Những vật thể có dạng mặt cầu hay khối cầu hết sức quen thuộc trong cuộc sống hằng ngày từ vật thể nhỏ như quả bóng hay đến Trái đất đều là một khối cầu. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và các công thức tính diện tích Mặt cầu, thể tích Khối cầu cùng với đó là những bài tập minh họa có lời giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải bài tập ở dạng toán này.
Kí hiệu: \(S\left( {O;r} \right) = \left\{ {M|OM = r} \right\}.\)
Dây cung CD và đường kính AB.
Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;r) thì:
Cho mặt cầu S(O;r) tâm O bán kính r và mặt phẳng (P); H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P).
Khi đó h=OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P).
Ghi nhớ: Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.
Cho mặt cầu S(O;r) và đường thẳng ∆. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O lên ∆, đặt h=OH. Ta có:
Ghi nhớ: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng \(\Delta\) tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại điểm H là \(\Delta\) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a và vuông góc với mặt đáy. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Xét các tam giác SAB, SBC, SDC, SAC đều là những tam giác vuông, và có chung SC là cạnh huyền.
Vậy trung điểm I của SC chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Xét tam giác ABC vuông tại B ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5a\).
Xét tam giác SAC vuông tại A ta có: \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 13a\).
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là: \(R=\frac{{13a}}{2}\).
Diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2}=169\pi a^2.\)
Thể tích khối cầu là: \(V=\frac{4}{3}\pi .R^3=\frac{2197}{6}\pi a^3.\)
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a.
Gọi H là tâm của tam giác đều BCD.
Dễ thấy A nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.
Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp ABCD thì O nằm trên AH.
Đặt OH=x (x>0)
Ta có:
\(BH = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3}a.\sin {60^0} = a.\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
\(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} = a\sqrt {\frac{2}{3}}\)
\(OA = AH - x = a\sqrt {\frac{2}{3}} - x\)
\(BO = \sqrt {B{H^2} + H{O^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{3} + {x^2}}\)
Mặt khác: \(OA = OB \Leftrightarrow a\sqrt {\frac{2}{3}} - x = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{3} + {x^2}} \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\).
Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp nằm trên AH và cách (BCD) một khoảng \(OH=\frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}.\)
Bán kính của mặt cầu là \(R=OA=a\sqrt {\frac{2}{3}} - \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}.\)
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có OA=a, OB=b,OC=c và OA,OB,OC đôi một vuông góc.
Gọi H là trung điểm của AB.
Dễ thấy H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB.
Mặt phẳng trung trực của SC cắt trục đường tròn (SAB) tại O.
Ta có O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
Do OHSM là hình chữ nhật nên: \(MS=OH=\frac{1}{2}c\).
\(\begin{array}{l} R = SO = \sqrt {S{H^2} + H{O^2}} = \sqrt {{{\frac{{AB}}{4}}^2} + H{O^2}} \\ = \sqrt {{{\frac{{S{A^2} + SB}}{4}}^2} + H{O^2}} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}. \end{array}\)
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a, góc giữa AB’ với mặt đáy là 450. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
\(B'B = AB.\tan {45^0} = a\).
Gọi O, O’ lần lượt là trọng tâm các tam giác đều ABC và A’B’C’.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là trung điểm I của OO’.
Do A'B'C' là tam giác đều nên \(O'C'=\frac{a \sqrt3}{3}.\)
\(IO'=\frac{1}{2}BB'=\frac{a}{2}.\)
Suy ra: \(R = IC' = \sqrt {IO{'^2} + O'C{'^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\).
Vậy diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = \frac{7}{3}\pi {a^2}\).
Những vật thể có dạng mặt cầu hay khối cầu hết sức quen thuộc trong cuộc sống hằng ngày từ vật thể nhỏ như quả bóng hay đến Trái đất đều là một khối cầu. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và các công thức tính diện tích Mặt cầu, thể tích Khối cầu cùng với đó là những bài tập minh họa có lời giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải bài tập ở dạng toán này.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hình lập phương có cạnh bằng a và tâm I. Tính diện tích S của mặt cầu tâm I tiếp xúc với các mặt của hình lập phương.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Cho một tam giác vuông cân có các cạnh góc vuông có độ dài m. Tính diện tích S của mặt cầu sinh bởi đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó khi quay quanh cạnh huyền.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 49 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 49 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 49 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 49 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 49 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 49 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 49 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 49 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 49 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 49 SGK Hình học 12
Bài tập 2.13 trang 60 SBT Hình học 12
Bài tập 2.14 trang 60 SBT Hình học 12
Bài tập 2.15 trang 60 SBT Hình học 12
Bài tập 2.16 trang 60 SBT Hình học 12
Bài tập 2.17 trang 61 SBT Hình học 12
Bài tập 2.18 trang 61 SBT Hình học 12
Bài tập 2.19 trang 61 SBT Hình học 12
Bài tập 2.20 trang 61 SBT Hình học 12
Bài tập 2.21 trang 61 SBT Hình học 12
Bài tập 2.22 trang 61 SBT Hình học 12
Bài tập 2.23 trang 61 SBT Hình học 12
Bài tập 1 trang 45 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 45 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 45 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 45 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 45 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 45 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 45 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 8 trang 45 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 9 trang 46 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 10 trang 46 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hình lập phương có cạnh bằng a và tâm I. Tính diện tích S của mặt cầu tâm I tiếp xúc với các mặt của hình lập phương.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Cho một tam giác vuông cân có các cạnh góc vuông có độ dài m. Tính diện tích S của mặt cầu sinh bởi đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó khi quay quanh cạnh huyền.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm nào?
Đường kính của một khối cầu bằng cạnh của một khối lập phương. Gọi V1 là thể tích khối lập phương, V2 là thể tích khối cầu. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a, cạnh bên 2a. Tìm bán kính khối cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu có ba kích thước là a, b, c. Tìm bán kính r của mặt cầu bằng?
Có một hộp nhựa hình lập phương người ta bỏ vào hộp đó 1 quả bóng đá. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}},\) trong đó V1 là tổng thế tích của quả bóng đá, V2 là thể tích của chiếc hộp đựng bóng. Biết rằng đường tròn lớn trên quả bóng có thể nội tiếp bốn mặt hình vuông của chiếc hộp.
Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm bao nhiêu % thể tích hình hộp.
Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(18\pi (dm^3)\) . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Tính thể tích V của nước còn lại trong bình.
Tìm tập hợp tất cả các điểm trong không gian luôn luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước
Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.
Từ một điểm M nằm nằm bên ngoài mặt cầu S( O; r) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.
a) Chứng minh rằng MA>MB = MC>MD.
b) GỌi MO = d. Tính MA>MB theo r và d.
Gọi mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với (P) tại I. Gọi M là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với I qua tâm O. Từ M kẻ hai tiếp tuyến cắt của mặt cầu cắt (p) tại A và B. Chứng minh rằng .
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = b, AD = c.
a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.
b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến cưa mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên.
Chứng minh rắng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện tứ diện bằng nhau.
Cho một điểm A cố định và một đường thẳng α cố định không đi qua A. Gọi O là một điểm thay đổi trên \(\alpha\). Chứng minh rằng các mặt cầu tâm O và bán kính r = OA luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.
Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đếu nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu đó
Trong mặt phẳng \((\alpha )\) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với \((\alpha )\) ta lấy một điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng \((\beta )\) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mặt phẳng \((\beta )\) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.
a) Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ luôn luôn thuộc một mặt cầu cố định.
b) Tính diện tích của mặt cầu đó và tính thể tích khối cầu được tạo thành.
Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích của mặt cầu đó.
Cho hai đường thẳng chéo nhau Δ và Δ′ có AA' là đoạn vuông góc chung, trong đó A ∈ Δ và A′ ∈ Δ′. Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa AA’ và vuông góc với Δ′ và cho biết AA’ = a. Một đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với mặt phẳng \((\alpha )\) lần lượt cắt Δ và Δ′ tại M và M’. Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng \((\alpha )\) là M1.
a) Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’ , M , M’, M1. Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A’M’ và góc \(\varphi = ({\rm{\Delta }},{\rm{\Delta '}})\)
b) Chứng minh rằng khi x thay đổi mặt cầu tâm O luôn luôn chứa một đường tròn cố định.
Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b, AC = c . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:
a) \(\widehat {BAC} = {90^0}\)
b) \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và b = c
c) \(\widehat {BAC} = {120^0}\) và b = c
Cho mặt cầu tâm O bán kính r. Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng cách tâm O một khoảng h (0 < h < r) và cắt mặt cầu theo đường tròn (C). Đường thẳng d đi qua một điểm A cố định trên (C) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) cắt mặt cầu tại một điểm B. Gọi CD là đường kính di động của (C)
a) Chứng minh các tổng AD2 + BC2 và AC2 + BD2 có giá trị không đổi.
b) Với vị trí nào của CD thì diện tích tam giác BCD lớn nhất?
c) Tìm tập hợp các điểm H, hình chiếu của B trên CD khi CD chuyển động trên đường tròn (C).
Hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều, có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 \). Một mặt cầu đi qua đỉnh A và tiếp xúc với hai cạnh SB , SC tại trung điểm của mỗi cạnh.
a) Chứng minh rằng mặt cầu đó đi qua trung điểm của AB và AC.
b) Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng SA là D. Tính độ dài của AD và SD.
Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì hình tứ diện đó có tổng các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
Hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD.
Hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE.
Cho hình cầu tâm O bán kính r. Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và \((\alpha )\) bằng 300.
a) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi \((\alpha )\) và hình cầu.
b) Đường thẳng đi qua A vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài đoạn AB.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là các tam giác đều cạnh a, AD=a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Câu trả lời của bạn
Gọi M là trung điểm cạnh BC.
Vì ABC và DBC là 2 tam giác đều bằng nhau nên 2 trung truyến AM và DM cùng vuông góc với BC và AM=DM=a√32
Trong ΔMAD:
AD2=AM2+DM2−2AM.DM.cos2α
⇒AD=2.2.3a24−2.3a24.13=2a2
Ta có: BA2+BD2=a2+a2=2a2=AD2
⇒ABD=900
Tương tự: CA2+CD2=AD2
⇒AC
cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,AB=a,AD=2a,tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD,DC. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DMN Câu trả lời của bạn mình lầm câu này nhé Kẻ . SH là đường cao của hình chóp SABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD khi đó Gọi H là trung điểm của AB, khi đó tam giác SAB vuông cân nên Xét tam giác SHO vuông tại H ta có Khi đó ta thấy Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, Bán kính anh dựa vào bài này nhé
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 2a. Tam giác SAB thuộc mặp phẳng vuông góc vs đáy. SA=A,SB=2a.tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp?
Câu trả lời của bạn
Gọi H là trung điểm của AB ⇒SH⊥(ABCD)⇒SH⊥(ABCD)
Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB, kẻ GI//OH
Mà OH⊥(SAB)⇒GI⊥(SAB)OH⊥(SAB)⇒GI⊥(SAB)
Ta có SG=GB=GA⇒IS=IB=IASG=GB=GA⇒IS=IB=IA
Mặt khác IA=IB=IC=ID nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
GI=OH=12aGI=OH=12a
SG=23SH=a√32⇒R=IS=√SG2+GI2=a√216
Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có diện tích các mặt ABCD, ADD'A', CDD'C' lần lượt là 15,20,12. Thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp đó là ?
Câu trả lời của bạn
v=125can2\3
Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác cân AB=AC=a,(SBC) vuông góc với đáy và SA=SB=a.
a)chứng minh tam giác SBC vuông tại B
b)Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp
Câu trả lời của bạn
Hình như đề bạn cho sai thì phải
(SBC) vuông góc với đáy, tam giác SBC vuông tại B =)) SB vuông góc với đáy
Mà SA=SB =)) vô lý
Kẻ AH vuông BC => H trung điểm BC.mặt khác SBC vuông ABC =>SH vuông ABC,SH vuông AH
gọi độ dài cạnh BC là y => AH=căn (a^2-y^2/4) => SH^2 = a^2 - (a^2-y^2/4)=y^2/4 => SH=y/2 trong tam giác SBC có đường trung tuyến = nửa cạnh BC => SBC vuông ở S
Gọi độ dài SC là x
Ta có SBC vuông ở S nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm H của BC => tâm I mặt cầu ngoại tiếp S.ABC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
tính BC theo a và x ta có AH=r+ căn (r^2-BC^2/4) giải PT này theo a và x
Giúp mk vs
Câu trả lời của bạn
Bài này bn giải ntn:
Ta có: \(h = OS = \sqrt {A{S^2} - O{A^2}} = R\sqrt 3 \)
\(\widehat {ASB} = {30^0} \Rightarrow \widehat {ISA} = {15^0}\)
Xét tam giác vuông ISA ta có: \(IA = SA.\sin \widehat {ISA} = 2R.\sin {15^0} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}R\)
Xét tam giác vuông AIO ta có: \(OI = \sqrt {O{A^2} - I{A^2}} = \sqrt { - 1 + \sqrt 3 } R\)
Xét ta, giác vuông SOI ta có: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{I^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{1}{{\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right){R^2}}} + \frac{1}{{3{R^2}}} = \frac{{5 + 3\sqrt 3 }}{{6{R^2}}}\)
Vậy: \(OH = \sqrt {\frac{6}{{5 + 3\sqrt 3 }}} R\)
Dùng máy tính kiểm tra nhanh ta thấy A là phương án đúng.
Em cảm ơn ❤️
cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a tính thể tích khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh cảu tứ diện ABCD?
Câu trả lời của bạn
{HÌNH BẠN TỰ VẼ NHÉ}
Gọi tâm của tứ diện đều là O.
Trọng tâm tam giác ABC là G.
Trung điểm của BC là M.
Ta có: \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,\,AG = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3};\,\,DG = \sqrt {A{D^2} - A{G^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)
\(OG = \frac{{DG}}{4} = \frac{{\sqrt 6 }}{{12}}a \Rightarrow OA = OB = OC = \sqrt {O{G^2} + A{G^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}a\) (1)
\(OD = \frac{3}{4}DG = \frac{{\sqrt 6 }}{4}a\) (2)
Suy ra: các tam giác cân OAB, OBC, OCD, ODA, OAC, OBD đều bằng nhau.
Suy ra: Khoảng cách từ O đến 6 cạnh của tứ diện đều bằng nhau và bằng OM.
Suy ra: O cũng là tâm khối cầu tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện và bán kính khối cầu này là R=OM.
\(\begin{array}{l}{S_{OBC}} = \frac{{\sqrt {(OB + OC + BC)(OB + OC - BC)(BC + OB - OC)(BC + OC - OB)} }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{8}\\ \Rightarrow R = OM = \frac{{2{S_{OBC}}}}{{BC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}.\end{array}\)
Thể tích khối cầu \(V = \frac{4}{3}\pi \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{{24}}\pi {a^3}.\)
cho hình chóp sabc có sa vuông góc với đáy , sa=2a, tam giác abc cân tại a, bac=120, ab=ac=a. tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp sabc
Câu trả lời của bạn
Gọi K là trung điểm của AB.
Đường trung trực của cạnh AB đi qua K và cắt đường trung trực của BC tại H.
Suy ra H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Do ABC là tam giác cân tại A, nên đường trung trực của BC chính là đường phân giác của góc A.
Suy ra: \(\widehat {HAK} = {60^0}.\)
Ta có: \(AH = \frac{{AK}}{{\cos {{60}^0}}} = a\)
Kẻ đường thẳng qua H và vuông góc với (ABC), đường thẳng này cắt mặt phẳng trung trực của SA tại I.
Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Ta có AHIG là hình chữ nhật nên IH=GA=a.
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: \(IH = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}} = a\sqrt 2 .\)
1, cho hình chóp sabc có sa vuông góc với đáy , sa=2a, tâm giác abc cân tại a , góc bac=120, ab=ac=a, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp sabc
2,cho hình chóp sabc, có sa vuông góc đáy , tam giác abc có ab=2, ac =2 và bac=120, biết góc giữa (sab),(abc)=a, tan a=2. tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp sabc
Câu trả lời của bạn
cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO=h, góc SAB= 45 độ. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho
Câu trả lời của bạn
Ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có \(\widehat {SAB} = {45^0}\)
Suy ra tam giác SAB vuông cân tại S.
Kẻ đường thẳng đi qua trung điểm H của AB và vuông góc với (SAB), đường thẳng này cắt SO tại I, chính là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Xét tam giác SHI vuông tại H, đường cao OH.
Ta có: \(O{H^2} = SH.IH \Rightarrow IH = \frac{{O{H^2}}}{{SH}}\)
(OH, SH tính được, không tính được hỏi lại mình chỉ cho nhé)
Suy ra: \(R = SI = \sqrt {S{H^2} + H{I^2}} .\)
CHo hình chóp đều SABC có góc giữa mặt và mặt bằng 60 và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA,BC bằng 3a/2can7. Tính theo a thể tich skhoois chóp SABC và thể tích khối cầu đi qua 4 điểm S,O,B,C với O là tâm đáy
Câu trả lời của bạn
trước hết lưu ý hình chóp đều nên SO vuông góc với (ABC). ABC là tam giác đều. các mặt bên là các tam giác cân. (1)
gọi J là trung điểm BC. => SJ vuông góc BC , AJ vuông góc BC (do (1))
mà BC là giao tuyến của mặt bên và mặt đáy => SAJ = 60độ.
Mặt khác , do đó BC vuông góc (ASJ)
trong mp(SAJ) kẻ HJ vuong góc SA tại H
suy ra BC vuông góc HJ
khi đó HJ là đọan vuông góc chung của SA và BC => HJ =3a/2căn7
xét tam giác vuông AHJ: sinHAJ =HJ/AJ= (3a/(2căn7)) / ( acăn3/2) (do AJ là đường cao tam giác đều ABC)
=> sin HAJ=căn(3/7) => tính được cot HAJ theo 1 +cot^2 = 1/ (sin)^2
=> tính được tan HAJ = (căn3)/2 = tan SAO
=> (căn3)/2 = SO/AO (tam giác vuông SAO) = SO/ ( 2AJ/3)) ( do O là trong tâm tam giác đều ABC)
= SO/ ( 2(acăn3/2)/3 ) => SO = a/2
thể tích SABC = 1/3 dtABC. SO với dtABC = (a^2.căn3 )/4 => bạn tự thế số vào nhé .
kq là a^3 .căn3/24
gọi N là trung điểm SJ => NS=ON=NB=NC ( vì tam giác SOJ vuông ở O cạnh huyền Sj, và SJ là đường trung trực của tam giác cân SBC) => ON là bán kính mặt cầu ngoại tiếp OBCS
dt mặt cầu OBCS = 4pi.ON^2 = 4pi. (1/2 SJ)^2 = pi. (SO/ sinSJO)^2 ( tam giác vuông SOJ) = ...
=pi.a^2/3 ( tự thế số với SJO =60 độ)
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và đáy bằng 45 độ. Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc mặt phẳng(SBD) là bao nhiêu?
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(AC = 2a\sqrt 2 \)
\(SA = AC.\tan \widehat {ACS} = 2a\sqrt 2 .\)
Vậy thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{8{a^3}\sqrt 2 }}{3}.\)
Suy ra: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{{4{a^3}\sqrt 2 }}{3}.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot SB\)
\(BC = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = 2a\sqrt 3 \)
\({S_{SBC}} = \frac{1}{2}SB.BC = 2{a^2}\sqrt 3 \)
\(\begin{array}{l}{V_{S.ABC}} = {V_{A.SBC}} = \frac{{4{a^3}\sqrt 2 }}{3} = \frac{1}{3}.{S_{SBC}}.d(A;(SBC))\\ \Rightarrow d(A;(SBC)) = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}.\end{array}\)
Đó chính là bán kính mặt cầu cần tìm!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 căn 2 SA vuông góc với đáy SA=3 căn 3. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC cắt SB,SC,SD lần lượt tại M,N,P. Tính bán kinh mặt cầu ngoại tiến khối C.MNP
Câu trả lời của bạn
dieu kien nao xay ra xoi mon
Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại C, CA=CB=a, SA=2a căn 3, SB=a căn 5, SC=a căn 2. tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp SABC
Câu trả lời của bạn
Cho hình chóp sabc có sa=a căn3/2 các cạnh còn lại cùng bằg a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Câu trả lời của bạn
Cho tứ diện ABCD có AB=AD=BC=8, AC=BD=6, CD=4. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Câu trả lời của bạn
jhjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
cho hình chóp S.ABCD có góc ABC = ADC =90° , góc tạo bởi SC với mặt đáy ABCD là 60°, CD=a, tam giác ADC có diện tích là 1/2×a^2×căn3. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD?
Câu trả lời của bạn
cho hình chóp S.ABCD có góc ABC = ADC =90° , góc tạo bởi SC với mặt đáy ABCD là 60°, CD=a, tam giác ADC có diện tích là 1/2×a^2×căn3. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD?
Câu trả lời của bạn
Gọi I là trung điểm của AD.Có CI = AI = ID = a => Tam giác ACD vuông tại C => CD vuông góc với AC.
Lại có CD vuông góc với SA, do đó CD vuông góc với (SAC) => CD vuông góc với SC => Tam giác SCD vuông tại C.
2.AB = BC = a, AD = 2a, Sa = a.căn(2) => SB = a.căn(3) và SC = 2a.
Trong tam giác vuông SAB:
SA.SA = SH.SB => SH/SB = (SA/SB)^2 = 2/3.
Gọi h1 và h2 là k/c từ B và H đến (SCD) thì :
h2/h1 = SH/SB = 2/3.
Gọi V là V(SBCD).Tính được SD = a.căn(6); CD = a.căn(2);SC =2a nhờ Py-ta-go)
h1 = 3V/S(SCD) = SA.S(BCD)/S(SCD) = a.căn(2).a.a.0,5/(1/2.2a.a.căn(2)) = a/2.
Từ đó có h2 = a/3.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, \(AB=a\sqrt{3},AC=a,SA=SB=SC\), khoảng cách giữa AB và SC bằng \(\frac{2a\sqrt{2}}{3}\). Tính theo a.
a) Thể tích của khối chóp S.ABC;
b) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.
Câu trả lời của bạn
a)
Gọi H là trung điểm của \(BC \Rightarrow SH \perp (ABC).\)
Dựng hình chữ nhật \(ACDC \Rightarrow d(AB;SC) = d(B;(SCD))= 2d(H; (SCD))\). Gọi E là trung điểm của \(CD \Rightarrow CD \perp (SHE)\). Gọi F là hình chiếu của H lên \(SE \Rightarrow HF \perp (SCD)\)
\(\Rightarrow d(H;(SCD)) = HF \Rightarrow HF =\frac{a\sqrt{2}}{3}\)
Trong \(\Delta HSE\) có \(SH = a\sqrt{2}\)
\(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{ABC}=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}\)
b)
Ta có SH là trục của \(\Delta\)ABC. Gọi I là trung điểm của SC, trong (SHC) dựng trung trực của SC cắt SH tại K \(\Rightarrow\) K là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.
Ta có \(\Delta HSC\sim \Delta ISK\Rightarrow SK=\frac{SC^2}{2SH}\Rightarrow SK=\frac{3a\sqrt{2}}{4}\)
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC bằng \(\frac{3a\sqrt{2}}{4}\)
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, đỉnh A’ cách đều A, B, C. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 600. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Xác định tâm và tính thep a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A’.ABC.
Câu trả lời của bạn
Xác định góc 600
+ Gọi H là hình chiếu của A' lên (ABC) \(\Rightarrow HA=HB=\sqrt{AA'^2-A'H^2}\) suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
+ AH là hình chiếu của AA’ lên (ABC), suy ra \(\overline{A'AH}=60^{0}\)
Tính thể tích lăng trụ: \(V_{ABC.A'B'C'}=\frac{1}{2}.a.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
+\(\Delta\)ABC đều cạnh a nên \(S_{ABC}=\frac{1}{2}.a.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
+ \(A'H=AH.tan60^{0}=\left ( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} \right ).\sqrt{3}=a\)
Suy ra: \(V_{ABC.A'B'C'}=a\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
Xác định tâm mặt cầu:
+ Gọi P là trung điểm AA’. Kẻ đường trung trực d của AA’ trong (A’AH), d cắt A’H tại I.
\(+ I\in d\Rightarrow IA'=IA,I\in A'H\Rightarrow IA=IB=IC\Rightarrow I\) là tâm mặt cầu cần tìm
Tính bán kính \(R:R=IA'=\frac{A'P}{cos30^0}=\frac{1}{\sqrt{3}}.2.\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{2a}{3}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *