Ở lớp 10, các em đã được học các dạng toán sử dụng hệ tọa độ trong mặt phẳng. Trong chương trình lớp 12, các nội dung đã được học đó sẽ được kế thừa như một kiến thức nền tảng để mở rộng ra không gian ba chiều được gọi là phương pháp tọa độ trong không gian. Nội dung trong chương này xoay quanh các vấn đề về tọa độ điểm, vectơ, phương trình, góc, khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian như đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu,...Sau đây, là nội dung bài học đâu tiên Hệ tọa độ trong không gian. Qua bài học này các em sẽ được tìm hiểu, ôn tập lại những khái niệm đã học, cũng như sẽ thấy được sự khác biệt của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và phương pháp tọa độ trong không gian. Bên cạnh đó các em sẽ biết được các dạng và cách viết phương trình mặt cầu.
Trong không gian, cho ba trục xOx', yOy', zOz' vuông góc với nhau từng đôi một.
Các vectơ \(\overrightarrow i ,\,\,\overrightarrow j ,\,\overrightarrow k\) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục xOx', yOy', zOz' với: \(\left | \vec{i} \right |=\left | \vec{j} \right |=\left | \vec{k} \right |=1.\)
Hệ trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Oxyz, với O là gốc tọa độ.
Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\vec{u}\) tồn tại duy nhất bộ số \((x,y,z)\) sao cho: \(\overrightarrow{u}=(x;y;z)\)\(\Leftrightarrow \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.\)
Bộ số: \((x,y,z)\) được gọi là tọa độ của vectơ \(\vec{u}\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm A tùy ý tồn tại duy nhất bộ số \((x_A,y_A,z_A)\) sao cho: \(A(x_A,y_A,z_A)\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}=(x_A;y_A;z_A).\)
Bộ số \((x_A,y_A,z_A)\) được gọi là tọa độ điểm A.
2.4. Phương trình mặt cầu
Khi đó, mặt cầu có tâm \(I(A;B;C)\), bán kính \(R = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)
Cho ba vectơ \(\vec a=(1;m;2),\vec b=(m+1;2;1),\vec c=(0;m-2;2).\)
a) Tìm m để \(\vec a\) vuông góc \(\vec b.\)
b) Tìm m để \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow c } \right|.\)
a) Ta có: \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow m + 1 + 2m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 1.\)
b) Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {m + 2;m + 2;3} \right)\)
Do đó:
\(\begin{array}{l} \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow c } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow c } \right|^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} + {(m + 2)^2} + 9 = {(m - 2)^2} + 4\\ \Leftrightarrow {m^2} + 12m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = - 6 \pm \sqrt 3 . \end{array}\)
Trong hệ trục tọa độ Oxy cho \(\overrightarrow a = (1; - 1;0),\,\overrightarrow b = ( - 1;1;2),\,\overrightarrow c = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j ,\,\overrightarrow d = \overrightarrow i\).
a) Xác định t để vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2;2t - 1;0} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow a .\)
b) Tìm các số thực m,n,p để \(\overrightarrow d = m\overrightarrow a - n\overrightarrow b + p\overrightarrow c\).
a) \(\vec u\)cùng phương với \(\vec a\) khi:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 1 = 2k\\ - 1 = (2t - 1)k\\ 0 = 0k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 = 2k\\ - 1 = (2t - 1)k \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k = \frac{1}{2}\\ - 1 = (2t - 1)k \end{array} \right. \end{array}\)
Với \(t=\frac{1}{2}\) thì ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} k = \frac{1}{2}\\ - 1 = 0 \end{array} \right.\) (Vô nghiệm)
Với \(t \ne \frac{1}{2}\) thì ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} k = \frac{1}{2}\\ k = \frac{{ - 1}}{{2t - 1}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{2t - 1}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow t = -\frac{{ 1}}{2}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow c = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j = (1;0;0) - 2(0;1;0) = (1; - 2;0)\)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow d = m\overrightarrow a - n\overrightarrow b + p\overrightarrow c \\ \Leftrightarrow (1;0;0) = m(1; - 1;0) - n( - 1;1;2) + p(1; - 2;0)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m + n + p = 1\\ - m - n - 2p = 0\\ 0m - 2n + 0p = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 2\\ n = 0\\ p = - 1 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy m=2;n=0;p=-1.
Cho A(3;0;4), B(1;2;3), C(9;6;4). Tìm:
a) Trọng tâm tam giác ABC.
b) Tọa độ đỉnh D để ABCD là hình bình hành.
c) Tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\ {y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\ {z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{13}}{3}\\ {y_G} = \frac{8}{3}\\ {z_G} = \frac{{11}}{3} \end{array} \right.\)
Vậy \(G\left( {\frac{{11}}{3};\frac{8}{3};\frac{{11}}{3}} \right).\)
b) Gọi \(D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = ( - 2;2; - 1)\\ \overrightarrow {DC} = (9 - {x_D};6 - {y_D};4 - {z_D}) \end{array}\)
Để ABCD là hình bình hành thì:
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}\)
Hay: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 = 9 - {x_D}\\ 2 = 6 - {y_D}\\ - 1 = 4 - {z_D} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_D} = 11\\ {y_D} = 4\\ {z_D} = 5 \end{array} \right. \Rightarrow D(11;4;5)\)
c) Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC và BD thì:
I là trung điểm của AC \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = 6\\ {y_I} = \frac{{y{}_A + {y_C}}}{2} = 3\\ {z_I} = \frac{{{z_A} + {z_C}}}{2} = 4 \end{array} \right. \Rightarrow I(6,3,4)\).
Trong mặt phẳng (P) cho hình chóp S.ABC có tọa độ các đỉnh \(A(0;0;0);\,B\left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right);C(a;0;0);S(0;0;a)\). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\); \(\overrightarrow {SC} = \left( {a;0; - a} \right).\)
\(\cos \left( {AB,SC} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {SC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {SC} } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \widehat {\left( {AB,SC} \right)} \approx {69^0}18'.\)
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tọa độ các điểm như sau:
\(A(0;0;0);\,B(a;0;0);\,C(0;a\sqrt 3 ,0);A'\left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right);B'\left( {\frac{{3a}}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right);C'\left( {\frac{a}{2};\frac{{3a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right)\)
Gọi M là trung điểm của BC
a) Chứng minh: \(A'M \bot BC.\)
b) Tính góc giữa hai đường thẳng: AA’ và B’C’.
a) Ta có: \(\overrightarrow {A'M} = \left( {0;0; - a\sqrt 3 } \right)\)
\(\overrightarrow {BC} = \left( { - a;a\sqrt 3 ;0} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = 0.\)
Vậy AM vuông góc BC.
b) Ta có:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AA'} = \left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right)\\ \overrightarrow {B'C'} = \left( {a; - a\sqrt 3 ;0} \right) \end{array}\)
\(\cos (AA',B'C') = \frac{{\left| {\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {B'C'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AA'} } \right|\left| {\overrightarrow {B'C'} } \right|}} = \frac{1}{4}\)
Vậy: \(\widehat {\left( {AA',B'C'} \right)} \approx {75^0}31'.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;-1;2) điểm B(-1;-1;0). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
Gọi I là trung điểm AB ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = - 1\\ {y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = - 1\\ {z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow I( - 1; - 1;1)\)
Ta có: \(IA = IB = 1.\)
Mặt cầu đường kính AB, nhận điểm I làm tâm, có bán kính R=IA=1 nên có phương trình là:
\({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 1)^2} = 1.\)
Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) và D(1;-1;2).
Gọi phương trình mặt cầu là: \(\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{ax}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{2by}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{2cz}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{d}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{0}}\,\left( {{{\rm{a}}^{\rm{2}}} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)\)
Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} -2a - 2b + d + 2 = 0\\ -6a - 2b - 4c + d + 14 = 0\\ 2a - 2b - 4c + d + 6 = 0\\ -2a + 2b - 4c + d + 6 = 0 \end{array} \right.\,\,\,\, \Rightarrow a = b = 1;\,c = 2;d = 2\)
Kết luận: Phương trình mặt cầu là \(x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z+2=0.\)
Ở lớp 10, các em đã được học các dạng toán sử dụng hệ tọa độ trong mặt phẳng. Trong chương trình lớp 12, các nội dung đã được học đó sẽ được kế thừa như một kiến thức nền tảng để mở rộng ra không gian ba chiều được gọi là phương pháp tọa độ trong không gian. Nội dung trong chương này xoay quanh các vấn đề về tọa độ điểm, vectơ, phương trình, góc, khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian như đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu,...Sau đây, là nội dung bài học đâu tiên Hệ tọa độ trong không gian. Qua bài học này các em sẽ được tìm hiểu, ôn tập lại những khái niệm đã học, cũng như sẽ thấy được sự khác biệt của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và phương pháp tọa độ trong không gian. Bên cạnh đó các em sẽ biết được các dạng và cách viết phương trình mặt cầu.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 3 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(3;0;0), N(0;0;4). Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1;2} \right),\overrightarrow b = \left( {3;0;1} \right),\overrightarrow c = \left( { - 4;1; - 1} \right)\). Tìm tọa độ \(\overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 1;3;1} \right),B\left( {1;4;2} \right)\). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm I. Tìm \(k\) biết \(\overrightarrow {IB} = k.\overrightarrow {IA} .\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Chương 3 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 68 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 68 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 68 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 68 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 68 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 68 SGK Hình học 12
Bài tập 3.1 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.2 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.3 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.4 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.5 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.6 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.7 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.8 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.9 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.10 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.11 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.12 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.13 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.14 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.15 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.16 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 1 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 8 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 9 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 10 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 11 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 12 trang 82 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 13 trang 82 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 14 trang 82 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(3;0;0), N(0;0;4). Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1;2} \right),\overrightarrow b = \left( {3;0;1} \right),\overrightarrow c = \left( { - 4;1; - 1} \right)\). Tìm tọa độ \(\overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 1;3;1} \right),B\left( {1;4;2} \right)\). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm I. Tìm \(k\) biết \(\overrightarrow {IB} = k.\overrightarrow {IA} .\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( {1;1;3} \right);B\left( {2;3;5} \right);C\left( { - 1;2;6} \right)\). Xác định tọa độ điểm M sao cho \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} = 0\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1; 2; 4), B(-1;1;4), C(0;0;4). Tìm số đo của góc \(\widehat{ABC}\).
Cho \(\overrightarrow a = \left( {0;0;1} \right);\,\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right);\,\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0)\), \(\overrightarrow b = (1;1;0)\) và \(\overrightarrow c = (1;1;1)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4z - m = 0\) có bán kính R = 5. Tìm giá trị của m.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho \(A\left( {1;2;0} \right);B\left( {3; - 1;1} \right)\). Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và bán kính AB.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0; - 2;0} \right),C\left( {0;0;4} \right)\)
Cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}=(2; -5; 3)\), \(\overrightarrow{b}=(0; 2; -1)\), \(\overrightarrow{c}=(1; 7; 2)\).
a) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{d}=4.\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\).
b) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\).
Cho ba điểm A = (1; -1; 1), B = (0; 1; 2), C = (1; 0; 1).
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 2), D = (1; -1; 1), C'=(4; 5; -5). Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Tính:
a) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) với \(\overrightarrow{a}(3; 0; -6),\overrightarrow{b}(2; -4; 0)\).
b) \(\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}\) với \(\overrightarrow{c}(1; -5; 2),\overrightarrow{d}(4; 3; -5)\).
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
a) \(\small x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 2y + 1 = 0\).
b) \(\small 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\).
Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:
a) Có đường kính AB với A(4 ; -3 ; 7), B(2 ; 1 ; 3)
b) Đi qua điểm A = (5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
Trong không gian Oxyz cho ba vecto \(\vec a = (2; - 1;2),\vec b = (3;0;1),\vec c = ( - 4;1; - 1)\). Tìm tọa độ của các vecto \(\vec m\) và \(\vec n\) biết rằng:
a) \(\vec m = 3\vec a - 2\vec b + \vec c\)
b) \(\vec n = 2\vec a + \vec b + 4\vec c\)
Trong không gian Oxyz cho vecto \(\vec a = (1; - 3;4)\).
a) Tìm y0 và z0 để cho vecto \(\vec b = (2;{y_0};{z_0})\) cùng phương với \(\vec a\)
b) Tìm tọa độ của vecto \(\vec c\) biết rằng \(\vec a\) và \(\vec c\) ngược hướng và \(|\overrightarrow {c|} = 2|\vec a|\)
Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ (x0; y0 ; z0). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
Cho hai bộ ba điểm:
a) A = (1; 3; 1) , B = (0; 1; 2) , C = (0; 0; 1)
b) M = (1; 1; 1) , N = (-4; 3; 1) , P = (-9; 5; 1)
Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng?
Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).
Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \)
b) \(\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} \)
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {MN} \)
b) \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {PQ} \)
Trong không gian cho ba vecto tùy ý \(\vec a,\vec b,\vec c\). Gọi \(\vec u = \vec a - 2\vec b,\vec v = 3\vec b - \vec c,{\rm{\vec w}} = 2\vec c - 3\vec a\).
Chứng tỏ rằng ba vecto \(\vec u,\vec v,{\rm{\vec w}}\) đồng phẳng.
Trong không gian Oxyz cho một vecto \(\vec a\) tùy ý khác vecto \(\vec 0\). Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\) trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto \(\vec a\). Chứng minh rằng: \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\)
Cho hình tứ diện ABCD.
a) Chứng minh hệ thức: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\)
b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: "Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau".
Tính tích vô hướng của hai vecto \(\vec a,\vec b\) trong không gian với các tọa độ đã cho là:
a) \(\vec a = (3;0; - 6),\vec b = (2; - 4;c)\)
b) \(\vec a = (1; - 5;2),\vec b = (4;3; - 5)\)
c) \(\vec a = (0;\sqrt 2 ;\sqrt 3 ),\vec b = (1;\sqrt 3 ; - \sqrt 2 )\)
Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:
a) A(4; -1; 1) , B(2; 1; 0)
b) A(2; 3; 4) , B(6; 0; 4)
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là:
A(a; 0 ; 0), B(0; b; 0) , C(0; 0; c)
Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a) Có tâm I(5; -3; 7) và có bán kính r = 2.
b) Có tâm là điểm C(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ;
c) Đi qua điểm M(2;-1;-3) và có tâm C(3; -2; 1)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0); C(0;4;0); D(0;0;4). Tìm tọa độ điểm B sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua O, B, C, D
Câu trả lời của bạn
Gọi B(x;y), ta có \(OA\perp OC\) nên OABC là hình chữ nhật =>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x-2=0\\y-0=4\\z-0=0\end{cases}\) \(\Rightarrow B\left(2;4;0\right)\)
Ta có \(\overrightarrow{OB}=\left(2;4;0\right);\overrightarrow{OD}=\left(0;0;4\right);\overrightarrow{CB}=\left(2;0;0\right);\overrightarrow{CD}=\left(0;-4;4\right)\)
Do đó \(\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OD}=0\) và \(\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CD}=0\Rightarrow\widehat{BOD}=\widehat{BCD}=90^0\)
Suy ra mặt cầu đi qua 4 điểm O, B, C, D có tâm I là trung điểm của BD, bán kính R=OI
Ta có \(I\left(1;2;2\right);R=OI=\sqrt{1+2^2+2^2}=3\)
Do đó mặt cầu (S) có phương trình : \(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-2\right)^2=9\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;-1); B(3;4;1) và C(4;1;-1). Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB. Tìm tọa độ điểm M trên trục Oz sao cho thể tích khối tứ diện MABC =5
Câu trả lời của bạn
Mặt cầu (S) cần tìm có tâm I là trung điểm của AB, với I(2;3;0)
Bán kính của (S) là \(R=\frac{AB}{2}=\sqrt{3}\)
Phương trình của (S) : \(\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2+z^2=3\)
Gọi \(M\left(0;0;t\right)\in Oz\)
Do \(V_{MABC}=5\) nên \(\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\overrightarrow{AM}\right|=5\Leftrightarrow\left|11+4t\right|=5\)
\(\Leftrightarrow\left|11=4t\right|=15\Leftrightarrow\begin{cases}11+4t=15\\11+4t=-15\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}t=1\Rightarrow M\left(0;0;1\right)\\t=-\frac{13}{2}\Rightarrow M\left(0;0;-\frac{13}{2}\right)\end{cases}\)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ. Biết A(2;0;0); B(0;1;0); S(0;0;\(2\sqrt{2}\)).Gọi M là trung điểm cạnh SC
a. Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA; BM
b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N. Tính thể tích khối hình chóp S.ABMN
Câu trả lời của bạn
a. Do ABCD là hình thoi có tâm là O nên từ giả thiết ta có :
\(C=\left(-2;0;0\right)\)
\(D=\left(0;-1;0\right)\)
Từ đó M là trung điểm của SC nên :
\(M\left(-1;0=-\sqrt{2}\right)\)
Ta có \(\overrightarrow{SA}=\left(2;0;-2\sqrt{2}\right)\)
\(\overrightarrow{BM}=\left(-1;-1;\sqrt{2}\right)\)
Gọi \(\alpha\) là góc giữa 2 đường thẳng SA, MB, ta có :
\(\cos\alpha=\frac{\left|\overrightarrow{SA.}\overrightarrow{BM}\right|}{\left|\overrightarrow{SA}\right|.\left|\overrightarrow{MB}\right|}=\frac{\left|-2-4\right|}{\sqrt{4+8}.\sqrt{1+2+1}}=\frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Vậy \(\alpha=60^0\)
Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau SA, BM ta sử dụng công thức :
\(d\left(SA;BM\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right].\overrightarrow{AB}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]\right|}\) (1)
Theo công thức xác định tọa độ vecto \(\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]\) ta có :
\(\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]=\left(\left|\begin{matrix}0&-2\sqrt{2}\\-1&\sqrt{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2\sqrt{2}&2\\\sqrt{2}&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&0\\-1&-1\end{matrix}\right|\right)\)
\(=\left(-2\sqrt{2};1;0\right)\)
\(\Rightarrow\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]\right|=\sqrt{12}\)
\(\overrightarrow{AB}=\left(-2;1;0\right)\)
\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right].\overrightarrow{AB}=4\sqrt{2}\)
Thay vào (1) ta có :
\(d\left(SA;BM\right)=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{12}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)
b. Vì AB \\ mặt phẳng (SDC) nên MN \\ DC. Suy ra N là trung điểm của SD
\(\Rightarrow N=\left(0;-\frac{1}{2};\sqrt{2}\right)\)
Dễ thấy :
\(V_{S.ABMN}=V_{S.ABN}+V_{S.BMN}\)
\(=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right].\overrightarrow{SN}\right|+\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SM}\right].\overrightarrow{SN}\right|\) (2)
Ta có \(\overrightarrow{SA}=\left(2;0;-2\sqrt{2}\right)\)
\(\overrightarrow{SN}=\left(0;-\frac{1}{2};-\sqrt{2}\right)\)
\(\overrightarrow{SB}=\left(0;1;-2\sqrt{2}\right)\)
\(\overrightarrow{SM}=\left(-1;0;-\sqrt{2}\right)\)
Ta lại có :
\(\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{SB}\right]=\left(\left|\begin{matrix}0&-2\sqrt{2}\\-1&-2\sqrt{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2\sqrt{2}&2\\-2\sqrt{2}&0\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&0\\0&1\end{matrix}\right|\right)\)
\(=\left(2\sqrt{2};4\sqrt{2};2\right)\)
\(\left[\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SM}\right]=\left(\left|\begin{matrix}1&-2\sqrt{2}\\0&\sqrt{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2\sqrt{2}&0\\-\sqrt{2}&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}\right|\right)\)
\(=\left(-\sqrt{2};2\sqrt{2};1\right)\)
Thay vào (2) được :
\(V_{S.ABMN}=\frac{1}{6}\left(\left|-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}\right|+\left|-\sqrt{2}-\sqrt{2}\right|\right)=\sqrt{2}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left(4;2;2\right);B\left(0;0;7\right)\), đường thẳng \(d:\frac{x-3}{-2}=\frac{y-6}{2}=\frac{z-1}{1}\).
Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng thuộc một mặt phẳng. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABC cân đỉnh A
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(-2;2;1\right)\) và đi qua \(M\left(3;6;1\right)\)
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{AB}\left(-4;-2;5\right)\) và đi qua \(\overrightarrow{AM}\left(-1;4;-1\right)\)
Ta có \(\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{AB}\right]=\left(12;6;12\right)\Rightarrow\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{AB}\right].\overrightarrow{AM}=-12+24-12=0\)
Vậy ta có AB và d đồng phẳng.
\(C\in d\Rightarrow C\left(3-2t;6+2t;1+t\right)\)
Tam giác ABC cân tại A \(\Leftrightarrow AB=AC\)
\(\Leftrightarrow\left(1+2t\right)^2+\left(4+2t\right)^2+\left(1-t\right)^2=45\)
\(\Leftrightarrow9t^2-18t-27=0\)
\(\Leftrightarrow t=1\) hoặc \(t=-3\)
Vậy \(C\left(1;8;2\right)\) hoặc \(C\left(9;0;-2\right)\)
cho A(1;4;3) mặt cầu s có tâm A và cắt trục ox thại 2 điểm B và C sao cho BC=6. phương trinh mặt caafu s là gì
Câu trả lời của bạn
Giải:
Gọi \(B=(a,0,0)\) và \(C=(b,0,0)\)
Ta có \(BC=\sqrt{(a-b)^2}=6=|a-b|\) \((1)\)
Vì \(B,C\) nằm trên mặt cầu nên :
\(R=AB=AC\Leftrightarrow \sqrt{(a-1)^2+25}=\sqrt{(b-1)^2+25}\Leftrightarrow (a-1)^2=(b-1)^2\)
\(\Leftrightarrow (a-b)(a+b-2)=0\Leftrightarrow a+b=2\) \((2)\)vì \(a-b\neq 0\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow \)\(\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a=4\\b=-2\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a=-2\\b=4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\). Từ đây thu được \(R=\sqrt{34}\)
Vậy PTMC là \((x-1)^2+(y-4)^2+(z-3)^2=34\)
cho d:\(\frac{x-2}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z-4}{2}\) và A(1,2,-1);B(7,-2,3) biết đường thẳng d,a,b cùng thuộc 1 mp. tìm M thuộc d mà MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất
Câu trả lời của bạn
cho d:\(\frac{x-2}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z-4}{2}\) và A(1,2,-1);B(7,-2,3) biết đường thẳng d,a,b cùng thuộc 1 mp. tìm M thuộc d mà MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất
A.M(3,6,1) B.M(-1,2,2) C.(2,0,4) D.(5,-6,10)
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên d
\(\left(d\right)=\left\{\begin{matrix}x=3t+2\\y=-2t\\z=2t+4\end{matrix}\right.\)
+) Tìm tọa độ điểm H và K:
\(H\in\left(d\right)\Rightarrow H\left(3h+2;-2h;2h+4\right)\\ \Rightarrow\overrightarrow{AH}=\left(3h+1;-2h-2;2h+5\right)\)
\(\overrightarrow{AH}\perp d\Rightarrow\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{u_d}=0\\ \Leftrightarrow\left(3h+1;-2h-2;2h+5\right)\cdot\left(3;-2;2\right)=17h+17\\ \Rightarrow h=-1\Rightarrow H\left(-1;2;2\right)\)
Tiện thể tính ngay \(AH=\sqrt{13}\)
Làm tương tự, tìm được điểm \(K\left(5;-2;6\right)\) và \(BK=\sqrt{13}\)
+) Tìm tọa độ điểm M:
\(\left(MA+MB\right)min\Leftrightarrow\frac{MH}{MK}=\frac{AH}{BK}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=1\) (cái này chứng minh bằng hàm số)
Suy ra M là trung điểm HK \(\Rightarrow M\left(2;0;4\right)\)
Lời giải:
Với $M\in (d)$ ta đặt tọa độ của \(M(3t+2,-2t,2t+4)\)
Khi đó \(MA=\sqrt{(3t+1)^2+(-2t-2)^2+(2t+5)^2}\); \(MB=\sqrt{(3t-5)^2+(-2t+2)^2+(2t+1)^2}\)
\(\Rightarrow f(t)=MA+MB=\sqrt{17t^2+34t+30}+\sqrt{17t^2-34t+30}\)
\(f(t)=\sqrt{(\sqrt{17}t+\sqrt{17})^2+13}+\sqrt{(\sqrt{17}t-\sqrt{17})^2+13}\)
Xét \(\overrightarrow{u}=(\sqrt{17}t+\sqrt{17},\sqrt{13});\overrightarrow{v}=(-\sqrt{17}t+\sqrt{17},\sqrt{13})\)
Ta biết rằng \(|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{v}|\geq |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|\) nên \(f(t)\geq \sqrt{(2\sqrt{17})^2+(2\sqrt{13})^2}=2\sqrt{30}\)
Dấu $=$ xảy ra khi \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) cùng hướng hay \(\frac{\sqrt{17}t+\sqrt{17}}{-\sqrt{17}t+\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}>0\Rightarrow t=0\)
\(\Rightarrow M=(2,0,4)\)
cho mcầu (S) : \(^{\left(x-3\right)^2}\)+ \(\left(y-1\right)^2\)+ \(\left(z-1\right)^2\)=9. Điểm A(0;-3;-2). tìm điểm M nằm trên (S) sao cho MA Max và MB Min
Câu trả lời của bạn
Bài này bạn không nên dùng phương pháp giải tích, dùng hình học cho dễ!
Đường thẳng AO cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm M1 và M2
Xét một đường tròn (C)= (O;R=3) bất kỳ thuộc (S) và điểm M di động trên (C) và không trùng M1, M2
Không mất tính tổng quát, điểm M có thể đại diện cho mọi điểm trên (S) (trừ M1, M2)
+) Dễ thấy \(\widehat{M_2MM_1}=90^0\),
tia M'M1 nằm giữa tia M'A và M'M2 nên \(\widehat{M_2MA}>\widehat{M_2MM_1}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{M_2MA}\) là góc tù
\(\Rightarrow\Delta M_2MA\)luôn có cạnh \(AM_2>AM\)
Vậy MA max khi và chỉ khi \(M\equiv M_2\)
tìm điểm M2 bằng cách \(\frac{\overrightarrow{AM_2}}{\overrightarrow{AO}}=\frac{AM_2}{AO}=\frac{8}{5}\Rightarrow M_2\left(\frac{24}{5};\frac{17}{5};\frac{14}{5}\right)\)
+) Dễ thấy \(\widehat{AM_1M}\) là góc tù nên \(\Delta AM_1M\) luôn có \(AM>AM_1\)
Vậy MA min khi và chỉ khi \(M\equiv M_1\)
.......(làm tương tự ý trên để tìm M1 :3 )
1)Cho tam giác ABC có A(0,0,1), B(-1,-2,0), C(2,1,-1). Khi đó tọa độ chân đường cao H hạ từ A xuống BC là
\(A.\dfrac{5}{19},\dfrac{-14}{19},\dfrac{-8}{19}B.\left(\dfrac{4}{9},1,1\right)C.\left(1,1,\dfrac{8}{9}\right)D.\left(1,\dfrac{3}{2},1\right)\)
Câu trả lời của bạn
Giải:
Gọi tọa độ điểm \(H=(a,b,c)\)
Ta có
\(\overrightarrow{AH}=(a,b,c-1)\perp \overrightarrow{BC}=(3,3,-1)\Rightarrow 3a+3b-(c-1)=0(1)\)
\(H\in BC\Rightarrow \) tồn tại \(k\in\mathbb{R}\) sao cho \(\overrightarrow {BH}=k\overrightarrow {BC}\)
\(\Leftrightarrow (a+1,b+2,c)=k(3,3,-1)\Rightarrow \frac{a+1}{3}=\frac{b+2}{3}=\frac{c}{-1}=k\)
\(\Rightarrow a=3k-1,b=3k-2,c=-k\)
Thay vào \((1)\Rightarrow 19k-8=0\rightarrow k=\frac{8}{19}\)
\(\Rightarrow (a,b,c)=\left(\frac{5}{19},\frac{-14}{19},\frac{-8}{19}\right)\)
Đáp án A.
Trong không gian Oxyz cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(2;-1;2\right);\overrightarrow{b}=\left(3;0;1\right);\overrightarrow{c}=\left(-4;1;-1\right)\) a) \(\overrightarrow{m}=3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\) b) \(\overrightarrow{n}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}\)
Câu trả lời của bạn
\(\overrightarrow{m}=\left(-4;-2;3\right);\overrightarrow{n}=\left(-9;2;1\right)\)
Tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) a) \(\overrightarrow{a}=\left(3;0;-6\right);\overrightarrow{b}=\left(2;-4;c\right)\) b) \(\overrightarrow{a}=\left(1;-5;2\right);\overrightarrow{b}=\left(4;3;-5\right)\) c) \(\overrightarrow{a}=\left(0;\sqrt{2};\sqrt{3}\right);\overrightarrow{b}=\left(1;\sqrt{3};-\sqrt{2}\right)\)
Câu trả lời của bạn
a) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=6\left(1-c\right)\)
b) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-21\)
c) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\)
Trong ko gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1,-2,3) và đường thẳng d có phương trình \(\dfrac{X+1}{2}=\dfrac{Y-2}{1}=\dfrac{Z+3}{-1}\), phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d
A. (x-1)2+(y+2)2+(z-1)2=5
B. (x+1)2+(y-2)2+(z+3)2= 50
C. (x-1)2+(y+2)2+(Z-3)2= 50
D. (x-1)2+(y-2)2-(z-3)2= \(\sqrt{50}\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Vì mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng nên độ dài bán kính chính bằng khoảng cách từ tâm đến đường thẳng đó
Ta thấy đường thẳng $(d)$ đi qua \(M(-1,2,-3)\) và có vector chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(2,1,-1)\)
\(\Rightarrow d(A,d)=\frac{|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{MA}]|}{|\overrightarrow{u}|}=\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=5\sqrt{2}=R\rightarrow R^2=50\)
Do đó PTMC là: \((x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=50\)
Đáp án C
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là : \(A\left(a;0;0\right);B\left(0;b;0\right);C\left(0;0;c\right)\) Chứng minh rằng tam giác ABC có 3 góc nhọn ?
Câu trả lời của bạn
Ta có : \(\overrightarrow{AB}=\left(-a;b;0\right)\)
và \(\overrightarrow{AC}=\left(-a;0;c\right)\)
Vì \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=a^2>0\) nên góc \(\widehat{BAC}\) là góc nhọn
Lập luận tương tự chứng minh được các góc \(\widehat{B}\) và \(\widehat{C}\) cũng là góc nhọn
Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau : a) \(A\left(4;-1;1\right);B\left(2;1;0\right)\) b) \(A\left(2;3;4\right);B\left(6;0;4\right)\)
Câu trả lời của bạn
a) \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=3\)
b) \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=5\)
Trong không gian Oxyz hãy xác định tâm và bán kính các mặt cầu có phương trình sau đây : a) \(x^2+y^2+z^2-6x+2y-16z-26=0\) b) \(2x^2+2y^2+2z^2+8x-4y-12z-100=0\)
Câu trả lời của bạn
a) Tâm \(I\left(3;-1;8\right)\), bán kính \(r=10\)
b) Tâm \(I\left(-2;1;3\right)\), bán kính \(r=8\)
Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau : a) Có tâm \(I\left(5;-3;7\right)\) b) Có tâm là điểm \(C\left(4;-4;2\right)\) c) Đi qua điểm \(M\left(2;-1;-3\right)\)
Câu trả lời của bạn
a) \(\left(x-5\right)^2+\left(y+3\right)^2+\left(z-7\right)^2=4\)
b) \(\left(x-4\right)^2+\left(y+4\right)^2+\left(z-2\right)^2=36\)
c) \(\left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-1\right)^2=18\)
cho hinh hop ABCD.A'B'C'D' biet A(1;0;1) ; B(2;1;2) ; D(1;-1;1) ; C'(4;5;-5) . Tinh toa do cac dinh con lai cua hinh hop
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên ta có các điều sau:
\( \overrightarrow{AB}=\overrightarrow {DC}\Leftrightarrow (1,1,1)=(x_C-1,y_C+1,z_C-1)\Leftrightarrow (x_C,y_C,z_C)=(2,0,2)\)
Ta tìm được tọa độ điểm \(C\)
Tiếp tục có
\( \overrightarrow{DD'}=\overrightarrow {CC'}\Leftrightarrow (x_{D'}-1,y_{D'}+1,z_{D '}-1)=(2,5,-7)\Leftrightarrow (x_{D'},y_{D'},z_{D'})=(3,4,-6)\)
Ta tìm được tọa độ điểm \(D'\)
\( \overrightarrow{AD}=\overrightarrow {A'D'}\Leftrightarrow (0,-1,0)=(3-x_{A'},4-y_{A'},-6-z_{A '})\Leftrightarrow (x_{A'},y_{A'},z_{A'})=(3,5,-6)\)
Ta tìm được tọa độ điểm \(A'\)
\( \overrightarrow{AA'}=\overrightarrow {BB'}\Leftrightarrow (2,5,-7)=(x_{B'}-2,y_{B'}-1,z_{B '}-2)\Leftrightarrow (x_{B'},y_{B'},z_{B'})=(4,6,-5)\)
Ta tìm được tọa độ điểm \(B'\)
Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm \(A\left(1;0;0\right);B\left(0;-2;0\right);C\left(0;0;4\right)\)
Câu trả lời của bạn
Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng :
\(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\)
Vì \(A\in\left(S\right)\) nên ta có : \(1-2a+d=0\left(1\right)\)
\(A\in\left(S\right)\) nên ta có : \(4+4b+d=0\left(2\right)\)
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-1}{2}\) và điểm I(1;0;3).Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d .Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt d tại hai điểm A,B sao cho tam giác IAB vuông tại I
Câu trả lời của bạn
a)
Viết pt đường thẳng d dạng:
\(d=\left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=-1+t\\z=1+2t\end{matrix}\right.\)
Gọi \(H\left(1+2h;-1+h;1+2h\right)\) là hình chiếu vuông góc của I trên d
Ta có:
\(\overrightarrow{IH}\perp\overrightarrow{u_d}\Leftrightarrow\left(2h;-1+h;-2+2h\right)\left(2;1;2\right)=0\\ \Leftrightarrow9h-5=0\Leftrightarrow h=\frac{5}{9}\)
\(\overrightarrow{IH}=\left(\frac{10}{9};-\frac{4}{9};-\frac{8}{9}\right)\Rightarrow IH=\frac{2\sqrt{5}}{3}\)
b)
\(\Delta IAB\) vuông tại I và có đường cao IH, lại có IA=IB=R (R là bán kính mặt cầu (S))
Suy ra tam giác IAB vuông cân tại I \(\Rightarrow IA=IH\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{10}}{3}\)
\(\Rightarrow R=\frac{2\sqrt{10}}{3}\)
Vậy \(\left(S\right):\left(x-1\right)^2+y^2+\left(z-3\right)^2=\frac{40}{9}\)
(Mình tính toán có thể sai, bạn tham khảo tạm cách làm nhé)
cho mặt cầu (S): x^2 + y^2 + z^2 -2x -2y -2z =0 và điểm A(2;2;2). Điểm B thay đổi trên mặt cầu. Diện tích của tam giác OAB có giá trị lớn nhất là? A. 1 (đvdt) B. 2 (đvdt) C. căn bặc hai của 3 (đvdt) D, 3 (đvdt)
Câu trả lời của bạn
Đáp án:
90o
90
Lời giải:
Ta có:
\((S): x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=3\)
Do đó mặt cầu \((S)\) có tâm \(O=(1,1,1)\) và \(R=\sqrt{3}\)
Khi đó, dễ dàng nhận thấy \(A\in (S)\)
Ta có \(S_{OAB}=\frac{OA.OB.\sin \angle AOB}{2}\leq \frac{OA.OB.1}{2}=\frac{3}{2}\) vì \(\sin AOB\leq 1\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\angle AOB=90^0\)
Trong hệ tọa độ Oxyz cho A(2;1;-3),B(4;3;-2),C(6;-4;-1) Tìm tọa độ điểm D để A,B,C,D là 4 đỉnh của 1 hình chữ nhật
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Gọi \(D=(a,b,c)\). Tính toán: \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}=(2,2,1)\\ \overrightarrow{BC}=(2,-7,1)\\ \overrightarrow{AC}=(4,-5,2)\end{matrix}\right.\)
Thấy \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Rightarrow\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}\) nên \(A,B,C,D\) là bốn đỉnh của hình chữ nhật $ABDC$
Ta có \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}\Leftrightarrow (4,-5,2)+(2,2,1)=(a-2,b-1,c+3)\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a-2=6\\ b-1=-3\\ c+3=3\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=8\\ b=-2\\ c=0\end{matrix}\right.\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *