Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em dạng của phương trình mặt phẳng, cách xác định vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng. Bên cạnh đó là các công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, phương pháp xác định vị trí tương đối của mặt phẳng. Ngoài ra trong bài học này các em còn được tìm hiểu khái niệm hoàn toàn mới là tích có hướng giữa hai vectơ và những ứng dụng.
Cho hai vectơ \(\vec{a}=(x_1;y_1;z_1)\) và \(\vec{b}=(x_2;y_2;z_2)\), vectơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]\) được gọi là tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) được xác định như sau:
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {z_1}}\\
{{y_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {z_2}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{z_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {x_1}}\\
{{z_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {x_2}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {y_1}}\\
{{x_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {y_2}}
\end{array}} \right|} \right) = ({y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1})\)
Vectơ \(\overrightarrow n\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b.\)
Cho mặt phẳng (P). Nếu vectơ \(\vec n\) khác \(\vec 0\) có giá vuông góc với (P) thì \(\vec n\) được gọi là Vectơ pháp tuyến của của (P).
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: \(Ax+By+Cz+D=0, \,\, A^2+B^2+C^2\neq 0)\).
Với \(\overrightarrow{n}=(A;B;C)\) là Vectơ pháp tuyến (VTPT).
Mặt phẳng (P) đi qua điểm \({{M_0}({x_0};{y_0};{z_0})}\), nhận vectơ \({\vec n = (A;B;C)}\) làm VTPT có phương trình tổng quát là:
\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)
Mặt phẳng (P) đi qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) có phương trình tổng quát là: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\).
Cho hai mặt phẳng \((\alpha _1) \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\) có một VTPT \(\vec{n_1}=(A_1;B_1;C_1)\) và \((\alpha _2) \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\) có một VTPT \(\vec{n_2}=(A_2;B_2;C_2)\).
Khi đó vị trí tương đối giữa \((\alpha_1)\) và \((\alpha_2)\) được xác định như sau:
Nếu \(A_2, B_2, C_2, D_2 \neq 0\): \((\alpha _1)//(\alpha _2)\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\neq \frac{D_1}{D_2}\).
Nếu \(A_2, B_2, C_2, D_2 \neq 0\) thì \((\alpha _1)\equiv (\alpha _2)\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}= \frac{D_1}{D_2}\).
Nếu \(A_2,B_2,C_2\neq 0\) thì \((\alpha _1),(\alpha _2)\) cắt nhau \(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}\\ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{C_1}{C_2}\\ \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} \end{matrix}\).
Cho mặt phẳng (P): \(Ax+By+Cz+D=0 \ \ (A^2+B^2+C^2\neq 0)\)
và điểm \(M(x_0,y_0,z_0)\).
Khoảng cách từ M đến (P) được xác định bởi công thức: \(d(M;(P))=\frac{\left | Ax_0+Ay_0+Az_0+D \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).
Cho hai mặt phẳng \((P)\;{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\) và \((Q)\;{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\) có VTPT lần lượt là:
\(\vec{n}_P=(A_1;B_1;C_1)\) và \(\vec{n}_Q=(A_2;B_2;C_2)\), khi đó:
\(cos\widehat {(P,Q)} = \left| {cos({{\vec n}_P};{{\vec n}_Q})} \right| = \frac{{\left| {{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_P}} \right|\left| {{{\vec n}_Q}} \right|}}\)\(=\frac{\left | A_1B_2+B_1B_2+C_1C_2 \right |}{\sqrt{A^2_1+B_1^2+C^2_1} .\sqrt{A^2_2+B_2^2+C^2_2}}\)
Chú ý:
Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2).
a) Chứng minh: A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác
b) Tính diện tích tam giác ABC.
c) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} ( - 2;3;1),\overrightarrow {AC} ( - 3;4;2) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (2;1;1) \ne \overrightarrow 0\) nên \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}\) không cùng phương do đó A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác.
b) \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
c) \(AH = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {{1^2} + {{(4 - 3)}^2} + {{(2 - 1)}^2}} }} = \sqrt 2\).
Cho 4 điểm: A(1;0;1), B(-1;1;2), C(-1;1;0), D(2;-1;-2)
a) Chứng minh rằng: A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
c) Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD.
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;1;1} \right);\) \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;1; - 1} \right)\,;\,\overrightarrow {AD} = \left( {1; - 1; - 3} \right).\)
\(\left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 2 \ne 0.\)
Vậy 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng.
Suy ra A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{3}\)
Mà: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{BCD}}.AH \Rightarrow AH = \frac{1}{{{S_{BCD}}}}.\)
\(\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 4; - 6;0} \right) \Rightarrow {S_{BCD}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CD} } \right]} \right| = \sqrt {13} .\)
Vậy: \(AH = \frac{1}{{\sqrt {13} }}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) (P) đi qua điểm \({M_0}( - 2;3;1)\) và vuông góc với đường thẳng AB với \(A(3;1; - 2):B(4; - 3;1).\)
b) (P) đi qua điểm \({M_0}( - 2;3;1)\) và song song với mặt phẳng (Q): \(4x - 2y + 3z - 5 = 0.\)
c) (P) đi qua điểm \({M_0}( - 2;3;1)\) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0.
d) (P) đi qua 3 điểm \(A(2;0; - 1);B(1; - 2;3);C(0;1;2).\)
a) Mặt phẳng (P) có VTPT \(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} = (1; - 4;3).\)
\(1(x + 2) - 4(y - 3) + 3(z - 1) = 0\)\(\Leftrightarrow (P):x - 4y + 3z + 11 = 0.\)
Mặt khác: \({M_0}( - 2;3;1) \in (P) \Rightarrow D = 11\). Suy ra: \((P):x - 4y + 3z + 11 = 0.\)
b)
\((P):4(x + 2) - 2(y - 3) + 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow (P):4x - 2y + 3z + 11 = 0.\)
\({M_0}( - 2;3;1)\in(P)\Rightarrow D=11\Rightarrow (P):{\rm{4x - 2}}y + 3z + 11 = 0.\)
c)
Ta có: \({\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {(P) \bot (Q) \Rightarrow VTPT\overrightarrow {{n_{(P)}}} \bot VTPT\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = (1; - 3;2)}\\ {(P) \bot (Q) \Rightarrow VTPT\overrightarrow {{n_{(P)}}} \bot VTPT\overrightarrow {{n_{(R)}}} = (2;1; - 1)} \end{array}} \right\}}\)
Suy ra mặt phẳng (P) có VTPT là: \({\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{(Q)}}} ,\overrightarrow {{n_{(R)}}} } \right] = (1;5;7)}.\)
Mặt khác (P) đi qua \({M_0}( - 2;3;1)\) nên có phương trình là:
\((P):(x + 2) + 5(y - 3) + 7(z - 1) = 0 \Leftrightarrow (P):z + 5y + 7z - 20 = 0.\)
d) Cặp VTCP mặt phẳng (P) là:
\(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2;4)\\ \overrightarrow {AC} = ( - 2;1;3) \end{array} \right. \Rightarrow VTPT\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = ( - 10; - 5; - 5).\)
Mặt khác (P) đi qua A(2;0;-1) nên có phương trình là:
\((P): - 10(x - 2) - 5(y - 0) - 5(z + 1) = 0 \Leftrightarrow (P):2x + y + z - 3 = 0.\)
Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình sau:
a) 2x-3y+4z-4=0 và 3x-y-x-1=0.
b) -x+y-z+4=0 và 2x-2y+2z-7=0.
c) 3x+3y-6z-12=0 và 4x+4y-8z-16=0.
a) Ta có: \(\frac{2}{3} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 1}} \ne \frac{4}{1}\) vậy hai mặt phẳng cắt nhau.
b) Ta có: \(\frac{{ - 1}}{2} = \frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 1}}{2} \ne \frac{4}{7}\) vậy hai mặt phẳng song song.
c) Ta có: \(\frac{3}{4} = \frac{3}{4} = \frac{{ - 6}}{{ - 8}} = \frac{{ - 12}}{{ - 16}}\) vậy hai mặt phẳng trùng nhau.
Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là: \(\left( {{m^2} - 5} \right)x - 2y + mz + m - 5 = 0\) và \(x + 2y - 3nz + 3 = 0.\)
Tìm m và n để hai mặt phẳng trùng nhau.
Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l} \frac{{{m^2} - 5}}{1} = \frac{{ - 2}}{2} = \frac{m}{{ - 3n}} = \frac{{m - 5}}{3}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 5 = - 1\\ m = 3n\\ m - 5 = - 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = \pm 2\\ n = \frac{m}{3}\\ m = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 2\\ n = \frac{2}{3} \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy với m=2; \(n=\frac{2}{3}\) thì hai mặt phẳng trùng nhau.
Tìm khoảng cách từ các điểm \({M_0}\left( {1; - 1;2} \right);\,{M_1}\left( {3;4;1} \right);\,{M_2}\left( { - 1;4;3} \right)\) đến mặt phẳng x+2y+2z-10=0.
\(\begin{array}{l} d\left( {{M_0},(P)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.( - 1) + 2.2 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = \frac{7}{3}\\ d\left( {{M_1},(P)} \right) = \frac{{\left| {3 + 2.4 + 2.1 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = 1\\ d\left( {{M_2},(P)} \right) = \frac{{\left| { - 1 + 2.4 + 2.3 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = 1 \end{array}\)
Trên trục Oy tìm các điểm cách đều hai mặt phẳng \((P):x + y - z + 1 = 0\) và \((Q):z - y + z - 5 = 0.\)
Gọi \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \in Oy.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} d({M_0},(P)) = d\left( {{M_0},(Q)} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {{y_0} + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\left| { - {y_0} - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {{y_0} + 1} \right| = \left| { - {y_0} - 5} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {y_0} + 1 = {y_0} + 5\,(VN)\\ {y_0} + 1 = - {y_0} - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow {y_0} = - 3 \end{array}\)
Vậy M(0;-3;0).
Tính góc tạo bởi mặt phẳng (P): 3x+y+4z+2017=0 và mặt phẳng (Q) chứa 3 điểm A(1;1;1); B(2;3;0); C(3;4;-1).
VTPT của (P) là: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;1;4} \right).\)
(Q) chứa 3 điểm A(1;1;1); B(2;3;0); C(3;4;-1) nên VTPT của (Q) là:
\(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = (6; - 5; - 4).\)
Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có:
\(\begin{array}{l} \cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.6 + 1.( - 5) + 4.( - 4)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {4^2}} .\sqrt {{6^2} + {{( - 5)}^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {2002} }}\\ \Rightarrow \alpha \approx {86^0}9'. \end{array}\)
Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em dạng của phương trình mặt phẳng, cách xác định vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng. Bên cạnh đó là các công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, phương pháp xác định vị trí tương đối của mặt phẳng. Ngoài ra trong bài học này các em còn được tìm hiểu khái niệm hoàn toàn mới là tích có hướng giữa hai vectơ và những ứng dụng.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \(A(1;2;0),B(3;-1;1)\) và \(C(1;1;1)\). Tính diện tích S của tam giác ABC.
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;2;3} \right);B\left( {0;0;2} \right);C\left( {1;0;0} \right);D\left( {0; - 1;0} \right)\). Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;3;-2) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0\).
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 81 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 81 SGK Hình học 12
Bài tập 3.17 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.18 trang 113 SBT Hình học 12
Bài tập 3.19 trang 113 SBT Hình học 12
Bài tập 3.20 trang 113 SBT Hình học 12
Bài tập 3.21 trang 113 SBT Hình học 12
Bài tập 3.22 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.23 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.24 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.25 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.26 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.27 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.28 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.29 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.30 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 15 trang 89 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 89 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 89 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \(A(1;2;0),B(3;-1;1)\) và \(C(1;1;1)\). Tính diện tích S của tam giác ABC.
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;2;3} \right);B\left( {0;0;2} \right);C\left( {1;0;0} \right);D\left( {0; - 1;0} \right)\). Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;3;-2) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0\).
Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng chứa hai điểm A(1;0;1), B(-1;2;2) và song song với trục Ox.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho G(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm G và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(1;1;1)\) và \(B(1;3;-5)\) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x + 3y - 12z + 10 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) và song song \((\alpha )\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + my + 3z - 5 = 0\) và \(\left( \beta \right):nx - 8y - 6z + 2 = 0\left( {m,n \in \mathbb{R} } \right)\) . Tìm giá trị của m và n để hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) song song với nhau?
Tính thể tích V của tứ diện OABC với A, B, C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \(2x - 3y + 5z - 30 = 0\) với trục Ox, Oy, Oz.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(S\left( {0;0;1} \right),A\left( {1;1;0} \right)\). Hai điểm \(M\left( {m;0;0} \right),N\left( {0;n;0} \right)\) thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0, n > 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN).
Viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua điểm M(1; -2; 4) và nhận \(\overrightarrow{n}= (2; 3; 5)\) làm vectơ pháp tuyến.
b) Đi qua điểm A(0 ; -1 ; 2) và song song với giá của các vectơ \(\overrightarrow{u}(3; 2; 1)\)và \(\overrightarrow{v}(-3; 0; 1)\)
c) Đi qua ba điểm A(-3 ; 0 ; 0), B(0 ; -2 ; 0) và C(0 ; 0 ; -1).
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;3;7) và B(4;1;3).
a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.
Lập phương trình mặt phẳng :
a) Chứa trục Ox và điểm P(4 ; -1 ; 2);
b) Chứa trục Oy và điểm Q(1 ; 4 ;-3);
c) Chứa trục Oz và điểm R(3 ; -4 ; 7);
Cho tứ diện có các đỉnh là A(5 ; 1 ; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0 ; 6).
a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng (ACD) và (BCD)
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.
Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(2 ; -1 ; 2) và song song với mặt phẳng \((\beta )\) có phương trình: 2x - y + 3z + 4 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) đi qua hai điểm A( 1; 0 ; 1), B(5 ; 2 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng: 2x - y + z - 7 = 0.
Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau:
a) \(2x + my + 3z - 5 = 0\) và \(\small nx - 8y - 6z + 2 = 0\);
b) \(\small 3x - 5y + mz - 3 = 0\) và \(\small 2x + ny - 3z + 1 = 0\);
Tính khoảng cách từ điểm A(2 ; 4 ; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a) \(2x - y + 2z - 9 = 0\);
b) \(\small 12x - 5z + 5 = 0\) ;
c) \(\small x = 0\).
Giải các bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng 1.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song với nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau:
a) \((\alpha )\) đi qua điểm M(2;0; 1) và nhận \(\vec n = (1;1;1)\) làm vecto pháp tuyến ;
b) \((\alpha )\) đi qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá của hai vecto \(\vec u = (0;1;1),\vec v = ( - 1;0;2)\) ;
c) \((\alpha )\) đi qua ba điểm M(1;1;1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1).
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; -2; 4), B(3; 6; 2).
Cho tứ diện ABCD có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0 ; 4), D(4; 0 ; 6)
a) Hãy viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC).
Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và song song với mặt phẳng \((\beta )\) : x + y + 2z – 7 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua hai điểm A(0; 1; 0) , B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta )\) : x + 2y – z = 0 .
Xác định các giá trị của A, B để hai mặt phẳng sau đây song song với nhau:
\((\alpha )\) : Ax – y + 3z + 2 = 0
\((\beta )\) : 2x + By + 6z + 7 = 0
Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 0) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a) \((\alpha )\) : x + 2y – 2z + 1 = 0
b) \((\beta )\) : 3x + 4z + 25 = 0
c) \((\gamma )\) : z + 5 = 0
Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng
\((\alpha )\) : 3x – y + 4z + 2 = 0
\((\beta )\) : 3x – y + 4z + 8 = 0
Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để:
a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng:
\((\beta )\) : 3x - 2y + 2z + 7 = 0
\((\gamma )\) : 5x – 4y + 3z + 1 = 0
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Hãy viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0(1;2;4), cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho \(OA = OB = OC \ne 0.\)
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm M0(1;2;4) có phương trình:
\(a(x-1)+b(y-2)+c(z-4)=0\) (1)
hay \(ax+by+cz=a+2b+4c\) với \(a + 2b + 4c \ne 0\) (theo giả thiết)
Từ đó, ta xác định được tọa độ các giao điểm A, B, C là:
\(\eqalign{ & A = \left( {{{a + 2b + 4c} \over a};0;0} \right)\cr&B = \left( {0;{{a + 2b + 4c} \over b};0} \right) \cr & C = \left( {0;0;{{a + 2b + 4c} \over c}} \right) \cr} \)
Vì OA = OB = OC nên \(O{A^2} = O{B^2} = O{C^2},\) do đó ta có
\({{{{\left( {a + 2b + 4c} \right)}^2}} \over {{a^2}}} = {{{{\left( {a + 2b + 4c} \right)}^2}} \over {{b^2}}} = {{{{\left( {a + 2b + 4c} \right)}^2}} \over {{c^2}}}\)
Hay \({a^2} = {b^2} = {c^2}\). Có những trường hợp sau xảy ra:
+) Nếu a, b, c cùng dấu thì \(a=b=c\) và phương trình (1) trở thành
\(x+y+z-7=0\).
+) Nếu a, b cùng dấu và khác dấu với c thì \(a=b=-c\). Phương trình (1) trở thành
\(x+y-z+1=0\).
+) Nếu a, c cùng dấu và khác dấu với c thì \(a=c=-b\). Phương trình (1) trở thành
\(x-y+z-3=0\).
+) Nếu b, c cùng dấu và khác dấu với a thì \(–a=b=c\). Phương trình (1) trở thành :
\(-x+y+z-5=0\).
Viết phương trình mạt phẳng đi qua điểm M0(1;1;1), cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C, sao cho thể tích của tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
Câu trả lời của bạn
Giả sử \(A(a;0;0),B(0;b;0),C = (0;0;c)\) với \(a,b,c > 0\) và (P) là mặt phẳng phải tìm. Phương trình của (P) là :
\({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1.\)
Vì \({M_0} \in \left( P \right)\) nên \({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} = 1.\)
Thể tích của tứ diện OABC là : \({V_{OABC}} = {1 \over 6}abc.\)
Theo bất đẳng thức Cô-si :
\(1 = {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {3 \over {\root 3 \of {abc} }} \Leftrightarrow abc \ge 27\)
\( \Rightarrow {V_{OABC}} \ge {{27} \over 6} = {9 \over 2}\), dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=3.\)
Vậy VOABC nhỏ nhất bằng \({9 \over 2}\) khi \(a=b=c=3\), khi đó phương trình mặt phẳng (P) là \(x+y+z-3=0.\)
Hãy tìm \(\alpha \) để hai mặt phẳng \(x - {1 \over 4}y - z + 5 = 0\) và \(x\sin \alpha + y\cos \alpha + z{\sin ^3}\alpha + 2 = 0\) vuông góc với nhau.
Câu trả lời của bạn
\(\left[ \matrix{ \alpha = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr \alpha = {\pi \over {12}} + m\pi \hfill \cr \alpha = {{5\pi } \over {12}} + n\pi \hfill \cr} \right.\) k, m, n\( \in Z.\)
Hãy tìm \(\alpha \) để vectơ \(\overrightarrow u (\sin \alpha ;0;\sin \alpha \cos 2\alpha )\) có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P) :x+y+2z+6=0.
Câu trả lời của bạn
\(\left[ \matrix{ \alpha = k\pi \hfill \cr \alpha = \pm {\pi \over 3} + l\pi \hfill \cr} \right.\) \(k,l \in Z\).
Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0(2;1;-1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng x-y+z-4=0 và 3x-y+z-1=0.
Câu trả lời của bạn
Gọi M(x;y;z) là điểm thuộc giao tuyến \(\Delta \) của hai mặt phẳng, khi đó tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \matrix{ x - y + z = 4 \hfill \cr 3x - y + z = 1. \hfill \cr} \right.\)
Đây là hệ ba ẩn có hai phương trình. Ta tìm hai nghiệm nào đó của hệ.
Cho z=0, ta có \(\left\{ \matrix{ x - y = 4 \hfill \cr 3x - y = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - {3 \over 2} \hfill \cr y = - {{11} \over 2}. \hfill \cr} \right.\)
Vậy \({M_1}( - {3 \over 2}; - {{11} \over 2};0) \in \Delta .\)
Cho y=0, ta có \(\left\{ \matrix{ x + z = 4 \hfill \cr 3x + z = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - {3 \over 2} \hfill \cr y = {{11} \over 2}. \hfill \cr} \right.\)
Vậy \({M_2}\left( { - {3 \over 2};0;{{11} \over 2}} \right) \in \Delta .\)
Mặt phẳng phải tìm chính là mặt phẳng đi qua \({M_0},{M_1},{M_2}.\)
Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm trên, ta được:
\(15x-7y+7z-16=0.\)
Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng y+2z-4=0 và x+y-z+3=0, đồng thời song song với mặt phẳng x+y+z-2=0.
Câu trả lời của bạn
Cách 1 : Ta thấy hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{ y + 2z - 4 = 0 \hfill \cr x + y - z + 3 = 0 \hfill \cr x + y + z - 2 = 0 \hfill \cr} \right.\)
Có một nghiệm duy nhất là\(\left( {{1 \over 2}; - 1;{5 \over 2}} \right).\)
Điều này có nghĩa là giao tuyến của hai mặt phẳng
\(y+2z-4=0\) và \(x+y-z+3=0\)
Cắt mặt phẳng \(x+y+z-2=0.\)
Vậy không tồn tại mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2 : Ta tìm hai điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.
Cho z = 0, ta được \({M_1}( - 7;4;0),\) Cho y = 0, ta được \({M_2}( - 1;0;2).\)
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng song song với mặt phẳng \(x+y+z-2=0\) thì \(\left( \alpha \right)\) có dạng :
\(x + y + z + D = 0,D \ne - 2.\)
Ta xác định D để \({M_1},{M_2} \in \left( \alpha \right).\) D là nghiệm của hệ :
\(\left\{ \matrix{ - 7 + 4 + D = 0 \hfill \cr - 1 + 2 + D = 0. \hfill \cr} \right.\)
Hệ vô nghiệm. Vậy không tồn tại mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0, đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2x-z+7=0.
Câu trả lời của bạn
Ta tìm hai điểm \({M_1},{M_2}\) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.
Gọi \(\overrightarrow {n'} = (2;0; - 1)\) là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(2x-z+7=0\).
Khi đó mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng đi qua M1 và có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {n'} } \right].\)
Sau các tính toán, ta có kết quả : Mặt phẳng cần tìm có phương trình :
\(x-22y+2z+21=0.\)
Xác định các giá trị k và m để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng : \(5x+ky+4z+m=0\); \(3x-7y+z-3=0\); \(x-9y-2z+5=0.\)
Câu trả lời của bạn
Để ba mặt phẳng đã cho cùng đi qua một đường thẳng, điều kiện cần và đủ là mặt phẳng \(5x + ky + 4z + m = 0\) phải chứa hai điểm phân biệt của đường thẳng \(\Delta \) với \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng còn lại.
Ta tìm hai điểm nào đó của \(\Delta \).
Cho y = 0, ta có \(\left\{ \matrix{ 3x + z = 3 \hfill \cr x - 2z = - 5 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = {1 \over 7} \hfill \cr z = {{18} \over 7} \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow {M_1}\left( {{1 \over 7};0;{{18} \over 7}} \right) \in \Delta \)
Cho z = 0, ta có \(\left\{ \matrix{ 3x - 7y = 3 \hfill \cr x - 9y = - 5 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = {{31} \over {10}} \hfill \cr y = {9 \over {10}} \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow {M_2}\left( {{{31} \over {10}};{9 \over {10}};0} \right) \in \Delta \)
Thay tọa độ điểm \({M_1},{M_2}\) vào phương trình mặt phẳng \(5x + ky + 4z + m = 0\) ta được hệ
\(\left\{ \matrix{ {5 \over 7} + {{72} \over 7} + m = 0 \hfill \cr {{155} \over {10}} + {{9k} \over {10}} + m = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow k = - 5,m = - 11.\)
Cho ba mặt phẳng \((P):x + y + z - 6 = 0\); \(\eqalign{ & (Q):mx - 2y + z + m - 1 = 0 \cr & (R):mx + (m - 1)y - z + 2m = 0 \cr} \). Xác định giá trị m để ba mặt phẳng đó đôi một vuông góc với nhau, tìm giao điểm chung của cả ba mặt phẳng.
Câu trả lời của bạn
Vectơ pháp tuyến của ba mặt phẳng \((P),(Q),(R)\) lần lượt là :
\(\overrightarrow {{n_P}} = (1;1;1),\)
\(\overrightarrow {{n_Q}} = (m; - 2;1),\)
\(\overrightarrow {{n_R}} = (m;m - 1; - 1).\)
Ba mặt phẳng đôi một vuông góc khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
m - 2 + 1 = 0 \hfill \cr
m + m - 1 - 1 = 0 \hfill \cr
{m^2} - 2m + 2 - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m = 1 \hfill \cr
m = 1 \hfill \cr
{\left( {m - 1} \right)^2} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m = 1 \cr} \)
Gọi I (x;y;z) là giao điểm chung của ba mặt phẳng. Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ sau
\(\left\{ \matrix{ x + y + z - 6 = 0 \hfill \cr x - 2y + z = 0 \hfill \cr x - z + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow I = (1;2;3).\)
Cho mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y + 4z + 5 = 0\) và điểm \({M_0}(4;3;0)\). Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \({M_0}.\)
Câu trả lời của bạn
Dễ thấy điểm \({M_0}(4;3;0)\) thuộc mặt cầu và điểm \(I(3;1; - 2)\) là tâm mặt cầu. Do đó, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm M0 là mặt phẳng đi qua điểm M0 với vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {I{M_0}} \), nó có phương trình :
\(1.(x - 4) + 2(y - 3) + 2(z - 0) = 0\) hay \(x + 2y + 2z - 10 = 0.\)
Hãy viết phương trình mặt cầu có tâm I(-2;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(x + 2y - 2z + 5 = 0.\)
Câu trả lời của bạn
Bán kính R của mặt cầu phải tìm bằng khoảng cách từ tâm I(-2;1;1) tới mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nên \(R = {{\left| { - 2 + 2 - 2 + 5} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1.\)
Vậy phương trình mặt cầu là
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1.\)
Hãy viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm \(A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1)\) và có tâm I nằm trên mặt phẳng \(x + y + z - 3 = 0.\)
Câu trả lời của bạn
Phương trình mặt cầu (S) phải tìm có dạng
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0.\)
Ta có \(\eqalign{ & A \in (S) \Rightarrow 1 - 2a + d = 0, \cr & B \in (S) \Rightarrow 1 - 2b + d = 0, \cr & C \in (S) \Rightarrow 1 - 2c + d = 0. \cr} \)
Đồng thời tâm I(a; b; c) của mặt cầu thuộc mặt phẳng \(x + y + z - 3 = 0\) nên \(a + b + c - 3 = 0.\)
Giải hệ \(\left\{ \matrix{ 1 - 2a + d = 0 \hfill \cr 1 - 2b + d = 0 \hfill \cr 1 - 2c + d = 0 \hfill \cr a + b + c - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow a = b = c = d = 1.\)
Vậy phương trình mặt cầu là
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z + 1 = 0.\)
Cho bốn điểm \(A(3; - 2; - 2),B(3;2;0),C( - 1;1;2).\) Hãy viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\overrightarrow {BC} = ( - 3;0;1),\overrightarrow {BD} = ( - 4; - 1;2) \)
\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (1;2;3)\).
Vậy phương trình mặt phẳng (BCD) là :
\(1(x - 3) + 2(y - 2) + 3(z - 0) = 0\) hay \(x + 2y + 3z - 7 = 0.\)
Gọi R là bán kính mặt cầu cần tìm, ta có :
\(R = d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = {{\left| {3 + 2( - 2) + 3( - 2) - 7} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 9} }} = \sqrt {14} .\)
Vậy phương trình mặt cầu là :
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 14.\)
Hãy viết phương trình mp(P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(2x + y - \sqrt 5 z = 0\) một góc \({60^0}.\)
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng (P) chứa Oz nên có dạng Ax+By=0\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = (A;B;0).\)
Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (2;1; - \sqrt 5 ).\) Theo giả thiết của bài toán :
\(\eqalign{ & \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right)} \right| = {{\left| {2A + B} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {4 + 1 + 5} }} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \cos {60^0} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow 2\left| {2A + B} \right| = \sqrt {10} .\sqrt {{A^2} + {B^2}} \cr & \Leftrightarrow 6{A^2} + 16AB - 6{B^2} = 0. \cr} \)
Lấy B = 1 ta có
\(6{A^2} + 16A - 6 = 0 \Rightarrow \left[ \matrix{ {A_1} = {1 \over 3} \hfill \cr {A_2} = - 3. \hfill \cr} \right.\)
Vậy có hai mặt phẳng (P) :
\({1 \over 3}x + y = 0; - 3x + y = 0.\)
Viết phương trình mp(Q) đi qua A(3;0;0), C(0;0;1) và tạo với mặt phẳng (Oxy) góc \({60^0}.\)
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng (Q) đi qua A, C và tạo với mp(Oxy) góc 600 nên (Q) cắt Oy tại điểm B(0;b;0) khác gốc O\( \Rightarrow b \ne 0.\)
Khi đó phương trình của mặt phẳng (Q) là :
\({x \over 3} + {y \over b} + {z \over 1} = 1\) hay \(bx +3y+ 3bz - 3b = 0\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = (b;3;3b).\)
Mặt phẳng (Oxy) có vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k (0;0;1).\) Theo giả thiết, ta có
\(\eqalign{ & \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow k } \right)} \right| = \cos {60^0} \Leftrightarrow {{\left| {3b} \right|} \over {\sqrt {{b^2} + 9 + 9{b^2}} }} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \left| {6b} \right| = \sqrt {10{b^2} + 9} \Leftrightarrow {b^2} = {9 \over {26}} \Leftrightarrow b = \pm {3 \over {\sqrt {26} }}. \cr} \)
Vậy có hai mặt phẳng (Q) :
\(\eqalign{ & x - \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0. \cr & x + \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0. \cr} \)
Cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c là những số dương thay đổi sao cho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3.\) Xác định a, b, c để khoảng cách từ O tới mp(ABC) lớn nhất.
Câu trả lời của bạn
Phương trình mặt phẳng (ABC) là : \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1\)
\( \Rightarrow d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = {{\left| { - 1} \right|} \over {\sqrt {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}} }}.\)
Theo bất đẳng thức Cô-si,ta có \({1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \ge 3\root 3 \of {{1 \over {{a^2}{b^2}{c^2}}}} \)
Và \(3 = {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\root 3 \of {{a^2}{b^2}{c^2}} \)
Suy ra : \({1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \ge 3 \Leftrightarrow \sqrt {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}} \ge \sqrt 3 .\)
Từ đó suy ra : \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) \le {1 \over {\sqrt 3 }}.\)
Dấu = xảy ra khi \({a^2} = {b^2} = {c^2} = 1\) hay \(a=b=c=1\).
Vậy \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)\) lớn nhất bằng \({1 \over {\sqrt 3 }}\) khi \(a=b=c=1\)
Cho hai mặt phẳng song song có phương trình: \(Ax + By + Cz + D = 0\) và \(Ax + By + Cz + E = 0\). Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Câu trả lời của bạn
Giả sử \(A \ne 0\), khi đó mặt phẳng thứ nhất cắt trục Ox tại điểm \({M_0},{M_0} = \left( { - {D \over A};0;0} \right).\) Khoảng cách từ \({M_0}\) tới mặt phẳng thứ hai chính là khoảng cách d giữa hai mặt phẳng đó.
Vậy \(d = {{\left| { - A.{D \over A} + E} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = {{\left| {E - D} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
Tìm trên Oy điểm cách đều hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z + 1 = 0\) và \(\left( \alpha' \right):x - y + z - 5 = 0.\)
Câu trả lời của bạn
\(M \in Oy \Leftrightarrow M = (0;{y_0};0).\) Vậy :
\(d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = {{\left| {{y_0} + 1} \right|} \over {\sqrt 3 }},d\left( {M,\left( \alpha ' \right)} \right) = {{\left| { - {y_0} - 5} \right|} \over {\sqrt 3 }}.\)
Ta có \(d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {M,\left( {\alpha '} \right)} \right)\)
\(\Leftrightarrow \left| {{y_0} + 1} \right| = \left| {{y_0} + 5} \right| \Leftrightarrow {y_0} = - 3.\)
Vậy điểm phải tìm là M(0;-3;0).
Cho hai mặt phẳng song song có phương trình: \(Ax + By + Cz + D = 0\) và \(Ax + By + Cz + E = 0\). Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng đó.
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với hai mặt phẳng đã cho có phương trình
\(Ax + By + Cz + F = 0\left( {F \ne D,F \ne E} \right)\)
Để \(\left( \alpha \right)\) cách đều cả hai mặt phẳng đã cho thì
\(\eqalign{ & {{\left| {F - D} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = {{\left| {F - E} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}. \cr & \Leftrightarrow \left| {F - D} \right| = \left| {F - E} \right| \Leftrightarrow F - D = \pm \left( {F - E} \right). \cr} \)
Vì \(D \ne E,\) nên ta phải có \(F - D = - F + E \Rightarrow F = {{D + E} \over 2}.\)
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là :
\(Ax + By + Cz + {{D + E} \over 2} = 0\)
Cho tứ diện ABCD với A(3;5;-1), B(7;5;3), C(9;-1;5), D(5;3;-3). Hãy viết phương trình mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó.
Câu trả lời của bạn
Một mặt phẳng muốn cách đều hai điểm M, N thì hoặc nó đi qua trung điểm của MN hoặc nó song song với MN. Vì vậy, để mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cách đều bốn đỉnh A, B, C, D của hình tứ diện thì :
+) Hoặc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của tứ diện. Có bốn mặt phẳng như vậy.
+) Hoặc mp\(\left( \alpha \right)\) chứa hai đường trung bình của tứ diện.Có ba mặt phẳng như vậy.
Tóm lại, ta có bảy mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu của đề bài là
\(\eqalign{ & x - z - 6 = 0;x + y - 10 = 0;x + 2y - z - 8 = 0;\cr&2x + y - z - 14 = 0; x - y - z - 2 = 0;\cr&2x + y + z - 16 = 0;5x + y - 2z - 28 = 0. \cr} \)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *