Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em dạng của phương trình mặt phẳng, cách xác định vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng. Bên cạnh đó là các công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, phương pháp xác định vị trí tương đối của mặt phẳng. Ngoài ra trong bài học này các em còn được tìm hiểu khái niệm hoàn toàn mới là tích có hướng giữa hai vectơ và những ứng dụng.
Cho hai vectơ \(\vec{a}=(x_1;y_1;z_1)\) và \(\vec{b}=(x_2;y_2;z_2)\), vectơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]\) được gọi là tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) được xác định như sau:
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {z_1}}\\
{{y_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {z_2}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{z_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {x_1}}\\
{{z_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {x_2}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {y_1}}\\
{{x_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {y_2}}
\end{array}} \right|} \right) = ({y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1})\)
Vectơ \(\overrightarrow n\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b.\)
Cho mặt phẳng (P). Nếu vectơ \(\vec n\) khác \(\vec 0\) có giá vuông góc với (P) thì \(\vec n\) được gọi là Vectơ pháp tuyến của của (P).
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: \(Ax+By+Cz+D=0, \,\, A^2+B^2+C^2\neq 0)\).
Với \(\overrightarrow{n}=(A;B;C)\) là Vectơ pháp tuyến (VTPT).
Mặt phẳng (P) đi qua điểm \({{M_0}({x_0};{y_0};{z_0})}\), nhận vectơ \({\vec n = (A;B;C)}\) làm VTPT có phương trình tổng quát là:
\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)
Mặt phẳng (P) đi qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) có phương trình tổng quát là: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\).
Cho hai mặt phẳng \((\alpha _1) \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\) có một VTPT \(\vec{n_1}=(A_1;B_1;C_1)\) và \((\alpha _2) \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\) có một VTPT \(\vec{n_2}=(A_2;B_2;C_2)\).
Khi đó vị trí tương đối giữa \((\alpha_1)\) và \((\alpha_2)\) được xác định như sau:
Nếu \(A_2, B_2, C_2, D_2 \neq 0\): \((\alpha _1)//(\alpha _2)\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\neq \frac{D_1}{D_2}\).
Nếu \(A_2, B_2, C_2, D_2 \neq 0\) thì \((\alpha _1)\equiv (\alpha _2)\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}= \frac{D_1}{D_2}\).
Nếu \(A_2,B_2,C_2\neq 0\) thì \((\alpha _1),(\alpha _2)\) cắt nhau \(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}\\ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{C_1}{C_2}\\ \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} \end{matrix}\).
Cho mặt phẳng (P): \(Ax+By+Cz+D=0 \ \ (A^2+B^2+C^2\neq 0)\)
và điểm \(M(x_0,y_0,z_0)\).
Khoảng cách từ M đến (P) được xác định bởi công thức: \(d(M;(P))=\frac{\left | Ax_0+Ay_0+Az_0+D \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).
Cho hai mặt phẳng \((P)\;{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\) và \((Q)\;{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\) có VTPT lần lượt là:
\(\vec{n}_P=(A_1;B_1;C_1)\) và \(\vec{n}_Q=(A_2;B_2;C_2)\), khi đó:
\(cos\widehat {(P,Q)} = \left| {cos({{\vec n}_P};{{\vec n}_Q})} \right| = \frac{{\left| {{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_P}} \right|\left| {{{\vec n}_Q}} \right|}}\)\(=\frac{\left | A_1B_2+B_1B_2+C_1C_2 \right |}{\sqrt{A^2_1+B_1^2+C^2_1} .\sqrt{A^2_2+B_2^2+C^2_2}}\)
Chú ý:
Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2).
a) Chứng minh: A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác
b) Tính diện tích tam giác ABC.
c) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} ( - 2;3;1),\overrightarrow {AC} ( - 3;4;2) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (2;1;1) \ne \overrightarrow 0\) nên \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}\) không cùng phương do đó A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác.
b) \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
c) \(AH = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {{1^2} + {{(4 - 3)}^2} + {{(2 - 1)}^2}} }} = \sqrt 2\).
Cho 4 điểm: A(1;0;1), B(-1;1;2), C(-1;1;0), D(2;-1;-2)
a) Chứng minh rằng: A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
c) Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD.
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;1;1} \right);\) \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;1; - 1} \right)\,;\,\overrightarrow {AD} = \left( {1; - 1; - 3} \right).\)
\(\left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 2 \ne 0.\)
Vậy 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng.
Suy ra A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{3}\)
Mà: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{BCD}}.AH \Rightarrow AH = \frac{1}{{{S_{BCD}}}}.\)
\(\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 4; - 6;0} \right) \Rightarrow {S_{BCD}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CD} } \right]} \right| = \sqrt {13} .\)
Vậy: \(AH = \frac{1}{{\sqrt {13} }}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) (P) đi qua điểm \({M_0}( - 2;3;1)\) và vuông góc với đường thẳng AB với \(A(3;1; - 2):B(4; - 3;1).\)
b) (P) đi qua điểm \({M_0}( - 2;3;1)\) và song song với mặt phẳng (Q): \(4x - 2y + 3z - 5 = 0.\)
c) (P) đi qua điểm \({M_0}( - 2;3;1)\) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0.
d) (P) đi qua 3 điểm \(A(2;0; - 1);B(1; - 2;3);C(0;1;2).\)
a) Mặt phẳng (P) có VTPT \(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} = (1; - 4;3).\)
\(1(x + 2) - 4(y - 3) + 3(z - 1) = 0\)\(\Leftrightarrow (P):x - 4y + 3z + 11 = 0.\)
Mặt khác: \({M_0}( - 2;3;1) \in (P) \Rightarrow D = 11\). Suy ra: \((P):x - 4y + 3z + 11 = 0.\)
b)
\((P):4(x + 2) - 2(y - 3) + 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow (P):4x - 2y + 3z + 11 = 0.\)
\({M_0}( - 2;3;1)\in(P)\Rightarrow D=11\Rightarrow (P):{\rm{4x - 2}}y + 3z + 11 = 0.\)
c)
Ta có: \({\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {(P) \bot (Q) \Rightarrow VTPT\overrightarrow {{n_{(P)}}} \bot VTPT\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = (1; - 3;2)}\\ {(P) \bot (Q) \Rightarrow VTPT\overrightarrow {{n_{(P)}}} \bot VTPT\overrightarrow {{n_{(R)}}} = (2;1; - 1)} \end{array}} \right\}}\)
Suy ra mặt phẳng (P) có VTPT là: \({\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{(Q)}}} ,\overrightarrow {{n_{(R)}}} } \right] = (1;5;7)}.\)
Mặt khác (P) đi qua \({M_0}( - 2;3;1)\) nên có phương trình là:
\((P):(x + 2) + 5(y - 3) + 7(z - 1) = 0 \Leftrightarrow (P):z + 5y + 7z - 20 = 0.\)
d) Cặp VTCP mặt phẳng (P) là:
\(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2;4)\\ \overrightarrow {AC} = ( - 2;1;3) \end{array} \right. \Rightarrow VTPT\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = ( - 10; - 5; - 5).\)
Mặt khác (P) đi qua A(2;0;-1) nên có phương trình là:
\((P): - 10(x - 2) - 5(y - 0) - 5(z + 1) = 0 \Leftrightarrow (P):2x + y + z - 3 = 0.\)
Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình sau:
a) 2x-3y+4z-4=0 và 3x-y-x-1=0.
b) -x+y-z+4=0 và 2x-2y+2z-7=0.
c) 3x+3y-6z-12=0 và 4x+4y-8z-16=0.
a) Ta có: \(\frac{2}{3} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 1}} \ne \frac{4}{1}\) vậy hai mặt phẳng cắt nhau.
b) Ta có: \(\frac{{ - 1}}{2} = \frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 1}}{2} \ne \frac{4}{7}\) vậy hai mặt phẳng song song.
c) Ta có: \(\frac{3}{4} = \frac{3}{4} = \frac{{ - 6}}{{ - 8}} = \frac{{ - 12}}{{ - 16}}\) vậy hai mặt phẳng trùng nhau.
Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là: \(\left( {{m^2} - 5} \right)x - 2y + mz + m - 5 = 0\) và \(x + 2y - 3nz + 3 = 0.\)
Tìm m và n để hai mặt phẳng trùng nhau.
Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l} \frac{{{m^2} - 5}}{1} = \frac{{ - 2}}{2} = \frac{m}{{ - 3n}} = \frac{{m - 5}}{3}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 5 = - 1\\ m = 3n\\ m - 5 = - 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = \pm 2\\ n = \frac{m}{3}\\ m = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 2\\ n = \frac{2}{3} \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy với m=2; \(n=\frac{2}{3}\) thì hai mặt phẳng trùng nhau.
Tìm khoảng cách từ các điểm \({M_0}\left( {1; - 1;2} \right);\,{M_1}\left( {3;4;1} \right);\,{M_2}\left( { - 1;4;3} \right)\) đến mặt phẳng x+2y+2z-10=0.
\(\begin{array}{l} d\left( {{M_0},(P)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.( - 1) + 2.2 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = \frac{7}{3}\\ d\left( {{M_1},(P)} \right) = \frac{{\left| {3 + 2.4 + 2.1 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = 1\\ d\left( {{M_2},(P)} \right) = \frac{{\left| { - 1 + 2.4 + 2.3 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = 1 \end{array}\)
Trên trục Oy tìm các điểm cách đều hai mặt phẳng \((P):x + y - z + 1 = 0\) và \((Q):z - y + z - 5 = 0.\)
Gọi \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \in Oy.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} d({M_0},(P)) = d\left( {{M_0},(Q)} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {{y_0} + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\left| { - {y_0} - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {{y_0} + 1} \right| = \left| { - {y_0} - 5} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {y_0} + 1 = {y_0} + 5\,(VN)\\ {y_0} + 1 = - {y_0} - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow {y_0} = - 3 \end{array}\)
Vậy M(0;-3;0).
Tính góc tạo bởi mặt phẳng (P): 3x+y+4z+2017=0 và mặt phẳng (Q) chứa 3 điểm A(1;1;1); B(2;3;0); C(3;4;-1).
VTPT của (P) là: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;1;4} \right).\)
(Q) chứa 3 điểm A(1;1;1); B(2;3;0); C(3;4;-1) nên VTPT của (Q) là:
\(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = (6; - 5; - 4).\)
Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có:
\(\begin{array}{l} \cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.6 + 1.( - 5) + 4.( - 4)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {4^2}} .\sqrt {{6^2} + {{( - 5)}^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {2002} }}\\ \Rightarrow \alpha \approx {86^0}9'. \end{array}\)
Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em dạng của phương trình mặt phẳng, cách xác định vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng. Bên cạnh đó là các công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, phương pháp xác định vị trí tương đối của mặt phẳng. Ngoài ra trong bài học này các em còn được tìm hiểu khái niệm hoàn toàn mới là tích có hướng giữa hai vectơ và những ứng dụng.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \(A(1;2;0),B(3;-1;1)\) và \(C(1;1;1)\). Tính diện tích S của tam giác ABC.
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;2;3} \right);B\left( {0;0;2} \right);C\left( {1;0;0} \right);D\left( {0; - 1;0} \right)\). Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;3;-2) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0\).
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 81 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 81 SGK Hình học 12
Bài tập 3.17 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.18 trang 113 SBT Hình học 12
Bài tập 3.19 trang 113 SBT Hình học 12
Bài tập 3.20 trang 113 SBT Hình học 12
Bài tập 3.21 trang 113 SBT Hình học 12
Bài tập 3.22 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.23 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.24 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.25 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.26 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.27 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.28 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.29 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.30 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 15 trang 89 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 89 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 89 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \(A(1;2;0),B(3;-1;1)\) và \(C(1;1;1)\). Tính diện tích S của tam giác ABC.
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;2;3} \right);B\left( {0;0;2} \right);C\left( {1;0;0} \right);D\left( {0; - 1;0} \right)\). Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;3;-2) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0\).
Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng chứa hai điểm A(1;0;1), B(-1;2;2) và song song với trục Ox.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho G(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm G và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(1;1;1)\) và \(B(1;3;-5)\) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x + 3y - 12z + 10 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) và song song \((\alpha )\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + my + 3z - 5 = 0\) và \(\left( \beta \right):nx - 8y - 6z + 2 = 0\left( {m,n \in \mathbb{R} } \right)\) . Tìm giá trị của m và n để hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) song song với nhau?
Tính thể tích V của tứ diện OABC với A, B, C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \(2x - 3y + 5z - 30 = 0\) với trục Ox, Oy, Oz.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(S\left( {0;0;1} \right),A\left( {1;1;0} \right)\). Hai điểm \(M\left( {m;0;0} \right),N\left( {0;n;0} \right)\) thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0, n > 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN).
Viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua điểm M(1; -2; 4) và nhận \(\overrightarrow{n}= (2; 3; 5)\) làm vectơ pháp tuyến.
b) Đi qua điểm A(0 ; -1 ; 2) và song song với giá của các vectơ \(\overrightarrow{u}(3; 2; 1)\)và \(\overrightarrow{v}(-3; 0; 1)\)
c) Đi qua ba điểm A(-3 ; 0 ; 0), B(0 ; -2 ; 0) và C(0 ; 0 ; -1).
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;3;7) và B(4;1;3).
a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.
Lập phương trình mặt phẳng :
a) Chứa trục Ox và điểm P(4 ; -1 ; 2);
b) Chứa trục Oy và điểm Q(1 ; 4 ;-3);
c) Chứa trục Oz và điểm R(3 ; -4 ; 7);
Cho tứ diện có các đỉnh là A(5 ; 1 ; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0 ; 6).
a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng (ACD) và (BCD)
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.
Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(2 ; -1 ; 2) và song song với mặt phẳng \((\beta )\) có phương trình: 2x - y + 3z + 4 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) đi qua hai điểm A( 1; 0 ; 1), B(5 ; 2 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng: 2x - y + z - 7 = 0.
Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau:
a) \(2x + my + 3z - 5 = 0\) và \(\small nx - 8y - 6z + 2 = 0\);
b) \(\small 3x - 5y + mz - 3 = 0\) và \(\small 2x + ny - 3z + 1 = 0\);
Tính khoảng cách từ điểm A(2 ; 4 ; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a) \(2x - y + 2z - 9 = 0\);
b) \(\small 12x - 5z + 5 = 0\) ;
c) \(\small x = 0\).
Giải các bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng 1.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song với nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau:
a) \((\alpha )\) đi qua điểm M(2;0; 1) và nhận \(\vec n = (1;1;1)\) làm vecto pháp tuyến ;
b) \((\alpha )\) đi qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá của hai vecto \(\vec u = (0;1;1),\vec v = ( - 1;0;2)\) ;
c) \((\alpha )\) đi qua ba điểm M(1;1;1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1).
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; -2; 4), B(3; 6; 2).
Cho tứ diện ABCD có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0 ; 4), D(4; 0 ; 6)
a) Hãy viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC).
Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và song song với mặt phẳng \((\beta )\) : x + y + 2z – 7 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua hai điểm A(0; 1; 0) , B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta )\) : x + 2y – z = 0 .
Xác định các giá trị của A, B để hai mặt phẳng sau đây song song với nhau:
\((\alpha )\) : Ax – y + 3z + 2 = 0
\((\beta )\) : 2x + By + 6z + 7 = 0
Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 0) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a) \((\alpha )\) : x + 2y – 2z + 1 = 0
b) \((\beta )\) : 3x + 4z + 25 = 0
c) \((\gamma )\) : z + 5 = 0
Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng
\((\alpha )\) : 3x – y + 4z + 2 = 0
\((\beta )\) : 3x – y + 4z + 8 = 0
Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để:
a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng:
\((\beta )\) : 3x - 2y + 2z + 7 = 0
\((\gamma )\) : 5x – 4y + 3z + 1 = 0
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,qua 2 điểm M(1;-1;1) và N(0;-1;0) lập phương trình mặt phẳng \(\alpha\) cắt mặt cầu \(\left(S\right)\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-1\right)^2=5\) một thiết diện đường tròn mà diện tích hình tròn sinh bởi đường tròn có diện tích \(S=\pi\)
Câu trả lời của bạn
0 và 0
Mặt cầu (S) có tâm I(-2;-1;1) và bán kính \(R=\sqrt{5}\)
Gọi r là bán kinh đường tròn thiết diện, theo giả thiết ta có : \(S=\pi\Leftrightarrow r^2.\pi=\pi\Rightarrow r=1\)
Gọi d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng \(\alpha\), ta có \(d^2=R^2-r^2=5-1\Rightarrow d=2\)
Mặt phẳng \(\alpha\), qua N (0;-1;0) có dạng \(Ax+B\left(y+1\right)+Cz=0\Leftrightarrow Ax+By+Cz+B=0\left(A^2+B^2+C^2\ne0\right)\)
Mặt khác, \(\alpha\) qua M(1;-1;1) nên thỏa mãn \(A+C=0\Rightarrow\text{ }\) \(\alpha:Ax+By-Az+B=0\)
Vì \(d=d\left(I,\alpha\right)=\frac{\left|-3A\right|}{\sqrt{2A^2+B^2}}=2\Leftrightarrow A^2=4B^2\Rightarrow\frac{A}{B}=\pm2\) vì \(A^2+B^2+C^2\ne0\)
Do đó có 2 mặt phẳng \(\alpha\), cần tìm là \(2x+y-2z+1=0\) và \(2x-y-2z-1=0\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(2;0;0) và B(1;1;-1). Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB và phương trình mặt cầu tâm 0, tiếp xúc với (P)
Câu trả lời của bạn
Gọi M là trung điểm của AB, ta có \(M=\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)\)
Vì (P) là mặt phẳng trung trực của AB nên (P) đi qua M và \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;1;-1\right)\) là một vecto pháp tuyến của (P)
Suy ra, phương trình của (P) là : \(\left(-1\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)+\left(y-\frac{1}{2}\right)+\left(-1\right)\left(z+\frac{1}{2}\right)=0\)
hay : \(2x-2y+2z-1=0\)
Ta có : \(d\left(O,\left(P\right)\right)=\frac{\left|-1\right|}{\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2+2^2}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\)
Do đó phương trình mặt cầu tâm O , tiếp xúc với (P) là \(x^2+y^2+z^2=\frac{1}{12}\)
hay : \(12x^2+12y^2+12z^2-1=0\)
viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;0;0),B(0;2;0) và C(0;0;3)
Câu trả lời của bạn
để ý rằng 6x+3y+2z-6=0 \(\Leftrightarrow\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1\)nên ta có ngay kết quả cơ bản sau: mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0) và C(0;0;c) với abc\(\ne\)0 có phương trình
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm G(1;2;3) và lần lượt cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC
Câu trả lời của bạn
Giả sử A(a;0;0); B(0;b;0) và C(0;0;c) với \(abc\ne0\). Khi đó, mặt phẳng (P) có phươn trình :
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)
Do \(G\left(1;2;3\right)\in\left(P\right)\) nên
\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1\) (1)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên :
\(\begin{cases}1=\frac{a+0+0}{3}\\2=\frac{0+b+0}{3}\\3=\frac{0+0+c}{3}\end{cases}\)
Dễ dàng kiểm tra được \(a=3;b=6;c=9\) thỏa mãn (1). Vậy mặt phẳng cần tìm là \(\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1\)
hay \(6x+3y+2z-18=0\)
Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1;2;3) chắn trên ba trục tọa độ các đoạn thẳng có độ dài dương bằng nhau.
Câu trả lời của bạn
Giả sử mặt phẳng (P) cần tìm có phương trình dạng :
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)
với \(abc\ne0\) thỏa mãn
\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1\) (1)
Do (P) đi qua M và \(\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|\) (2)
(Do (P) chắn trên 3 trục tọa độ các đoạn thẳng có độ dài bằng nhau)
Từ (2) suy ra hoặc \(a=b=c\) hoặc \(a=-b=c\) hoặc \(a=b=-c\) hoặc \(b=c=-a\)
* Nếu \(a=b=c\), thay vào (1) ta được \(\frac{1}{a}+\frac{2}{a}+\frac{3}{a}=1\Leftrightarrow a=6\) do đó phương trình mặt phẳng (P) : \(\frac{x}{6}+\frac{y}{6}+\frac{z}{6}=1\) hay \(x+y+z-6=0\)
* Nếu \(a=-b=c\), thay vào (1) ta được \(\frac{1}{a}-\frac{2}{a}+\frac{3}{a}=1\Leftrightarrow a=2\) do đó phương trình mặt phẳng (P) : \(\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{z}{2}=1\) hay \(x-y+z-2=0\)
* Nếu \(a=b=-c\), thay vào (1) ta được \(\frac{1}{a}+\frac{2}{a}-\frac{3}{a}=1\Leftrightarrow\) Vô nghiệm
* Nếu \(b=c=-a\), thay vào (1) ta được \(\frac{1}{a}-\frac{2}{a}-\frac{3}{a}=1\Leftrightarrow a=-4\) do đó phương trình mặt phẳng (P) : \(\frac{x}{-4}-\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1\) hay \(-x+y+z-4=0\)
Vậy qua điểm \(M\left(1;2;3\right)\) có 3 mặt phẳng tọa độ yêu cầu, đó là:
\(\left(P_1\right):x+y+z-6=0\) chắn trên 3 trục tọa độ các đoạn có độ dài bằng 6
\(\left(P_2\right):x-y+z-2=0\) chắn trên 3 trục tọa độ các đoạn có độ dài bằng 2
\(\left(P_3\right):-x+y+z-4=0\)chắn trên 3 trục tọa độ các đoạn có độ dài bằng 4
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua H(1;2;1) và lần lượt cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC
Câu trả lời của bạn
Do tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (P).
Vậy mặt phẳng (P) đi qua H(1;2;1) và nhận vecto \(\overrightarrow{OH}=\left(1;2;1\right)\) làm vecto pháp tuyến suy ra (P) có phương trình :
\(1.\left(x-1\right)+2\left(y-2\right)+1\left(z-1\right)=0\)
hay \(x+2y+z-6=0\)
Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a đồng thời SA,SB,SC đôi 1 vuông góc với nhau tại S . Gọi H,I,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB,AC,BC . Gọi D là điểm đối xứng của S qua K,E lad giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SHI). Chứng minh rằng AD vuông góc với SE và tính thể tích của khối diệm SEBH theo a
Câu trả lời của bạn
có SA\perp (SBC)" src="" alt="">
Gắn vào hệ trục Oxyz có
CÓ : S(0,0,0) A(0,0,a) , B(0,a,0), C(a,0,0)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-2;1;5), mặt phẳng (P) : \(2x-2y+z-1=0\) và đường thẳng (d)\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{1}\). Tính khoảng cách từ A đến (P). Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với (P) và song song với d.
Câu trả lời của bạn
Kẻ \(SH\perp AC\left(H\in AC\right)\)
Do \(\left(SAC\right)\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)
\(SA=\sqrt{AC^2-SC^2}=a;SH=\frac{SA.SC}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(S_{ABCD}=\frac{AC.BD}{2}=2a^2\)
\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.2a^2=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}\)
Ta có \(AH=\sqrt{SA^2-SH^2}=\frac{a}{2}\Rightarrow CA=4HA\Rightarrow d\left(C,\left(SAD\right)\right)=4d\left(H,\left(SAD\right)\right)\)
Do BC//\(\left(SAD\right)\Rightarrow d\left(B,\left(SAD\right)\right)=d\left(C,\left(SAD\right)\right)=4d\left(H,\left(SAD\right)\right)\)
Kẻ \(HK\perp AD\left(K\in AD\right),HJ\perp SK\left(J\in SK\right)\)
Chứng minh được \(\left(SHK\right)\perp\left(SAD\right)\) mà \(HJ\perp SK\Rightarrow HJ\perp\left(SAD\right)\Rightarrow d\left(H,\left(SAD\right)\right)=HJ\)
Tam giác AHK vuông cân tại K\(\Rightarrow HK=AH\sin45^0=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)
\(\Rightarrow HJ=\frac{SH.HK}{\sqrt{SH^2+HK^2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\)
Vậy \(d\left(B,\left(SAD\right)\right)=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{2a\sqrt{21}}{7}\)
Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(3;1;1); B(2;-1;2) và mặt phẳng \(\left(\alpha\right):2x-y-2z+1=0\)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng\(\left(\alpha\right)\)
b) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\)
Câu trả lời của bạn
\(\overrightarrow{AB}=\left(-1;-2;1\right)\); \(\overrightarrow{n_{\alpha}}=\left(2;-1;2\right)\)\(\Rightarrow\overrightarrow{n_p}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_{\alpha}}\right]=\left(-3;4;5\right)\)
Phương trình mặt phẳng (P) : \(-3x+4y+5z=0\)
\(R=d\left(A;\left(\alpha\right)\right)=\frac{\left|6-1+2+1\right|}{\sqrt{9}}=\frac{8}{3}\)
Phương trình mặt cầu (S) : \(\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=\frac{64}{9}\)
Cho mặt phẳng \(\left(P\right):x+y+z-3=0\) và điểm \(A\left(1;2;-1\right)\)
Tìm tọa độ điểm A' là hình chiếu của A trên (P) và tọa độ A" đối xứng với A qua (P)
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{p}=\left(1;1;1\right)\), ta có A' là hình chiếu của A trên (P) khi và chỉ khi \(\begin{cases}A'\in\left(P\right)\\AA'\perp\left(P\right)\end{cases}\)
Gọi \(A'\left(x;y;z\right)\) là hình chiếu của A trên (P). Khi đó, ta có hệ phương trình :
\(\begin{cases}x+y+z-3=0\\\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}\end{cases}\)
Giải hệ thu được :
\(z=-\frac{2}{3};x=\frac{4}{3};y=\frac{7}{3}\)
Vậy A' cần tìm là \(A'\left(\frac{4}{7};\frac{7}{3};-\frac{2}{3}\right)\)
Nếu A" là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) thì A' là trung điểm của AA". Từ đó suy ra \(A"\left(\frac{5}{3};\frac{8}{3};-\frac{1}{3}\right)\)
Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;1;1) đồng thời vuông góc với cả 2 mặt phẳng :
\(\left(P\right):x+2y+3z+4=0\)
\(\left(Q\right):3x+2y-z=1=0\)
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{p}=\left(1;2;3\right)\)
Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{q}=\left(3;2-1\right)\)
Vì \(1:2:3\ne3:2:\left(-1\right)\) nen (P) và (Q) cắt nhau.
Do mặt phẳng (R) cần tìm có phương trình vuông góc với cả (P) và (Q) nên (R) nhận 2 vecto \(\overrightarrow{p}\) và \(\overrightarrow{q}\) làm cặp vecto chỉ phương.
Vậy mặt phẳng (R) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{r}\) cùng phương với vecto :
\(\left[\overrightarrow{p};\overrightarrow{q}\right]=\left(\left|\begin{matrix}2&3\\2&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}3&1\\-1&3\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&2\\3&2\end{matrix}\right|\right)\)
\(=\left(-8;10;-4\right)=-2\left(4;-5;2\right)\)
Do đó có thể chọn \(\overrightarrow{r}=\left(4;-5;2\right)\)
Suy ra (R) có phương trình :
\(4\left(x-1\right)-5\left(y-1\right)+2\left(z-1\right)=0\)
hay \(\left(R\right):4x-5y+3z-1=0\)
Cho trước mặt phẳng \(\left(P\right):x+y-x+1=0\) và 2 điểm \(A\left(-2;1;3\right):B\left(3;-5;6\right)\)
a. Tìm tọa độ điểm C trên mặt (P) sao cho CA + CB nhỏ nhất
b. Tìm điểm D trên mặt phẳng (P) sao cho \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\) có độ dài ngắn nhất.
Câu trả lời của bạn
a. Do \(\left(-2\right)+1-3+1=-3< 0\)
và \(4+\left(-5\right)-6+1=-6< 0\)
nên A, B ở về cùng 1 phía của mặt phẳng (P). Do đó điểm \(C\in\left(P\right)\) sao cho \(CA+CB\) nhỏ nhất chính là giao điểm của đoạn AB với mặt phẳng (P), trong đó A' là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P)
Giả sử \(A'\left(x;y;z\right)\) do A' đối xứng với A qua mặt phẳng (P) nên ta có hệ phương trình :
\(\begin{cases}\frac{x-2}{2}+\frac{y+2}{2}-\frac{zx+2}{2}+1=0\\\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{-1}\end{cases}\)
Giải hệ ta được \(x=0;y=3;z=1\)
Do đó \(A'\left(0;3;1\right)\)
Gọi \(C\left(x;y;z\right)\) là giao điểm của A'B với (P). Khi đó tọa độ của C' thỏa mãn phương tringf của (P) và hai vecto \(\overrightarrow{A'C};\overrightarrow{A'B}\) cùng phương. Do đó, ta có hệ phương trình :
\(\begin{cases}x+y-z+1=0\\\frac{x-0}{4-0}=\frac{y-3}{-5-3}=\frac{z-1}{6-1}\end{cases}\)
Từ phương trình thứ 2 suy ra \(y=-2x+3\) và \(z=\frac{5}{4}x+1\)
Thay vào phương trình thứ nhất ta được \(x=\frac{3}{4}\). Từ đó tìm được \(y=\frac{3}{2}\) và \(z=\frac{31}{16}\)
Vậy điềm \(C\) cần tìm là \(C\left(\frac{3}{4};\frac{3}{2};\frac{31}{16}\right)\)
b. Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó \(I\left(1;-2;\frac{9}{2}\right)\) và với mọi điểm D đều có \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{DI}\)
Vậy \(D\in\left(P\right):\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\right|\) bé nhất \(\Leftrightarrow\) D là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)
Gọi \(\left(x;y;z\right)\) là tọa độ của hình chiếu điểm I trên (P). Khi đó ta có hệ phương trình :
\(\begin{cases}x+y-z+1=0\\\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-\frac{9}{2}}{-1}\end{cases}\)
Giải hệ ta thu được :
\(x=\frac{5}{2};y=-\frac{1}{2};z=3\)
Vậy điểm \(D\in\left(P\right)\) sao cho \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\) có độ dài nhỏ nhất là \(D\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2};3\right)\)
Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm Q(3;-2;-7) và song song với mặt phẳng (\(\pi\)) : 2x-3y+5=0
Câu trả lời của bạn
Gọi (P) là mặt phẳng qua Q và song song với (π) . Vì (P) song song (π) nên n pháp tuyến của (π) = n pháp tuyến của(P)=(2,-3,0)
vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x-3)-3(y+2)=0 <=> 2x-3y-12=0
Cho 3 điểm \(A\left(1;2;-3\right);B\left(2;4;5\right);C\left(3;6;7\right)\) và mặt phẳng \(\left(P\right):x+y+z-3=0\)
Tìm trên mặt phẳng (P) điểm D sao cho vecto \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\) có độ dài ngắn nhất
Câu trả lời của bạn
Gọi G là điểm sao cho \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\) (G là trọng tâm của tam giác ABC)
Khi đó \(G\left(2;4;3\right)\) và \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{DG}\)
Vậy điểm \(D\in\left(P\right)\) mà \(\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right|\) bé nhất khi và chỉ khi D là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P). Khi đó vecto \(\overrightarrow{GD}\) cùng phương với vecto pháp tuyến của (P) và điểm D nằm trên mặt phẳng (P) nên ta có hệ :
\(\begin{cases}\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-3}{1}\\x+y+z-3=0\end{cases}\)
Giải hệ ta được : x = 0 ;y = 2; z = 1
Vậy điểm D cần tìm là \(D\left(0;2;1\right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm \(A\left(3;3;2\right);B\left(4;-3-3\right);C\left(2;1;1\right);D\left(1;2;1\right)\).
a. Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C
b. Tìm trên mặt phẳng (P) tất cả những điểm E sao cho \(S_{\Delta ODE}\) nhỏ nhất.
Câu trả lời của bạn
a. Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(1;-6;-5\right)\) và \(\overrightarrow{CA}=\left(1;2;1\right)\)
Suy ra :
\(\left|\overrightarrow{AB;}\overrightarrow{CA}\right|=\left(\left|\begin{matrix}-6&-5\\2&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-5&1\\1&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&-6\\1&2\end{matrix}\right|\right)\)
Từ đó do \(\left[\overrightarrow{AB;}\overrightarrow{CA}\right]\ne\overrightarrow{0}\) nên A, B, C không thẳng hàng và mặt phẳng (P) đi qua A,B,C có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}\left[\overrightarrow{AB;}\overrightarrow{CA}\right]=\left(2;-3;4\right)\)
Suy ra (P) có phương trình:
\(2\left(x-3\right)-3\left(y-3\right)+4\left(z-2\right)=0\)
hay :
\(2x-3y+4z-5=0\)
b. Do \(OD=\sqrt{1^2+2^2+1^2}=\sqrt{6}\) nên \(S_{\Delta ODE}\) bé nhất khi và chỉ khi \(d\left(E;OD\right)\) bé nhất.
\(\overrightarrow{OD}.\overrightarrow{n}=1.2.\left(-3\right)+1.4\) và\(1.2+2\left(-3+1.4-5\ne0\right)\) nên \(OD\backslash\backslash\left(P\right)\). Bởi vậy tập hợp tất cả những điểm \(E\in\left(P\right)\) sao cho \(d\left(E;OD\right)\) bé nhất là OD trên mặt phẳng (P)
Gọi d là đường thẳng đi qua O và vuông góc với (P). Khi đó d có phương trình :
\(\frac{x}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z}{4}\)
Gọi M là hình chiếu của O(0;0;0) trên (P). Khi đó tọa độ của M thỏa mãn hệ phương trình :
\(\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z}{4}\\2x-3y+4z-5=0\end{cases}\)
Giải hệ ta được : \(M\left(\frac{10}{29};\frac{-15}{29};\frac{20}{29}\right)\)
Vậy tập hợp tất cả các điểm E cần tìm là đường thẳng đi qua M, song song với OD, do đó có phương trình dạng tham số :
\(\begin{cases}x=\frac{10}{29}+t\\y=-\frac{15}{29}+2t\\z=\frac{20}{29}+t\end{cases}\) \(\left(t\in R\right)\)
Cho mặt phẳng \(\left(P\right):x+z-5=0\) và 2 điểm \(A\left(1;2;1\right);B\left(3;-2;3\right)\)
Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho :\(MA^2+MB^2\) nhỏ nhất.
Câu trả lời của bạn
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó \(I\left(2;0;2\right)\) với mọi điểm M đều có :
\(MA^2+MB^2=\overrightarrow{MA^2}+\overrightarrow{MB^2}\)
\(=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^2\)
\(=2MI^2+\left(IA^2+IB^2\right)=2MI^2+\frac{AB^2}{2}\)
Do đó \(M\in\left(P\right)\) sao cho \(MA^2+MB^2\) bé nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)
Gọi \(\left(x;y;z\right)\) là tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm I trên mặt phẳng (P). Khi đó ta có hệ phương trình :
\(\begin{cases}x+y+z-6=0\\\frac{x-2}{1}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-2}{1}\end{cases}\)
Giải hệ thu được :
\(x=\frac{8}{3};y=\frac{2}{3};z=\frac{8}{3}\)
Vậy điểm M cần tìm là \(M\left(\frac{8}{3};\frac{2}{3};\frac{8}{3}\right)\)
tìm điểm trên ox cách đều 2 mặt phẳng
( \alpha ):x+y-z-1=0
(\beta ): 2x+y+2z-2=0
Câu trả lời của bạn
Gọi A(a,0,0) là điểm cần tìm
\(d\left(A,\left(\alpha\right)\right)=\frac{\left|a+0-0-1\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{\left|a-1\right|}{\sqrt{3}}\)
\(d\left(B,\left(\beta\right)\right)=\frac{\left|2a+0+2.0-2\right|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\frac{\left|2a-2\right|}{3}\)
Ta có \(d\left(A,\left(\beta\right)\right)=d\left(B,\left(\beta\right)\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{\left|a-1\right|}{\sqrt{3}}=\frac{\left|2a-2\right|}{3}\\ \Leftrightarrow\left|a-1\right|=0\\ \Leftrightarrow a=1\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x+y+z-1=0 và hai điểm A(1;-3;0),B(5;-1;-2).Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho \(\left|MA-MB\right|\) đạt giá trị lớn nhất.
Câu trả lời của bạn
1)cho d: \(\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{1}\) và d' : \(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+2}{1}\). viết PT mặt phẳng (P) vuông góc với d và cắt Oz tại A, d' tại B sao cho AB nhỏ nhất
2) cho(P) : 3x-4y+z-1=0 và hai điểm A(1;-1;2), B(3;0;1). tìm M trên (P) sao cho MA+MB nhỏ nhất
Câu trả lời của bạn
Câu 2:
Thay toạ độ A và B vào (P) có \([3.1-4(-1)+2-1](3.3-4.0+1-1)>0\) nên A,B cùng phía so với (P)
Lấy A' đối xứng với A qua (P) \(\Rightarrow MA=MA'\Rightarrow MA+MB=MA'+MB\geq A'B\)
Do đó \((MA+MB)_{\min}\Leftrightarrow A',M,B\) thẳng hàng
Biểu thị (d) là đường thẳng chứa đoạn AA'.
Hiển nhiên \((d)\perp (P)\Rightarrow \overrightarrow{u_d}=\overrightarrow {n_P}=(3,-4,1)\)
Kết hợp với \(A\in (d)\) nên \(d:\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{-4}=\frac{z-2}{1}=t\)
Khi đó gọi \(H\equiv AA'\cap (P)\). Dễ có \(H=(\frac{1}{13},\frac{3}{13},\frac{22}{13})\)
Lại có H là trung điểm của AA' nên tọa độ của A' là
\(\left\{\begin{matrix} x_{A'}=2x_H-x_A=\frac{-11}{13}\\ y_{A'}=2y_H-y_A=\frac{19}{13}\\ z_{A'}=2z_H-z_A=\frac{18}{13}\end{matrix}\right.\)
Khi đó ta dễ dàng viết được PTĐT chứa A'B là \(\frac{13(x-3)}{50}=\frac{13y}{19}=\frac{13(z-1)}{5}\)
Tọa độ của M là nghiệm của hệ
\(\left\{\begin{matrix} \frac{13(x-3)}{50}=\frac{13y}{19}=\frac{13(z-1)}{5}\\ 3x-4y+z-1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow M(\frac{-213}{79},\frac{-171}{79},\frac{34}{79})\)
.
viêt phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(2;1;-1) sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) lớn nhất. (O là gốc tọa độ)
Câu trả lời của bạn
Lời giải
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ xuống mặt phẳng $(P)$
Khi đó, hiển nhiên tam giác $HOA$ là tam giác vuông tại $H$
\(\Rightarrow d(O,(P))=OH\leq OA\). Do đó để khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(P)$ là lớn nhất thì \(H\equiv A\) \(\Rightarrow \overrightarrow{OA}\perp (P)\)
Gọi \(\overrightarrow {n_P}\) là vector pháp tuyến của $(P)$. Ta có ngay\(\overrightarrow {n_P}=\overrightarrow {OA}=(2;1;-1)\)
Vậy ta có PTMP $(P)$ là: \(2(x-2)+y-1-1(z+1)=0\Leftrightarrow 2x+y-z-6=0\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *