Nội dung chương Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu xoay quanh việc tính thể tích, diện tích của các vật thể tròn xoay dạng nón, trụ và hình cầu, những vật thể quen thuộc và khá phổ biến trong đời sống. Nội dung bài ôn tập chương sẽ giúp các em Tổng hợp lại kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng giải bài tập, giúp nâng cao chất lượng, hiệu quả học tập.
Cho hình nón có đường sinh \(l\), bán kính đáy \(R\), chiều cao \(h\), ta có các công thức sau:
Cho tam giác ABC vuông tại A có AC=3a, AB=4a. Cho tam giác này quay quanh đường thẳng BC, tính thể tích V của khối tròn xoay thu được.
Kẻ đường cao AH của ∆ABC
Khi quay tam giác ABC quanh đường thẳng BC miền tam giác ABC sinh ra hai khối nón chung đáy có bán kính đáy là R = AH và chiều cao lần lượt là HB và HC.
Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{16{a^2}}} + \frac{1}{{9{a^2}}} = \frac{{25}}{{144{a^2}}}.\)
Suy ra \(A{H^2} = \frac{{25}}{{144{a^2}}}.\)
Mặt khác: \(HB + HC = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 5a.\)
Thể tích khối tròn xoay sinh ra là:
\(V = {V_1} + {V_2} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.\left( {HB + HC} \right) = \frac{1}{3}\pi .\frac{{144{a^2}}}{{25}}.5a = \frac{{144\pi {a^2}}}{{15}}.\)
Cho một cái bể nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2m, 3m, 2m lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của lòng trong đựng nước của bể. Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởi một cái gáo hình trụ có chiều cao là 5 cm bà bán kính đường tròn đáy là 4 cm. Trung bình một ngày được múc ra 170 gáo nước để sử dụng (Biết mỗi lần múc là múc đầy gáo). Hỏi đến ngày thứ bao nhiêu bể sẽ hết nước?
Thể tích nước được đựng đầy trong hình bể là là thể tích của hình hộp chữ nhật: \(V = 2.3.2 = 12\left( {{m^3}} \right).\)
Thể tích nước đựng đầy trong một gáo là: \({V_g} = \pi {4^2}.5 = 80\pi \left( {c{m^3}} \right) = \frac{\pi }{{12500}}\left( {{m^3}} \right).\)
Mội ngày bể được múc ra 170 gáo nước tức trong một ngày lượng được được lấy ra là: \({V_m} = 170.{V_g} = \frac{{17}}{{1250}}\pi \left( {{m^3}} \right)\).
Ta có: \(\frac{V}{{{V_m}}} = \frac{{12}}{{\frac{{17}}{{1250}}\pi }} \simeq 280,8616643\)
Vậy đến ngày thứ 281 bể sẽ hết nước.
Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng \(\frac{3}{4}\) chiều cao của nó. Tìm V1, V2 lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén.
Gọi chiều cao của chiếc chén hình trụ là 2h và bán kính đường tròn đáy của hình trụ là r.
Gọi O là tâm của quả bóng bàn, khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng thiết diện bằng \(\frac{h}{2}\)
Bán kính đường tròn đáy hình trụ là \(AI = \sqrt {O{A^2} - O{I^2}} = \frac{{h\sqrt 3 }}{2}.\)
Thể tích của quả bóng bàn là \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {h^3} = \frac{{4\pi {h^3}}}{3}.\)
Thể tích của chiếc chén là: \({V_2} = \pi {r^2}{h_c} = \pi {\left( {\frac{{h\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}.2h = \frac{{3\pi {h^3}}}{2}.\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC=2a. SA vuông góc (ABC) và \(SA = 2a\sqrt 2\). Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Gọi M là trung điểm của BC.
Do ABC là tam giác vuông cân tại A nên: \(AB = AC = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 ;AM = \frac{{BC}}{2} = a\)
Dựng đường thẳng qua M song song với SA và cắt mặt phẳng trung trực của SA tại 0.
Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Do ABCD là hình chữ nhật nên: \(OM=AE=a \sqrt 2.\)
Mặc khác: \(R = OA = \sqrt {O{M^2} + M{A^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 3\)
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = 4\pi {a^3}\sqrt 3 .\)
Nội dung chương Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu xoay quanh việc tính thể tích, diện tích của các vật thể tròn xoay dạng nón, trụ và hình cầu, những vật thể quen thuộc và khá phổ biến trong đời sống. Nội dung bài ôn tập chương sẽ giúp các em Tổng hợp lại kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng giải bài tập, giúp nâng cao chất lượng, hiệu quả học tập.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Ôn tập chương 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Tính độ dài đường cao h của hình nón.
Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính thể tích V của khối nón sinh ra khi cho tam giác ABC quay xung quanh trục AH.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Tính diện tích xung quanh \(S_{xq}\) của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A’B’C’D’ và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Ôn tập chương 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 1 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 52 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 52 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 52 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 52 SGK Hình học 12
Bài tập 11 trang 53 SGK Hình học 12
Bài tập 12 trang 53 SGK Hình học 12
Bài tập 13 trang 53 SGK Hình học 12
Bài tập 14 trang 53 SGK Hình học 12
Bài tập 15 trang 54 SGK Hình học 12
Bài tập 16 trang 54 SGK Hình học 12
Bài tập 17 trang 54 SGK Hình học 12
Bài tập 18 trang 54 SGK Hình học 12
Bài tập 2.25 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.26 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.27 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.28 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.29 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.30 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.31 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.32 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.33 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.34 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.35 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.36 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.37 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 3.38 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.39 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.40 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.41 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.42 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.43 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.44 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.45 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.46 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.47 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.48 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.49 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 1 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 1 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 8 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 9 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 10 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 11 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 12 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 13 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 14 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 15 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 24 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 25 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 26 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Tính độ dài đường cao h của hình nón.
Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính thể tích V của khối nón sinh ra khi cho tam giác ABC quay xung quanh trục AH.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Tính diện tích xung quanh \(S_{xq}\) của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A’B’C’D’ và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón, các kích thước cho trên hình vẽ (đơn vị đo là dm). Tính thể tích V của khối dụng cụ đó.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có \(AB=AD=2a, AA' = 3\sqrt 2 a.\) Tính điện tích toàn phần S của hình trụ có hai đáy lần lượt ngoại tiếp hai đáy của hình hộp chữ nhật đã cho.
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có độ dài đáy bằng 3a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông có chu vi là 8a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
Gọi \(V_1\) là thể tích giữa khối lập phương và \(V_2\) là thể tích khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\)
Cho khối cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có 3 kích thước lần lượt là a, 2a, 2a. Tính thể tích V của khối cầu.
Có một hộp nhựa hình lập phương người ta bỏ vào hộp đó 1 quả bóng đá. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}},\) trong đó V1 là tổng thế tích của quả bóng đá, V2 là thể tích của chiếc hộp đựng bóng. Biết rằng đường tròn lớn trên quả bóng có thể nội tiếp bốn mặt hình vuông của chiếc hộp.
Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của một hình nón, còn ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là:
(A) \(\frac{1}{2}\pi a^2\sqrt{3}\)
(B) \(\frac{1}{3}\pi a^2\sqrt{2}\)
(C) \(\frac{1}{3}\pi a^2\sqrt{3}\)
(D) \(\pi a^2\sqrt{3}\)
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
(A) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình tứ diện bất kì.
(B) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp đều.
(C) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp.
(D) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp chữ nhật.
Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính quả bóng bàn. Gọi S1 là tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số S1/S2 bằng:
(A) 1
(B) 2
(C) 1,5
(D) 1,2
Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa đều tiếp xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là:
(A) \(16 \pi r^2\)
(B) \(18 \pi r^2\)
(C) \(9 \pi r^2\)
(D) \(36 \pi r^2\)
Cho ba điểm A, C, B nẳm trên một mặt cầu, biết rằng góc \(\widehat{ACB}=90^o\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
(A) AB là một đường kính của mặt cầu.
(B) Luôn luông có một đường tròn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC.
(C) Tam giác ABC vuông cân tại C.
(D) Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn lớn.
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và có đường cao h.
a) Một hình trụ có các đường tròn đáy tiếp xúc với các cạnh của tam giác đáy được gọi là hình trụ nội tiếp trong lăng trụ. Hãy tính diện tích xung quanh của hình trụ nội tiếp đó.
b) Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Đường thẳng A’I cắt hình trụ nội tiếp nói trên theo một đoạn thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng đó.
Cho hình chóp S.ABC và biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh bên của hình chóp đồng thời tiếp xúc với ba cạnh của đáy tại trung điểm của mỗi cạnh đáy. Chứng minh hình chóp đó là hình chóp đều.
Trong mặt phẳng \((\alpha )\), cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC = a và có cạnh huyền BC = 2a. Cũng trong mặt phẳng \((\alpha )\) đó cho nửa đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại M.
a) Chứng minh rằng khi quay mặt phẳng \((\alpha )\) xung quanh trục AB có một mặt nón tròn xoay và một mặt cầu được tạo thành. Hãy xác định các mặt tròn xoay đó.
b) Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt tròn xoay đó là một đường tròn. Hãy xác định bán kính của đường tròn đó.
c) So sánh diện tích toàn phần của hình nón và diện tích của mặt cầu nói trên.
Cho hai đường thẳng Δ và Δ′ chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc Δ và A’ thuộc Δ′. Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với Δ′ và d là hình chiếu vuông góc của Δ trên mặt phẳng (P). Đặt AA’ = a, góc nhọn giữa Δ và d là \(\alpha \). Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt Δ và Δ′ lần lượt tại M và M’. Gọi M1 là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).
a) Chứng minh 5 điểm A, A’ , M, M’ , M1 cùng nằm trên mặt cầu (S). xác định tâm O của (S). Tính bán kính của (S) theo a, \(\alpha \) và khoảng cách x giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
b) Khi x thay đổi, tâm O của mặt cầu (S) di động trên đường nào? Chứng minh rằng khi (Q) thay đổi mặt cầu (S) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.
Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác A, ta được tứ diện SABC.
a) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
b) Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC trong trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 300.
Cho đường tròn tâm O bán kính r′. Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, S và A cố định, SA = h cho trước và có đáy ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho, trong đó các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
a) Tính bán kính r của mặt cầu đi qua năm đỉnh của hình chóp.
b) Hỏi đáy ABCD là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất?
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn hai đáy ngoại tiếp các hình vuông ABC.D và A’B’C’D’.
b) Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình lập phương.
c) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay nhận đường thẳng AC’ làm trục và sinh ra bởi cạnh AB.
Hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng r, có chiều cao bằng 2r và có trục là OO’.
a) Chứng minh rằng mặt cầu đường kính OO’ tiếp xúc với hai mặt đáy của hình trụ và tiếp xúc với tất cả các đường sinh của mặt trụ.
b) Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục OO’ và cách trục một khoảng bằng \(\frac{r}{2}\). Tính diện tích thiết diện thu được.
c) Thiết diện nói trên cắt mặt cầu đường kính OO’ theo thiết diện là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
Cho hình lập phương có cạnh bằng \(a\) và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi \({S_1}\) là diện tích 6 mặt của hình lập phương, \({S_2}\) là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số \(\dfrac{{{S_2}}}{{{S_1}}}\) bằng:
A. \(\dfrac{\pi }{6}\)
B. \(\dfrac{1}{2}\)
C. \(\dfrac{\pi }{2}\)
D. \(\pi \)
Một hình tứ diện đều cạnh \(a\) có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón tròn xoay còn ba đỉnh còn lại của tứ diện nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là:
A. \(\dfrac{1}{3}\pi {a^2}\sqrt 3 \)
B. \(\pi {a^2}\sqrt 2 \)
C. \(\dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{3}\)
D. \(\dfrac{1}{2}\pi {a^2}\sqrt 3 \)
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Có một mặt cầu đi qua các đỉnh của hình tứ diện bất kì.
B. Có một mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình lăng trụ có đáy là một tứ giác lồi.
C. Có một mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình hộp chữ nhật.
D. Có một mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình chóp đều.
Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu và biết rằng \(\widehat {ACB} = {90^0}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AB là một đường kính của mặt cầu đã cho.
B. Luôn luôn có một đường tròn thuộc mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC.
C. Tam giác ABC vuông cân tại C.
D. AB là đường kính của một đường tròn lớn trên mặt cầu đã cho.
Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC) và BD ⊥ BC. Khi quay tứ diện đó xung quanh trục là cạnh AB, có bao nhiêu hình nón được tạo thành?
A. Một B. Hai
C. Ba D. Bốn
Khẳng định nào sau đây là sai?
Các hình chóp nào sau đây luôn có các đỉnh nằm trên một mặt cầu:
A. Hình chóp tam giác
B. Hình chóp đều ngũ giác
C. Hình chóp tứ giác
D. Hình chóp đều n− giác.
Cho tứ diện đều ABCD. Khi quay tứ diện đó xung quanh trục là AB có bao nhiêu hình nón khác nhau được tạo thành?
A. Một B. Hai
C. Ba D. Không có hình nón nào.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu 1: một hình nón có chiều cao và bán kính đáy cùng bằng 2 thì diện tích xung quanh bằng ???
Câu 2 trong không gian Oxyz mặt cầu (s) d: x^2+y^2+(z-2)^2=9 có diện tích bằng???
Câu trả lời của bạn
Bạn ơi, cho mình hỏi cái này đc ko z, mình cần bạn giúp, hơi gấp!
Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AD\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) và cạnh \(BD\) vuông góc với cạnh \(BC\). Biết \(AB = AD = a\), tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc \(BDA\) quanh cạnh \(AB\).
Câu trả lời của bạn
\(AD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AD \bot AB \Rightarrow \Delta ABD\) vuông tại A.
Vì \(∆ABD\) vuông góc tại \(A\), nên khi quay \(BDA\) quanh \(AB\) ta được hình nón tròn xoay đường cao \(h=AB = a\) và bán kính đáy bằng \(r=AD =a\).
Gọi \(l\) là độ dài đường sinh của hình nón ta có: \(l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
Vậy \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .a.a\sqrt 2 = \pi {a^2}\sqrt 2 ,\) \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{a^2}.a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\)
Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu.
Câu trả lời của bạn
Giả sử ta có hình chóp \(S.ABCD\), có các cạnh bên \(SA = SB = SC = SD = ...\)
Kẻ \(SH \bot (ABCD)\), ta chứng minh được \(△SHA = △SHB = △SHC = △SHD = △...\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Suy ra \(HA = HB = HC = HD = ...\) \( \Rightarrow \) H là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ABCD...
Trong tam giác \(SAH\) chẳng hạn, ta kẻ đường trung trực của cạnh \(SA\), đường này cắt \(SH\) ở điểm \(I \Rightarrow IA = IS\).
Do đó: \(IS = IA = IB = IC = ID = ...\) hay điểm \(I\) cách đều các đỉnh của hình chóp và do đó \(I\) là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp.
Hình chóp \(S.ABC\) có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh \(SA, SB, SC\) và tiếp xúc với ba cạnh \(AB, BC, CA\) tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(M, N, P\) theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh \(SA, SB, SC\); \(D, E, F\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CA\), các điểm \(D, E, F\) đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh \(AB, BC, CA\).
Ta có:
\(AD = AF\) (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \(\Rightarrow AB = AC\)
Tương tự: \(BD = BE \Rightarrow BC = AB\)
\( \Rightarrow AB = BC = CA \Rightarrow △ABC\) là tam giác đều... (1)
Ta lại có \(AM = AD; BN = BD = AD\)
và \(SM = SN = SP\)
\( \Rightarrow SM + AM = SN + NB\)
\( \Rightarrow SA = SB\)
Chứng minh tương tự ta có: \(SA = SB = SC\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra hình chóp \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều.
Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của đỉnh \(A\) xuống mặt phẳng \((BCD)\). Chứng minh \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\). Tính độ dài đoạn \(AH\).
Câu trả lời của bạn
Ta biết rằng tứ diện đều là tứ diện có \(6\) cạnh đều bằng nhau.
Từ A vẽ AH ⊥ (BCD)
Xét ba tam giác ABH, ACH và ADH có:
AB= AC = AD ( vì ABCD là tứ diện đều).
AH chung
\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = \widehat {AHD} = {90^0}\)
=> ∆ ABH = ∆ ACH =∆ ADH ( ch- cgv)
Suy ra,HB = HC = HD . Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\).
Do \(\Delta BCD\) đều nên \(BI = BC\sin {60^0}= \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\( \Rightarrow BH = {2 \over 3}BI = {{a\sqrt 3 } \over 3}\);
Do tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) nên : \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\) \(={a^2} - {{{a^2}} \over 3} = {2 \over 3}{a^2}\).
Vậy \(AH = {{\sqrt 6 } \over 3}a\)
Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của đỉnh \(A\) xuống mặt phẳng \((BCD)\). Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác \(BCD\) và chiều cao \(AH\).
Câu trả lời của bạn
Vì tam giác \(BCD\) đều cạnh \(a\), nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là \(r = BH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\), cũng chính là bán kính đáy của khối trụ. Vì vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:
\(S = 2\pi rh = 2\pi {{a\sqrt 3 } \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{2\sqrt 2 } \over 3}\pi {a^2}\) (đtdt).
Thể tích khối trụ là: \(V = \pi {r^2}h = \pi {{{a^2}} \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{\sqrt 6 } \over 9}\pi {a^3}\) (đttt)
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Từ tâm \(O\) của hình vuông dựng đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Trên \(\Delta\) lấy điểm \(S\) sao cho \(OS ={a \over 2}\). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\). Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Câu trả lời của bạn
Do \(\Delta\) là trục của hình vuông \(ABCD\), nên tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) nằm trên \(\Delta\).
ABCD là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \Rightarrow OC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Vì \(SO = \displaystyle {a \over 2} < OC\) nên tâm \(I\) của mặt cầu nằm trên phần kéo dài của \(SO\).
Ta có: \(SI = IC \Rightarrow \displaystyle {a \over 2} + OI = \sqrt {O{I^2} + O{C^2}} \)
\( \Rightarrow {\left( \displaystyle {{a \over 2} + OI} \right)^2} = O{I^2} +\displaystyle {{{a^2}} \over 2}\)
\( \Rightarrow O{I^2} + a.OI + \displaystyle {{{a^2}} \over 4} = O{I^2} + \displaystyle {{{a^2}} \over 2}\)
\( \Rightarrow OI = \displaystyle {a \over 4} \Rightarrow R = SO + OI = \displaystyle {{3a} \over 4}\)
Vậy tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) nằm trên \(SO\) mà \(SI = R =\) \(\displaystyle {{3a} \over 4}\) ; (\(R\) là bán kính hình cầu). Khi đó diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = \displaystyle {9 \over 4}\pi {a^2}\) (đvdt)
Thể tích của khối cầu là: \(V = \displaystyle {4 \over 3}\pi {R^3} = \displaystyle {9 \over {16}}{\pi a^3}\) (đvdt)
Cho hình trụ có bán kính đáy \(r\), trục \(OO' = 2r\) và mặt cầu đường kính \(OO'\). Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ đó.
Câu trả lời của bạn
Hình trụ có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(2r\), hình cầu có bán kính \(r\)
\(S\)mặt cầu = \(4πr^2\); \(S\)hình trụ = \(2\pi rh = 2\pi r.2r = 4\pi {r^2}\)
Vậy \(S\)mặt cầu=\(S\)hình trụ
Cho hình trụ có bán kính đáy \(r\), trục \(OO' = 2r\) và mặt cầu đường kính \(OO'\). Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho.
Câu trả lời của bạn
\(V\)khối cầu = \({4 \over 3}\pi {r^3}\); \(V\)khối trụ = \(\pi {r^2}h = \pi {r^2}.2r = 2\pi {r^3}\)
Vậy \({{{V_{KT}}} \over {{V_{KC}}}} = {{2\pi {r^3}} \over {{4 \over 3}\pi {r^3}}} = {3 \over 2}\).
(A) \(\displaystyle πa^2\);
(B) \(\displaystyle πa^2\sqrt 2 \) ;
(C) \(\displaystyle πa^2\sqrt 3 \);
(D) \(\displaystyle {{\pi {{\rm{a}}^2}\sqrt 2 } \over 2}\).
Câu trả lời của bạn
Xét tam giác vuông ABC có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
Hình trụ là hình ngoại tiếp hình vuông cạnh \(a\) nên có đường kính \( a\sqrt2\) đường cao của hình trụ là \(a\) \( \Rightarrow R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Rightarrow {S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a = \pi {a^2}\sqrt 2 \)
Chọn (B).
(A) \(πb^2\);
(B) \(πb^2\sqrt 2 \) ;
(C) \(πb^2\sqrt 3 \) ;
(D) \(πb^2\sqrt 6 \).
Câu trả lời của bạn
Hình nón tạo bởi khi quay \(AC'\) xung quanh \(AA'\) có đường sinh \(l=AC'\) và bán kính đáy \(r=C'A'\)
Xét tam giác vuông \(A'B'C'\) có: \(A'C' = \sqrt {A'B{'^2} + B'C{'^2}} = \sqrt {{b^2} + {b^2}} = b\sqrt 2=r \)
Xét tam giác vuông \(AA'C'\) có: \(AC' = \sqrt {AA{'^2} + A'C{'^2}} = \sqrt {{b^2} + 2{b^2}} = b\sqrt 3=l \)
Vậy \({S_{xq}} = \pi rl = \pi b\sqrt 2 .b\sqrt 3 = \pi {b^2}\sqrt 6 \)
Chọn (D).
(A) \({{2(a + b + c)} \over 3}\) ;
(B) 2\(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
(C) \({1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \) ;
(D) \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
Câu trả lời của bạn
Tâm \(I\) của mặt cầu đi qua \(A,B,C,S\) là giao của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và mặt phẳng trung trực của \(SA\)
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên trục đường tròn \(Mx\) với \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Bán kính mặt cầu \(R=IA\)
\(MI={1 \over 2} SA = {a\over 2}\), \(AM={1\over 2} BC={1\over 2} \sqrt{b^2+c^2}\)
Xét tam giác vuông \(IAM\) có: \(R = IA = \sqrt {I{M^2} + A{M^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
Chọn (C).
(A) Mặt nón;
(B) Mặt trụ;
(C) Mặt cầu;
(D) Mặt phẳng.
Câu trả lời của bạn
Ta có: góc MAB = α (0 < α < 90o)
Vậy M thuộc mặt nón đỉnh là A, trục là đường thẳng AB và góc ở đỉnh bằng 2α.
(A) Hình chóp tam giác (tứ diện)
(B) Hình chóp ngũ giác đều;
(C) Hình chóp tứ giác;
(D) Hình hộp chữ nhật.
Câu trả lời của bạn
Hình chóp tứ giác muốn nội tiếp một mặt cầu thì tứ giác đáy đó phải là tứ giác nội tiếp.
Chọn (C).
(A) 1;
(B) 2;
(C) 3;
(D) 4.
Câu trả lời của bạn
Khi quay các cạnh tứ diện đó xung quanh trục là cạnh \(AB\) ta được hai hình nón.
Hình nón khi quay BD quanh cạnh AB là hình nón đỉnh B, bán kính đáy AD, chiều cao AB.
Hình nón khi quay AC quanh cạnh AB là hình nón đỉnh A, bán kính đáy BC, chiều cao AB.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot BD\\BC \bot AD\end{array} \right. \) \(\Rightarrow BC \bot \left( {ABD} \right) \Rightarrow BC \bot AB\).
Do đó khi quay quanh cạnh AB thì BC vạch nên một hình tròn chứ không tạo nên hình nón.
Tương tự khi quay AD quanh cạnh AB ta cũng không tạo nên được hình nón.
CD không cắt AB nên khi quay CD quanh cạnh AB ta cũng không tạo nên được hình nón.
Vậy có hai hình nón được tạo thành.
Chọn B.
(A) \(πa^2\) ;
(B) \(2πa^2\) ;
(C) \({1 \over 2}πa^2\) ;
(D) \({3 \over 4}πa^2\).
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\) quay xung quanh đường cao \(AH\) ta được một hình nón đỉnh A, bán kính đáy BH và đường cao AH.
Hình nón sinh ra có bán kính đáy \(r={a\over2}\) đường sinh \(l=a\) nên có diện tích xung quanh là: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi {a \over 2}.a = {{\pi {a^2}} \over 2}\)
Chọn (C).
(A) \({{\pi {a^2}\sqrt 3 } \over 3}\)
(B) \({{\pi {a^2}\sqrt 2 } \over 2}\)
(C) \({{\pi {a^2}\sqrt 3 } \over 2}\)
(D) \({{\pi {a^2}\sqrt 6 } \over 2}\)
Câu trả lời của bạn
Vì \(A'B'C'D'\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(A'C' = a\sqrt 2 \).
Gọi \(O'\) là tâm của hình vuông \( A'B'C'D'\) thì \(O'A' = \frac{1}{2}A'C' = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = SA\)
Xét tam giác vuông \(SAA'\) có: \(SA' = \sqrt {S{A^2} + AA{'^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{2} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
Hình nón có đường sinh \(l=SA'=\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) và và bán kính đáy \(r=O'A'={{a\sqrt 2 } \over 2}\) nên có diện tích xung quanh là:
\({S_{xq}} = \pi .{{a\sqrt 2 } \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 2} = {{\pi {a^2}\sqrt 3 } \over 2}\)
Chọn (C).
(A) \(\displaystyle {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \);
(B) \(\displaystyle \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \);
(C) \(\displaystyle \sqrt {2({a^2} + {b^2} + {c^2})} \);
(D) \(\displaystyle {{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} } \over 3}\).
Câu trả lời của bạn
Gọi \(O\) là tâm của hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có các kích thước \(AB = a;\,\,AD = b;\,\,AA' = c\) thì \(O\) chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đó. Do đó bán kính của mặt cầu này là \(R = OA = \frac{1}{2}AC'\).
Xét tam giác vuông \(A'B'C'\) có: \(A'C{'^2} = A'B{'^2} + B'C{'^2} = {a^2} + {b^2}\)
\(AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow AA' \bot A'C' \Rightarrow \Delta AA'C'\) vuông tại A', do đó:
\(\begin{array}{l}
AC' = \sqrt {AA{'^2} + A'C{'^2}} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \\
\Rightarrow R = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}
\end{array}\)
Chọn (A).
(A) Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ.
(B) Diện tích mặt cầu bằng \(\displaystyle {2 \over 3}\) diện tích toàn phần của hình trụ.
(C) Thể tích khối cầu bằng \(\displaystyle {3 \over 4}\) thể tích khối trụ.
(D) Thể tích khối cầu bằng \(\displaystyle {2 \over 3}\) thể tích khối trụ.
Câu trả lời của bạn
Mặt cầu có đường kính \(\displaystyle 2r\) nên có bán kính là \(\displaystyle r\) và có diện tích:
\(\displaystyle S = 4\pi {r^2}\) và \(\displaystyle V = {4 \over 3}\pi {r^3}\)
Mặt trụ có bán kính \(\displaystyle r\) và chiều cao \(\displaystyle 2r\) nên có:
\(\displaystyle {S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .r.2r = 4\pi {r^2}\);
\(\displaystyle {S_{tp}}=S_{xq}+S_{2d}=4\pi {r^2} + 2\pi r^2 = 6\pi {r^2}\);
\(\displaystyle V =\pi r^2h=\pi .r.2r= 2\pi {r^3}\).
Do đó A, B, D đúng.
Chọn (C).
(A) \({1 \over 2}\pi {a^2}\sqrt 3 \) ;
(B) \({1 \over 3}\pi {a^2}\sqrt 2 \) ;
(C) \({1 \over 3}\pi {a^2}\sqrt 3 \) ;
(D) \(\pi {a^2}\sqrt 3 \) .
Câu trả lời của bạn
Giả sử có tứ diện đều \(SABC\) , hình nón có đỉnh trùng với \(S\) và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) bán kính đường tròn đáy bằng \({2\over3}\) độ dài trung tuyến \(ABC\)
\(r = {2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)
Đường sinh hình nón bằng cạnh \(SA=a\).
Diện tích xung quanh của hình nón là:
\({S_{xq}} = \pi rl = {1 \over 3}\pi {a^2}\sqrt 3 \)
Chọn (C).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *