Ở lớp 10, các em đã được học các dạng toán sử dụng hệ tọa độ trong mặt phẳng. Trong chương trình lớp 12, các nội dung đã được học đó sẽ được kế thừa như một kiến thức nền tảng để mở rộng ra không gian ba chiều được gọi là phương pháp tọa độ trong không gian. Nội dung trong chương này xoay quanh các vấn đề về tọa độ điểm, vectơ, phương trình, góc, khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian như đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu,...Sau đây, là nội dung bài học đâu tiên Hệ tọa độ trong không gian. Qua bài học này các em sẽ được tìm hiểu, ôn tập lại những khái niệm đã học, cũng như sẽ thấy được sự khác biệt của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và phương pháp tọa độ trong không gian. Bên cạnh đó các em sẽ biết được các dạng và cách viết phương trình mặt cầu.
Trong không gian, cho ba trục xOx', yOy', zOz' vuông góc với nhau từng đôi một.
Các vectơ \(\overrightarrow i ,\,\,\overrightarrow j ,\,\overrightarrow k\) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục xOx', yOy', zOz' với: \(\left | \vec{i} \right |=\left | \vec{j} \right |=\left | \vec{k} \right |=1.\)
Hệ trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Oxyz, với O là gốc tọa độ.
Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\vec{u}\) tồn tại duy nhất bộ số \((x,y,z)\) sao cho: \(\overrightarrow{u}=(x;y;z)\)\(\Leftrightarrow \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.\)
Bộ số: \((x,y,z)\) được gọi là tọa độ của vectơ \(\vec{u}\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm A tùy ý tồn tại duy nhất bộ số \((x_A,y_A,z_A)\) sao cho: \(A(x_A,y_A,z_A)\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}=(x_A;y_A;z_A).\)
Bộ số \((x_A,y_A,z_A)\) được gọi là tọa độ điểm A.
2.4. Phương trình mặt cầu
Khi đó, mặt cầu có tâm \(I(A;B;C)\), bán kính \(R = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)
Cho ba vectơ \(\vec a=(1;m;2),\vec b=(m+1;2;1),\vec c=(0;m-2;2).\)
a) Tìm m để \(\vec a\) vuông góc \(\vec b.\)
b) Tìm m để \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow c } \right|.\)
a) Ta có: \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow m + 1 + 2m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 1.\)
b) Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {m + 2;m + 2;3} \right)\)
Do đó:
\(\begin{array}{l} \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow c } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow c } \right|^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} + {(m + 2)^2} + 9 = {(m - 2)^2} + 4\\ \Leftrightarrow {m^2} + 12m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = - 6 \pm \sqrt 3 . \end{array}\)
Trong hệ trục tọa độ Oxy cho \(\overrightarrow a = (1; - 1;0),\,\overrightarrow b = ( - 1;1;2),\,\overrightarrow c = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j ,\,\overrightarrow d = \overrightarrow i\).
a) Xác định t để vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2;2t - 1;0} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow a .\)
b) Tìm các số thực m,n,p để \(\overrightarrow d = m\overrightarrow a - n\overrightarrow b + p\overrightarrow c\).
a) \(\vec u\)cùng phương với \(\vec a\) khi:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 1 = 2k\\ - 1 = (2t - 1)k\\ 0 = 0k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 = 2k\\ - 1 = (2t - 1)k \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k = \frac{1}{2}\\ - 1 = (2t - 1)k \end{array} \right. \end{array}\)
Với \(t=\frac{1}{2}\) thì ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} k = \frac{1}{2}\\ - 1 = 0 \end{array} \right.\) (Vô nghiệm)
Với \(t \ne \frac{1}{2}\) thì ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} k = \frac{1}{2}\\ k = \frac{{ - 1}}{{2t - 1}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{2t - 1}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow t = -\frac{{ 1}}{2}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow c = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j = (1;0;0) - 2(0;1;0) = (1; - 2;0)\)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow d = m\overrightarrow a - n\overrightarrow b + p\overrightarrow c \\ \Leftrightarrow (1;0;0) = m(1; - 1;0) - n( - 1;1;2) + p(1; - 2;0)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m + n + p = 1\\ - m - n - 2p = 0\\ 0m - 2n + 0p = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 2\\ n = 0\\ p = - 1 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy m=2;n=0;p=-1.
Cho A(3;0;4), B(1;2;3), C(9;6;4). Tìm:
a) Trọng tâm tam giác ABC.
b) Tọa độ đỉnh D để ABCD là hình bình hành.
c) Tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\ {y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\ {z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{13}}{3}\\ {y_G} = \frac{8}{3}\\ {z_G} = \frac{{11}}{3} \end{array} \right.\)
Vậy \(G\left( {\frac{{11}}{3};\frac{8}{3};\frac{{11}}{3}} \right).\)
b) Gọi \(D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = ( - 2;2; - 1)\\ \overrightarrow {DC} = (9 - {x_D};6 - {y_D};4 - {z_D}) \end{array}\)
Để ABCD là hình bình hành thì:
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}\)
Hay: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 = 9 - {x_D}\\ 2 = 6 - {y_D}\\ - 1 = 4 - {z_D} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_D} = 11\\ {y_D} = 4\\ {z_D} = 5 \end{array} \right. \Rightarrow D(11;4;5)\)
c) Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC và BD thì:
I là trung điểm của AC \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = 6\\ {y_I} = \frac{{y{}_A + {y_C}}}{2} = 3\\ {z_I} = \frac{{{z_A} + {z_C}}}{2} = 4 \end{array} \right. \Rightarrow I(6,3,4)\).
Trong mặt phẳng (P) cho hình chóp S.ABC có tọa độ các đỉnh \(A(0;0;0);\,B\left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right);C(a;0;0);S(0;0;a)\). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\); \(\overrightarrow {SC} = \left( {a;0; - a} \right).\)
\(\cos \left( {AB,SC} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {SC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {SC} } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \widehat {\left( {AB,SC} \right)} \approx {69^0}18'.\)
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tọa độ các điểm như sau:
\(A(0;0;0);\,B(a;0;0);\,C(0;a\sqrt 3 ,0);A'\left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right);B'\left( {\frac{{3a}}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right);C'\left( {\frac{a}{2};\frac{{3a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right)\)
Gọi M là trung điểm của BC
a) Chứng minh: \(A'M \bot BC.\)
b) Tính góc giữa hai đường thẳng: AA’ và B’C’.
a) Ta có: \(\overrightarrow {A'M} = \left( {0;0; - a\sqrt 3 } \right)\)
\(\overrightarrow {BC} = \left( { - a;a\sqrt 3 ;0} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = 0.\)
Vậy AM vuông góc BC.
b) Ta có:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AA'} = \left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right)\\ \overrightarrow {B'C'} = \left( {a; - a\sqrt 3 ;0} \right) \end{array}\)
\(\cos (AA',B'C') = \frac{{\left| {\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {B'C'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AA'} } \right|\left| {\overrightarrow {B'C'} } \right|}} = \frac{1}{4}\)
Vậy: \(\widehat {\left( {AA',B'C'} \right)} \approx {75^0}31'.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;-1;2) điểm B(-1;-1;0). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
Gọi I là trung điểm AB ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = - 1\\ {y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = - 1\\ {z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow I( - 1; - 1;1)\)
Ta có: \(IA = IB = 1.\)
Mặt cầu đường kính AB, nhận điểm I làm tâm, có bán kính R=IA=1 nên có phương trình là:
\({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 1)^2} = 1.\)
Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) và D(1;-1;2).
Gọi phương trình mặt cầu là: \(\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{ax}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{2by}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{2cz}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{d}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{0}}\,\left( {{{\rm{a}}^{\rm{2}}} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)\)
Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} -2a - 2b + d + 2 = 0\\ -6a - 2b - 4c + d + 14 = 0\\ 2a - 2b - 4c + d + 6 = 0\\ -2a + 2b - 4c + d + 6 = 0 \end{array} \right.\,\,\,\, \Rightarrow a = b = 1;\,c = 2;d = 2\)
Kết luận: Phương trình mặt cầu là \(x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z+2=0.\)
Ở lớp 10, các em đã được học các dạng toán sử dụng hệ tọa độ trong mặt phẳng. Trong chương trình lớp 12, các nội dung đã được học đó sẽ được kế thừa như một kiến thức nền tảng để mở rộng ra không gian ba chiều được gọi là phương pháp tọa độ trong không gian. Nội dung trong chương này xoay quanh các vấn đề về tọa độ điểm, vectơ, phương trình, góc, khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian như đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu,...Sau đây, là nội dung bài học đâu tiên Hệ tọa độ trong không gian. Qua bài học này các em sẽ được tìm hiểu, ôn tập lại những khái niệm đã học, cũng như sẽ thấy được sự khác biệt của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và phương pháp tọa độ trong không gian. Bên cạnh đó các em sẽ biết được các dạng và cách viết phương trình mặt cầu.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 3 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(3;0;0), N(0;0;4). Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1;2} \right),\overrightarrow b = \left( {3;0;1} \right),\overrightarrow c = \left( { - 4;1; - 1} \right)\). Tìm tọa độ \(\overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 1;3;1} \right),B\left( {1;4;2} \right)\). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm I. Tìm \(k\) biết \(\overrightarrow {IB} = k.\overrightarrow {IA} .\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Chương 3 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 68 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 68 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 68 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 68 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 68 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 68 SGK Hình học 12
Bài tập 3.1 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.2 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.3 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.4 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.5 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.6 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.7 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.8 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.9 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.10 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.11 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.12 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.13 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.14 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.15 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.16 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 1 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 8 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 9 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 10 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 11 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 12 trang 82 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 13 trang 82 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 14 trang 82 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(3;0;0), N(0;0;4). Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1;2} \right),\overrightarrow b = \left( {3;0;1} \right),\overrightarrow c = \left( { - 4;1; - 1} \right)\). Tìm tọa độ \(\overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 1;3;1} \right),B\left( {1;4;2} \right)\). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm I. Tìm \(k\) biết \(\overrightarrow {IB} = k.\overrightarrow {IA} .\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( {1;1;3} \right);B\left( {2;3;5} \right);C\left( { - 1;2;6} \right)\). Xác định tọa độ điểm M sao cho \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} = 0\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1; 2; 4), B(-1;1;4), C(0;0;4). Tìm số đo của góc \(\widehat{ABC}\).
Cho \(\overrightarrow a = \left( {0;0;1} \right);\,\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right);\,\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0)\), \(\overrightarrow b = (1;1;0)\) và \(\overrightarrow c = (1;1;1)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4z - m = 0\) có bán kính R = 5. Tìm giá trị của m.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho \(A\left( {1;2;0} \right);B\left( {3; - 1;1} \right)\). Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và bán kính AB.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0; - 2;0} \right),C\left( {0;0;4} \right)\)
Cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}=(2; -5; 3)\), \(\overrightarrow{b}=(0; 2; -1)\), \(\overrightarrow{c}=(1; 7; 2)\).
a) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{d}=4.\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\).
b) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\).
Cho ba điểm A = (1; -1; 1), B = (0; 1; 2), C = (1; 0; 1).
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 2), D = (1; -1; 1), C'=(4; 5; -5). Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Tính:
a) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) với \(\overrightarrow{a}(3; 0; -6),\overrightarrow{b}(2; -4; 0)\).
b) \(\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}\) với \(\overrightarrow{c}(1; -5; 2),\overrightarrow{d}(4; 3; -5)\).
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
a) \(\small x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 2y + 1 = 0\).
b) \(\small 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\).
Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:
a) Có đường kính AB với A(4 ; -3 ; 7), B(2 ; 1 ; 3)
b) Đi qua điểm A = (5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
Trong không gian Oxyz cho ba vecto \(\vec a = (2; - 1;2),\vec b = (3;0;1),\vec c = ( - 4;1; - 1)\). Tìm tọa độ của các vecto \(\vec m\) và \(\vec n\) biết rằng:
a) \(\vec m = 3\vec a - 2\vec b + \vec c\)
b) \(\vec n = 2\vec a + \vec b + 4\vec c\)
Trong không gian Oxyz cho vecto \(\vec a = (1; - 3;4)\).
a) Tìm y0 và z0 để cho vecto \(\vec b = (2;{y_0};{z_0})\) cùng phương với \(\vec a\)
b) Tìm tọa độ của vecto \(\vec c\) biết rằng \(\vec a\) và \(\vec c\) ngược hướng và \(|\overrightarrow {c|} = 2|\vec a|\)
Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ (x0; y0 ; z0). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
Cho hai bộ ba điểm:
a) A = (1; 3; 1) , B = (0; 1; 2) , C = (0; 0; 1)
b) M = (1; 1; 1) , N = (-4; 3; 1) , P = (-9; 5; 1)
Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng?
Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).
Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \)
b) \(\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} \)
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {MN} \)
b) \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {PQ} \)
Trong không gian cho ba vecto tùy ý \(\vec a,\vec b,\vec c\). Gọi \(\vec u = \vec a - 2\vec b,\vec v = 3\vec b - \vec c,{\rm{\vec w}} = 2\vec c - 3\vec a\).
Chứng tỏ rằng ba vecto \(\vec u,\vec v,{\rm{\vec w}}\) đồng phẳng.
Trong không gian Oxyz cho một vecto \(\vec a\) tùy ý khác vecto \(\vec 0\). Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\) trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto \(\vec a\). Chứng minh rằng: \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\)
Cho hình tứ diện ABCD.
a) Chứng minh hệ thức: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\)
b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: "Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau".
Tính tích vô hướng của hai vecto \(\vec a,\vec b\) trong không gian với các tọa độ đã cho là:
a) \(\vec a = (3;0; - 6),\vec b = (2; - 4;c)\)
b) \(\vec a = (1; - 5;2),\vec b = (4;3; - 5)\)
c) \(\vec a = (0;\sqrt 2 ;\sqrt 3 ),\vec b = (1;\sqrt 3 ; - \sqrt 2 )\)
Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:
a) A(4; -1; 1) , B(2; 1; 0)
b) A(2; 3; 4) , B(6; 0; 4)
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là:
A(a; 0 ; 0), B(0; b; 0) , C(0; 0; c)
Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a) Có tâm I(5; -3; 7) và có bán kính r = 2.
b) Có tâm là điểm C(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ;
c) Đi qua điểm M(2;-1;-3) và có tâm C(3; -2; 1)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC. A', B', C' là các điểm sao cho ABA'C, BCB'A và CAC'B là hình bình hành. Biết \(H_{1}(0;-2),H_{2}(2;-1)\) và \(H_{3}(0;1)\) là trực tâm của các \(\triangle BCA',\triangle CAB',\triangle ABC'.\) Tìm tọa độ các đỉnh của \(\triangle ABC.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có ABA'C' là hình bình hành nên AC // BA' và AB // CA'.
\(H_{1}\) là trực tâm của \(\triangle BCA'\Rightarrow CH_{1}\perp BA'\) và \(BH_{1}\perp CA'\)
\(\Rightarrow CH_{1}\perp AC\) và \(BH_{1}\perp AB\Rightarrow ABH_{1}C\) nội tiếp được
Gọi (K) là đường tròn ngoại tiếp \(\triangle ABC\Rightarrow H_{1}\) và A đối xứng nhau qua K.
Tương tự \(H_{2}\) và B đối xứng với nhau qua K. Vậy (K) cũng là đường tròn ngoại tiếp \(\triangle H_{1}H_{2}H_{3}\)
Giả sử phương trình của (K) là \(x^{2}+y^{2}+2ax+2by+c=0.\) Do (K) là đường tròn ngoại tiếp \(\triangle H_{1}H_{2}H_{3}\) nên
\(\left\{\begin{matrix} -4b+c=-4\\4a-2b+c=-5 \\2b+c=-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{-1}{2}\\b=\frac{1}{2} \\c=-2 \end{matrix}\right.\Rightarrow K(\frac{1}{2};\frac{-1}{2})\)
Do \(H_{1}\) và A đối xứng nhau qua K nên
\(\left\{\begin{matrix} x_{A}+x_{H_{1}}=2x_{K}\\y_{A}+y_{H_{1}}=2y_{K} \end{matrix}\right.\Rightarrow A(1;1)\)
Tương tự ta tìm được B(-1; 0) và C(1; -2)
Cho hình bình hành ABCD có A(-3; -2; 0), B(3; -3; 1), C(5; 0; 2). Tìm tọa độ đỉnh D và góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}.\)
Câu trả lời của bạn
+ Gọi D (x; y; z). Ta có:
\(\overrightarrow{AD}=(x+3;y+2;z);\overrightarrow{BC}=(2;3;1)\)
ABCD là hình bình hành \(\Leftrightarrow \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+3=2\\y+2=3 \\z=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-1\\y=1 \\z=1 \end{matrix}\right.\)
Vậy D = (-1; 1; 1).
+ Ta có \(\overrightarrow{AC}=(8;2;2);\overrightarrow{BD}=(-4;4;0)\)
\(\cos (\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD})=\frac{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{\left | AC \right |}.\overrightarrow{\left | BD \right |}}=\frac{-24}{\sqrt{72}.\sqrt{32}}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow (\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD})=120^{\circ}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(-1; 2; 1); B(2; -2; 4); C(0; -4; 1). Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên trục Oy.
Câu trả lời của bạn
\(\overrightarrow{AB}=(3;-4;3),\overrightarrow{AC}=(1;-6;0)\)
Giả sử tồn tại số k sao cho \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\; (1)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3=k\\-4=-6k \\ 3=0k \end{matrix}\right.(vn)\)
=> Không tồn tại k thỏa mãn (1) => A, B, C không thẳng hàng
+ Do \(I\in Oy\) nên I(0; a; 0)
Mặt cầu đi qua A, B nên \(IA=IB\Leftrightarrow 1+(a-2)^{2}+1=4+(a+2)^{2}+16\)
\(\Leftrightarrow a^{2}-4a+6=a^{2}+4a+24\Leftrightarrow 8a=-18\Leftrightarrow a=\frac{-9}{4}\)
\(\Rightarrow I(0;\frac{-9}{4};0).\) Bán kính của mặt cầu \(R=IA=\sqrt{1+(\frac{-9}{4}-2)^{2}+1}=\frac{\sqrt{321}}{4}\)
Vậy phương trình mặt cầu là \(x^{2}+(y+\frac{9}{4})^{2}+z^{2}=\frac{321}{16}\)
Trong không gian tọa độ Oxyz cho 4 điểm A(1;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;3), D(1;-2;3). Tìm tọa độ điểm I cách đều 4 điểm A, B, C, D.
Câu trả lời của bạn
Giả sử I(x;y;z). I cách đều A, B, C, D hay IA = IB = IC = ID
\(\left\{\begin{matrix} (x-1)^2+y^z^2=x^2+(y+2)^2+z^2\\ (x-1)^2+y^z^2=x^2+y^2+(z-3)^2\\ (x-1)^2+y^z^2=(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2 \end{matrix}\right.\)|
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+4y=-3\\ -6z=-8\\ 4y-6z=-13 \end{matrix}\right.\)
Giải hệ, được: \(I(\frac{1}{2};-1;\frac{3}{2})\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(-1;2;1); B(2;-2;4); C(0;-4;1). Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên trục Oy.
Câu trả lời của bạn
D thuộc Oy nên tọa độ D có dạng D(0;t;0)
−−→AB=(1;−1;2)
−−→AC=(0;−2;4)
−−→AD=(−2;t−1;1)
[−−→AB;−−→AC]=(0;−4;−2)
[−−→AB;−−→AC].−−→AD=−4(t−1)−2=−4t+2
VABCD=16∣∣∣[−−→
\(\overrightarrow{AB}=(3;-4;3), \overrightarrow{AC}=(1;-6;0)\)
Giả sử tồn tại số k sao cho \(\overrightarrow{AB}=k,\overrightarrow{AC} \ (1)\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3=k\\ -4=-6k\\ 3=0k \end{matrix}\right.\) vô nghiệm
\(\Rightarrow\)Không tồn tại k thỏa mãn (1) \(\Rightarrow\) A, B, C không thẳng hàng
Do \(I \in Oy\) nên I(0; a; 0)
Mặt cầu đi qua A, B nên IA = IB
\(\Leftrightarrow 1+(a-2)^2+1=4+(a+2)^2+16\)
\(\Leftrightarrow a^2-4a+6=a^2+4a+24\)
\(\Leftrightarrow 8a=-18\)
\(\Leftrightarrow a=\frac{-9}{4}\)
\(\Rightarrow I(0;-\frac{9}{4};0)\)
Bán kính của mặt cầu \(R=IA=\sqrt{1+(\frac{-9}{4}-2)^2+1}=\frac{\sqrt{321}}{4}\)
Vậy phương trình mặt cầu là \(x^2+(x+\frac{9}{4})^2+z^2=\frac{321}{16}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-1; 4; 6) và điểm B(-2; 3; 6). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc trục Ox và đi qua điểm A và điểm B. Tìm tọa độ các giao điểm của (S) với trục Oz.
Câu trả lời của bạn
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;2) và B(3;2;-3). Mặt cầu (S) có tâm I thuộc Ox và đi qua hai điểm A, B có phương trình *
+ I(a; 0; 0) thuộc trục Ox là tâm mặt cầu
\(\Leftrightarrow IA=IB\Leftrightarrow IA^{2}=IB^{2}\)
\(\Leftrightarrow a=2\Rightarrow I(2;0;0)\)
\(\Leftrightarrow R^{2}=61\)
\(\Rightarrow\) Phương trình mặt cầu: \((x-2)^{2}+y^{2}+z^{2}=61\)
+ Tọa độ giao điểm của (S) và Oz thỏa mãn:
\(\left\{\begin{matrix} (x-2)^{2}+y^{2}+z^{2}=61\\\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=y=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow z=\pm \sqrt{57}\)
\(\Rightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} M(0;0;\sqrt{57})\\M(0;0;-\sqrt{57}) \end{matrix}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 2; 1), B(0; -1; 0), C(3; -3; 3).
1) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.
2) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật.
Câu trả lời của bạn
1.
+ Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(-1;-3;-1),\overrightarrow{AC}=(2;-5;2)\)
Dễ thấy 2 véc tơ \(\overrightarrow{AB}=(-1;-3;-1),\overrightarrow{AC}=(2;-5;2)\) không cùng phương, do đó A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
+ Gọi G(xG; yG; zG) là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x_{G}=\frac{1+0+3}{3}=\frac{4}{3}\\y_{G} =\frac{2-1-3}{3}=-\frac{2}{3} \\z_{G}=\frac{1+0+3}{3}=\frac{4}{3} \end{matrix}\right.\Rightarrow G\left ( \frac{4}{3};-\frac{2}{3};\frac{4}{3} \right )\)
2.
Ta có: \(\overrightarrow{BA}=(1;3;1),\overrightarrow{BC}=(3;-2;3)\Rightarrow \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=1.3+3.(-2)+1.3=0\Rightarrow \overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow \triangle ABC\) lfa tam giác vuông tại B
Do đó, ABCD là hình chữ nhật \(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)
Gọi D(x0 ; y0 ; z0 ), Khi đó: \(\overrightarrow{AB}=(-1;-3;-1),\overrightarrow{DC}=(3-x_{0};-3-y_{0};3-z_{0})\)
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -1=3-x_{0}\\-3=-3-y_{0} \\-1=3-z_{0} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{0}=4\\y_{0}=0 \\z_{0}=4 \end{matrix}\right.\Rightarrow D(4;0;4)\)
Vậy \(D(4;0;4)\) là điểm cần tìm
Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A(1;2;-1), B(3;4;1) và C (4;1;-1). Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB. Tìm tọa độ điểm M trên thể trục Oz sao cho thể tích tứ diện MABC bằng 5.
Câu trả lời của bạn
Mặt cầu (S) cần tìm có tâm I là trung điểm của AB, với I(2;3;0)
Bán kính của (S) là \(\small R=\frac{AB}{2}=\sqrt{3}\)
Phương trình của (S): \(\small (x-2)^2+(y-3)^2+z^2=3\)
Gọi \(\small M(0;0;t)\in 0z.\) Do \(\small V_{MABC}=5\) nên \(\small \frac{1}{6}\left | \left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ] \overrightarrow{AM}\right |=5\Leftrightarrow \left | 11+4t \right |=5\)
\(\small \Leftrightarrow \left | 11+4t \right |=15\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 11+4t=15\\ 11+4t=-15 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ t=-\frac{13}{2}\Rightarrow M(0;0;-\frac{13}{2}) \end{matrix}\)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A(0; 1; 2), B(0; 2; 1), C(-2; 2; 3). Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác và tính đường cao AH của nó.
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\overrightarrow{AB}(0;1;-1),\overrightarrow{AC}(-2;1;1).\) Do \(\overrightarrow{AB}\neq k\overrightarrow{AC}\) nên ABC là một tam giác
Nhận thấy \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\) nên tam giác ABC vuông tại A
Vậy \(\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{2}{3}\; hay\; AH=\sqrt{\frac{3}{2}}\)
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2) và A'(2; 2; 1). Tìm tọa độ các đỉnh B', C' và viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, A'.
Câu trả lời của bạn
- Do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên \(\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{AA'}\Rightarrow B'(2;3;1)\)
Tương tự: \(\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AA'}\Rightarrow C'(2;2;2)\)
- Gọi phương trình mặt cầu (S) cần tìm dạng
\(x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0, \ a^2+b^2+c^2-d>0\)
Do A, B, C và A' thuộc mặt cầu (S) nên:
\(\left\{\begin{matrix} 2a+2b+2c+d=-3 & & & \\ 2a+4b+2c+d=-6 & & & \\ 2a+2b+4c+d=-6 & & & \\ 4a+4b+2c+d=-9 & & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=c=\frac{-3}{2} & \\ d=6 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & \end{matrix}\right.\)
- Do đó phương trình mặt cầu (S): \(x^2+y^2+z^2-3x-3y-3z+6=0\)
Trong không gian Oxyz cho các điểm A(3;-4;0), B(0; 2; 4), C(4; 2; 1). Tính diện tích tam giác ABC và tìm tọa độ điểm D trên trục Ox sao cho AD = BC.
Câu trả lời của bạn
Tính diện tích tam giác ABC
\(\left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ]=(-18;7;-24)\)
\(S=\frac{1}{2}\sqrt{18^2+7^2+24^2}=\frac{\sqrt{494}}{2}\)
Tìm tọa độ điểm D trên trục Ox sao cho AD = BC
Gọi D(x;0;0)
Ta có \(AD=BC\Leftrightarrow (x-3)^2+4^2+4^2+0^2=4^2+0^2+3^2\)
Vậy D(0; 0; 0) và D(6; 0; 0)
Cứu với mọi người!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1;-3), B(4;3;-2), C(6;-4;-1). Chứng minh rằng A, B,C là ba đỉnh của một tam giác vuông và viết phương trình mặt cầu tâm A đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\overrightarrow{AB}(2;2;1);\overrightarrow{AC}(4;-5;2)\Rightarrow \frac{2}{5}\neq \frac{2}{-5 }\Rightarrow \overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}\) không cùng phương \(\Rightarrow AB\perp AC\) suy ra ba điểm A; B; C là ba đỉnh của tam giác vuông.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G(4;0;-2). Ta có: \(AG=\sqrt{6}\)
Mặt cầu cần tìm có tâm A và bán kính \(AG=\sqrt{6}\) nên có pt: \((x-2)^2+(y-1)^2+(z+3)^2=6\)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A (1;-3;2), B (3;1;2). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB. Tìm điểm I trên trục Oy sao cho \(IA=\sqrt{2}IB\)
Câu trả lời của bạn
Gọi I là trung điểm AB, A (1;-3;2), B (3;1;2) suy ra \(I(2;-1;2)\Rightarrow \overline{IA}=(-1;-2;0)\Rightarrow IA=\sqrt{5}\)
Suy ra mặt cầu đường kính AB có phương trình \((x-2)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=5\)
Do I thuộc trục Oy nên I có tọa độ I (0;a;0)
\(IA=\sqrt{5+(a+3)^2}=\sqrt{a^2+6a+14}, IB=\sqrt{13+(a-1)^2}=\sqrt{a^2-2a+14}\)
\(IA=\sqrt{2}IB\Leftrightarrow IA^2=2IB^2\Leftrightarrow a^2+6a+16=2a^2-4a+28\)
\(\Leftrightarrow a^2-10a+14=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} a=5+\sqrt{11}\\ a=5-\sqrt{11} \end{matrix}\)
Vậy \(I(0;5+\sqrt{11};0)\) hoă\(I(0;5-\sqrt{11};0)\)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD có điểm A(4; -1; 5) và điểm B(-2; 7; 5). Tìm tọa độ điểm C, D biết tâm hình vuông thuộc mặt phẳng (Oxy).
Câu trả lời của bạn
Gọi M(x; y; 0) thuộc mặt phẳng Oxy là tâm hình vuông
\(\overrightarrow{MA} (4-x; -1- y; 5)\)
\(\overrightarrow{MB} (-2-x; 7-y; 5)\)
Vì ABCD là hình vuông nên tam giác MAB vuông cân tại M \(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} \overrightarrow{MA}\overrightarrow{MB} = 0\\ MA=MB \ \ \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} (4-x)(-2-x) + (-1-y)(7-y) + 25 = 0 \hspace{1,8cm}\\ (4-x)^2 + (-1-y)^2 + 25 = (-2-x)^2 + (7-y)^2 + 25 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1\\ y = 3 \end{matrix}\right.\)
Vậy M(1; 3; 0)
Vì M là trung điểm của AC và BD nên C(-2; 7; -5); D(4; -1; -5)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (-1; 3;2), B(1;-1; 4). Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB
Câu trả lời của bạn
Gọi I(x0;y0;z0) là trung điểm của đoạn AB nên suy ra I(0;1; 3)
\(\overrightarrow{IA}(-1;2;-1)\Rightarrow IA=\sqrt{6}\)
Phương trình mặt cầu đường kính AB là: \(x^2+(y-1)^2+(z-3)^2=6\)
Bài này phải làm sao mọi người?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1;-3), B(4;3;-2), C(6;-4;-1). Chứng minh rằng A, B,C là ba đỉnh của một tam giác vuông và viết phương trình mặt cầu tâm A đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\overrightarrow{AB}(2;2;1); \overrightarrow{AC}(4;-5;2)\Rightarrow \frac{2}{4}\neq -\frac{2}{5}\Rightarrow \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}\) không cùng phương ⇒ A; B; C lập thành tam giác.
Mặt khác \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2.4+2.(-5)+1.2=0\Rightarrow AB\perp AC\)
suy ra ba điểm A; B; C là ba đỉnh của tam giác vuông
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G(4;0; -2). Ta có: \(AG=\sqrt{6}\)
Mặt cầu cần tìm có tâm A và bán kính \(AG=\sqrt{6}\) nên có pt: \((x-2)^2+(y-1)^2+(z+3)^2=6\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai điểm A(1;2;-3) và B(3;0;1). Lập phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính.
Câu trả lời của bạn
Tọa độ tâm I(2;1;-1)
Bán kính mặt cầu \(R=IA=\sqrt{6}\)
Phương trình mặt cầu là \((x-2)^2+(y-1)^2+(z+1)^2=6\)
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;1;2), B(-1;2;1), C(2;-1;0). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC).
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\overline{AB}(-2;1;-1); \overline{AC}(1;-2;-2)\Rightarrow \overline{AB}\neq \overline{AC}\Rightarrow A,B,C\) không thẳng hàng
\(\Rightarrow \left [ \overline{AB},\overline{AC} \right ]=(-4;-5;3)\)
Mp(ABC) đi qua A và nhận \(\left [ \overline{AB},\overline{AC} \right ]\) làm véctơ pháp tuyến có phương trình là \(-4(x-1)-5(y-1)+3(z-2)=0\) hay \(-4x-5y+3z+3=0\)
Mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc mp(ABC) nên mặt cầu (S) có bán kính là:
\(R=d(I,(ABC))=\frac{\left | -4+10+9+3 \right |}{\sqrt{16+25+9}}=\frac{9\sqrt{2}}{5}\)
Phương trình mặt cầu (S) là: \((x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=\frac{162}{25}\)
Bài này phải làm sao mọi người?
Viết phương trình mặt cầu ngoài tiếp tứ diện OABC, biết O(0;0;0), A(1;0;0), B(0;4;0), C(0;0;2).
Câu trả lời của bạn
Gọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
\(x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0\)
\(O(0;0;0)\in (S)\Leftrightarrow d=0 \ \ \ \ \ \ (1)\)
\(A(1;0;0)\in (S)\Leftrightarrow 1+2a+d=0 \ \ (2)\)
\(B(0;4;0)\in (S)\Leftrightarrow 16+8b+d=0 \ \ (3)\)
\(C(0;0;2)\in (S)\Leftrightarrow 4+4c+d=0 \ \ \ (4)\)
Từ (1) (2) ta có
\(1+2a=0\Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}\)
Từ (1) (3) ta có
\(16+8b=0\Leftrightarrow b=-2\)
Từ (1) (4) ta có
\(4+4c=0\Leftrightarrow c=-1\)
Phương trình mặt cầu
\(x^2+y^2+z^2-x-4y-2z=0\)
Cách 2:
Dựng hình hộp chữ nhập
OADB.CGEF
Ta có \(\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\)
⇒ E(1;4;2)
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp OADB.CGEF, chính là mặt cầu đường kính OE, tâm là \((\frac{1}{2};2;1)\)
Bán kính \(R=\frac{1}{2}OE=\frac{1}{2}\sqrt{1^2+4^2+2^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}\)
Phương trình mặt cầu
\((x-\frac{1}{2})^2+(y-2)^2+(z-1)^2=\frac{21}{4}\)
Nhận xét:
ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật thì mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB'CD' là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật.
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(-3;2;1), C(4;2;0), B'(-2;1;1), D'(3;5;4)
a. Xác định tọa độ A', C', B, D và tâm K của hình hộp
b. Tìm điểm M trên đường thẳng AA' sao cho KM = \(\frac{\sqrt{59}}{2}\)
Câu trả lời của bạn
E là trung điểm AD', ta có \(E(0;\frac{7}{2};\frac{5}{2})\)
F là trung điểm B'C, ta có \(F(1;\frac{3}{2};\frac{1}{2})\)
\(\overrightarrow{EF}=(1;-2;-2)\)
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_B+3=1\\ y_B-2=-2\\ z_B-1=-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_B=-2\\ y_B=0\\ z_B=-1 \end{matrix}\right.\Rightarrow B(-2;0;-1)\)
\(\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{EF}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2-x_{A'}=1\\ 1-y_{A'}=-2\\ 1-z_{A'}=-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{A'}=-3\\ y_{A'}=3\\ z_{A'}=3 \end{matrix}\right.\Rightarrow A'(-3;3;3)\)
\(\overrightarrow{D'C'}=\overrightarrow{EF}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{C'}-3=1\\ y_{C'}-5=-2\\ z_{C'}-4=-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{C'}=4\\ y_{C'}=3\\ z_{C'}=2 \end{matrix}\right.\Rightarrow C'(4;3;2)\)
\(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{EF}\)
\(\left\{\begin{matrix} 4-x_D=1\\ 2-y_D=-2\\ 0-z_D=-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_D=3\\ y_D=4\\ z_D=2 \end{matrix}\right.\Rightarrow D(3;4;2)\)
K là tâm hình hộp nên K là trung điểm AC'
Vậy \(K(\frac{1}{2};\frac{5}{2};\frac{3}{2})\)
b)
\(M(x;y;z)\in AA'\), ta có \(\overrightarrow{AA'}=(0;1;2)\)
\(\overrightarrow{AM}=k.\overrightarrow{AA'}\)
\(\left\{\begin{matrix} x+3=0\\ y-2=k\\ z-1=2k \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=-3\\ y=2+k\\ z=1+2k \end{matrix}\right.\Rightarrow M(-3;2+k;1+2k)\)
\(\overrightarrow{KM}=(-\frac{7}{2};k-\frac{1}{2};2k-\frac{1}{2})\)
\(KM=\frac{\sqrt{59}}{2}\Leftrightarrow KM^2=\frac{59}{4}\)
\(\Leftrightarrow \frac{49}{4}+(k-\frac{1}{2})^2+(2k-\frac{1}{2})^2=\frac{59}{4}\)
\(\Leftrightarrow \frac{49}{4}+5k^2-3k+\frac{2}{4}=\frac{59}{4}\)
\(\Leftrightarrow 5k^2-3k-2=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} k=1\\ k=-\frac{2}{5} \end{matrix}\)
k = 1 → M(-3;3;3)
\(k=-\frac{2}{5}\rightarrow M(-3;\frac{8}{5};\frac{1}{5})\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *