Sau khi kết thúc tất cả bài học chương trình Hình học 12, bài ôn tập cuối năm sẽ giúp các em có cái nhìn tổng quan về toàn bộ chương trình đã học. Từ đó sẽ có định hướng ôn tập và rèn luyện nhằm hướng đến kì thi THPT Quốc gia mà ở đó chương trình Toán 12 luôn chiếm tỉ trọng cao nhất về điểm số.
Với việc môn Toán thi Trắc nghiệm thì việc học tủ một số dạng toán để tham gia kì thi THPT QG sẽ dễ khiến các em bị mất điểm đáng tiếc nhất là với những câu lý thuyết. Các em cần thay đổi phương pháp học tập, cần nắm và hiểu lý thuyết hơn là chỉ chăm chăm vào việc luyện giải bài tập. Với toàn bộ những nội dung đã truyền tải đến các em thông qua các bài học, hy vọng sẽ giúp ích cho các em.
Nếu các em đã tự tin mình đã nắm vững kiến thức thì các em có thể tham gia làm bài Kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 để đánh giá kết quả ôn tập của mình nhé. Mọi thắc mắc cần giải đáp các em có thể đặt câu hỏi trong phần Hỏi-đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 .\) Tính thể tích V khối chóp S.ABC?
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và thể tích của khối chóp đó bằng \(\frac{{{a^3}}}{4}.\) Tính độ dài cạnh bên SA.
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích V của khối tứ diện ABA’C’.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có \(AB = 3a,{\rm{ }}AC = 5a\) và cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp bằng \(6a^3\). Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SAD).
Cho hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt là (O); (O’). Biết thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn (O’) là \(a^3\) tính thể tích V của khối trụ đã cho?
Cho mặt cầu có diện tích bằng \(\frac{{8\pi {a^2}}}{3}.\) Tìm bán kính R của mặt cầu.
Trong không gian với hệ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;2;1). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình của mặt cầu đi qua ba điểm \(A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1)\) và có tâm thuộc mặt phẳng \((P):x + y + z - 2 = 0.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{3}\) và \(\left( P \right):2x + y - z = 0.\) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và vuông góc mặt phẳng (P).
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi H là hình gồm các điểm của hình tròn (O; R) nhưng không nằm trong hình vuông. Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi hình H khi quay quanh đường thẳng chứa một đường chéo của hình vuông.
Cho hình lục giác đều ABCDEF cạnh a.
a) Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi lục giác đó khi quay quanh đường thẳng AD.
b) Tính thế tích hình tròn xoay sinh bởi lục giác đó khi quay quanh đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và DE.
Cho hình trụ có bán kính R và đường cao \(R\sqrt 2 \). Gọi AB và CD là hai đường kính thay đổi của hai đường tròn đáy mà AB vuông góc với CD.
a) Chứng minh ABCD là tứ diện đều.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng AC, AD, BC, BD luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định (tức là khoảng cách giữa mỗi đường thẳng đó và trục của mặt trụ bằng bán kính mặt trụ).
Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 3), B(4; 2; -5), C(5; 5; -1) và D(1; 2; 4).
a) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
b) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C và tìm khoảng cách từu điểm D tới mặt phẳng đó.
d) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu (S).
e) Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và các mặt phẳng tọa độ.
Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng Δ có phương trình \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{3}.\)
a) Viết phương trình hình chiếu của Δ trên các mặt phẳng tọa độ.
b) Chứng minh rằng mặt phẳng \(x + 5y + z + 4 = 0\) đi qua đường thẳng Δ
c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng Δ và các trục tọa độ.
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng Δ và \({\rm{\Delta '}}:x = y = z.\)
e) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả Δ và Δ′
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -1; 2), B(2; 0; 1).
a) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho \(M{A^2} - M{B^2} = 2.\)
b) Tìm quỹ tích các điểm N sao cho \(N{A^2} + N{B^2} = 3.\)
c) Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (OAB) và (Oxy).
Cho H là hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Xét các mặt phẳng (SAC), (SAB), (SBD), (ABC), (SOI), trong đó I là trung điểm của AB, O là tâm hình vuông ABCD. Trong các mặt phẳng đó, có bao nhiêu mặt phẳng là mặt phẳng đối xứng của H ?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
Gọi H là lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A’B’C’D’E’F’. Xét các mặt: mp(AA’D), mp(ACA’), mp(ABB’), mặt phẳng trung trực của DD’, mặt phẳng trung trực của AB. Trong các mặt phẳng đó, có bao nhiêu mặt phẳng là mặt phẳng đối xứng của H ?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, M là trung điểm của cạnh AB. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai ?
(A) \({V_{A'B'C'C}} = {V_{MA'B'C'}}\)
(B) \({V_{ABCC'}} = {V_{A'BCC'}}\)
(C) \({V_{MA'B'C'}} = {V_{A'ABC}}\)
(D) \({V_{MA\prime B\prime C\prime }} = \frac{1}{2}{V_{AA\prime B\prime C\prime }}\)
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ . Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai ?
(A) \({V_{A'BCC'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}};\)
(B) \({V_{A.BB'C'C}} = \frac{1}{2}{V_{ABC.A'B'C'}};\)
(C) \({V_{A'.BCC'B'}} = 2{V_{AA'BC}};\)
(D) \({V_{C.ABB\prime A\prime }} = {V_{C\prime .ABB\prime A\prime }}.\)
Cho khối chóp tứ giác S.ABCD và các điểm A’, B’, C’, D’ lần lượt nằm trên các đường thẳng SA, SB, SC, SD nhưng không trùng với S.
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?
(A) \(\frac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.A'B'C'}}}} = \frac{{SA}}{{SA'}}.\frac{{SB}}{{SB'}}.\frac{{SC}}{{SC'}};\)
(B) \(\frac{{{V_{S.ABCD}}}}{{{V_{S.A'B'C'D'}}}} = \frac{{SA}}{{SA'}}.\frac{{SB}}{{SB'}}.\frac{{SC}}{{SC'}}.\frac{{SD}}{{SD'}};\)
(C) \(\frac{{{V_{S.ABCD}}}}{{{V_{S.A'B'C'D'}}}} = \frac{{SA}}{{SA'}}.\frac{{SC}}{{SC'}} + \frac{{SB}}{{SB'}}.\frac{{SD}}{{SD'}};\)
(D) \(\frac{{{V_{S.ABCD}}}}{{{V_{S.A'B'C'D'}}}} = \frac{{SA}}{{SA'}} + \frac{{SB}}{{SB'}} + \frac{{SC}}{{SC'}} + \frac{{SD}}{{SD'}}.\)
Trong các mênh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?
(A) Hình lăng trụ nội tiếp một mặt cầu nếu đáy của nó là đa giác nội tiếp;
(B) Hình lăng trụ nội tiếp một mặt cầu nếu tất cả các mặt của nó đều là đa giác nội tiếp ;
(C) Hình lăng trụ nội tiếp một mặt cầu nếu có mặt bên vuông góc với mặt đáy ;
(D) Đa diện nội tiếp một mặt cầu nếu các mặt của nó đều là đa giác nội tiếp.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
(A) Đường tròn đi qua ba điểm phân biệt nằm trên mặt cầu thì nằm hoàn toàn trên mặt cầu ;
(B) Có duy nhất một mặt cầu đi qua 4 đỉnh của một hình thang cân cho trước ;
(C) Hình chóp có đáy là hình thang vuông luôn luôn nội tiếp một mặt cầu ;
(D) Cả ba mệnh đề trên đều sai.
Cho khối trụ có bán kính \(a\sqrt 3 \) và chiều cao \(2a\sqrt 3 \). Thể tích của nó là:
(A) \(4\pi {a^3}\sqrt 2 ;\)
(B) \(9{a^3}\sqrt 3 ;\)
(C) \(6\pi {a^3}\sqrt 3 ;\)
(D) \(6\pi {a^2}\sqrt 3 .\)
Đáy của một hình chóp là hình vuông có diện tích bằng 4. Các mặt bên của nó là những tam giác đều. Diện tích toàn phần của hình chóp là
(A) \(4 + 4\sqrt 3 \)
(B) 8
(C) 16
(D) \(4 + 4\sqrt 2 \)
Một hình nón có đường sinh bằng l và bằng đường kính đáy. Bán kính hình cầu ngoại tiếp hình nón là:
(A) \(\frac{1}{3}\)l
(B) \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\)l
(C) \(\frac{{\sqrt 2 }}{6}\)l
(D) \(\frac{3}{4}\)l.
Cho hình chữ nhật có hai đỉnh A(−2;3;0), B(2;3;0) và một cạnh nằm trên trục Ox. Khối tròn xoay sinh bởi hình chữ nhật đó khi quay quanh trục Oy có thể tích là:
(A) \(6{\pi ^2}\)
(B) 12
(C) \(12\pi \)
(D) \(\frac{{4\pi }}{3}.\)
Một hình cầu có thể tích bằng \(\frac{{4\pi }}{3}\), nội tiếp một hình lập phương. Thể tích của hình lập phương đó bằng
(A) 8
(B) \(4\pi \)
(C) 1
(D) \(2\pi \sqrt 3 \)
Cho hai vectơ \(\vec u=\left( {1;0;2} \right)\) và \(\vec v = \left( {0; - 1;1} \right)\).
Trong các vectơ sau, vectơ nào cùng phương với \(\left[ {\vec u,\vec v} \right]\)
(A) \(\vec a = \left( {1;1;1} \right)\)
(B) \(\vec b = \left( { - 2;1;1} \right)\)
(C) \(\vec c = \left( {0;1; - 1} \right)\)
(D) \(\vec d = \left( {2;2; - 1} \right).\)
Cho tam giác ABC có diện tích bằng 6 nằm trong mặt phẳng (α) có phương trình \(2x - 2y + z + 5 = 0\) Thể tích hình chóp S.ABC với S(1;1;1) bằng:
(A) \(3\sqrt 6 \)
(B) \(12\sqrt 2 \)
(C) 8
(D) 4
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
A \(V = 16\pi {a^3}\).
B \(V = 4\pi {a^3}\).
C \(V = 12\pi {a^3}\).
D \(V = 8\pi {a^3}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {25{a^2} - 16{a^2}} = 3a\) (Định lí Pytago)
Do đó khối trụ có bán kính đáy \(r = \dfrac{{AB}}{2} = 2a\), chiều cao \(h = AC = 3a\).
\( \Rightarrow {V_{tru}} = \pi .{r^2}h = \pi {\left( {2a} \right)^2}.3a = 12\pi {a^3}\).
Chọn C.
A. \({V_{S.\,ABC}} = \dfrac{2}{3}{a^3}.\)
B. \({V_{S.\,ABC}} = \dfrac{{{a^3}}}{3}\).
C. \({V_{S.\,ABC}} = 2{a^3}\).
D. \({V_{S.\,ABC}} = \dfrac{{4{a^3}}}{3}\).
Câu trả lời của bạn
Do \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B\) có \(AC = 2a \Rightarrow AB = BC = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \).
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.\dfrac{1}{2}BA.BC = \dfrac{1}{6}.2a.a\sqrt 2 .a\sqrt 2 = \dfrac{{2{a^3}}}{3}\).
Chọn A.
A \({V_{A.BCNM}} = \dfrac{{7V}}{{12}}\).
B \({V_{A.BCNM}} = \dfrac{{7V}}{{18}}\).
C \({V_{A.BCNM}} = \dfrac{V}{3}\).
D \({V_{A.BCNM}} = \dfrac{{5V}}{{18}}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(\begin{array}{l}{S_{BCC'B'}} = d\left( {B;CC'} \right).CC'\\{S_{BMNC}} = \dfrac{{\left( {BM + CN} \right)d\left( {B;CC'} \right)}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}d\left( {B;CC'} \right)\left( {\dfrac{1}{2}CC' + \dfrac{2}{3}CC'} \right) = \dfrac{7}{{12}}d\left( {B;CC'} \right).CC'\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{BMNC}}}}{{{S_{BCC'B'}}}} = \dfrac{7}{{12}} \Rightarrow \dfrac{{{V_{A.BMNC}}}}{{{V_{A.BCC'B'}}}} = \dfrac{7}{{12}} \Rightarrow {V_{A.BMNC}} = \dfrac{7}{{12}}{V_{A.BCC'B'}}\).
Mà \({V_{A.BCC'B'}} = \dfrac{2}{3}V \Rightarrow {V_{A.BMNC}} = \dfrac{7}{{12}}.\dfrac{2}{3}V = \dfrac{7}{{18}}V\).
Chọn B.
A. \({G_1}{G_2}//\left( {ABD} \right)\).
B. \({G_1}{G_2}//\left( {ABC} \right)\).
C. \({G_1}{G_2} = \dfrac{2}{3}AB\).
D. Ba đường thẳng \(B{G_1},\,A{G_2}\)và \(CD\) đồng quy.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\) ta có :
\(B,\,\,{G_1},\,\,M\) thẳng hàng, \(A,\,\,{G_2},\,\,M\) thẳng hàng.
\( \Rightarrow B{G_1},\,\,A{G_2},\,\,CD\) đồng quy tại \(M\), do đó đáp án \(D\) đúng.
Ta có: \(\dfrac{{M{G_1}}}{{MB}} = \dfrac{{M{G_2}}}{{MA}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {G_1}{G_2}//AB\) (Định lí Ta-lét đảo).
Mà \(AB \subset \left( {ABD} \right),\,\,AB \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow {G_1}{G_2}//\left( {ABD} \right),\,\,{G_1}{G_2}//\left( {ABC} \right)\), do đó các đáp án \(A,B\) đúng.
Chọn C.
A. \(\dfrac{{{a^3}}}{3}\).
B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).
C. \(\dfrac{{{a^3}}}{6}\).
D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
Câu trả lời của bạn
Gọi \(O = AC \cap BD\) ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SA;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle SAO = {45^0} \Rightarrow SO = OA = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).
Chọn B.
A. \(R = \dfrac{5}{2}\).
B. \(R = 5\).
C. \(R = \dfrac{{10}}{3}\).
D. \(R = \dfrac{{25}}{2}\).
Câu trả lời của bạn
Xét tam giác vuông \(ABC\) ta có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\).
Gọi \({R_{day}}\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC \Rightarrow {R_{day}} = \dfrac{{BC}}{2} = \sqrt 5 \).
Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) :
\(R = \sqrt {\dfrac{{S{A^2}}}{4} + S_{day}^2} = \sqrt {\dfrac{5}{4} + 5} = \dfrac{5}{2}\).
Chọn A.
A. \(V = 12\pi \).
B. \(V = 4\pi \).
C. \(V = 4\).
D. \(V = 12\).
Câu trả lời của bạn
Thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}.4 = 4\pi \).
Chọn B.
A. \(\sin \varphi = \dfrac{1}{4}\).
B. \(\sin \varphi = \dfrac{1}{2}\).
C. \(\sin \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
D. \(\sin \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Câu trả lời của bạn
Gọi \(M\) là trung điểm của \(SD\), nhận xét góc giữa \(SB\) và \(\left( {SCD} \right)\) cũng bằng góc giữa \(OM\) và \(\left( {SCD} \right)\) (Vì \(OM//SB\))
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(\left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {\left( {OM,\left( {SCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {OM,MH} \right)} = \widehat {OMH}\).
Trong \(\left( {SBD} \right)\) kẻ \(OE//SH\), khi đó tứ diện \(OECD\) là tứ diện vuông nên \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{C^2}}} + \dfrac{1}{{O{D^2}}} + \dfrac{1}{{O{E^2}}}\).
Ta dễ dàng tính được \(OC = \dfrac{a}{2},OD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Lại có: \(\dfrac{{OE}}{{SH}} = \dfrac{{OD}}{{HD}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow OE = \dfrac{3}{4}SH\), mà \(SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Do đó \(OE = \dfrac{3}{4}SH = \dfrac{3}{4}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
Suy ra \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a/2} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 /2} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a\sqrt 6 /4} \right)}^2}}} = \dfrac{8}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\).
Tam giác \(OMH\) vuông tại \(H\) có \(OM = \dfrac{1}{2}SB = \dfrac{a}{2},OH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \sin \widehat {OMH} = \dfrac{{OH}}{{OM}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \(\sin \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Chọn D.
A. \({V_{S.\,ABC}} = 8\).
B. \({V_{S.\,ABC}} = 6\).
C. \({V_{S.\,ABC}} = 4\).
D. \({V_{S.\,ABC}} = 12\).
Câu trả lời của bạn
Dễ thấy \(\Delta SAB = \Delta SAC\left( {c.g.c} \right)\) nên \(SB = SC\) hay tam giác \(\Delta SBC\) cân.
Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) ta có: \(AM \bot BC,SM \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(AM\) thì \(SH \bot AM,SH \bot BC\) nên \(SH\) là đường cao của hình chóp.
Xét tam giác \(SAB\) có: \(S{B^2} = S{A^2} + A{B^2} - 2SA.AB\cos {30^0} = 16 \Rightarrow SB = 4 \Rightarrow SC = 4\).
Do đó \(S{M^2} = \dfrac{{S{B^2} + S{C^2}}}{2} - \dfrac{{B{C^2}}}{4} = 15 \Rightarrow SM = \sqrt {15} \).
Tam giác \(ABC\) có \(A{M^2} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \dfrac{{B{C^2}}}{4} = 15 \Rightarrow AM = \sqrt {15} \).
Khi đó \({S_{SAM}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = 6\).
Do đó: \(SH = \dfrac{{2{S_{SAM}}}}{{AM}} = \dfrac{{2.6}}{{\sqrt {15} }} = \dfrac{{4\sqrt {15} }}{5}\).
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.SH = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}AM.BC.SH = \dfrac{1}{6}.\sqrt {15} .2.\dfrac{{4\sqrt {15} }}{5} = 4\).
Chọn C.
A. \(6\pi {a^2}\).
B. \(3\pi {a^2}\).
C. \(4\pi {a^2}\).
D. \(24\pi {a^2}\).
Câu trả lời của bạn
Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH \bot BC\left( {H \in BC} \right)\).
Lại có \(AH \bot BB'\) (do \(BB \bot \left( {ABC} \right)\) suy ra \(AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\).
Suy ra \(\widehat {\left( {AC',\left( {BCC'B'} \right)} \right)} = \widehat {AC'H} = {30^0}\).
Ta có: \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a,AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(AC' = \dfrac{{AH}}{{\sin \widehat {AC'H}}} = a\sqrt 3 \) \( \Rightarrow CC' = \sqrt {AC{'^2} - A{C^2}} = a\sqrt 2 \).
Gọi \(R\) là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, khi đó \(R = \sqrt {{r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}} \) với \(r = \dfrac{{BC}}{2} = a\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông \(ABC\) và \(h = CC' = a\sqrt 2 \)
Do đó \(R = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\dfrac{{6{a^2}}}{4} = 6\pi {a^2}\).
Chọn A.
A \(120^0\)
B. \(150^0\)
C. \(135^0\)
D. \(60^0\)
Câu trả lời của bạn
Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ với \(A \in Ox;B \in Oy;C \in Oz\) và \(OA = OB = OC = a\)
Khi đó \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;a;0} \right),C\left( {0;0;a} \right) \Rightarrow M\left( {\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {OM} = \left( {\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4} + 0} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và \(\overrightarrow {BC} = \left( {0; - a;a} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
Từ đó cos\(\left( {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {OM} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {OM} }}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\left| {\overrightarrow {OM} } \right|}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.0 + \dfrac{a}{2}.\left( { - a} \right) + 0.a}}{{a\sqrt 2 .\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \dfrac{{ - \dfrac{{{a^2}}}{2}}}{{{a^2}}} = - \dfrac{1}{2}\)
Nên góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {OM} \) là \(120^\circ .\)
Chọn A.
A. \(\dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\).
B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{{15}}\).
C. \(\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
D. \(\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{{15}}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB//CD\\CD \subset \left( {SCD} \right)\\AB \not\subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right.\,\, \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right)\,\).
Mà \(SC \subset \left( {SCD} \right)\,\, \Rightarrow d\left( {AB;SC} \right) = d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\)
Do \(O\) là trung điểm của AC,
\( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{AC}}{{OC}} = 2 \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)\)
Gọi I là trung điểm của CD. Dựng \(OH \bot SI,\,\,H \in SI\) (1)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OI\\CD \bot SO\end{array} \right.\,\, \Rightarrow CD \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow CD \bot OH\) (2)
Từ (1), (2), suy ra \(OH \bot \left( {SCD} \right)\, \Rightarrow d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right) = OH\)
\(\Delta SOI\)vuông tại O, \(OH \bot SI \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{I^2}}} + \dfrac{1}{{S{O^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\)
\( \Rightarrow d\left( {AB;CD} \right) = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
Chọn: C
A. 18
B. 0
C. 9
D. -9
Câu trả lời của bạn
\(A\left( { - 3;0;0} \right),\,B\left( {0;0;3} \right),C\left( {0; - 3;0} \right)\)
+) Xác định điểm \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \):
\(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - {x_I} = 0 - 0\\0 - {y_I} = - 3 - 0\\0 - {z_I} = 0 - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = - 3\\{y_I} = 3\\{z_I} = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 3;3;3} \right)\)
+) Khi đó, \(M{A^2} + M{B^2} - M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} - {\overrightarrow {MC} ^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\)
\( = M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right) + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} = M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2}\)
\(M{A^2} + M{B^2} - M{C^2}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(MI\) ngắn nhất\( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của I lên \(\left( {Oxy} \right)\).
\( \Leftrightarrow M\left( { - 3;3;0} \right)\)\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} - {c^2} = {\left( { - 3} \right)^2} + {3^2} - 0 = 18\).
Chọn: A
A. \(S = \pi {a^2}\).
B. \(S = \dfrac{{3\pi {a^2}}}{4}\).
C. \(S = 3\pi {a^2}\).
D. \(S = 12\pi {a^2}\).
Câu trả lời của bạn
Hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) ,cạnh bằng a có bán kính mặt cầu ngoại tiếp \(R = \dfrac{{AC'}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Diện tích mặt cầu đó là: \(S = 4.\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 3\pi {a^2}\).
Chọn: C
A. \(V = 72\).
B. \(V = 36\).
C. \(V = 27\).
D. \(V = 54\).
Câu trả lời của bạn
Tập hợp tất cả các điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) sao cho \(\left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| = 3\) là hình bát diện đều SABCDS’ (như hình vẽ)
Thể tích V của khối đa diện đó :
\(V = 2.{V_{S.ABCD}} = 2.\dfrac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}}\)
\(ABCD\) là hình vuông có cạnh \(BC = OB.\sqrt 2 = 3\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} = 18\)
\( \Rightarrow V = 2.\dfrac{1}{3}.3.18 = 36\).
Chọn: B
A \(\dfrac{2}{3}\pi \).
B \(2\pi \).
C \(4\pi \).
D \(\dfrac{4}{3}\pi \).
Câu trả lời của bạn
\(ABB'A'\) là hình vuông \( \Rightarrow h = 2r\)
Diện tích xung quanh của hình trụ : \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi r.2r = 4\pi {r^2} = 4\pi \,\, \Rightarrow r = 1 \Rightarrow h = 2\)
Thể tích khối trụ: \(V = \pi {r^2}h = \pi {.1^2}.2 = 2\pi \).
Chọn: B
A. \(M\left( {\dfrac{1}{2};0;0} \right)\).
B. \(M\left( {\dfrac{3}{2};0;0} \right)\).
C. \(M\left( {\dfrac{2}{3};0;0} \right)\).
D. \(M\left( {\dfrac{1}{3};0;0} \right)\).
Câu trả lời của bạn
\(M \in Ox \Rightarrow M\left( {m;0;0} \right)\)
Theo đề bài, ta có:
\(\begin{array}{l}MA = MB \Leftrightarrow M{A^2} = M{B^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + {2^2} + {1^2} = {\left( {m - 2} \right)^2} + {1^2} + {2^2} \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = {\left( {m - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = m - 2\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\\m - 1 = 2 - m\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2} \Rightarrow M\left( {\dfrac{3}{2};0;0} \right)\end{array}\)
Chọn: B
A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).
Câu trả lời của bạn
Giả sử các góc ở đỉnh A’ đều bằng \({60^0}\), khi đó tứ diện AA’B’D’ là tứ diện đều, có cạnh bằng a.
Gọi I là trung điểm của A’D’, G là trọng tâm tam giác đều A’B’D’.
\( \Rightarrow B'I = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\,\,\,B'G = \dfrac{2}{3}B'I = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3},\,\,\,\,{S_{A'B'D'}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
\(AG = \sqrt {AB{'^2} - B'{G^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \sqrt {\dfrac{2}{3}} a\)
\({V_{A.A'B'D'}} = \dfrac{1}{3}AG.{S_{A'B'D'}} = \dfrac{1}{3}.\sqrt {\dfrac{2}{3}} .a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
\({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = 2{V_{ABD.A'B'D'}} = 6{V_{A.A'B'D'}} = 6.\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).
Chọn: D
A. 2.
B. \(2\sqrt 2 \).
C. 3.
D. \(\dfrac{1}{3}\).
Câu trả lời của bạn
Nhận xét: Hai khối nón và khối trụ có cùng chiều cao \(h\) và cùng bán kính đáy bằng \(r\).
Ta có: \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{\pi {r^2}h}}{{\dfrac{1}{3}\pi {r^2}h}} = 3\)
Chọn: C
A. 1
B. 3
C. 2
D. Vô số
Câu trả lời của bạn
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song với nhau và một điểm M không thuộc \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Qua M có vô số mặt phẳng vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Đó là các mặt phẳng chứa d, với d là đường thẳng qua M và vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
Chọn: D
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *