Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em dạng của phương trình mặt phẳng, cách xác định vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng. Bên cạnh đó là các công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, phương pháp xác định vị trí tương đối của mặt phẳng. Ngoài ra trong bài học này các em còn được tìm hiểu khái niệm hoàn toàn mới là tích có hướng giữa hai vectơ và những ứng dụng.
Cho hai vectơ \(\vec{a}=(x_1;y_1;z_1)\) và \(\vec{b}=(x_2;y_2;z_2)\), vectơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]\) được gọi là tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) được xác định như sau:
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {z_1}}\\
{{y_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {z_2}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{z_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {x_1}}\\
{{z_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {x_2}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {y_1}}\\
{{x_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {y_2}}
\end{array}} \right|} \right) = ({y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1})\)
Vectơ \(\overrightarrow n\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b.\)
Cho mặt phẳng (P). Nếu vectơ \(\vec n\) khác \(\vec 0\) có giá vuông góc với (P) thì \(\vec n\) được gọi là Vectơ pháp tuyến của của (P).
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: \(Ax+By+Cz+D=0, \,\, A^2+B^2+C^2\neq 0)\).
Với \(\overrightarrow{n}=(A;B;C)\) là Vectơ pháp tuyến (VTPT).
Mặt phẳng (P) đi qua điểm \({{M_0}({x_0};{y_0};{z_0})}\), nhận vectơ \({\vec n = (A;B;C)}\) làm VTPT có phương trình tổng quát là:
\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)
Mặt phẳng (P) đi qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) có phương trình tổng quát là: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\).
Cho hai mặt phẳng \((\alpha _1) \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\) có một VTPT \(\vec{n_1}=(A_1;B_1;C_1)\) và \((\alpha _2) \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\) có một VTPT \(\vec{n_2}=(A_2;B_2;C_2)\).
Khi đó vị trí tương đối giữa \((\alpha_1)\) và \((\alpha_2)\) được xác định như sau:
Nếu \(A_2, B_2, C_2, D_2 \neq 0\): \((\alpha _1)//(\alpha _2)\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\neq \frac{D_1}{D_2}\).
Nếu \(A_2, B_2, C_2, D_2 \neq 0\) thì \((\alpha _1)\equiv (\alpha _2)\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}= \frac{D_1}{D_2}\).
Nếu \(A_2,B_2,C_2\neq 0\) thì \((\alpha _1),(\alpha _2)\) cắt nhau \(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}\\ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{C_1}{C_2}\\ \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} \end{matrix}\).
Cho mặt phẳng (P): \(Ax+By+Cz+D=0 \ \ (A^2+B^2+C^2\neq 0)\)
và điểm \(M(x_0,y_0,z_0)\).
Khoảng cách từ M đến (P) được xác định bởi công thức: \(d(M;(P))=\frac{\left | Ax_0+Ay_0+Az_0+D \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).
Cho hai mặt phẳng \((P)\;{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\) và \((Q)\;{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\) có VTPT lần lượt là:
\(\vec{n}_P=(A_1;B_1;C_1)\) và \(\vec{n}_Q=(A_2;B_2;C_2)\), khi đó:
\(cos\widehat {(P,Q)} = \left| {cos({{\vec n}_P};{{\vec n}_Q})} \right| = \frac{{\left| {{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_P}} \right|\left| {{{\vec n}_Q}} \right|}}\)\(=\frac{\left | A_1B_2+B_1B_2+C_1C_2 \right |}{\sqrt{A^2_1+B_1^2+C^2_1} .\sqrt{A^2_2+B_2^2+C^2_2}}\)
Chú ý:
Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2).
a) Chứng minh: A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác
b) Tính diện tích tam giác ABC.
c) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} ( - 2;3;1),\overrightarrow {AC} ( - 3;4;2) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (2;1;1) \ne \overrightarrow 0\) nên \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}\) không cùng phương do đó A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác.
b) \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
c) \(AH = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {{1^2} + {{(4 - 3)}^2} + {{(2 - 1)}^2}} }} = \sqrt 2\).
Cho 4 điểm: A(1;0;1), B(-1;1;2), C(-1;1;0), D(2;-1;-2)
a) Chứng minh rằng: A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
c) Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD.
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;1;1} \right);\) \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;1; - 1} \right)\,;\,\overrightarrow {AD} = \left( {1; - 1; - 3} \right).\)
\(\left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 2 \ne 0.\)
Vậy 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng.
Suy ra A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{3}\)
Mà: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{BCD}}.AH \Rightarrow AH = \frac{1}{{{S_{BCD}}}}.\)
\(\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 4; - 6;0} \right) \Rightarrow {S_{BCD}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CD} } \right]} \right| = \sqrt {13} .\)
Vậy: \(AH = \frac{1}{{\sqrt {13} }}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) (P) đi qua điểm \({M_0}( - 2;3;1)\) và vuông góc với đường thẳng AB với \(A(3;1; - 2):B(4; - 3;1).\)
b) (P) đi qua điểm \({M_0}( - 2;3;1)\) và song song với mặt phẳng (Q): \(4x - 2y + 3z - 5 = 0.\)
c) (P) đi qua điểm \({M_0}( - 2;3;1)\) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0.
d) (P) đi qua 3 điểm \(A(2;0; - 1);B(1; - 2;3);C(0;1;2).\)
a) Mặt phẳng (P) có VTPT \(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} = (1; - 4;3).\)
\(1(x + 2) - 4(y - 3) + 3(z - 1) = 0\)\(\Leftrightarrow (P):x - 4y + 3z + 11 = 0.\)
Mặt khác: \({M_0}( - 2;3;1) \in (P) \Rightarrow D = 11\). Suy ra: \((P):x - 4y + 3z + 11 = 0.\)
b)
\((P):4(x + 2) - 2(y - 3) + 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow (P):4x - 2y + 3z + 11 = 0.\)
\({M_0}( - 2;3;1)\in(P)\Rightarrow D=11\Rightarrow (P):{\rm{4x - 2}}y + 3z + 11 = 0.\)
c)
Ta có: \({\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {(P) \bot (Q) \Rightarrow VTPT\overrightarrow {{n_{(P)}}} \bot VTPT\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = (1; - 3;2)}\\ {(P) \bot (Q) \Rightarrow VTPT\overrightarrow {{n_{(P)}}} \bot VTPT\overrightarrow {{n_{(R)}}} = (2;1; - 1)} \end{array}} \right\}}\)
Suy ra mặt phẳng (P) có VTPT là: \({\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{(Q)}}} ,\overrightarrow {{n_{(R)}}} } \right] = (1;5;7)}.\)
Mặt khác (P) đi qua \({M_0}( - 2;3;1)\) nên có phương trình là:
\((P):(x + 2) + 5(y - 3) + 7(z - 1) = 0 \Leftrightarrow (P):z + 5y + 7z - 20 = 0.\)
d) Cặp VTCP mặt phẳng (P) là:
\(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2;4)\\ \overrightarrow {AC} = ( - 2;1;3) \end{array} \right. \Rightarrow VTPT\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = ( - 10; - 5; - 5).\)
Mặt khác (P) đi qua A(2;0;-1) nên có phương trình là:
\((P): - 10(x - 2) - 5(y - 0) - 5(z + 1) = 0 \Leftrightarrow (P):2x + y + z - 3 = 0.\)
Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình sau:
a) 2x-3y+4z-4=0 và 3x-y-x-1=0.
b) -x+y-z+4=0 và 2x-2y+2z-7=0.
c) 3x+3y-6z-12=0 và 4x+4y-8z-16=0.
a) Ta có: \(\frac{2}{3} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 1}} \ne \frac{4}{1}\) vậy hai mặt phẳng cắt nhau.
b) Ta có: \(\frac{{ - 1}}{2} = \frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 1}}{2} \ne \frac{4}{7}\) vậy hai mặt phẳng song song.
c) Ta có: \(\frac{3}{4} = \frac{3}{4} = \frac{{ - 6}}{{ - 8}} = \frac{{ - 12}}{{ - 16}}\) vậy hai mặt phẳng trùng nhau.
Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là: \(\left( {{m^2} - 5} \right)x - 2y + mz + m - 5 = 0\) và \(x + 2y - 3nz + 3 = 0.\)
Tìm m và n để hai mặt phẳng trùng nhau.
Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l} \frac{{{m^2} - 5}}{1} = \frac{{ - 2}}{2} = \frac{m}{{ - 3n}} = \frac{{m - 5}}{3}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 5 = - 1\\ m = 3n\\ m - 5 = - 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = \pm 2\\ n = \frac{m}{3}\\ m = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 2\\ n = \frac{2}{3} \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy với m=2; \(n=\frac{2}{3}\) thì hai mặt phẳng trùng nhau.
Tìm khoảng cách từ các điểm \({M_0}\left( {1; - 1;2} \right);\,{M_1}\left( {3;4;1} \right);\,{M_2}\left( { - 1;4;3} \right)\) đến mặt phẳng x+2y+2z-10=0.
\(\begin{array}{l} d\left( {{M_0},(P)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.( - 1) + 2.2 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = \frac{7}{3}\\ d\left( {{M_1},(P)} \right) = \frac{{\left| {3 + 2.4 + 2.1 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = 1\\ d\left( {{M_2},(P)} \right) = \frac{{\left| { - 1 + 2.4 + 2.3 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = 1 \end{array}\)
Trên trục Oy tìm các điểm cách đều hai mặt phẳng \((P):x + y - z + 1 = 0\) và \((Q):z - y + z - 5 = 0.\)
Gọi \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \in Oy.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} d({M_0},(P)) = d\left( {{M_0},(Q)} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {{y_0} + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\left| { - {y_0} - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {{y_0} + 1} \right| = \left| { - {y_0} - 5} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {y_0} + 1 = {y_0} + 5\,(VN)\\ {y_0} + 1 = - {y_0} - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow {y_0} = - 3 \end{array}\)
Vậy M(0;-3;0).
Tính góc tạo bởi mặt phẳng (P): 3x+y+4z+2017=0 và mặt phẳng (Q) chứa 3 điểm A(1;1;1); B(2;3;0); C(3;4;-1).
VTPT của (P) là: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;1;4} \right).\)
(Q) chứa 3 điểm A(1;1;1); B(2;3;0); C(3;4;-1) nên VTPT của (Q) là:
\(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = (6; - 5; - 4).\)
Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có:
\(\begin{array}{l} \cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.6 + 1.( - 5) + 4.( - 4)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {4^2}} .\sqrt {{6^2} + {{( - 5)}^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {2002} }}\\ \Rightarrow \alpha \approx {86^0}9'. \end{array}\)
Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em dạng của phương trình mặt phẳng, cách xác định vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng. Bên cạnh đó là các công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, phương pháp xác định vị trí tương đối của mặt phẳng. Ngoài ra trong bài học này các em còn được tìm hiểu khái niệm hoàn toàn mới là tích có hướng giữa hai vectơ và những ứng dụng.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \(A(1;2;0),B(3;-1;1)\) và \(C(1;1;1)\). Tính diện tích S của tam giác ABC.
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;2;3} \right);B\left( {0;0;2} \right);C\left( {1;0;0} \right);D\left( {0; - 1;0} \right)\). Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;3;-2) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0\).
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 81 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 81 SGK Hình học 12
Bài tập 3.17 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.18 trang 113 SBT Hình học 12
Bài tập 3.19 trang 113 SBT Hình học 12
Bài tập 3.20 trang 113 SBT Hình học 12
Bài tập 3.21 trang 113 SBT Hình học 12
Bài tập 3.22 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.23 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.24 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.25 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.26 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.27 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.28 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.29 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.30 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 15 trang 89 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 89 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 89 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \(A(1;2;0),B(3;-1;1)\) và \(C(1;1;1)\). Tính diện tích S của tam giác ABC.
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;2;3} \right);B\left( {0;0;2} \right);C\left( {1;0;0} \right);D\left( {0; - 1;0} \right)\). Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;3;-2) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0\).
Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng chứa hai điểm A(1;0;1), B(-1;2;2) và song song với trục Ox.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho G(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm G và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(1;1;1)\) và \(B(1;3;-5)\) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x + 3y - 12z + 10 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) và song song \((\alpha )\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + my + 3z - 5 = 0\) và \(\left( \beta \right):nx - 8y - 6z + 2 = 0\left( {m,n \in \mathbb{R} } \right)\) . Tìm giá trị của m và n để hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) song song với nhau?
Tính thể tích V của tứ diện OABC với A, B, C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \(2x - 3y + 5z - 30 = 0\) với trục Ox, Oy, Oz.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(S\left( {0;0;1} \right),A\left( {1;1;0} \right)\). Hai điểm \(M\left( {m;0;0} \right),N\left( {0;n;0} \right)\) thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0, n > 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN).
Viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua điểm M(1; -2; 4) và nhận \(\overrightarrow{n}= (2; 3; 5)\) làm vectơ pháp tuyến.
b) Đi qua điểm A(0 ; -1 ; 2) và song song với giá của các vectơ \(\overrightarrow{u}(3; 2; 1)\)và \(\overrightarrow{v}(-3; 0; 1)\)
c) Đi qua ba điểm A(-3 ; 0 ; 0), B(0 ; -2 ; 0) và C(0 ; 0 ; -1).
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;3;7) và B(4;1;3).
a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.
Lập phương trình mặt phẳng :
a) Chứa trục Ox và điểm P(4 ; -1 ; 2);
b) Chứa trục Oy và điểm Q(1 ; 4 ;-3);
c) Chứa trục Oz và điểm R(3 ; -4 ; 7);
Cho tứ diện có các đỉnh là A(5 ; 1 ; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0 ; 6).
a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng (ACD) và (BCD)
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.
Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(2 ; -1 ; 2) và song song với mặt phẳng \((\beta )\) có phương trình: 2x - y + 3z + 4 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) đi qua hai điểm A( 1; 0 ; 1), B(5 ; 2 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng: 2x - y + z - 7 = 0.
Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau:
a) \(2x + my + 3z - 5 = 0\) và \(\small nx - 8y - 6z + 2 = 0\);
b) \(\small 3x - 5y + mz - 3 = 0\) và \(\small 2x + ny - 3z + 1 = 0\);
Tính khoảng cách từ điểm A(2 ; 4 ; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a) \(2x - y + 2z - 9 = 0\);
b) \(\small 12x - 5z + 5 = 0\) ;
c) \(\small x = 0\).
Giải các bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng 1.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song với nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau:
a) \((\alpha )\) đi qua điểm M(2;0; 1) và nhận \(\vec n = (1;1;1)\) làm vecto pháp tuyến ;
b) \((\alpha )\) đi qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá của hai vecto \(\vec u = (0;1;1),\vec v = ( - 1;0;2)\) ;
c) \((\alpha )\) đi qua ba điểm M(1;1;1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1).
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; -2; 4), B(3; 6; 2).
Cho tứ diện ABCD có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0 ; 4), D(4; 0 ; 6)
a) Hãy viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC).
Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và song song với mặt phẳng \((\beta )\) : x + y + 2z – 7 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua hai điểm A(0; 1; 0) , B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta )\) : x + 2y – z = 0 .
Xác định các giá trị của A, B để hai mặt phẳng sau đây song song với nhau:
\((\alpha )\) : Ax – y + 3z + 2 = 0
\((\beta )\) : 2x + By + 6z + 7 = 0
Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 0) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a) \((\alpha )\) : x + 2y – 2z + 1 = 0
b) \((\beta )\) : 3x + 4z + 25 = 0
c) \((\gamma )\) : z + 5 = 0
Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng
\((\alpha )\) : 3x – y + 4z + 2 = 0
\((\beta )\) : 3x – y + 4z + 8 = 0
Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để:
a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng:
\((\beta )\) : 3x - 2y + 2z + 7 = 0
\((\gamma )\) : 5x – 4y + 3z + 1 = 0
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; -1; -2), B(1 ; 3 ; -2).
Tính khoảng cách d giữa hai điểm A Và B
A : d = 20
B : d = 2√5
C : d = 36
D: d = 6
Câu trả lời của bạn
tính AB (-2 4 0) vậy AB=căn bậc hai(4+16)=2 căn 5 nha bn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0) và B(1; 1; - 1). Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB và phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc với (P).
Câu trả lời của bạn
Gọi M là trung điểm của AB, ta có \(M=\left ( \frac{3}{2};\frac{1}{2};-\frac{1}{2} \right )\)
Vì (P) là mặt phẳng trung trực của AB nên (P) đi qua M và \(\overline{AB}= (-1;1;-1)\) là một vectơ pháp tuyến của (P).
Suy ra, phương trình của (P) là: \((-1)\left ( x-\frac{3}{2} \right )+\left ( y-\frac{1}{2} \right )+(-1)\left ( z+\frac{1}{2} \right ) =0\) hay 2x - 3y +12 = 0
Ta có \(d(O,(P))=\frac{1-11}{\sqrt{2^2+(-2)^2+2^2}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\)
Do đó, phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc với (P) là: \(x^2+y^2+z^2=\frac{1}{12} \ hay\ 12x^2+12y^2+12z^2-1=0\)
Trong không gian tọa độ Oxyz , cho hai điểm \(A (4;-2;11), B(-2;-10;3)\) và mặt phẳng \((P): x+y-z-4=0\). Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB và tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA = MB = 13
Câu trả lời của bạn
+ Mp trung trực (Q) của đoạn AB qua trung điểm I(1;-6;7) của AB nhận \(\overrightarrow{AB}=(-6;-8;-8)\) làm VTPT
Suy ra phương trình mp \((Q): -6(x-1)-8(y+6)-8(z-7)=0 \Leftrightarrow 3x+4y+4z-7=0\)
+ Gọi \(\Delta =(Q)\cap (P)\). Đường thẳng \(\Delta\) là tập hợp các điểm thỏa hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} 3x+4y+4z-7=0\\ x+y-z-4=0 \end{matrix}\right.\) (1)
+ (P) có VTPT \(\vec{n}_P=(1;1;-1),\) (Q) có VTPT \(\vec{n}_Q=(3;4;4)\)
Suy ra \(\Delta\) có VTCP \(\vec{u}=\left [ \vec{n}_P,\vec{n}_Q \right ]=(8;-7;1)\). Trong đó (1) cho x = 1 giải được y = 2; z = -1 suy ra \(\Delta\) đi qua điểm (1; 2; -1). Vậy phương trình tham số đường thẳng \(\Delta\):
\(\left\{\begin{matrix} x=1+8t\\ y=2-7t\\ z=-1+t \end{matrix}\right.\)
+ \(M\in (P)\) và \(MA=MB\). Ta có \(M(1+8t;2-7t;-1+t)\)
\(MA = 13 \Leftrightarrow (8t-3)^2+(4-7t)^2+(t-12)^2=169\Leftrightarrow 114t^2-128t=0\)
\(\Leftrightarrow t=0\) hoặc \(t=\frac{64}{27}\)
Vậy có hai điểm M thỏa bài toán: \(M_1(1;2;-1), M_2(\frac{569}{57};-\frac{334}{57};\frac{7}{57})\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1;), B(2;2;2), C(2;0;5), D(0;2;1). Viết phương trình mặt phẳng chứa A và B đi qua trung điểm của đoạn CD.
Câu trả lời của bạn
Gọi I là trung điểm của đoạn CD, suy ra I(1;1;3)
\(\overrightarrow{AI}=(0;0;2)\) suy ra (P) nhận \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AI} =(2;-2;0)\) làm véc tơ pháp tuyến.
Do (P) đi qua A(1;1;1) nên phương trình mp (P) là: \(1(x-1)-1(y-1)=0\) hay \(x-y=0\)
Cách 1:
Gọi G là trọng tâm ∆ABC, M là trung điểm BC.
Ta có \(\overrightarrow{IH}=3\overrightarrow{IG}\) (đường thẳng Ơ – le), suy ra \(G(\frac{11}{3};\frac{7}{3})\)
Vì \(\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{GM}\) nên M(4;1).
Đường thẳng BC qua M nhận \(\overrightarrow{AH}=(0;-2)\) làm VTPT nên có phương trình: y = 1.
Đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)ABC có tâm là I, có bán kính \(IA=\sqrt{10}\) nên có phương trình:
\((x-4)^2+(y-2)^2=10\)
Tọa độ điểm B và C là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} (x-4)^2+(y-2)^2=10\\ y=1 \end{matrix}\right.\)
Giải hệ với chú ý xB < 3, ta thu được B(1;1) và C(7;1).
Cách 2:
Đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)ABC có tâm là I, có bán kính \(IA=\sqrt{10}\) nên có phương trình:
\((x-4)^2+(y-2)^2=10\)
Phương trình đường cao \(AH:x=3\) nên phương trình đường thẳng BC có dạng y = b.
Tọa độ điểm B và C là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} (x-4)^2+(y-2)^2=10\\ y=b \end{matrix}\right.\)
Vì xB < 3 nên giải hệ ta được: \(B(4-\sqrt{10-(b-2)^2};b), C(4+\sqrt{10-(b-2)^2};b)\)
Suy ra \(\overrightarrow{AC}=(1+\sqrt{10-(b-2})^2;b-5), \overrightarrow{BH}=(-1+\sqrt{10-(b-2)^2};3-b)\)
Vì BH \(\perp\) AC nên \(\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow 10-(b-2)^2-1+(b-5)(3-b)=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} b=1\\ b=5 \end{matrix}\)
* Với b = 1 ta có B(1;1) và C(7;1) nhận.
* Với b = 5 ta có B(3;5) nên loại.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4) và đường thẳng \(d: \left\{\begin{matrix} x=-t\\ y=2+t\\ z=3-t \end{matrix}\right, t\in R\)
Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm tọa độ giao điểm của d với mặt phẳng (ABC).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(1;0;-1); \overrightarrow{AC}=(2;-1;2)\left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ]=(-1;-4;-1)\)
Mặt phẳng (ABC) nhậ vec tơ \(\vec{n}=\left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ]\) làm vec tơ pháp tuyến
Suy ra (ABC): x + 4(y-1) + z – 1 = 0 hay x + 4y + z – 5 = 0
Tọa độ gia điểm I của d và mp (ABC) là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} x=-t\\ y=2+t\\ z=3-t\\ x+4y+z-5=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow -t+4(2+t)+3-t-5\Rightarrow t=-3\)
\(\Rightarrow I (3;-1;6)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1; -2;0) và mặt phẳng (P): 2x - 2y +z - 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mặt phẳng (P) . Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng (Q) đi qua M và song song mặt phẳng (P) nên nhận \(\small \vec{n}=(2;-2;1)\) là một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng \(\small (Q): 2x-2y+z-6=0\)
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là: \(\small d(M;(P))=\frac{4}{3}\)
Phương trình mặt cầu là \(\small (x-1)^2+(y+2)^2+z^2=\frac{16}{9}\)
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A (1; 2; 1), B (-2; 1; 3), C (2; -1; 1) và D (0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ (D) đến (P).
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: (P) qua A, B và song song với CD.
Trường hợp 2: (P) qua A, B và cắt CD. Suy ra (P) cắt CD tại trung điểm I của CD.
Trường hợp 1: (P) qua A, B và song song với CD.
Vec tơ pháp tuyến của (P): \(\overrightarrow{n}=\left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right ]\)
\(\overrightarrow{AB}=(-3;-1;2),\overrightarrow{CD}=(-2;4;0)\Rightarrow \overrightarrow{n}=(-8;-4;-14).\)
Phương trình (P): \(4x+2y+7z-15=0.\)
Trường hợp 2: (P) qua A, B và cắt CD. Suy ra (P) cắt CD tại trung điểm I của CD.
\(I(1;1;1)\Rightarrow \overrightarrow{AI}=(0;-1;0);\) vec tơ pháp tuyến của (P): \(\overrightarrow{n}=\left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AI} \right ]=(2;0;3).\)
Phương trình (P): \(2x+3z-5=0\)
Kết luận: Vậy (P): \(4x+2y+7z-15=0\) hoặc (P): \(2x+3z-5=0.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + z = 0 và đường thẳng d: \(\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-1}\) . Gọi A là giao điểm của (P) và d. Tìm tọa độ điểm M thuộc d và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P), biết AM = \(\sqrt{6}\)
Câu trả lời của bạn
đây là dạng nâng cao hả
Gọi véc tơ pháp tuyến của mp (P) là \(\overrightarrow{n_P}=(1;-2;1)\), véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow{n_d}=(2;1;-1)\) và góc tạo bởi d và (P) là \(\alpha\).
Ta có \(sin\alpha =\frac{\left | \overrightarrow{n_P}. \overrightarrow{n_d} \right |}{\left | \overrightarrow{n_P}\right |\left |\overrightarrow{n_d} \right |}=\frac{\left | 1.2-2.1-1.1 \right |}{\sqrt{6}.\sqrt{6}}=\frac{1}{6}\)
Giả sử M(1+2t; t; -2-t) và H là hình chiếu vuông góc của M trên (P).
Khi đó ta có \(MH=AM.sin\alpha =\frac{\sqrt{6}}{6}\)
Và \(MH=d(M,(P))=\frac{\left | 4+2t-2t-2-t \right |}{\sqrt{6}}=\frac{\left | 1+t \right |}{\sqrt{6}}\)/
Suy ra \(\frac{\left | 1+t \right |}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\Leftrightarrow \left | 1+t \right |=1\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=0\\ t=-2 \end{matrix}\Rightarrow\) M1 (1;0;-2) và M2 (-3;-2;0)
Vậy có hai điểm M1(1;0;-2) và M2 (-3;-2;0) thỏa mãn AM = \(\sqrt{6}\) và khoảng cách đến (P) bằng \(\frac{\sqrt{6}}{6}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện có các đỉnh là A (5; 1; 3), B (1; 6; 2), C (6; 2; 4) và D (4; 0; 6).
1) Viết phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) đi qua đỉnh D và song song với mặt phẳng (ABC).
2) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Câu trả lời của bạn
1) Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(-4;5;-1)\)
\(\overrightarrow{AC}=(1;1;1)\)
\(\Rightarrow \left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ]=(6;3;-9)\)
Suy ra mp (ABC) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}(2;1;-3)\).
Mặt phẳng \(\alpha\) đi qua D song song với mp (ABC) cũng có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}(2;1;-3)\).
Vậy PT mp \((\alpha )\): \(2(x-4)+y-3(z-6)=0\)
\(\Leftrightarrow 2x+y-3z+10=0\)
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((P): x-y+z-1=0\) và điểm A(1, 1,2) . Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua A và vuông góc với (P). Tính bán kính của mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng \(\Delta\), đi qua A và tiếp xúc với (P).
Câu trả lời của bạn
Do \(\Delta\) vuông góc với (P) nên \(\Delta\) có VTPT \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u_P}=(1,-1,1)\)
Phương trình đường thẳng \(\Delta\) qua A(1, -1,2) là: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=-1-t\\ z=2+t \end{matrix}\right.\)
Gọi tâm \(I\in \Delta \Rightarrow I(1+t,-1-t,2+t)\). Lúc đó
\(R=IA=d(I,(P))\Leftrightarrow \sqrt{3t^2}=\frac{\left | 3+3t \right |}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow t=-\frac{1}{2}\)
Vậy \(R=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho mặt phẳng (P): x – 2y + z + 5 = 0.
1) Gọi giao điểm của mặt phẳng (P) với các trục Ox và Oz lần lượt tại X và Z. Tính diện tích của tam giác OXZ.
2) Lập phương trình mặt phẳng (α) vuông góc với mặt phẳng (P) và chứa đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng (P1): x – 2z = 0 và (P2): 3x – 2y + z – 3 = 0.
Câu trả lời của bạn
1.
Điểm X thuộc Ox \(\Leftrightarrow\) X(x; 0; 0) và điểm X thuộc (P) nên ta có: x – 2. 0 + 0 + 5 = 0
\(\Rightarrow X(-5;0;0)\Rightarrow OX=5\)
Điểm Z thuộc Oz Z(0;0;z) và điểm Z thuộc (P) nên ta có: 0 - 2.0 + z + 5 = 0 \(\Rightarrow\) Z(0;0;-5) \(\Rightarrow\) OZ = 5.
Vậy \(S_{OXZ}=\frac{1}{2}.OX.OZ=\frac{25}{2}\)
2.
Gọi \(\overrightarrow{n_1}(1;0;-2)\) và \(\overrightarrow{n_2}(3;-2;1)\) lần lượt là véc tơ pháp tuyến của (P1) , (P2).
Khi đó vec tơ chỉ phương của d là \(\overline{u}=\left [\overline{n_2},\overline{n_1} \right ]=(4;7;2)\)
Véc tơ pháp tuyến của (P) là \(\overline{n_P}=(1;-2;1)\), suy ra vecto pháp tuyến của \((\alpha )\) là \(\overline{n_\alpha }=\left [\overline{u_d},\overline{n_P} \right ]=(11;-2;-15)\)
Ta nhận thấy \(M(0;-\frac{3}{2};0)\) thuộc đường thẳng d. Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là: 11x – 2y – 15z – 3 = 0 .
Trong không gian Oxyz cho A(3;0;0),B(0;2;0),C(0;0;-3). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.
Câu trả lời của bạn
Phương trình mặt phẳng \((ABC):\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{-3}=1\)
Do H là trực tâm của tam giác ABC nên OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) PT đường thẳng d qua O vuông góc với (ABC): \(d:\left\{\begin{matrix} x=2t\\ y=3t\\ z=-2t \end{matrix}\right.\)
H thuộc d nên H(2t; 3t; -2t)
H thuộc mặt phẳng (ABC), suy ra \(t=\frac{6}{17}\)
Vậy \(H\left (\frac{12}{17};\frac{18}{17};\frac{-12}{17} \right )\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; -1; 2), B(3; 0; -4) và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 5 = 0. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P). Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (P).
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng AB đi qua điểm A và có vtcp \(\overrightarrow{AB}=(2;1;-6)\)
Phương trình tham số của AB là \(\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=-1+t \\ z=2-6t \end{matrix}\right.\; (t \in R)\)
Gọi \(I=AB\cap (P)\Rightarrow I \in AB\Rightarrow I(1+2t;-1+t;2-6t)\)
\(I \in (P)\Rightarrow (1+2t)-2(-1+6t)+2(2-6t)-5=0\Rightarrow t=\frac{1}{6}\)
Suy ra tọa độ giao điểm của AB và (P) là điểm \(I(\frac{4}{3};-\frac{5}{6};1)\)
Mặt phẳng (Q) qua A và có vtpt \(\overrightarrow{n_{p}}=\left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{p}} \right ],\) trong đó \(\overrightarrow{n_{p}}\) là vtpt của (P)
Ta có: \(\overrightarrow{n_{p}}=(1;-2;2)\)
Suy ra \(\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{p}} \right ]=(10;10;5).\) Chọn \(\overrightarrow{n_{Q}}=(2;2;1)\)
Phương trình mặt phẳng \((Q):2(x-1)+2(y+1)+1(z-2)=0\)
\(\Leftrightarrow 2x+2y+z-2=0\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \(z^2-4x+6y-2z-2=0\). Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oy và cắt n mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính \(r=2\sqrt{3}\).
Câu trả lời của bạn
:) khó quá
\((S):x^2+y^2+z^2-4x+6y-2z-2=0\Leftrightarrow (x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=1\)
\(\Rightarrow (S)\) có tâm I(2;-3;1) bán kính R = 4 ; trục Oy có VTCP \(\vec{J}=(0;1;0)\)
Gọi \(\vec{n}=(a;b;c)\) là VTPT mp(P)
(P) chứa Oy \(\Rightarrow \vec{n}\perp \vec{J}\Rightarrow b=0\Rightarrow \vec{n}=(a;0;c) \ \ \ (a^2+c^2\neq 0)\)
Phương trình mp(P) : ax + cz = 0
(P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính \(r=2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow d\left [ I,(P) \right ]=\sqrt{R^2-r^2}=2\)
\(\Leftrightarrow \frac{\left | 2a+c \right |}{\sqrt{a^2+c^2}}=2\Leftrightarrow 4a^2+4ac+c^2=4a^2+4c^2\Leftrightarrow 3c^2-4ac=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} c=0\\ 3c=4a \end{matrix}\)
Vậy phương trình mp(P): x = 0 hoặc 3x + 4z = 0
Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 3; -4), B(5; 3; -1) và mặt phẳng (P): x - y - z = 0. Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) qua A và song song với (P). Tìm tọa độ điểm C trên (P) sao cho tam giác ABC vuông cân tại C.
Câu trả lời của bạn
\((\alpha )\) nhận \(\overrightarrow{n}(1;-1;-1)\) làm véc tơ pháp tuyến
Phương trình của \((\alpha ):x-y-z-3=0\)
Gọi \(C(x;y;x-y-4)\in (P)\)
Ta có \(\overrightarrow{AC}=(x-2;y-3;x-y),\overrightarrow{BC}=(x-5;y-3;x-y-3)\)
Tam giác ABC vuông cân tại C nên
\(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=0\\ AC^{2}=BC^{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-2)(x-5)+(y-3)^{2}+(x-y)(x-y-3)=0\\ (x-2)^{2}+(y-3)^{2}+(x-y)^{2}=(x-5)^{2}+(y-3)^{2}+(x-y-3)^{2} \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x^{2}-23x+42=0\\ y=2x-5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=3;y=1\\ x=\frac{14}{3};y=\frac{13}{3} \end{matrix}\)
Vậy C(3; 1; -2) hoặc \(C(\frac{14}{3};\frac{13}{3};-\frac{11}{3})\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;1), B(3;2;2) và mặt phẳng (P): x + 2y - 5z - 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (\(\small \alpha\)) đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). Xác định hình chiếu vuông góc của A xuống (P).
Câu trả lời của bạn
Chọn \(\overrightarrow{n_\alpha }=\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{n_\beta }(-7;6;1)\)
⇒ Phương trình mặt phẳng \((\alpha ): -7(x-2)+6(y-1)+1(z-1)=0\)
Hay \(-7x+6y+z+7=0\)
Gọi \(A'=(x_0;y_0;z_0)\) là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (P), Ta có:
\(A'\in (P)\) và \(\overrightarrow{AA'}, \overrightarrow{n_P}\) cùng phương
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0+2y_0-5z_0-3=0\\ \frac{x_0-2}{1}=\frac{y_0-2}{1}=\frac{z_0-2}{1} \end{matrix}\right.\)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{4}\)và điểm M (0; -2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng \(\Delta\) đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta\) và mặt phẳng (P) bằng 4.
Câu trả lời của bạn
Tại sao lại ra a/c = 4 và a/c = -2 vậy ạ
Giả sử \(\vec{n}=(a;b;c)\) là một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Phương trình mặt
phẳng (P): \(ax+by+cz+2b=0\). Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm A(1; 3; 0) và có
vec tơ chỉ phương \(\vec{u}=\) (1;1;4). Từ giả thiết ta có:
\(\left\{\begin{matrix} \Delta //(P)\\ d(A;(P)) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \vec{n}.\vec{u}=a+b+4c=0 \ \ (1)\\ \\ \frac{\left | a+5b \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=4 \ \ \ \ (2) \end{matrix}\right.\)
Thay b =- a - 4c, vào (2) ta có \((a+5c)^2=(2a^2+17c^2+8ac)\Leftrightarrow a^2-2ac-8c^2=0\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{a}{c}=4\\ \\ \frac{a}{c}=-2 \end{matrix}\right.\)
Với \(\frac{a}{c}=4\) chọn \(a=4, c=1\Rightarrow b=-8\). Phương trình mặt phăng \((P):4x-8y+z-16=0\)
Với \(\frac{a}{c}=-2\) chọn \(a = 2, c=-1\Rightarrow b=2\). Phương trình mặt phẳng \((P): 2x+2y-z+4=0\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(-4;1;3), B(1;5;5) và đường thẳng \(d:\frac{-x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+3}{3}\). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d. Tìm tọa độ điểm C thuộc d sao cho tam giác ABC có diện tích là \(S_{\Delta ABC}=\frac{15}{2}\)
Câu trả lời của bạn
*) Đường thẳng d có VTCP là \(\overrightarrow{u_d}=(-2;1;3)\) vì \((P)\perp d\) nên (P) nhận \(\overrightarrow{u_d}=(-2;1;3)\) làm VTPT do đó PT mặt phẳng (P) là:
\(-2(x+4)+1(y-1)+3(z-3)=0\Leftrightarrow -2x+y+3z-18=0\)
Vì C \(\in\) d nên C có tọa độ (-1-2t;1+t;-3+3t) nhận thấy B \(\in\) mp(P) nên \(\Delta\)ABC vuông tại A, do đó
\(S_{\Delta ABC}=\frac{15}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}.\left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ]=\frac{15}{2}\)
* Tính được các véc tơ \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\), theo tọa độ của các điểm nói trên để tìm ra tọa độ của C…
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(4; 1; 3) và đường thẳng \(d: \frac{x+1}{-2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+3}{3}\). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d. Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho \(AB = \sqrt{27}\).
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng d có VTCP là \(\overrightarrow{u} = (-2; 1; 3)\)
Vì \((P) \perp d\) nên (P) nhận \(\overrightarrow{u} = (-2;1;3)\) làm VTPT
Vậy PT mặt phẳng (P) là:
-2(x + 4) + 1(y - 1) + 3(z - 3) = 0
⇔ -2x + y +3z -18 = 0
Vì \(B \in d\) nên B(-1 - 2t; 1 + t; -3 + 3t)
\(AB = \sqrt{27} \Leftrightarrow AB^2 = 27\) \(\Leftrightarrow (3-2t)^2 + t^2 + (-6+3t)^2 = 27 \Leftrightarrow 7t^2 - 24t + 9 = 0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} t = 3\\ t = \frac{3}{7} \end{matrix}\). Vậy \(B(-7;4;6)\) hoặc \(B \bigg (-\frac{13}{7};\frac{10}{7};-\frac{12}{7} \bigg)\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm M (1;0;0) , N(0;2;0) và P(0;0;3). Viết phương trình mặt phẳng (MNP) và viết phương trình mặt cầu tâm O tiếp xúc với (MNP).
Câu trả lời của bạn
+ Phương trình mp \((MNP):\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1\)
\(\Leftrightarrow (MNP): 6x+3y+2z-6=0\)
+ Gọi (S) là mặt cầu tâm O bán kính R, (S) tiếp xúc (MNP) \(\Leftrightarrow R=d(O,(MNP))=\frac{6}{7}\)
Vậy \((S): x^2+y^2+z^2=\frac{36}{49}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *