Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em sự tạo thành hai mặt tròn xoay phổ biến là mặt nón và mặt trụ, các khái niệm hình nón, khối nón, hình trụ, khối trụ và các công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của những vật thể tròn xoay dạng khối nón và khối trụ.
Trong không gian cho hai đường thẳng \(\Delta\) và \(l\) cắt nhau tại O sao cho \((\widehat{\Delta ,l})=\alpha \, (0^{\circ}< \alpha < 90^{\circ}).\)
Cho \(l\) quay quanh \(\Delta\) ta được mặt nón tròn xoay có:
Cắt mặt nón tròn xoay đỉnh O, trục \(\Delta\) bởi mặt phẳng (P) sao cho \((P)\perp \Delta ,O\notin (P).\)
Hình giới hạn bởi mặt nón, mặt phẳng (P) được gọi là hình nón.
Khối nón tròn xoay là phần không gian giới hạn bởi hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó.
Cho hình nón có đường sinh \(l\), bán kính đáy \(R\), chiều cao \(h\), ta có các công thức sau:
Trong không gian, cho đường thẳng \(l\) song song và cách đường thẳng \(\Delta\) một khoảng R.
Cho \(l\) quay quanh \(\Delta\) ta được một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay có:
Xét hình chữ nhật OABO'.
Cho đường gấp khúc OABO' quay quanh OO' ta được hình trụ tròn xoay:
Khối trụ tròn xoay là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó.
Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A có AB=a, AC = 2a. Quay tam giác ABC xung quanh cạnh AB ta được một khối nón. Tính thể tích V của khối nón đó.
Hình nón thu được có bán kính đáy R=AC=2a, chiều cao h=AB=a.
Vậy thể tích khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{4\pi {a^3}}}{3}.\)
Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A có có AB=5, AC=12. Cho đường gấp khúc BAC quay quanh cạnh BC ta được hình nón tròn xoay. Tính thể tích của khối nón đó.
Khi quay đường gấp khúc BAC quay quanh cạnh BC ta được hai hình nón:
Hình nón thứ nhất có đường cao \({h_1} = BH\), Bán kính đáy \({R_1} = AH\).
Hình nón thứ hau có đường cao \({h_2} = CH\), Bán kính đáy \({R_2} = AH\).
Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{60}}{{13}}\)
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 13\)
Vậy thể tích khối tròn xoay thu được là: \(V = \frac{1}{3}\pi {R_1}^2{h_1} + \frac{1}{3}\pi R_2^2{h_2} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}(BH + CH) = \frac{{1200}}{{13}}\pi .\)
Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích của khối nó.
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này.
a) Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên: \(\widehat A = \widehat B = {45^0}.\)
Diện tích xung quanh hình nón là: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .OA.SA = \pi .\frac{a}{{\sqrt 2 }}.a = \frac{{\pi {a^2}}}{{\sqrt 2 }}.\)
Diện tích toàn phần hình nón là: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{day}} = \frac{{\pi {a^2}}}{{\sqrt 2 }} + \frac{{\pi {a^2}}}{2} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{2}} \right)\pi {a^2}.\)
b) Thể tích khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi .O{A^2}.SO = \frac{1}{3}\pi .\frac{{{a^2}}}{2}.\frac{a}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\pi {a^3}}}{{6\sqrt 2 }}.\)
c) Thiết diện (SAC) qua đỉnh tạo với đáy một góc 600.
Kẻ \(OM \bot AC \Rightarrow SM \bot AC \Rightarrow \widehat {SMO} = {60^0}.\)
Do tam giác SMO vuông tại O nên \(OM = \frac{{SO}}{{\tan 60}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}.\)
Tam giác OAM vuông tại M nên: \(AM = \sqrt {O{A^2} - O{M^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Tam giác ABC vuông tại C (nội tiếp đường tròn) suy ra \(BC \bot AC.\)
Suy ra OM là đường trung bình của tam giác ABC.
Nên \(AC = 2AM = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)
Ta có: \(SM = SO.\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)
Vậy diện tích thiết diện là: \({S_{SAC}} = \frac{1}{2}.SM.AC = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}.\)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi V1 là thể tích khối trụ sinh ra do hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng AB và V2 là thể tích khối trụ sinh ra do hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng AD. Tính tỉ số \(\frac{V_2}{V_1}\).
Khối trụ sinh ra do hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng AB có bán kính đáy AD, chiều cao AB: \({V_1} = AB.\left( {\pi A{D^2}} \right)\)
Khối trụ sinh ra do hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng AD có bán kính đáy AB, chiều cao AD: \({V_2} = AD.\left( {\pi A{B^2}} \right)\)
Vậy: \(\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{{AD.\left( {\pi A{B^2}} \right)}}{{AB.\left( {\pi A{D^2}} \right)}} = \frac{{AB}}{{AD}} = 2.\)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính diện tích xung quanh S của hình trụ tròn xoay ngoại tiếp lăng trụ.
Diện tích xung quanh mặt trụ được tính theo công thức \({S_{xq}} = 2\pi .R.l\).
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).
\(\Rightarrow R = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\); \(l =AA'=a\).
Vậy diện tích cần tìm là \({S_{xq}} = 2\pi .\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.a = 2\pi \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}\) (đvdt).
Một hình trụ có bán kính đáy R=5 cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7 cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ
c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên.
Hình trụ có bán kính đáy R=5 và chiều cao h=7.
a) Diện tích xung quanh hình trụ là: \({S_{xq}} = 2\pi Rl = 2\pi .5.7 = 70\pi \,\,(c{m^2})\)
Diện tích toàn phần hình trụ là: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_{day}} = 70\pi + 2\pi {.5^2} = 120\pi \,\,(c{m^2}).\)
b) Thể tích khối trụ là: \(V = \pi {R^2}h = \pi {.5^2}.7 = 175\pi \,\,(c{m^3}).\)
c) Gọi I là trung điểm của AB suy ra OI=3cm.
\(IB = \sqrt {O{B^2} - O{I^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4.\)
Ta có: AB=2IB=8.
Dễ thấy thiết diện ABB'A' là hình chữ nhật.
Vậy diện tích thiết diện là: \({S_{ABB'A'}} = AB.AA' = 8.7 = 56\,\,(c{m^2}).\)
Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em sự tạo thành hai mặt tròn xoay phổ biến là mặt nón và mặt trụ, các khái niệm hình nón, khối nón, hình trụ, khối trụ và các công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của những vật thể tròn xoay dạng khối nón và khối trụ.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 2 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Khẳng định nào sau đây là sai?
Một khối nón tròn xoay có độ dài đường sinh l = 13 cm và bán kính đáy r=5 cm. Tính thể tích V của khối nón.
Một tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8. Cho đường gấp khúc ABC quay quanh cạnh AC được hình nón có diện tích xung quanh và diện tích toàn phần lần lượt là S1, S2. Hãy chọn kết quả đúng.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Chương 2 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 39 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 39 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 39 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 39 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 39 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 39 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 39 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 40 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 40 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 40 SGK Hình học 12
Bài tập 2.1 trang 46 SBT Hình học 12
Bài tập 2.2 trang 47 SBT Hình học 12
Bài tập 2.3 trang 47 SBT Hình học 12
Bài tập 2.4 trang 47 SBT Hình học 12
Bài tập 2.5 trang 47 SBT Hình học 12
Bài tập 2.6 trang 47 SBT Hình học 12
Bài tập 2.7 trang 47 SBT Hình học 12
Bài tập 2.8 tr 47 SBT Hình học 12
Bài tập 2.9 trang 47 SBT Hình học 12
Bài tập 2.10 trang 48 SBT Hình học 12
Bài tập 2.11 trang 48 SBT Hình học 12
Bài tập 2.12 trang 49 SBT Hình học 12
Bài tập 11 trang 53 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 12 trang 53 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 13 trang 53 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 14 trang 53 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 15 trang 53 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 54 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 59 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 59 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 60 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 60 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 60 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Khẳng định nào sau đây là sai?
Một khối nón tròn xoay có độ dài đường sinh l = 13 cm và bán kính đáy r=5 cm. Tính thể tích V của khối nón.
Một tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8. Cho đường gấp khúc ABC quay quanh cạnh AC được hình nón có diện tích xung quanh và diện tích toàn phần lần lượt là S1, S2. Hãy chọn kết quả đúng.
Cho hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt là (O); (O’). Biết thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn (O’) là \(a^3\). Tính thể tích V của khối trụ đã cho?
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có \(AB=AD=2a, AA' = 3\sqrt 2 a.\) Tính điện tích toàn phần S của hình trụ có hai đáy lần lượt ngoại tiếp hai đáy của hình hộp chữ nhật đã cho.
Một cái phễu rỗng phần trên có kích thước như hình vẽ. Tính diện tích xung quanh cái phễu.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Tính diện tích xung quanh \(S_{xq}\) của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A’B’C’D’ và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Cho hai hình vuông cùng có cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY.
Trong một chiếc hộp hình trụ người ta bỏ vào đó 6 quả banh tennis, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao hình trụ bằng 6 lần đường kính của quả banh. Gọi V1 là tổng thể tích của 6 quả banh và V2 là thể tích của khối trụ. Tính tỉ số \(\frac{V_1}{V_2}\)?
Một hình trụ có trục \(OO' = 2\sqrt 7\), ABCD là hình vuông có cạnh bằng 8 có đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho tâm của hình vuông trùng với trung điểm của OO'. Tính thể tích V của hình trụ.
Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng (P). Từ những điểm M thuộc đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với (P). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục và bán kính của mặt trụ đó.
Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi:
a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư.
b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng nó.
c) Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cnah góc vuông.
d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.
Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
b) Tính thể tích của khối nón được tạo bởi hình nón đó.
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12 cm. Tính diện tích thiết diện đó.
Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20 cm. Gọi d là một đường thẳng thay đổi luôn luôn đi qua A và cách B một khoảng bằng 10 cm. Chứng tỏ rằng đường thẳng d luôn luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định trục và góc ở đỉnh của mặt nón đó.
Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7 cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.
b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3 cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên.
Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều canh 2a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.
Một hình trụ có bán kính r và chiều cao \(h = r \sqrt {3}\).
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) TÍnh thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300. TÍnh khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ
Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O;r) và (O';r). Khoảng cách giữa hai đáy là \(\small OO' = r.\sqrt{3}.\) Một hình nón có đỉnh là O' và có đáy là hình tròn (O;r).
a) Gọi S1 là diện tích xung quanh của hình trụ và S2 là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỷ số \(\small \frac{S_2}{S_1}\).
b) Mặt xung quanh của hình nónchia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỷ số thể tích hai phần đó.
Căt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(a \sqrt {2}\).
a) Tính diện tích xuang quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón twong ứng.
b) Cho một dây cung BC và đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 60. Tính diện tích hình vuông và mặt phẳng đáy.
Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và cosin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.
Một hình nón tròn xoay có đỉnh là D, tâm của đường tròn đáy là O, đường sinh bằng l và có góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng \(\alpha \).
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón được tạo nên.
b) Gọi I là một điểm trên đường cao DO của hình nón sao cho \(\frac{{DI}}{{DO}} = k(0 < k < l)\). Tính diện tích thiết diện qua I và vuông góc với trục của hình nón.
Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a.
a) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình nón đó.
b) Một mặt phẳng đi qua đỉnh tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Tính diện tích thiết diện được tạo nên.
Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng a và có góc giữa các mặt bên và mặt phẳng đáy là \(\alpha \). Hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC gọi là hình nón nội tiếp hình chóp đã cho. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và \(\alpha \).
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và góc \(\widehat {SAB} = \alpha (\alpha > {45^0})\). Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD của hình chóp.
Chứng minh rằng trong một khối nón tròn xoay, góc ở đỉnh là góc lớn nhất trong số các góc được tạo nên bởi hai đường sinh của khối nón đó.
Cho khối nón có bán kính đáy r = 12cm và có góc ở đỉnh là \(\alpha = {120^0}\). Hãy tính diện tích của thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau.
Cho mặt phẳng (P). Gọi A là một điểm nằm trên (P) và B là một điểm nằm ngoài (P) sao cho hình chiếu H của B trên (P) không trùng với A. Một điểm M chạy trên mặt phẳng (P) sao cho góc \(\widehat {ABM} = \widehat {BMH}\). Chứng minh rằng điểm M luôn luôn nằm trên một mặt trụ tròn xoay có trục là AB.
Cho mặt trụ tròn xoay \((\Im )\) và một điểm S cố định nằm ngoài \((\Im )\). Một đường thẳng d thay đổi luôn luôn đi qua S cắt \((\Im )\) tại A và B. Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn thẳng AB luôn luôn nằm trên một mặt trụ xác định.
Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng \(r\sqrt 3 \).
Gọi A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc được tạo thành giữa đường thẳng AB và trục của khối trụ bằng 300.
a) Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của khối trụ.
b) Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và B.
c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và trục của khối trụ.
Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính r và có đường cao \(h = r\sqrt 2 \). Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính thể tích của tứ diện này.
b) Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng qua AB và song song với OO’. Tính khoảng cách giữa trục OO’ và mặt phẳng \((\alpha )\).
c) Chứng minh rằng \((\alpha )\) tiếp xúc với mặt trụ trục OO’ có bán kính bằng \(\frac{{r\sqrt 2 }}{2}\) dọc theo một đường sinh.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua \(8\) đỉnh của hình lập phương.
Câu trả lời của bạn
Bán kính mặt cầu là \(OA = \displaystyle{1 \over 2}AC’\)
Đường chéo hình vuông cạnh \(a\) là \(AC = a\sqrt 2\)
Xét tam giác vuông \(ACC’\) tại \(C\):
Ta có: \(AC' = \sqrt {A{C^2} + C'{C^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \)
Do đó \(AO = \dfrac{1}{2}AC' = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy bán kính mặt cầu đi qua \(8\) đỉnh hình lập phương cạnh \(a\) là \(R = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu tiếp xúc với \(12\) cạnh của hình lập phương.
Câu trả lời của bạn
Không có mặt cầu tiếp xúc với \(12\) cạnh của hình lập phương.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu tiếp xúc với \(6\) mặt của hình lập phương.
Câu trả lời của bạn
Tâm mặt cầu tiếp xúc \(6\) mặt của hình lập phương là trung điểm \(I\) của đường nối hai tâm đáy.
Bán kính mặt cầu là \(r= \displaystyle{1 \over 2} AA’ \) \(=\displaystyle{a \over 2}\)
Hãy tìm tập hợp tất cả các điểm trong không gian luôn luôn nhìn đoạn thẳng \(AB\) cố định dưới một góc vuông.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(O\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\), vì tam giác \(AMB\) vuông tại \(M\) nên trung tuyến \(MO\) bằng nửa cạnh huyền, tức \(MO = {AB\over2} = R\).
Vậy tập hợp các điểm \(M\) nhìn \(AB\) dưới một góc vuông nằm trên mặt cầu đường kính \(AB\)
Ngược lại, lấy \(M\) thuốc mặt cầu đường kính \(AB\) thì \(MO = {AB\over2}\).
Do đó nếu \(M\) khác \(A\) và \(B\) thì tam giác \(MAB\) vuông tại \(M\), còn khi \(M \equiv A\) hoặc \(M \equiv B\) ta cũng coi \(M\) nhìn \(AB\) một góc vuông.
Kết luận: Tập hợp các điểm \(M\) trong không gian nhìn đoạn thẳng \(AB\) dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính \(AB\).
Hãy tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.
Câu trả lời của bạn
* Xét mặt cầu (S) tâm J, bán kính R và tiếp xúc với ba cạnh: AB, BC, AC lần lượt tại M, N và P.
Gọi I là hình chiếu vuông góc của J lên mp (ABC) ⇒ IJ ⊥ (ABC)
* Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}JM \bot AB\\JI \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow IM \bot AB\) (định lí 3 đường vuông góc)
Chứng minh tương tự có:\(IN \bot BC,IP \bot AC\) (1)
* Xét ba tam giác JIM; JIN và JIP có:
\(\widehat {JIM} = \widehat {JIN} = \widehat {JIP} = {90^0}\)
\(JI\) chung
\(JN = JM = JP = R\)
⇒ ∆ JIM = ∆ JIN = ∆JIP (ch- cgv)
⇒ IN = IM = IP (2)
Từ (1) và (2) suy ra, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
* Lấy điểm J thuộc trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với ba cạnh AB, BC và CA lần lượt taị M, N và P.
Ta có: \(IM \bot AB,IN \bot BC,IP \bot AC\) (1)
Mặt khác; IM = IN = IP = r.
⇒ ∆ JIM = ∆ JIN = ∆JIP (c-g-c)
⇒ JM = JN = JP (2)
Từ (1) và (2) suy ra, mặt cầu (S) tâm J tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC.
Vậy tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC cho trước là trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Hãy tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước.
Câu trả lời của bạn
Gọi O là tâm của mặt cầu chứa đường tròn (C) cố định cho trước.
⇒ O cách đều tất cả các điểm M thuộc đường tròn (C)
⇒ O nằm trên đường thẳng đi qua tâm của đường tròn (C) và vuông góc với mặt phẳng chứa (C).
Kết luận: Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước là đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của nó.
Với hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(I = AC ∩ BD\).
Ta có ABCD là hình vuông cạnh \(a\) nên ta có: \(AC = BD = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2 .\)
\(\Delta ASC\) có \(S{A^2} + S{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} = A{C^2}\) nên là tam giác vuông cân tại \(S\).
Tương tự tam giác SBD cũng vuông cân tại S.
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{S{I^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{S{C^2}}}\) \( = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{2}{{{a^2}}} \Rightarrow SI = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
\( \Rightarrow IA = IB = IC = ID = IS = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(SABCD\) có tâm \(I\) và bán kính \(R= \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Cách khác:
Có thể tính IS như sau:
\(IS = \sqrt {S{A^2} - A{I^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{2{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Từ đó ta cũng kết luận được I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính bằng \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Gọi mặt cầu \(S(O; r)\) tiếp xúc với \((P)\) tại \(I\). Gọi \(M\) là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với \(I\) qua tâm \(O\). Từ \(M\) kẻ hai tiếp tuyến cắt của mặt cầu cắt \((P)\) tại \(A\) và \(B\). Chứng minh rằng \( \widehat{AMB}= \widehat{AIB}\).
Câu trả lời của bạn
Do mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với mp (P) tại I nên: OI ⊥ (P) ⇒ OI ⊥ IA
Suy ra, AI là tiếp tuyến của mặt cầu đã cho tại điểm I.
Theo tính chất của mặt cầu, ta có \(AI\) và \(AM\) là hai tiếp tuyến với cầu kẻ từ \(A\), cho nên \(AI = AM\), tương tự \(BI =BM\)
Hai tam giác \(ABI\) và \(ABM\) bằng nhau (c.c.c)
\( \Rightarrow \widehat{AMB}= \widehat{AIB}\) (Hai góc tương ứng).
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AA' = a, AB = b, AD = c\). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.
Câu trả lời của bạn
Trong hình hộp chữ nhật, bốn đường chéo \(\displaystyle AC', BD', CA' và DB'\) cắt nhau tại điểm \(\displaystyle I\) là trung điểm của mỗi đường.
Vì \(\displaystyle 4\) đường chéo trong hình hộp chữ nhật bằng nhau, nên điểm \(\displaystyle I\) cách đều \(\displaystyle 8\) đỉnh của hình hộp chữ nhật. Nó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.
Vì \(\displaystyle AB = b, AD = c, AA' = a\) nên bán kính mặt cầu \(\displaystyle R = {1 \over 2}A'C\)
\(\Delta A'AC\) vuông tại A nên theo Pitago ta có: \(A'{C^2} = A'{A^2} + A{C^2}\)
\(\Delta ABC\) vuông tại B nên theo Pitago ta có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\) \( = {b^2} + {c^2}\)
Do đó
\(\begin{array}{l}A'{C^2} = A'{A^2} + A{C^2}\\ = {a^2} + {b^2} + {c^2}\\ \Rightarrow A'C = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \\ \Rightarrow R = \frac{{A'C}}{2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}\end{array}\)
Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với \(6\) cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện tứ diện bằng nhau.
Câu trả lời của bạn
Giả sử tứ diện \(ABCD\) có mặt cầu tiếp xúc với cả \(6\) cạnh của tứ diện; tiếp xúc với \(AB, BC, CD,AD,AC,BD\) lần lượt tại \(M,N,P,Q,R,S\). Vì các đoạn thẳng kẻ từ một điểm đến tiếp điểm của các tiếp tuyến đó bằng nhau, nên ta có:
\( \left\{\begin{matrix} AM= AR = AQ\\ BM= BN= BS\\ CN= CP= CR\\ DP = DQ = DS\\ \end{matrix}\right.\)
Ta chứng minh: \(AB + CD = AC +BD = AD + BC\).
Ta có
\(AM + MB + CP + PD \)\(=AR+RC+BS+SD\)
\(= AQ + QD + BN + NC\)
Hay: \(AB + CD = AC +BD = AD + BC\).
Câu trả lời của bạn
Gọi \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác \(S.ABC\). Hạ \(IJ\) vuông góc \((SAB)\), vì \(I\) cách đều \(3\) điểm \(S, A, B\) nên \(J\) cũng cách đều \(3\) điểm \(S, A, B\).
Vì tam giác \(SAB\) vuông đỉnh \(S\) nên \(J\) là trung điểm của \(AB\).
Ta có \(SJ ={1 \over 2}AB = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}}\)
Do \(SC\) vuông góc \((SAB)\) nên \(IJ // SC\).
Gọi \(H\) là trung điểm \(SC\), ta có \(SH = IJ = {c \over 2}\).
Do vậy, \(I{S^2} = I{J^2} + S{J^2} = {{({a^2} + {b^2} + {c^2})} \over 4}\) và bán kính hình cầu ngoại tiếp \(S.ABC\) là
\(R = IS = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
Diện tích mặt cầu là:
\(S = 4\pi {R^2} = \pi ({a^2} + {b^2} + {c^2})\)
Cho một điểm \(A\) cố định và một đường thẳng \(a\) cố định không đi qua \(A\). Gọi \(O\) là một điểm thay đổi trên \(a\). Chứng minh rằng các mặt cầu tâm \(O\) và bán kính \(r = OA\) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.
Câu trả lời của bạn
Xét mặt phẳng \((P)\) qua điểm \(A\) và \((P)\) vuông góc với đường thẳng \(a\). Goi giao của \((P)\) với \(a\) là điểm \(H\).
Xét mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(r = OA\); mặt cầu này giao với mặt phẳng \((P)\) theo đường tròn tâm \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \((P)\) và bán kính \(HA \) cố định.
a) Đường tròn qua ba điểm \(A, B, C\) nằm trên mặt cầu.
b) \(AB\) là một đường kính của mặt cầu đã cho.
c) \(AB\) không phải là đường kính của mặt cầu.
d) \(AB\) là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng \((ABC)\)
Câu trả lời của bạn
Câu a) đúng ba điểm A, B, C xác định một mặt phẳng (ABC), giao tuyến của mặt phẳng (ABC) với mặt cầu là một đường tròn, do đó đường tròn đi qua ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu.
Câu d) đúng vì trong đường tròn giao tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) với mặt cầu là một đường tròn, với giả thiết \(\widehat {ACB} = 90^0\) suy ra \(AB\) là đường kính của đường tròn giao tuyến.
Câu b) và c) sai vì chưa kết luận được AB là đường kính của mặt cầu hay không là đường kính của mặt cầu.
Bánh Pía là loại bánh đặc sản của tỉnh Sóc Trăng. Từ lâu hình ảnh bánh Pía Sóc Trăng đã được đưa vào thơ ca, âm nhạc. Về hình dáng, bánh Pía có hình bầu tròn, được đóng hộp theo qui cách như sau: 4 chiếc bánh được đặt trong 1 hộp nhựa trong suốt hình trụ, bên ngoài là hộp sản phẩm bằng giấy có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông đựng vừa khít hộp nhựa bên trong.
Tính chi phí thấp nhất (làm tròn đến hàng nghìn đồng) để sản xuất 1 chiếc hộp sản phẩm, biết rằng hộp hình trụ bên trong có thể tích 1.178 cm3, giá sản xuất mỗi cm2 bề mặt hộp giấy là 2 đồng và giá sản xuất quai hộp là 500 đồng.
Câu trả lời của bạn
4
.
3
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
54
Câu trả lời của bạn
I love everyone
Câu trả lời của bạn
A
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *