Sau khi kết thúc tất cả bài học chương trình Hình học 12, bài ôn tập cuối năm sẽ giúp các em có cái nhìn tổng quan về toàn bộ chương trình đã học. Từ đó sẽ có định hướng ôn tập và rèn luyện nhằm hướng đến kì thi THPT Quốc gia mà ở đó chương trình Toán 12 luôn chiếm tỉ trọng cao nhất về điểm số.
Với việc môn Toán thi Trắc nghiệm thì việc học tủ một số dạng toán để tham gia kì thi THPT QG sẽ dễ khiến các em bị mất điểm đáng tiếc nhất là với những câu lý thuyết. Các em cần thay đổi phương pháp học tập, cần nắm và hiểu lý thuyết hơn là chỉ chăm chăm vào việc luyện giải bài tập. Với toàn bộ những nội dung đã truyền tải đến các em thông qua các bài học, hy vọng sẽ giúp ích cho các em.
Nếu các em đã tự tin mình đã nắm vững kiến thức thì các em có thể tham gia làm bài Kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 để đánh giá kết quả ôn tập của mình nhé. Mọi thắc mắc cần giải đáp các em có thể đặt câu hỏi trong phần Hỏi-đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 .\) Tính thể tích V khối chóp S.ABC?
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và thể tích của khối chóp đó bằng \(\frac{{{a^3}}}{4}.\) Tính độ dài cạnh bên SA.
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích V của khối tứ diện ABA’C’.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có \(AB = 3a,{\rm{ }}AC = 5a\) và cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp bằng \(6a^3\). Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SAD).
Cho hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt là (O); (O’). Biết thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn (O’) là \(a^3\) tính thể tích V của khối trụ đã cho?
Cho mặt cầu có diện tích bằng \(\frac{{8\pi {a^2}}}{3}.\) Tìm bán kính R của mặt cầu.
Trong không gian với hệ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;2;1). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình của mặt cầu đi qua ba điểm \(A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1)\) và có tâm thuộc mặt phẳng \((P):x + y + z - 2 = 0.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{3}\) và \(\left( P \right):2x + y - z = 0.\) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và vuông góc mặt phẳng (P).
Cho lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A′B′C′D′E′F′, O và O′ là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy, mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của OO′ và cắt các cạnh bên cúa lăng trụ. Chứng minh rằng (P) chia lăng trụ đã cho thành hai đa diện có thể tích bằng nhau.
Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm B'C' và C'D'. Mặt phẳng (AEF) chia khối lập phương đó thành hai khối đa diện (H) và (H') trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh A'. Tính thể tích của (H).
Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r. Hình nón có đường tròn đáy (C) và đỉnh I đều thuộc (S) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu (S). Gọi h là chiều cao của hình nón đó.
a) Tính thể tích của hình nón theo r và h.
b) Xác định h để thể tích của hình nón là lớn nhất.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;-1); B(7;-2;3) và đường thẳng d có phương trình \(\left\{\begin{matrix} x=-1+3t\\ y=2-2t\\ z=2+2t \end{matrix}\right.\)
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng nằm trong một mặt phẳng.
b) Tìm điểm I trên d sao cho AI + BI nhỏ nhất.
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết rằng AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5 cm.
a) Tính thể tích tứ diện ABCD.
b) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình \(x^2+y^2+z^2=a^2 (a>0)\)
a) Tính diện tích của mặt cầu (S) và thể tích của khối cầu tương ứng.
b) Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (Oxy) theo một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C).
c) Tính diện tích xung quanh của hình trụ nhận (C) làm đáy và có chiều cao là \(a\sqrt{3}\). Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
Trong không gian cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình
\(d_1:\left\{\begin{matrix} x=1-t\\ y=t\\ z=-t \end{matrix}\right.d_2:\left\{\begin{matrix} x=2t'\\ y=-1+t'\\ z=t' \end{matrix}\right.\)
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.
b) Viết phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) chứa d1 và song song với d2.
Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4;-1;1), D(3; 0 ;3)
a) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC).
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1).
a) Chứng mỉnh rằng các đường thẳng AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích tứ diện ABCD.
b) Viết phương tình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.
c) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song mặt phẳng (ABD).
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng \((d):\left\{\begin{matrix} x=1-2t\\ y=2+t\\ z=3-t \end{matrix}\right.\) và mặt phẳng \((\alpha ):2x+y+z=0\)
a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và \((\alpha )\).
b) Viết phương trình mặt phẳng \((\beta )\) qua A và vuông góc với (d).
Trong không gian Oxyz cho các điểm A(-1;2;0), B(-3;0;2), C(1;2;3), D(0;3;-2)
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và phương trình tham số của đường thẳng AD.
b) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa AD và song song với BC.
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1) và D(-1;1;2)
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).
c) Tìm toạ độ tiếp điểm của (S) và mặt phẳng (BCD).
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
\(d_1:\left\{\begin{matrix} x=-1+3t\\ y=1+2t\\ z=3-2t \end{matrix}\right.d_2:\left\{\begin{matrix} x=t'\\ y=1+t'\\ z=-3+2t' \end{matrix}\right.\)
a) Chứng minh d1 và d2 cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Viết phương trình mặt phẳng đó.
Trong không gian cho ba điểm A,B,C
a) Xác định điểm G sao cho \(\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}-2\overrightarrow{GC}=\vec{0}\)
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2 + 2MB2 - 2MC2 = k2, với k là hằng số.
Cho hai đường thẳng chéo nhau:
\(d:\left\{\begin{matrix} x=2-t\\ y=-1+t\\ z=1-t \end{matrix}\right.; d':\left\{\begin{matrix} x=2+2t'\\ y=t'\\ z=1+t' \end{matrix}\right.\)
a) Viết phương trình các mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) song song với nhau và lần lượt chứa d và d'.
b) Lấy hai điểm M(2; -1; 1) và M'(2; 0; 1) lần lượt trên d và d'. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng \((\beta )\) và khoảng cách từ M' đến mặt phẳng \((\alpha )\). So sánh hai khoảng cách đó.
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình 4x + y + 2z + 1 =0 và mặt phẳng \((\beta )\) có phương trình 2x – 2y + z + 3 = 0
a) Chứng minh rằng \((\alpha )\) cắt \((\beta )\).
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d là giao của (α) và \((\beta )\).
c) Tìm điểm M' là ảnh của M(4; 2; 1) qua phép đối xứng qua mặt phẳng \((\alpha )\).
d) Tìm điểm N' là ảnh của N(0; 2; 4) quá phép đối xứng qua đường thẳng d.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ với cạnh bên không vuông góc với mặt đáy. Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với các cạnh bên của hình lăng trụ và cắt chúng tại P, Q, R. Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {AA'}\) biến tam giác PQR thành tam giác P’Q’R’.
a) Chứng minh rằng thể tích V của hình lăng trụ đã cho bằng thể tích của hình lăng trụ PQR.P’Q’R’.
b) Chứng minh rằng V = SPQR.AA′, trong đó SPQR là diện tích tam giác PQR.
Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Hãy tính thể tích hình tứ diện có đỉnh là trọng tâm các mặt của tứ diện đã cho.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V. Hãy tính thể tích của tứ diện ACB’D’.
Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tám mặt đều. Hãy so sánh thể tích của tứ diện đều đã cho và thể tích của hình tám mặt đều đó.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OM} = \left( {a;b;c} \right)\\\overrightarrow {OA} = \left( {1; - 2; - 2} \right)\\\overrightarrow {OB} = \left( {2;2;1} \right)\end{array} \right.\)
\(\cos \left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {OA} } \right) = \frac{{a - 2b - 2c}}{{3\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }};\,\,\cos \left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {OB} } \right) = \frac{{2a + 2b + c}}{{3\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Theo bài ra ta có : \(\left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {OA} } \right) = \left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {OB} } \right) \Leftrightarrow a - 2b - 2c = 2a + 2b + c \Leftrightarrow a + 4b + 3c = 0\).
Vậy tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán thuộc mặt phẳng \(x + 4y + 3z = 0\).
Câu trả lời của bạn
Tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc.
Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(OC\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OC \bot OA\\OC \bot OB\end{array} \right. \Rightarrow OC \bot \left( {OAB} \right)\).
Qua \(M\) dựng đường thẳng song song với OC, qua \(N\) dựng đường thẳng song song với \(OM\). Hai đường thẳng này cắt nhau tại \(I\).
\(\Delta OAB\) vuông tại \(O \Rightarrow M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OAB \Rightarrow IO = IA = IB\).
\(I \in IN \Rightarrow IO = IC \Rightarrow IO = IA = IB = IC \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(O.ABC\).
Ta có: \(OA = 1,\,\,OB = 2,\,\,OC = 3\)\( \Rightarrow OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{1^2} + {2^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
\(R = OI = \sqrt {I{M^2} + O{M^2}} = \sqrt {\frac{9}{4} + \frac{5}{4}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\).
Câu trả lời của bạn
Xét tứ giác \(ABCE\) có \(AE//BC,\,\,AE = BC = a \Rightarrow ABCE\) là hình bình hành.
Lại có \(\angle BAE = {90^0}\,\left( {\,gt} \right),\,\,AB = BC \Rightarrow ABCE\) là hình vuông cạnh \(a\).
\( \Rightarrow \) Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông \(ABCE\) là \({R_d} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABCE\) là : \(R = \sqrt {\frac{{S{A^2}}}{4} + R_d^2} = \sqrt {\frac{{2{a^2}}}{4} + \frac{{2{a^2}}}{4}} = a\)
Câu trả lời của bạn
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có :
\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow CM \bot AB\).
\(\Delta ABD\) đều \( \Rightarrow DM \bot AB\)
\( \Rightarrow AB \bot \left( {MCD} \right) \Rightarrow AB \bot CD \Rightarrow \angle \left( {AB;CD} \right) = {90^0}\).
Câu trả lời của bạn
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB.\)
\(\Delta SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right).\)
\(\Delta SAB\) đều cạnh \(a \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
\(\begin{array}{l}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \angle A = \frac{1}{2}{a^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\\ \Rightarrow {V_{SABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{8}.\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Hình trụ có thiết diện đi qua trục là hình vuông có cạnh bằng \(4a \Rightarrow 2R = h = 4a \Rightarrow R = 2a\) với \(R,\;h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.
\( \Rightarrow {S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .2a.4a = 16\pi {a^2}.\)
Câu trả lời của bạn
Lấy điểm \(A' \in \left( {O'} \right),\,\,B' \in \left( O \right)\) sao cho \(AA',\,\,BB'\) song song với trục \(OO'\).
Khi đó ta có lăng trụ đứng \(OAB'.O'A'B\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{V_{OO'AB}} = {V_{OAB'.O'A'B}} - {V_{A.O'A'B}} - {V_{B.OAB'}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {V_{OAB'.O'A'B}} - \frac{1}{3}{V_{OAB'.O'A'B}} - \frac{1}{3}{V_{OAB'.O'A'B}} = \frac{1}{3}{V_{OAB'.O'A'B}}\\ \Rightarrow {V_{OO'AB}} = \frac{1}{3}.AA'.{S_{\Delta OAB'}} = \frac{1}{6}AA'.OA.OB.\sin \angle AOB'\\ = \frac{1}{6}.2a.2a.2a.\sin \angle AOB' = \frac{1}{6}.8{a^3}\sin \angle AOB' = \frac{{4{a^3}}}{3}\sin \angle AOB'\end{array}\)
Do đó để \({V_{OO'AB}}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \sin \angle AOB' = 1 \Leftrightarrow \angle AOB' = {90^0} \Leftrightarrow OA \bot OB'\).
\( \Rightarrow O'A' \bot O'B \Rightarrow \Delta O'A'B\) vuông tại \(O' \Rightarrow A'B = O'A'\sqrt 2 = 2a\sqrt 2 \).
Ta có
\(\begin{array}{l}AA' \bot \left( {O'A'B} \right) \Rightarrow \angle \left( {AB;\left( {O'A'B} \right)} \right) = \angle ABA' = \alpha \\ \Rightarrow tan\alpha = \frac{{AA'}}{{A'B}} = \frac{{2a}}{{2a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Trong \(\left( {SBC} \right)\) qua \(G\) kẻ \(MN//BC\,\,\left( {M \in SB,\,\,N \in SC} \right)\). Khi đó mặt phẳng đi qua \(AG\) và song song với \(BC\) chính là mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\). Mặt phẳng này chia khối chóp thành 2 khối \(S.AMN\) và \(AMNBC\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC.\)
Vì \(MN//BC \Rightarrow \) Theo định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}} = \frac{2}{3}\left( { = \frac{{SG}}{{SH}}} \right)\).
\(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9} \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \frac{4}{9}{V_{S.ABC}}\).
Mà \({V_{S.AMN}} + {V_{AMNBC}} = {V_{S.ABC}} \Rightarrow {V_{AMNBC}} = \frac{5}{9}{V_{S.ABC}} = V\).
Ta có \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B \Rightarrow AB = BC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}{a^2}\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}a.\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^3}}}{6}\).
Vậy \(V = \frac{5}{9}.\frac{{{a^3}}}{6} = \frac{{5{a^3}}}{{54}}\).
Câu trả lời của bạn
Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right),\,\,B\left( {0;b;0} \right) \Rightarrow OA = \left| a \right|,\,\,OB = \left| b \right|\).
Tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc.
Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(OC\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OC \bot OA\\OC \bot OB\end{array} \right. \Rightarrow OC \bot \left( {OAB} \right)\).
Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right),\,\,B\left( {0;b;0} \right) \Rightarrow OA = \left| a \right|,\,\,OB = \left| b \right|\).
Tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc.
Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(OC\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OC \bot OA\\OC \bot OB\end{array} \right. \Rightarrow OC \bot \left( {OAB} \right)\).
\(\begin{array}{l}R = OI = \sqrt {I{M^2} + O{M^2}} = \sqrt {\frac{{{c^2}}}{4} + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {1 - a} \right)}^2} + 1} }}{2} = \frac{{\sqrt {2{a^2} - 2a + 2} }}{2}\\\;\;\; = \frac{{\sqrt {2\left( {{a^2} - a + 1} \right)} }}{2} = \frac{{\sqrt {2\left( {{a^2} - 2.a.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \right)} }}{2} = \frac{{\sqrt {2{{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{2}} }}{2} \ge \frac{{\sqrt 6 }}{4}\end{array}\)
Vậy \({R_{\min }} = \frac{{\sqrt 6 }}{4} \Leftrightarrow a = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{1}{2}\).
Câu trả lời của bạn
Đặt \(SA = BC = a,\,\,SB = AC = b,\,\,SC = AB = c\).
Dựng hình chóp \(S.A'B'C'\) sao cho \(A,\,\,B,\,\,C\) lần lượt là trung điểm của \(B'C',\,\,C'A',\,\,A'B'\).
Dễ thấy \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta A'B'C'\) theo tỉ số \(\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta A'B'C'}}}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{4}{V_{S.A'B'C'}}\).
Ta có \(AB,\,\,BC,\,\,CA\) là các đường trung bình của tam giác \(A'B'C'\)
\( \Rightarrow A'B' = 2AB = 2c;\,\,B'C' = 2BC = 2a,\,\,A'C' = 2AC = 2b\).
\( \Rightarrow \Delta SA'B',\,\,\Delta SB'C',\,\,\Delta SC'A'\) là các tam giác vuông tại \(S\) (Tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy)
\( \Rightarrow SA',\,\,SB',\,\,SC'\) đôi một vuông góc
\({V_{S.A'B'C'}} = \frac{1}{6}SA'.SB'.SC' \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{{24}}SA'.SB'.SC'\).
Áp dụng định lí Pytago ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}SA{'^2} + SB{'^2} = 4{c^2}\\SB{'^2} + SC{'^2} = 4{a^2}\\SA{'^2} + SC{'^2} = 4{b^2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA{'^2} = 2\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\\SB{'^2} = 2\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\\SC{'^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{{24}}.\sqrt {8\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{6\sqrt 2 }}\sqrt {\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)} \end{array}\)
Thay \(a = 3,\,\,b = 4,\,\,c = 2\sqrt 5 \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{{\sqrt {390} }}{4}\).
Câu trả lời của bạn
Gọi I là trung điểm của \(SA\).
Tam giác \(SAB,\,\,SAC\) vuông tại \(B,C \Rightarrow IS = IA = IB = IC \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\). Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
\( \Rightarrow IH \bot \left( {ABC} \right)\).
Gọi \(R\) là bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\). Theo bài ra ta có: \(\dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{{5\sqrt 5 \pi }}{6} \Leftrightarrow {R^3} = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{8} = \dfrac{{\sqrt {125} }}{8} \Leftrightarrow R = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\)
\( \Rightarrow IS = IA = IB = IC = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Xét tam giác vuông \(ABC\) có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2 \Rightarrow AH = 1\).
Xét tam giác vuông \(IAH\) có \(IH = \sqrt {I{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {\dfrac{5}{4} - 1} = \dfrac{1}{2}\).
\(\begin{array}{l}{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.1.\sqrt 3 = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow {V_{I.ABC}} = \dfrac{1}{3}IH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}\end{array}\)
Ta có: \(SI \cap \left( {ABC} \right) = A \Rightarrow \dfrac{{d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)}}{{d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right)}} = \dfrac{{SA}}{{IA}} = 2\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.IBC}}}} = 2 \Rightarrow {V_{S.ABC}} = 2{V_{I.ABC}} = 2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\).
Xét tam giác vuông \(SAB\) cps \(IB = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow SA = 2IB = \sqrt 5 \Rightarrow SB = \sqrt {S{A^2} - A{B^2}} = 2\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}.1.2 = 1\).
Ta có \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right).{S_{\Delta SAB}} \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SAB}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{\sqrt 3 }}{6}}}{1} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AB\) là hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\).
\(\angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SB;AB} \right) = \angle SBA = {60^0}\).
Dựng hình bình hành \(ACBD\).
Ta có \(BD//AC \Rightarrow \left( {SBD} \right)//AC \Rightarrow d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {AC;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\).
Do tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow AC = CB = AB = a\).
Mà \(AC = BD;\,\,CB = AD \Rightarrow AB = AD = BD = a \Rightarrow \Delta ABD\) đều cạnh \(a\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BD \Rightarrow AM \bot BD\) và \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AM\\BD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAM} \right)\).
Trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM \Rightarrow AH \bot BD\,\,\left( {BD \bot \left( {SAM} \right)} \right) \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AH \Rightarrow d\left( {AC;SB} \right) = AH\).
Xét tam giác vuông \(SAB\) ta có \(SA = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAM\) ta có : \(AH = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 .\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {3{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).
Vậy \(d\left( {AC;SB} \right) = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).
Câu trả lời của bạn
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {\left( {SA;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;OA} \right)} = \widehat {SAO}\)
ABCD là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \Rightarrow OA = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\(\Delta SAO\) vuông tại O \( \Rightarrow \cos \widehat {SAO} = \dfrac{{OA}}{{SA}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SAO} = {60^0}\)\( \Rightarrow \left( {\widehat {SA;\left( {ABCD} \right)}} \right) = {60^0}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;0;4} \right)\)
Theo đề bài, ta có: mặt phẳng (P) có 1 VTPT: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow j } \right] = \left( { - 4;0; - 3} \right)\)
Phương trình mặt phẳng (P): \( - 4\left( {x - 3} \right) - 3\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3z - 12 = 0\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\left( {MNP} \right) \equiv \left( {MNCP} \right)\) (do \(CP//B'C'//MN\)) và \(\left( {ACC'} \right) \equiv \left( {ACC'A'} \right)\) \( \Rightarrow \alpha = \widehat {\left( {\left( {MNP} \right);\left( {ACC'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {\left( {MNCP} \right);\left( {ACC'A'} \right)} \right)}\)
Dựng \(PE \bot AC,\,\,MF \bot A'C',\,\,\left( {E \in AC;\,F \in A'C'} \right)\) \( \Rightarrow CE = FN = \dfrac{1}{4}AC\) và \(P,E,F,M\) đồng phẳng
Ta có: \(PE \bot AC,\,\,PE \bot AA' \Rightarrow PE \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow \left( {PEFM} \right) \bot \left( {ACC'A'} \right)\)
\( \Rightarrow \) Hình chiếu vuông góc của hình bình hành lên \(\left( {ACC'A'} \right)\) là hình bình hành \(ECNF\)\( \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{{{S_{ECNF}}}}{{{S_{MNCP}}}}\)
Ta có: \({S_{ECNF}} = EC.CC' = \dfrac{1}{4}.AC.CC' = \dfrac{1}{4}.2\sqrt 3 .2 = \sqrt 3 \);
\(\Delta A'B'C'\) đều \( \Rightarrow C'M = 2\sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\)
\(\Delta CC'M\) vuông tại C’ \( \Rightarrow CM = \sqrt {CC{'^2} + C'{M^2}} = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \)
\(\Delta CC'N\) vuông tại C’ \( \Rightarrow CN = \sqrt {CC{'^2} + C'{N^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\sqrt 3 }^2}} = \sqrt 7 \)
\(\Delta MNC\) có: \(MN = \sqrt 3 ,\,\,CM = \sqrt {13} ,\,\,CN = \sqrt 7 \), có diện tích là: \({S_{MNC}} = \sqrt {p.\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
\( = \sqrt {\dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 7 + \sqrt {13} }}{2}.\left( {\dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 7 + \sqrt {13} }}{2} - \sqrt 3 } \right)\left( {\dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 7 + \sqrt {13} }}{2} - \sqrt 7 } \right)\left( {\dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 7 + \sqrt {13} }}{2} - \sqrt {13} } \right)} \)
\( = \sqrt {\dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 7 + \sqrt {13} }}{2}.\dfrac{{\sqrt 7 + \sqrt {13} - \sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt {13} - \sqrt 7 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 7 - \sqrt {13} }}{2}} = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{4}\) \( \Rightarrow {S_{MNCP}} = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{2}\)
\( \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{{{S_{ECNF}}}}{{{S_{MNCP}}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\dfrac{{5\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{2}{5}\).
Câu trả lời của bạn
Thể tích hình lăng trụ: \(V = Sh \Leftrightarrow 2{a^3} = {S_{day}}.a \Leftrightarrow {S_{day}} = 2{a^2}\)
Gọi độ dài cạnh góc vuông của đáy là \(x \Rightarrow \dfrac{1}{2}{x^2} = 2{a^2} \Leftrightarrow {x^2} = 4{a^2} \Leftrightarrow x = 2a\).
Câu trả lời của bạn
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Do \(\left\{ \begin{array}{l}OB \bot AC\\OB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow OB \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \) Hình chiếu vuông góc của tam giác SAB lên (SAC) là tam giác SAO
Khi đó, \(\cos \alpha = \cos \left( {\widehat {\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right)}} \right) = \dfrac{{{S_{SAO}}}}{{{S_{SAB}}}}\)
Ta có:
\(\Delta SOA\) vuông tại O :
\({S_{SAB}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
\( = \sqrt {\dfrac{{2 + 2\sqrt 2 + 2\sqrt 2 }}{2}.\left( {\dfrac{{2 + 2\sqrt 2 + 2\sqrt 2 }}{2} - 2} \right)\left( {\dfrac{{2 + 2\sqrt 2 + 2\sqrt 2 }}{2} - 2\sqrt 2 } \right)\left( {\dfrac{{2 + 2\sqrt 2 + 2\sqrt 2 }}{2} - 2\sqrt 2 } \right)} \)
\( = \sqrt {\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right).\left( {2\sqrt 2 - 1} \right).1.1} = \sqrt 7 \)
\( \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{{{S_{SAO}}}}{{{S_{SAB}}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}\).
Câu trả lời của bạn
Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow a + 2\overrightarrow b - \overrightarrow c \) là: \(\left( {12; - 9;7} \right)\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(C'D//AB' \Rightarrow C'D//\left( {ACB'} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {C'D;AC} \right) = d\left( {C'D;\left( {AB'C} \right)} \right) = d\left( {C';\left( {AB'C} \right)} \right)\)
Mà \(d\left( {C';\left( {AB'C} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {AB'C} \right)} \right)\) (do BC’ cắt (AB’C) (cắt cạnh B’C) tại trung điểm của BC’)
\( \Rightarrow d\left( {C'D;AC} \right) = d\left( {B;\left( {AB'C} \right)} \right)\)
Xét tứ diện vuông BAB’C có:
\(\dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{B{A^2}}} + \dfrac{1}{{BB{'^2}}} + \dfrac{1}{{B{C^2}}},\,\,\left( {h = d\left( {B;\left( {AB'C} \right)} \right)} \right)\)
\(\dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{4{a^2}}} + \dfrac{1}{{4{a^2}}} = \dfrac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow h = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}a\)\( \Rightarrow d\left( {C'D;AC} \right) = \dfrac{{\sqrt 6 a}}{3}\).
Câu trả lời của bạn
\(\Delta BCD\) vuông tại C có:
\(BD = \sqrt {{2^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} = 4\); \(CI = \dfrac{{BC.CD}}{{BD}} = \dfrac{{2\sqrt 3 .2}}{4} = \sqrt 3 \) ; \(IB = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 3,\,\) \(ID = 1\).
\( \Rightarrow \,IO = OD - ID = 2 - 1 = 1\); \(\dfrac{{OM}}{{CD}} = \dfrac{{BO}}{{BC}} \Leftrightarrow \dfrac{{OM}}{2} = \dfrac{2}{{2\sqrt 3 }} \Rightarrow OM = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)
Thể tích khối nón có đỉnh B và đáy là hình tròn tâm I bán kính IC bằng thể tích khối nón có đỉnh D và đáy là hình tròn tâm J bán kính JA bằng:
\({V_1} = \dfrac{1}{3}.\pi .I{C^2}.IB = \dfrac{1}{3}.\pi .3.3 = 3\pi \)
Thể tích khối nón cụt có hai đáy là hình tròn tâm I bán kính IC, hình tròn tâm O bán kính OM bằng thể tích khối nón cụt có hai đáy là hình tròn tâm J bán kính JA, hình tròn tâm O bán kính OM bằng:
\({V_2} = \dfrac{{\pi .OI}}{3}\left( {I{C^2} + O{M^2} + IC.OM} \right) = \dfrac{{\pi .1}}{3}\left( {3 + \dfrac{4}{3} + \sqrt 3 .\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) = \dfrac{{19\pi }}{3}\)
Thể tích cần tìm là: \(V = 2\left( {{V_1} + {V_2}} \right) = 2.\left( {3\pi + \dfrac{{19\pi }}{3}} \right) = \dfrac{{56\pi }}{3}\).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *