Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em dạng của phương trình mặt phẳng, cách xác định vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng. Bên cạnh đó là các công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, phương pháp xác định vị trí tương đối của mặt phẳng. Ngoài ra trong bài học này các em còn được tìm hiểu khái niệm hoàn toàn mới là tích có hướng giữa hai vectơ và những ứng dụng.
Cho hai vectơ \(\vec{a}=(x_1;y_1;z_1)\) và \(\vec{b}=(x_2;y_2;z_2)\), vectơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]\) được gọi là tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) được xác định như sau:
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {z_1}}\\
{{y_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {z_2}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{z_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {x_1}}\\
{{z_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {x_2}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {y_1}}\\
{{x_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {y_2}}
\end{array}} \right|} \right) = ({y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1})\)
Vectơ \(\overrightarrow n\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b.\)
Cho mặt phẳng (P). Nếu vectơ \(\vec n\) khác \(\vec 0\) có giá vuông góc với (P) thì \(\vec n\) được gọi là Vectơ pháp tuyến của của (P).
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: \(Ax+By+Cz+D=0, \,\, A^2+B^2+C^2\neq 0)\).
Với \(\overrightarrow{n}=(A;B;C)\) là Vectơ pháp tuyến (VTPT).
Mặt phẳng (P) đi qua điểm \({{M_0}({x_0};{y_0};{z_0})}\), nhận vectơ \({\vec n = (A;B;C)}\) làm VTPT có phương trình tổng quát là:
\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)
Mặt phẳng (P) đi qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) có phương trình tổng quát là: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\).
Cho hai mặt phẳng \((\alpha _1) \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\) có một VTPT \(\vec{n_1}=(A_1;B_1;C_1)\) và \((\alpha _2) \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\) có một VTPT \(\vec{n_2}=(A_2;B_2;C_2)\).
Khi đó vị trí tương đối giữa \((\alpha_1)\) và \((\alpha_2)\) được xác định như sau:
Nếu \(A_2, B_2, C_2, D_2 \neq 0\): \((\alpha _1)//(\alpha _2)\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\neq \frac{D_1}{D_2}\).
Nếu \(A_2, B_2, C_2, D_2 \neq 0\) thì \((\alpha _1)\equiv (\alpha _2)\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}= \frac{D_1}{D_2}\).
Nếu \(A_2,B_2,C_2\neq 0\) thì \((\alpha _1),(\alpha _2)\) cắt nhau \(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}\\ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{C_1}{C_2}\\ \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} \end{matrix}\).
Cho mặt phẳng (P): \(Ax+By+Cz+D=0 \ \ (A^2+B^2+C^2\neq 0)\)
và điểm \(M(x_0,y_0,z_0)\).
Khoảng cách từ M đến (P) được xác định bởi công thức: \(d(M;(P))=\frac{\left | Ax_0+Ay_0+Az_0+D \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).
Cho hai mặt phẳng \((P)\;{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\) và \((Q)\;{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\) có VTPT lần lượt là:
\(\vec{n}_P=(A_1;B_1;C_1)\) và \(\vec{n}_Q=(A_2;B_2;C_2)\), khi đó:
\(cos\widehat {(P,Q)} = \left| {cos({{\vec n}_P};{{\vec n}_Q})} \right| = \frac{{\left| {{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_P}} \right|\left| {{{\vec n}_Q}} \right|}}\)\(=\frac{\left | A_1B_2+B_1B_2+C_1C_2 \right |}{\sqrt{A^2_1+B_1^2+C^2_1} .\sqrt{A^2_2+B_2^2+C^2_2}}\)
Chú ý:
Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2).
a) Chứng minh: A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác
b) Tính diện tích tam giác ABC.
c) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} ( - 2;3;1),\overrightarrow {AC} ( - 3;4;2) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (2;1;1) \ne \overrightarrow 0\) nên \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}\) không cùng phương do đó A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác.
b) \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
c) \(AH = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {{1^2} + {{(4 - 3)}^2} + {{(2 - 1)}^2}} }} = \sqrt 2\).
Cho 4 điểm: A(1;0;1), B(-1;1;2), C(-1;1;0), D(2;-1;-2)
a) Chứng minh rằng: A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
c) Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD.
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;1;1} \right);\) \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;1; - 1} \right)\,;\,\overrightarrow {AD} = \left( {1; - 1; - 3} \right).\)
\(\left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 2 \ne 0.\)
Vậy 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng.
Suy ra A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{3}\)
Mà: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{BCD}}.AH \Rightarrow AH = \frac{1}{{{S_{BCD}}}}.\)
\(\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 4; - 6;0} \right) \Rightarrow {S_{BCD}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CD} } \right]} \right| = \sqrt {13} .\)
Vậy: \(AH = \frac{1}{{\sqrt {13} }}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) (P) đi qua điểm \({M_0}( - 2;3;1)\) và vuông góc với đường thẳng AB với \(A(3;1; - 2):B(4; - 3;1).\)
b) (P) đi qua điểm \({M_0}( - 2;3;1)\) và song song với mặt phẳng (Q): \(4x - 2y + 3z - 5 = 0.\)
c) (P) đi qua điểm \({M_0}( - 2;3;1)\) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0.
d) (P) đi qua 3 điểm \(A(2;0; - 1);B(1; - 2;3);C(0;1;2).\)
a) Mặt phẳng (P) có VTPT \(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} = (1; - 4;3).\)
\(1(x + 2) - 4(y - 3) + 3(z - 1) = 0\)\(\Leftrightarrow (P):x - 4y + 3z + 11 = 0.\)
Mặt khác: \({M_0}( - 2;3;1) \in (P) \Rightarrow D = 11\). Suy ra: \((P):x - 4y + 3z + 11 = 0.\)
b)
\((P):4(x + 2) - 2(y - 3) + 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow (P):4x - 2y + 3z + 11 = 0.\)
\({M_0}( - 2;3;1)\in(P)\Rightarrow D=11\Rightarrow (P):{\rm{4x - 2}}y + 3z + 11 = 0.\)
c)
Ta có: \({\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {(P) \bot (Q) \Rightarrow VTPT\overrightarrow {{n_{(P)}}} \bot VTPT\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = (1; - 3;2)}\\ {(P) \bot (Q) \Rightarrow VTPT\overrightarrow {{n_{(P)}}} \bot VTPT\overrightarrow {{n_{(R)}}} = (2;1; - 1)} \end{array}} \right\}}\)
Suy ra mặt phẳng (P) có VTPT là: \({\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{(Q)}}} ,\overrightarrow {{n_{(R)}}} } \right] = (1;5;7)}.\)
Mặt khác (P) đi qua \({M_0}( - 2;3;1)\) nên có phương trình là:
\((P):(x + 2) + 5(y - 3) + 7(z - 1) = 0 \Leftrightarrow (P):z + 5y + 7z - 20 = 0.\)
d) Cặp VTCP mặt phẳng (P) là:
\(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2;4)\\ \overrightarrow {AC} = ( - 2;1;3) \end{array} \right. \Rightarrow VTPT\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = ( - 10; - 5; - 5).\)
Mặt khác (P) đi qua A(2;0;-1) nên có phương trình là:
\((P): - 10(x - 2) - 5(y - 0) - 5(z + 1) = 0 \Leftrightarrow (P):2x + y + z - 3 = 0.\)
Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình sau:
a) 2x-3y+4z-4=0 và 3x-y-x-1=0.
b) -x+y-z+4=0 và 2x-2y+2z-7=0.
c) 3x+3y-6z-12=0 và 4x+4y-8z-16=0.
a) Ta có: \(\frac{2}{3} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 1}} \ne \frac{4}{1}\) vậy hai mặt phẳng cắt nhau.
b) Ta có: \(\frac{{ - 1}}{2} = \frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 1}}{2} \ne \frac{4}{7}\) vậy hai mặt phẳng song song.
c) Ta có: \(\frac{3}{4} = \frac{3}{4} = \frac{{ - 6}}{{ - 8}} = \frac{{ - 12}}{{ - 16}}\) vậy hai mặt phẳng trùng nhau.
Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là: \(\left( {{m^2} - 5} \right)x - 2y + mz + m - 5 = 0\) và \(x + 2y - 3nz + 3 = 0.\)
Tìm m và n để hai mặt phẳng trùng nhau.
Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l} \frac{{{m^2} - 5}}{1} = \frac{{ - 2}}{2} = \frac{m}{{ - 3n}} = \frac{{m - 5}}{3}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 5 = - 1\\ m = 3n\\ m - 5 = - 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = \pm 2\\ n = \frac{m}{3}\\ m = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 2\\ n = \frac{2}{3} \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy với m=2; \(n=\frac{2}{3}\) thì hai mặt phẳng trùng nhau.
Tìm khoảng cách từ các điểm \({M_0}\left( {1; - 1;2} \right);\,{M_1}\left( {3;4;1} \right);\,{M_2}\left( { - 1;4;3} \right)\) đến mặt phẳng x+2y+2z-10=0.
\(\begin{array}{l} d\left( {{M_0},(P)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.( - 1) + 2.2 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = \frac{7}{3}\\ d\left( {{M_1},(P)} \right) = \frac{{\left| {3 + 2.4 + 2.1 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = 1\\ d\left( {{M_2},(P)} \right) = \frac{{\left| { - 1 + 2.4 + 2.3 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = 1 \end{array}\)
Trên trục Oy tìm các điểm cách đều hai mặt phẳng \((P):x + y - z + 1 = 0\) và \((Q):z - y + z - 5 = 0.\)
Gọi \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \in Oy.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} d({M_0},(P)) = d\left( {{M_0},(Q)} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {{y_0} + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\left| { - {y_0} - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {{y_0} + 1} \right| = \left| { - {y_0} - 5} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {y_0} + 1 = {y_0} + 5\,(VN)\\ {y_0} + 1 = - {y_0} - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow {y_0} = - 3 \end{array}\)
Vậy M(0;-3;0).
Tính góc tạo bởi mặt phẳng (P): 3x+y+4z+2017=0 và mặt phẳng (Q) chứa 3 điểm A(1;1;1); B(2;3;0); C(3;4;-1).
VTPT của (P) là: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;1;4} \right).\)
(Q) chứa 3 điểm A(1;1;1); B(2;3;0); C(3;4;-1) nên VTPT của (Q) là:
\(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = (6; - 5; - 4).\)
Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có:
\(\begin{array}{l} \cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.6 + 1.( - 5) + 4.( - 4)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {4^2}} .\sqrt {{6^2} + {{( - 5)}^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {2002} }}\\ \Rightarrow \alpha \approx {86^0}9'. \end{array}\)
Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em dạng của phương trình mặt phẳng, cách xác định vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng. Bên cạnh đó là các công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, phương pháp xác định vị trí tương đối của mặt phẳng. Ngoài ra trong bài học này các em còn được tìm hiểu khái niệm hoàn toàn mới là tích có hướng giữa hai vectơ và những ứng dụng.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \(A(1;2;0),B(3;-1;1)\) và \(C(1;1;1)\). Tính diện tích S của tam giác ABC.
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;2;3} \right);B\left( {0;0;2} \right);C\left( {1;0;0} \right);D\left( {0; - 1;0} \right)\). Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;3;-2) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0\).
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 81 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 81 SGK Hình học 12
Bài tập 3.17 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.18 trang 113 SBT Hình học 12
Bài tập 3.19 trang 113 SBT Hình học 12
Bài tập 3.20 trang 113 SBT Hình học 12
Bài tập 3.21 trang 113 SBT Hình học 12
Bài tập 3.22 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.23 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.24 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.25 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.26 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.27 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.28 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.29 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.30 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 15 trang 89 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 89 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 89 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \(A(1;2;0),B(3;-1;1)\) và \(C(1;1;1)\). Tính diện tích S của tam giác ABC.
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;2;3} \right);B\left( {0;0;2} \right);C\left( {1;0;0} \right);D\left( {0; - 1;0} \right)\). Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;3;-2) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0\).
Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng chứa hai điểm A(1;0;1), B(-1;2;2) và song song với trục Ox.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho G(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm G và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(1;1;1)\) và \(B(1;3;-5)\) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x + 3y - 12z + 10 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) và song song \((\alpha )\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + my + 3z - 5 = 0\) và \(\left( \beta \right):nx - 8y - 6z + 2 = 0\left( {m,n \in \mathbb{R} } \right)\) . Tìm giá trị của m và n để hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) song song với nhau?
Tính thể tích V của tứ diện OABC với A, B, C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \(2x - 3y + 5z - 30 = 0\) với trục Ox, Oy, Oz.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(S\left( {0;0;1} \right),A\left( {1;1;0} \right)\). Hai điểm \(M\left( {m;0;0} \right),N\left( {0;n;0} \right)\) thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0, n > 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN).
Viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua điểm M(1; -2; 4) và nhận \(\overrightarrow{n}= (2; 3; 5)\) làm vectơ pháp tuyến.
b) Đi qua điểm A(0 ; -1 ; 2) và song song với giá của các vectơ \(\overrightarrow{u}(3; 2; 1)\)và \(\overrightarrow{v}(-3; 0; 1)\)
c) Đi qua ba điểm A(-3 ; 0 ; 0), B(0 ; -2 ; 0) và C(0 ; 0 ; -1).
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;3;7) và B(4;1;3).
a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.
Lập phương trình mặt phẳng :
a) Chứa trục Ox và điểm P(4 ; -1 ; 2);
b) Chứa trục Oy và điểm Q(1 ; 4 ;-3);
c) Chứa trục Oz và điểm R(3 ; -4 ; 7);
Cho tứ diện có các đỉnh là A(5 ; 1 ; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0 ; 6).
a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng (ACD) và (BCD)
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.
Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(2 ; -1 ; 2) và song song với mặt phẳng \((\beta )\) có phương trình: 2x - y + 3z + 4 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) đi qua hai điểm A( 1; 0 ; 1), B(5 ; 2 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng: 2x - y + z - 7 = 0.
Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau:
a) \(2x + my + 3z - 5 = 0\) và \(\small nx - 8y - 6z + 2 = 0\);
b) \(\small 3x - 5y + mz - 3 = 0\) và \(\small 2x + ny - 3z + 1 = 0\);
Tính khoảng cách từ điểm A(2 ; 4 ; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a) \(2x - y + 2z - 9 = 0\);
b) \(\small 12x - 5z + 5 = 0\) ;
c) \(\small x = 0\).
Giải các bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng 1.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song với nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau:
a) \((\alpha )\) đi qua điểm M(2;0; 1) và nhận \(\vec n = (1;1;1)\) làm vecto pháp tuyến ;
b) \((\alpha )\) đi qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá của hai vecto \(\vec u = (0;1;1),\vec v = ( - 1;0;2)\) ;
c) \((\alpha )\) đi qua ba điểm M(1;1;1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1).
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; -2; 4), B(3; 6; 2).
Cho tứ diện ABCD có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0 ; 4), D(4; 0 ; 6)
a) Hãy viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC).
Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và song song với mặt phẳng \((\beta )\) : x + y + 2z – 7 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua hai điểm A(0; 1; 0) , B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta )\) : x + 2y – z = 0 .
Xác định các giá trị của A, B để hai mặt phẳng sau đây song song với nhau:
\((\alpha )\) : Ax – y + 3z + 2 = 0
\((\beta )\) : 2x + By + 6z + 7 = 0
Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 0) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a) \((\alpha )\) : x + 2y – 2z + 1 = 0
b) \((\beta )\) : 3x + 4z + 25 = 0
c) \((\gamma )\) : z + 5 = 0
Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng
\((\alpha )\) : 3x – y + 4z + 2 = 0
\((\beta )\) : 3x – y + 4z + 8 = 0
Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để:
a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng:
\((\beta )\) : 3x - 2y + 2z + 7 = 0
\((\gamma )\) : 5x – 4y + 3z + 1 = 0
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Hãy xác định giá trị của \(m\) và \(n\) để cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau: \(3x - 5y + mz - 3 = 0\) và \(2x + ny - 3z + 1 = 0\).
Câu trả lời của bạn
Nếu \(n=0\) thì \(\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{0}{{ - 5}}\) nên hai mặt phẳng không song song.
Hai mặt phẳng \(3x - 5y + mz - 3 = 0\) và \(2x + ny - 3z + 1 = 0\) song song khi và chỉ khi: \(\dfrac{3}{2}=-\dfrac{5}{n}=\dfrac{m}{-3}\neq -\dfrac{3}{1}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3n = - 10\\2m = - 9\end{array} \right.\) \(⇔ \left\{\begin{matrix} n=-\dfrac{10}{3} & \\ m=-\dfrac{9}{2} & \end{matrix}\right..\)
Tính khoảng cách từ điểm \(A(2 ; 4 ; -3)\) đến mặt phẳng sau: \(2x - y + 2z - 9 = 0\).
Câu trả lời của bạn
\((P): \, 2x - y + 2z - 9 = 0\)
\(d(A,(P))=\dfrac{|2.2-4+2.(-3)-9)}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}\) \(=\dfrac{15}{3}=5\)
Tính khoảng cách từ điểm \(A(2 ; 4 ; -3)\) đến mặt phẳng sau: \(12x - 5z + 5 = 0\).
Câu trả lời của bạn
\( (Q): \, 12x - 5z + 5 = 0\)
\(d(A,(Q))=\dfrac{|12.2-5.(-3)+5)}{\sqrt{12^2+5^2}}\) \(=\dfrac{44}{13}.\)
Tính khoảng cách từ điểm \(A(2 ; 4 ; -3)\) đến mặt phẳng sau: \(x = 0\).
Câu trả lời của bạn
\( (R):x = 0\)
\(d\left( {A,\left( R \right)} \right) = \dfrac{{\left| 2 \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 2\)
Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) trong trường hợp: \((\alpha )\) đi qua điểm M(2;0; 1) và nhận \(\overrightarrow n = (1;1;1)\) làm vecto pháp tuyến;
Câu trả lời của bạn
Phương trình \((\alpha )\) có dạng: (x – 2)+ (y) + (z – 1) = 0 hay x + y + z – 3 = 0
Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) trong trường hợp: \((\alpha )\) đi qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá của hai vecto \(\overrightarrow u = (0;1;1),\overrightarrow v = ( - 1;0;2)\);
Câu trả lời của bạn
Hai vecto có giá song song với mặt phẳng \((\alpha )\) là: \(\overrightarrow u = (0;1;1)\) và \(\overrightarrow v = ( - 1;0;2)\).
Suy ra \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = (2; - 1;1)\)
Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm A(1; 0; 0) và nhận \(\overrightarrow n = (2; - 1;1)\) là vecto pháp tuyến.
Vậy phương trình của \((\alpha )\) là: 2(x – 1) – y +z = 0 hay 2x – y + z – 2 = 0
Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) trong trường hợp: \((\alpha )\) đi qua ba điểm M(1;1;1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1).
Câu trả lời của bạn
Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là: \(\overrightarrow {MN} = (3;2;1)\) và \(\overrightarrow {MP} = (4;1;0)\)
Suy ra \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = ( - 1;4; - 5)\)
Vậy phương trình của \((\alpha )\) là: -1(x – 1) + 4(y – 1) – 5(z – 1) = 0
hay x – 4y + 5z – 2 = 0.
Hãy viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; -2; 4), B(3; 6; 2).
Câu trả lời của bạn
Đoạn thẳng AB có trung điểm là I(2; 2; 3)
Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \overrightarrow {IB} = (1;4; - 1)\).
Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:
1(x – 2) + 4(y – 2) – 1(z – 3) = 0 hay x + 4y – z – 7 = 0.
Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0 ; 4), D(4; 0 ; 6). Hãy viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 4;5; - 1)\) và \(\overrightarrow {AC} = (0; - 1;1)\) suy ra \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (4;4;4)\)
Do đó (ABC) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (4;4;4)\) hoặc \(\overrightarrow n ' = (1;1;1)\)
Suy ra phương trình của (ABC) là: (x – 5) + (y – 1) + (z – 3) = 0
hay x + y + z – 9 =0
Với tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0 ; 4), D(4; 0 ; 6). Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC).
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC) nên \((\alpha )\) cũng có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n ' = (1;1;1)\)
Vậy phương trình của \((\alpha )\) là: (x – 4) + (y) + (z – 6) = 0 hay x + y + z – 10 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và song song với mặt phẳng \((\beta )\) : x + y + 2z – 7 = 0.
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng \((\alpha )\) song song với mặt phẳng \((\beta )\): x + y + 2z – 7 = 0
Vậy phương trình của \((\alpha )\)có dạng : x + y + 2z + D = 0
\((\alpha )\) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) suy ra D = 0.
Vậy phương trình của \((\alpha )\) là x + y + 2z = 0.
Hãy lập phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua hai điểm A(0; 1; 0) , B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta )\) : x + 2y – z = 0 .
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng \((\beta )\):
x + 2y – z = 0.
Vậy hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là \(\overrightarrow {AB} = (2;2;1)\) và \(\overrightarrow {{n_\beta }} = (1;2; - 1)\)
Suy ra \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} =\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = ( - 4;3;2)\)
Vậy phương trình của \((\alpha )\) là: -4x + 3(y – 1) + 2z = 0 hay 4x – 3y – 2z + 3 = 0.
Hãy xác định các giá trị của A, B để hai mặt phẳng sau đây song song với nhau:
\((\alpha )\): Ax – y + 3z + 2 = 0; \((\beta )\): 2x + By + 6z + 7 = 0
Câu trả lời của bạn
\((\alpha )//(\beta ) \Leftrightarrow \dfrac{A}{2} = \dfrac{{ - 1}}{B} = \dfrac{3}{6} \ne \dfrac{2}{7}\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A = 1}\\{B = - 2}\end{array}} \right.\)
Hãy tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 0) đến mặt phẳng sau: \((\alpha )\): x + 2y – 2z + 1 = 0
Câu trả lời của bạn
\(d(M,(\alpha )) = \dfrac{{|1 + 4 + 1|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = \dfrac{6}{3} = 2\)
Hãy tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 0) đến mặt phẳng sau: \((\beta )\): 3x + 4z + 25 = 0.
Câu trả lời của bạn
\(d(M,(\beta )) = \dfrac{{|3 + 25|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = \dfrac{{28}}{5}\)
Hãy tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 0) đến mặt phẳng sau: \((\gamma )\): z + 5 = 0.
Câu trả lời của bạn
\(d(M,(\gamma )) = \dfrac{{|5|}}{{\sqrt 1 }} = 5\)
Có hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song.
Câu trả lời của bạn
Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ là:
A(0; 0; 0) , B(1;0; 0) , D(0; 1; 0)
B’(1; 0 ; 1) , D’(0; 1; 1) , C’ (1; 1; 1)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB'} = \left( {1;0;1} \right),\overrightarrow {AD'} = \left( {0;1;1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AD'} } \right] = \left( { - 1; - 1;1} \right)\end{array}\)
Mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\) đi qua \(A\left( {0;0;0} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AD'} } \right] = \left( { - 1; - 1;1} \right)\) làm VTPT nên
\(\left( {AB'D'} \right):\)\( - \left( {x - 0} \right) - \left( {y - 0} \right) + \left( {z - 0} \right) = 0\) hay \(x + y - z = 0\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BC'} = \left( {0;1;1} \right),\overrightarrow {DC'} = \left( {1;0;1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {DC'} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\end{array}\)
Mặt phẳng \(\left( {BC'D} \right)\) đi qua \(B\left( {1;0;0} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {DC'} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm VTPT nên
\(\left( {BC'D} \right):\)\(\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 0} \right) - \left( {z - 0} \right) = 0\) hay \(x + y - z - 1 = 0\)
Ta có: \(\dfrac{1}{1} = \dfrac{1}{1} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{0}{{ - 1}}\).
Vậy (AB’D’) // (BC’D)
Hãy tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng: \((\alpha )\): 3x – y + 4z + 2 = 0; \((\beta )\): 3x – y + 4z + 8 = 0.
Câu trả lời của bạn
Xét điểm M(x; y; z). Ta có: M cách đều hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\)
\( \Leftrightarrow d(M,(\alpha )) = d(M,(\beta ))\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{|3x - y + 4z + 2|}}{{\sqrt {9 + 1 + 16} }}\) \( = \dfrac{{|3x - y + 4z + 8|}}{{\sqrt {9 + 1 + 16} }}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left| {3x - y + 4z + 2} \right| = \left| {3x - y + 4z + 8} \right|\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x - y + 4z + 2 = 3x - y + 4z + 8\\
3x - y + 4z + 2 = - \left( {3x - y + 4z + 8} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2 = 8\left( {vo\,li} \right)\\
6x - 2y + 8z + 10 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow 3x - y + 4z + 5 = 0
\end{array}\)
Vậy tập hợp điểm M là mặt phẳng \(3x - y + 4z + 5 = 0\).
Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng: \((\beta )\): 3x – 2y + 2z + 7 = 0; \((\gamma )\): 5x – 4y + 3z + 1 = 0.
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng \((\beta )\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_\beta }} = (3; - 2;2)\)
Mặt phẳng \((\gamma )\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_\gamma }} = (5; - 4;3)\).
Mặt phẳng \((\alpha )\) vuông góc với hai mặt phẳng \((\beta )\) và \((\gamma )\), do đó
\(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{n_\beta }} \\
\overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{n_\gamma }}
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ;\overrightarrow {{n_\gamma }} } \right]\)
Suy ra \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\overrightarrow {{n_\gamma }} } \right] = (2;1; - 2)\)
Mặt khác \((\alpha )\) đi qua điểm M(3; -1; -5) và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) .
Vậy phương trình của \((\alpha )\) là: 2(x – 3) + 1(y + 1) – 2(z + 5) = 0 hay 2x + y – 2z – 15 = 0.
Cho điểm A(2; 3; 4). Viết phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua các hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ.
Câu trả lời của bạn
Hình chiếu của điểm A(2; 3; 4) lên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là B(2; 0; 0), C(0; 3; 0), D(0; 0 ; 4). Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua ba điểm B, C, D nên \((\alpha )\) có phương trình theo đoạn chắn là: \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{4} = 1\) hay 6x + 4y + 3z – 12 = 0.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *