1;2)\), đường thẳng d có VTCP \(\overrightarrow{n_d}=(1;3;2)\)
PTTS của d’: \(\left\{\begin{matrix} x=1-2t\\ y=2+t\\ z=t \end{matrix}\right.\)
Đường thẳng \(\Delta\) nằm trong mp(P), vuông góc với đường thẳng d nên chọn VTCP của \(\Delta\) là \(\overrightarrow{u_\Delta }=\left [ \overrightarrow{n_P},\overrightarrow{u_d} \right ]=(-8;-2;7)\)
Gọi \(A=d'\cap (P)\Rightarrow A(1-2t;2+t;t)\)
Vì \(A\in (P)\) nên t = 0 \(\Rightarrow\) A (1;2;0)
\(\Delta\) nằm trong mp(P) và cắt d’ nên \(\Delta\) đi qua A
Vậy PT đường thẳng \(\Delta\) là: \(\left\{\begin{matrix} x=1-8t\\ y=2-2t\\ z=7t \end{matrix}\right.\)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(-4;1;3) và đường thẳng \(d:\frac{x+1}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+3}{3}\). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d. Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho AB = \(\sqrt{5}\)
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng d có VTCP là \(\vec{u_d}=\) (-2;1;3)
Vì \((P)\perp d\) nên (P) nhận \(\vec{u_d}=\) (-2;1;3) làm VTPT
Vậy PT mặt phẳng (P) là: \(-2(x+4)+1(y-1)+3(z-3)=0\)
\(\Leftrightarrow -2x+y+3z-18=0\)
Vì \(B\in d\) nên B(-1 - 2t;1 + t;-3 + 3t)
\(AB=\sqrt{5}\Leftrightarrow AB^2=5\Leftrightarrow (3-2t)^2+t^2+(-6+3t)^2=5\)
\(\Leftrightarrow 7t^2-24t+20=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=2\\ t=\frac{10}{7} \end{matrix}\)
Vậy B(-5;3;3) hoặc \(B(-\frac{27}{2};\frac{17}{7};\frac{9}{7})\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Trong không gian Oxyz cho điểm đường thẳng d: \(\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{2}\) và mặt phẳng (P) có phương trình x - y - z + 1 = 0. Tìm giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) qua A vuông góc với d và nằm trong (P).
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng d có dạng tham số: \(\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=2t \end{matrix}\right.\)
\(A\in d\Rightarrow A(1+2t;-1-t;2t)\)
\(A\in (P)\Rightarrow 1+2t+1+t-2t+1=0\Leftrightarrow t=-3\)
Vậy A(-5;2;-6)
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: \(\bar{n}_P=(1;-1;-1)\)
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: \(\bar{u}_d=(2;-1;2)\)
\(\Delta\) có vectơ chỉ phương là: \(\vec{u}=[\vec{n}_P,\vec{u}_d]=(-3;-4;1)\)
Phương trình đường thẳng\(\Delta\): \(\frac{x+5}{-3}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z+6}{1}\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba đường thẳng \(d_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-1}{1};d_2:\frac{x-2}{-2}=\frac{y+1}{-8}=\frac{z+1}{-2}\) và \(d_3\left\{\begin{matrix} x=2+t\\ y=-5-t\\ z=-3+2t \end{matrix}\right. \ (t\in \mathbb{R})\). Xét vị trí tương đối của d1 và d2. Viết phương trình đường thẳng cắt trục oy và cắt cả ba đường thẳng d1; d2 và d3.
Câu trả lời của bạn
d1: đi qua đi qua điểm M1 (1;1;1), có véc tơ chỉ phương \(\vec{u_1}=(1;4;1)\)
d2: đi qua đi qua điểm M2 (2; 1; 1), có véc tơ chỉ phương \(\vec{u_2}=(-2;-8;-2)\)
\(\overrightarrow{M_1,M_2}=(1;-2;-2)\)
\(\left [ \vec{u_1},\vec{u_2} \right ]=\vec{0};\left [ \vec{u_1},\overrightarrow{M_1M_2} \right ]=(-6;3;-6)\neq \vec{0}\Rightarrow d_1//d_2\)
* mp(\(\alpha\)) chứa d1 // d2 nên pt mp(\(\alpha\)) đi qua điểm M1 (1;1;1) và nhận
\(\vec{n_\alpha }=\left [ \vec{u_1},\overrightarrow{M_1M_2} \right ]=(-6;3;-6)\) làm véc tơ pháp tuyến
\(\Rightarrow ptmp(\alpha ): 2x-y+2z-3=0\)
\(oy\cap mp(\alpha )=A(0;-3;0)\)
\(d_3\cap mp(\alpha )=B\)
\(\Rightarrow B(x;y;z)\) là nghiệm của hệ: \(\left\{\begin{matrix} x=2+t\\ y=-5-t\\ z=-3+2t\\ 2x-y+2z-3=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=-5\\ z=-3\\ t=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow B(2;-5;-3)\)
\(\overrightarrow{AB}=(2;-2;-3)\)
Vì \(\overrightarrow{AB}=(2;-2;-3)\) và \(\vec{u_1}=(1;4;1)\) không cùng phương nên đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm A và B. Suy ra ptđt: \(\frac{x}{2}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z}{-3}\)
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P):3x-4y+z-7=0\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{1}\). Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) và viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;3) và có vec tơ chỉ phương là \(\vec{u_d}=(3;2;1)\)
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\vec{u_P}=(3;-4;1)\)
Gọi \(M=d\cap (P)\). Vì \(M\in d\) nên \(M(1+3t;2+2t;3+1t)\)
Suy ra \(M\in (P)\Leftrightarrow 3(1+3t)-4(2+2t)+(3+t)-7=0\)
\(\Leftrightarrow t=\frac{9}{2}\Leftrightarrow M(\frac{29}{2};11;\frac{15}{2})\)
Mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P) nên (Q) có vec tơ pháp tuyến
\(\vec{n_Q}=[\vec{u_d};\vec{n_P}]=(6;0;-18)\)
(Q) đi qua điểm A(1;2;3) và có VTPT \(\vec{n_Q}=[\vec{u_d};\vec{n_P}]=(6;0;-18)\) có phương trình là x - 3z + 8 = 0
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(d1: \frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{1};d_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{2}\) và mặt phẳng (P): \(x-y-2z+3=0\).Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1, d2 .
Câu trả lời của bạn
Phương trình tham số của
\(d_1:\left\{\begin{matrix} x=-1+2t\\ y=1-t\\ z=1+t \end{matrix}\right., d_2: \left\{\begin{matrix} x=1+t'\\ y=2+t'\\ z=-1+2t' \end{matrix}\right.\)
Gọi \(A=d_1\cap (P), B=d_2\cap (P)\). Khi đó A(-1+ 2t;1-t;1+t ), B(1+t';2+t';-1+2t')
Vì A thuộc (P) nên \(-1+2t-(1-t)-2(1+t)+3=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow A(1;0;2)\)
Vì B thuộc (P) nên \(1+t'-(2+t')-2(-1+2t')+3=0\Leftrightarrow t'=0\Rightarrow B(2;3;1)\)
Vì A, B thuộc (P) nên đường thẳng \(\Delta\) đi qua A, B và nằm trong (P)
Ta có VTCP của \(\Delta\) là \(\bar{u}=\overline{AB}=(1;3;-1)\)
Vậy đường thẳng \(\Delta\) cần tìm có phương trình là
\(\Delta :\left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=3t\\ z=2-t \end{matrix}\right.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(2;-1;1),B(-3;0;3)\) và đường thẳng \(d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-2}{2}\). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác MAB vuông tại A.
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên nhận véctơ chỉ phương của d là \(\vec{u}\) = (1;- 3;2) làm véctơ pháp tuyến.
Phương trình của mặt phẳng (P) là \((x-2)-3(y+1)+2(z-1)=0\)
Hay \(x-3y+2z-7=0\)
Vì \(M\in d\) nên \(M(2+t;1-3t;2+2t)\)
Tam giác MAB vuông tại A nên \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}=0\)
\(\Leftrightarrow -5t+2-3t+2(1+2t)=0\Leftrightarrow t=1\)
Vậy M(3;-2;4)
Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), cho hai đường thẳng d1 d2; lần lượt có phương trình: \(d_1:\frac{x-7}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-9}{-1}\) và \(d_1:\frac{x-3}{-7}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) cắt d1 d2; và trục Ox lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho B là trung điểm của AC.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(A(7+a;4+2a;9-a)\in d_1, B(3-7b;1+2b;1+3b)\in d_2\)
và \(C(c;0;0)\in Ox\)
Do B là trung điểm của AC nên \(\left\{\begin{matrix} 7+a+c=2(3-7b)\\ 4+2a=2(1+2b)\\ 9-a=2(1+3b) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+14b+c+1=0\\ 2a-4b+2=0\\ a=6b-7=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=1\\ c=-16 \end{matrix}\right.\)
Vậy \(A(8;6;7)\in d_1;B(-4;3;4)\in d_2,C(-16;0;0)\)
Phương trình \(\Delta :\frac{x-8}{12}=\frac{y-6}{3}=\frac{z-8}{4}\)
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Trong không gian có hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(2x - y + 2z + 2 = 0\) và điểm M(1; 2; 3). Viết phương trình đường thẳng đi qua M, vuông góc với mặt phẳng (P) và tọa độ điểm N đối xứng với điêm M qua mặt phẳng (P).
Câu trả lời của bạn
Ký hiệu d là đường thẳng đi qua M(1; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (P)
Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow{n}\)(2; -1; 2) làm vectơ chỉ phương
Ta có phương trình tham số của đường thẳng d: \(\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=2-t \ \\ z=3+2t \end{matrix}\right.\)
Gọi I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
Ta có: I(1 + 2t; 2 - t; 3 + 2t). Do điểm I thuộc (P): 2x - y + 2z + 2 = 0
nên ta có: 2(1 + 2t) - (2 - t) + 2(3 + 2t) + 2 = 0 ⇔ t = \(\frac{-8}{9}\)
Suy ra tọa độ điểm \(I\left ( \frac{-7}{9};\frac{26}{9};\frac{11}{9} \right )\)
Do I là trung điểm của MN nên tọa độ điểm \(N \left ( \frac{-23}{9};\frac{34}{9};\frac{-5}{9} \right )\)
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (3;5;1) , N(- 3;-1;4) và đường thẳng \(d:\frac{x-2}{-3}=\frac{y}{1}=\frac{z+3}{6}\). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN; chứng tỏ M, N và đường thẳng d đồng phẳng và tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng MN với đường thẳng d.
Câu trả lời của bạn
MN đi qua M và có VTCP là \(\overline{MN}=(-6;-6;3)=-3(2;2;-1)\)
\(MN:\frac{x-3}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-1}{-1}\)
d qua \(M_0(2;0;-3), \overline{u_d}=(-3;1;6)\)
Có \(\overline{M_0M}=(1;5;4);\left [ \bar{u_d},\overline{u_{MN}} \right ]=(-13;9;-8)\)
\(\left [ \bar{u_d},\overline{u_{MN}} \right ].\overline{M_0M}=0\)
Tìm được giao điểm A( -1;1;3)
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình: 2x + 3y - z + 4 = 0 và đường thẳng \(\Delta\) có phương trình chính tắc: \(\frac{x+1}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}\). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa \(\Delta\) và vuông góc với mặt phẳng (P); Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\)' là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(\Delta\) trên (P).
Câu trả lời của bạn
\(\Delta\) đi qua M (-1; 0; 0) và có VTCP \(\vec{a}=(3;2;1)\)
(P) có VTPT là \(\overrightarrow{n_P}=\)(2;3;-1)
\(\Rightarrow\) (Q) có VTPT là: \(\overrightarrow{n_Q}=\left [ \overrightarrow{n_P},\vec{a} \right ]=(5;5;-5)=5(1;1;-1)\)
Phương trình mặt phẳng (Q): \(x-y-z+1=0\)
\(\Delta\)' là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(\Delta\) trên (P) nên ta có: \(\Delta '=(P)\cap (Q)\)
Tọa độ các điểm thuộc \(\Delta\)' thỏa hệ: \(\left\{\begin{matrix} 2x+3y-z+4=0\\ x-y-z+1=0 \end{matrix}\right.\)
Phương trình tham số của \(\Delta\)': \(\left\{\begin{matrix} x=-3-4t\\ y=t\\ z=-2-5t \end{matrix}\right.\)
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;-1;2) và B (-2;1;3) và mặt phẳng (P): 2x + y + 2z - 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB. Viết phương trình phẳng \((\alpha )\) biết \((\alpha )\) song song với (P) và d(A,\((\alpha )\)) = 2d(B,\((\alpha )\)).
Câu trả lời của bạn
\(\overrightarrow{AB}(-3;2;1)\) là một vtcp của đt AB.
PTts của AB đi qua A là: \(\left\{\begin{matrix} x=1-3t\\ y=-1+2t\\ z=2+t \end{matrix}\right.\)
Theo giả thiết \((\alpha )\) // (P) do đó mặt phẳng \((\alpha )\) có pt: 2x + y + 2z + d = 0 (\(d\neq -1\)). Theo giả thiết
\(d(A,(\alpha ))=2d(B,(\alpha ))\Leftrightarrow \frac{\left | 2.1+1.(-1)+2.2+d \right |}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}} =2\frac{\left | 2.(-2)+1.1+2.3+d \right |}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{\left | 5+d \right |}{3}=2\frac{\left | 3+d \right |}{3}\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} 5+d=2(3+d)\\ 5+d=-2(3+d) \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} d=-1 \ (loai)\\ d=-\frac{11}{3} \ (tm) \end{matrix}\)
Với \(d=-\frac{11}{3}\) suy ra pt mặt phẳng \((\alpha ):2x+y+2z-\frac{11}{3}=0\)
Do \(\left\{\begin{matrix} AD\perp SA\\ AD\perp AB\\ SA \ cat \ AB \end{matrix}\right.\Rightarrow AD\perp (SAB)\)
Gọi H là trung điểm của AB thì \(AD\perp SH\)
Mà \(\Delta SAB\) đều nên \(SH\perp AB\Rightarrow SH\perp (ABCD)\)
Mà \(\Delta SAB\) đều nên \(SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A B (5;5;0), (4;3;1) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{x+2}{1}\). Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho MA = 3
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng AB có VTCP là \(\overline{AB}=(-1;-2;1)\)
Phương trình AB là \(\frac{x-5}{-1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z}{1}\)
Đường thẳng d có phương trình tham số là \(\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=2+t\\ z=-2+t \end{matrix}\right.(t \in R)\)
Do \(M \in d\) nên ta đặt M(1+2t;2+t;-2+t) . Suy ra
\(MA=\sqrt{(1+2t-5)^2+(2+t-5)^2+(-2+t-0)^2}=\sqrt{6t^2-26t+29}\)
Khi đó \(MA=3\Leftrightarrow 6t^2-26t+20=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} t=1\\ t=\frac{10}{3} \end{matrix}\)
Vậy có hai điểm M trên d thoả đề bài là M (3;3;-1) hoặc \(M(\frac{23}{3};\frac{16}{3};\frac{4}{3})\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1;0;1), song song với \((P): x+2y-z+1=0\) và vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{x+1}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}\)
Câu trả lời của bạn
Gọi \(\overrightarrow{u}\) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta\) cần viết
\(\left\{\begin{matrix} \Delta //(P)\\ \Delta \perp d \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{n_P}=(1;2;-1)\\ \overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{u_d}=(-2;1;3) \end{matrix}\right.\)
Chọn \(\overrightarrow{u}=\left [ \overrightarrow{n_P};\overrightarrow{u_d} \right ]= \left ( \begin{vmatrix} 2 \ \ -1\\ 1 \ \ \ \ \ 3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} -1 \ \ \ \ 1\\ 3 \ \ \ \ -2 \end{vmatrix} ;\begin{vmatrix} 1 \ \ \ \ \ \ 2\\ -2 \ \ \ \ \ 1 \end{vmatrix}\right )=(7;-1;5)\)
\(pt\Delta \left\{\begin{matrix} x=1+7t\\ y=-t\\ z=1+5t \end{matrix}\right.\) (thỏa mãn vì \(M\notin (P)\))
Cứu với mọi người!
Cho hình chóp S.ABCD có \(S(3;3;\frac{13}{2}), A(1;2;3),B(-1;4;6),C(2;1;10), D(4;-1;7)\)
a) CMR: ABCD là hình chữ nhật, \(SI\perp (ABCD)\) với I là giao điểm AC, BD
b) Tính VS.ABCD
Câu trả lời của bạn
a)
\(\overrightarrow{AB}=(-2;2;3)\)
\(\overrightarrow{DC}=(-2;2;3)\)
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}, A, B, C\)
Vậy ABCD là hình bình hành (1)
\(\overrightarrow{AD}=(3;-3;4)\)
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=-6-6+12=0\Rightarrow AB\perp AD \ (2)\)
Từ (1) (2) ta có ABCD là hình chữ nhật
ABCD là hình chữ nhật nên I là trung điểm AC
\(\Rightarrow I(\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{13}{2})\)
\(\overrightarrow{SI}=(-\frac{3}{2};-\frac{3}{2};0)\)
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SI}=-2(-\frac{3}{2})+2(-\frac{3}{2})+3.0=0\)
\(\Rightarrow AB\perp SI \ \ (3)\)
\(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{SI}=3(-\frac{3}{2})-3(-\frac{3}{2})+4.0=0\)
\(\Rightarrow AD\perp SI\) (4)
Từ (3) (4), ta có SI \(\perp\) (ABCD)
b)
Cách 1:
ABCD là hình chữ nhật nên đường thẳng ABCD = AB.AD
\(\sqrt{(-2)^2+2^2+3^2}.\sqrt{3^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{17}.\sqrt{34}=17\sqrt{2}\)
\(SI=\sqrt{\left ( -\frac{3}{2} \right )^2+\left ( -\frac{3}{2} \right )^2}= \frac{3}{2}\sqrt{2}\)
\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SI.dt \ ABCD = \frac{1}{3}.\frac{3}{2}\sqrt{2}.17\sqrt{2}=17\)
Cách 2:
dt ABCD = 2 dt ABD nên
\(V_{S.ABCD}=2.V_{SABD}=2.\frac{1}{6}\left | \left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} \right ].\overrightarrow{AS} \right |\)
\(\left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} \right ] =\left ( \begin{vmatrix} 2 \ \ 3\\ -3 \ \ 4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 3 \ \ -2\\ 4 \ \ 3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} -2 \ \ 2\\ 3 \ \ -3 \end{vmatrix}\right )=(17;17;0)\)
\(\overrightarrow{AS}=(2;1;\frac{7}{2})\)
\(\left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} \right ].\overrightarrow{AS} = 17.2+17.1+0.\frac{7}{2}=51\)
\(V_{S.ABCD}=2.\frac{1}{6}.51=17\)
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-2;2;1) và đường thẳng \(\Delta\) có phương trình \(\frac{x-3}{3}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-1}{2}\). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng \(\Delta\). Tìm tọa độ giao điểm của \(\Delta\) và (P).
Câu trả lời của bạn
\(\Delta\) có VTCP là \(\vec{a}=(3;-2;2)\)
Vì (P) vuông góc với \(\Delta\) nên (P) có VTPT là \(\vec{a}=(3;-2;2)\)
Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng \(\Delta\) có phương trình là
3x - 2y + 2z + 8 = 0
Gọi M là giao điểm của \(\Delta\) và (P). Do M thuộc \(\Delta\) nên M(3+3t;1-2t;1+2t)
M thuộc (P) nên (3+3t) - 2(1-2t)+2(1+2t) + 8 = 0
Suy ra t = -1
Do đó M(0;3;-1)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho \(M(2;3;1), \Delta: \frac{x-2}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{2}\). Tìm tọa độ M' đối xứng với M qua \(\Delta\)
Câu trả lời của bạn
Gọi H là hình chiếu của M trên \(\Delta\)
\(H(2+t;2t;-1+2t)\)
\(\overrightarrow{MH}=(t;2t-3;2t-2)\)
H là hình chiếu của M trên \(\Delta\) nên
\(\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{u}=0\)
\(\overrightarrow{u}=(1;2;2)\)
\(\Leftrightarrow t+2(2t-3)+2(2t-2)=0\)
\(\Leftrightarrow 9t-10=0\Leftrightarrow t=\frac{10}{9}\)
Vậy \(H\left ( \frac{28}{9};\frac{20}{9};\frac{11}{9} \right )\)
M' đối xứng M qua \(\Delta\) nên H là trung điểm MM'
\(\left\{\begin{matrix} x_{M'}=2x_H-x_M=\frac{56}{9}-2=\frac{38}{9}\\ \\ y_{M'}=2y_H-y_M=\frac{40}{9}-3=\frac{13}{9}\\ \\ z_{M'}=2z_H-z_M=\frac{22}{9}-1=\frac{13}{9} \end{matrix}\right.\)
Vậy \(M'\left ( \frac{38}{9};\frac{13}{9};\frac{13}{9} . \right )\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *