Trong không gian phương trình đường phẳng được biểu diễn ở hai dạng chính là phương trình tham số và phương trình chính tắc. Nội dung bài học sẽ giúp các em biết cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng và viết được phương trình trong các trường hợp phổ biến. Bên cạnh đó bài học còn giới thiệu cách tính khoảng cách, góc, xác định vị trí tương đối trong không gian có liên quan đến đường thẳng.
Trong không gian, đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(M(x_0,y_0,z_0)\) và nhận vectơ \(\vec u=(a,;b;c)\) làm Vectơ chỉ phương (VTCP) có phương trình tham số là:
\(\Delta: \left\{\begin{matrix} x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end {matrix}\right.(t\in\mathbb{R})\) (t được gọi là tham số).
Nếu \(a,b,c \ne 0\) thì ta có phương trình \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}=t\).
Hay \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta\).
Trong không gian cho hai đường thẳng: \(\Delta _1\) đi qua M1 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_1}\), \(\Delta _2\) đi qua M2 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_2}\).
Khi đó Vị trí tương đối giữa \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) được xác định như sau:
\(cos(\Delta _1;\Delta _2)=\left | cos(\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}) \right |=\frac{\left | \overrightarrow{u_1}\overrightarrow{u_2} \right |}{ \left | \overrightarrow{u_1} \right |.\left | \overrightarrow{u_2} \right |}\)\(=\frac{\left | a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2 \right |}{\sqrt{a^2_1+b^2_1+c^2_1} .\sqrt{a^2_2+b^2_2+c^2_2}}\)
Trong không gian cho đường thẳng \(\Delta\) có một VTCP \(\overrightarrow{u}=(a;b;c)\), mặt phẳng (P) có một VTPT \(\overrightarrow{n}=(A;B;C)\), khi đó:
Cho điểm M và đường thẳng \(\Delta\) đi qua N và có một VTCP \(\overrightarrow{u}\). Khi đó khoảng cách từ M đến \(\Delta\) xác định bởi công thức:
\(d(M;\Delta )=\frac{\left | \left [ \overrightarrow{NM};\overrightarrow{u} \right ] \right |}{\left | \overrightarrow{u} \right |}\)
Cho đường thẳng \(\Delta\) song song với mặt phẳng (P). M là một điểm thuộc đường thẳng \(\Delta\). Khi đó:
\(d(\Delta;(P))=d(M;(P))\)
Cách 1:
Trong không gian cho đường thẳng \(\Delta _1\) đi qua M1 có một VTCP \(\overrightarrow{u_1}\), \(\Delta _2\) đi qua M2 có một VTCP \(\overrightarrow{u_2}\). Khi đó:
\(d(\Delta _1;\Delta _2)=\frac{\left | [\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}] .\overrightarrow{M_1M_2}\right |}{[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}]}\)
Cách 2:
Gọi AB là đoạn vuông góc chung \(\Delta _1\), \(\Delta _2\) với\(A\in \Delta _1, B\in \Delta _2\) suy ra: \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_1}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_2}=0 \end{matrix}\right.\). Khi đó:
\(d(\Delta _1;\Delta _2)=AB\)
Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) d đi qua A(1; 2;-3) và B(-2; 2;0).
b) d đi qua A(-2;4;3) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha):\) 2x-3y–6z+19=0.
c) d đi qua điểm A(2;-5;3) và song song với đường thẳng \(d':\) \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 3 + 2t\\ z = 5 - 3t \end{array} \right.\).
d) d đi qua điểm M(3;1;5) và song song với hai mặt phẳng (P):2x+3y-2z+1=0 và (Q): x–3y+z-2=0.
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;1} \right).\)
Do d đi qua A và B nên VTCP của d là \(\overrightarrow u = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;1} \right)\).
Mặt khác d đi qua A(1; 2;-3).
Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = 2\\ z = - 3 + t \end{array} \right.\)
b) VTPT của \((\alpha)\) là \(\vec n = (2; - 3; - 6).\)
Do \(d \bot (\alpha )\) nên d nhận \(\vec u =\vec n=(2;-3;-6)\) là VTCP.
Mặt khác d đi qua A(-2;4;3).
Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + 2t\\ y = 4 - 3t\\ z = 3 - 6t \end{array} \right.\)
c) VTCP của d' là \(\overrightarrow {u'} = (1;2; - 3).\)
Do d// d’ nên VTCP của d \(\overrightarrow u = \overrightarrow {u'} = (1;2; - 3).\)
Mặt khác d đi qua điểm A(2;-5;3).
Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = - 5 + 2t\\ z = 3 - 3t \end{array} \right.\)
d) Ta có: \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2;3; - 2)\) và \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = (1; - 3;1)\) lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q).
Do: \(\left\{ \begin{array}{l} d//\left( P \right)\\ d//(Q) \end{array} \right.\) nên d có VTCP là: \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = ( - 3; - 4; - 9).\)
Mặt khác: d đi qua điểm M(3;1;5)
Suy ra phương trình tham số của d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 - 3t\\ y = 1 - 4t\\ z = 5 - 9t \end{array} \right.\)
Xác đinh trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:
a) \({\rm{d}}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 3 + 2t\\ y = - 2 + 3t\\ z = 6 + 4t \end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l} x = 5 + t'\\ y = - 1 - 4t'\\ z = 20 + t' \end{array} \right.\).
b) \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2 + t\\ z = 3 - t \end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t'\\ y = - 1 + 2t'\\ z = 2 - 2t' \end{array} \right.\).
a) d qua A(-3;-2;6) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {2;3;4} \right).\)
d’ qua B(5;-1;20) có VTCP \(\overrightarrow {u'} = \left( {1; - 4;1} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {8;1;14} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4\\ { - 4}&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 1&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&{ - 4} \end{array}} \right|} \right) = \left( {19;2; - 11} \right).\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {AB} = 19.8 + 2.1 - 11.14 = 152 + 2 - 154 = 0\\ \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {19;2; - 11} \right) \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\)
Suy ra d và d' cắt nhau.
b) d qua A(1;2;3) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right).\)
d’ qua B(1;-1;2) có VTCP \(\overrightarrow {u'} = \left( {2; 2;-2} \right).\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {0;-3;-1} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 2&{ - 2} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ { - 2}&2 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 2&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0;0} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {u'} = 2\overrightarrow u \\ \overrightarrow {AB} = \left( {0; - 3; - 1} \right) \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\)
Suy ra d và d' song song với nhau.
Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + at\\ y = t\\ z = - 1 - 2t \end{array} \right.;d':\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t'\\ y = 2 + 2t'\\ z = 3 - t \end{array} \right.\).
d qua A(1;0;-1) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {a;1;2} \right).\)
d’ qua B(1;2;3) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2; - 1} \right).\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {0;2;4} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 2&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&a\\ { - 1}&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&1\\ { - 1}&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( { - 5;a - 2;2{\rm{a}} + 1} \right)\).
Nếu d cắt d' khi:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\ \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {AB} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - 2 \ne 0\\ 2{\rm{a}} - 1 \ne 0\\ 2(a - 2) + 4(2{\rm{a + }}1) = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne 2\\ a \ne \frac{1}{2}\\ a = 0 \end{array} \right. \Rightarrow a = 0 \end{array}\)
Vậy a=0 là giá trị cần tìm.
Tính các khoảng cách sau:
a) Khoảng cách từ điểm A(1;0;1) đến đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}.\)
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = - 1 - t\\ z = 1 \end{array} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 3t'\\ y = 2 + 3t'\\ z = 3t' \end{array} \right.\quad \left( {t,t' \in R} \right)\).
a) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm B(1;0;0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;2;1} \right)\).
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( {0;0; - 1} \right)\\ \left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ 2&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0\\ 1&2 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 2&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( {2; - 2;0} \right). \end{array}\)
Vậy \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\sqrt {4 + 4} }}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
b) Đường thẳng \(\Delta\) qua A(1;-1;1) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;0} \right).\)
Đường thẳng \(\Delta'\) qua B(2;2;0) và VTCP \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 3;3;3} \right).\)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 1} \right)\\ \left[ {\vec u,\vec u'} \right] = \left( { - 3; - 3;0} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\vec u,\vec u'} \right].\overrightarrow {AB} = - 12. \end{array}\)
Vậy: \(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = \frac{{\left| { - 12} \right|}}{{\sqrt {9 + 9 + 0} }} = \frac{{12}}{{3\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2.\)
a) Tính góc tạo bởi đường thẳng (d): \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 2 + t\\ z = 5 + 4t \end{array} \right.\) và \((d'):\frac{{x - 2}}{{ - 1}} + \frac{{y - 4}}{3} + \frac{{z + 3}}{2} = 0.\)
b) Tìm m để đường thẳng \((d):\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ y = 1 - 2t\\ z = 1 - t \end{array} \right.\) và \((d'):\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 2 + (m - 2)t\\ z = t \end{array} \right.\) tạo với nhau một góc 600.
a) VTCP của (d) là: \(\overrightarrow {{u_d}} = (2;1;4).\)
VTCP của (d’) là: \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( { - 1;3;2} \right).\)
Gọi \(\varphi\) là góc tạo bởi hai đường thẳng (d) và (d’) ta có:
\(\begin{array}{l} \cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|\left| {\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.( - 1) + 3.1 + 4.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {4^2}} \sqrt {{{( - 1)}^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt {294} }}\\ \Rightarrow \varphi \approx {88^0}15' \end{array}\)
b) \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2; - 2; - 1} \right)\)
\(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {m;m - 2;1} \right)\)
(d) và (d’) tạo với nhau một góc 600 nên:
\(\begin{array}{l} \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2{m^2} - 4m + 5} }} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2 - \sqrt 2 \\ m = 2 + \sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy \(m=2-\sqrt2\) và \(m=2+\sqrt2\) là các giá trị cần tìm.
Tìm m để đường thẳng: \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + mt\\ y = (m - 2)t\\ z = 1 + t \end{array} \right.\) và (P): \(2x - 2y - z + 1 = 0\) tạo thành góc 300.
d có VTCP: \(\overrightarrow u = (m,m - 2,1).\)
(P) có VTPT: \(\overrightarrow n = (2; - 2; - 1).\)
d và (P) tạo với nhau một góc 300 nên:
\(\begin{array}{l} \sin {30^0} = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\vec n} \right)} \right| = \frac{1}{2}\,\, \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2{m^2} - 4m + 5} }} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\\ m = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2} \end{array} \right.. \end{array}\)
Vậy \(m = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\) và \(m = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\) là các giá trị cần tìm.
Trong không gian phương trình đường phẳng được biểu diễn ở hai dạng chính là phương trình tham số và phương trình chính tắc. Nội dung bài học sẽ giúp các em biết cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng và viết được phương trình trong các trường hợp phổ biến. Bên cạnh đó bài học còn giới thiệu cách tính khoảng cách, góc, xác định vị trí tương đối trong không gian có liên quan đến đường thẳng.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;0;2) B(2;-1;3). Viết phương trình đường thẳng AB.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;3;-4) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{1} {d_2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{1} .\) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với cả d1 và d2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + z - 3 = 0\) và \(\left( Q \right):3x - 2y + 6 = 0\). Gọi \(\Delta\) là giao tuyến của \((P )\) và \((Q )\). Tìm Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\).
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 89 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 89 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 90 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 90 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 90 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 90 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 91 SGK Hình học 12
Bài tập 3.31 trang 129 SBT Hình học 12
Bài tập 3.32 trang 129 SBT Hình học 12
Bài tập 3.33 trang 129 SBT Hình học 12
Bài tập 3.34 trang 129 SBT Hình học 12
Bài tập 3.35 trang 129 SBT Hình học 12
Bài tập 3.36 trang 130 SBT Hình học 12
Bài tập 3.37 trang 130 SBT Hình học 12
Bài tập 3.38 trang 130 SBT Hình học 12
Bài tập 3.39 trang 130 SBT Hình học 12
Bài tập 3.40 trang 130 SBT Hình học 12
Bài tập 3.42 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.43 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.44 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 3.45 trang 131 SBT Hình học 12
Bài tập 24 trang 102 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 25 trang 102 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 26 trang 102 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 27 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 28 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 29 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 30 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 31 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 32 trang 104 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 33 trang 104 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 34 trang 104 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 35 trang 104 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;0;2) B(2;-1;3). Viết phương trình đường thẳng AB.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;3;-4) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{1} {d_2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{1} .\) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với cả d1 và d2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + z - 3 = 0\) và \(\left( Q \right):3x - 2y + 6 = 0\). Gọi \(\Delta\) là giao tuyến của \((P )\) và \((Q )\). Tìm Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{{z + 3}}{1}\) , điểm\(A\left( {3;2;1} \right).\) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua A cắt đồng thời vuông góc với đường thẳng d.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác OAB có tọa độ các đỉnh là O(0;0;0), A(4;-2;1), B(2;4;-3). Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh O của tam giác OAB.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + t\\ y = 2 - t\\ z = 0 \end{array} \right.\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \((P):\,3x - 3y + 2z + 6 = 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách d từ điểm A(1;-2;3) đến đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 10}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 3t\\ y = - 1 + 2t\\ z = - 2 + t \end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = 3 + 4t\\ z = 5 - 5t \end{array} \right..\) Tìm \(\alpha\) là số đo góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\).
Trong không gian với hệ trục Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(0;1;2) trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 0.\)
Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) d đi qua điểm M(5 ; 4 ; 1) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(2 ; -3 ; 1)\) ;
b) d đi qua điểm A(2 ; -1 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α) có phương trình: \(x + y - z + 5 = 0\);
c) d đi qua điểm B(2 ; 0 ; -3) và song song với đường thẳng ∆ có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = - 3 - 3t\\
z = 4t
\end{array} \right.\)
d) d đi qua hai điểm P(1 ; 2 ; 3) và Q(5 ; 4 ; 4).
Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d: \left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=-3+2t & \\ z= 1+3t& \end{matrix}\right.\) lần lượt trên các mặt phẳng sau:
a) (Oxy).
b) (Oyz).
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:
a) \(d: \left\{\begin{matrix} x=-3+2t & \\ y=-2+3t& \\ z=6+4t& \end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{\begin{matrix} x=5+t'& \\ y=-1-4t'& \\ z=20+t'& \end{matrix}\right.\) ;
b) \(d: \left\{\begin{matrix} x=1+t& \\ y=2+t& \\ z=3-t& \end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{\begin{matrix} x=1+2t'& \\ y=-1+2t'& \\ z=2-2t'.& \end{matrix}\right.\)
Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:
\(d:\left\{\begin{matrix} x=1+at & \\ y=t & \\ z= -1+2t & \end{matrix}\right.\) \(d':\left\{\begin{matrix} x=1-t' & \\ y=2+2t' & \\ z= 3-t'. & \end{matrix}\right.\)
Tìm số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) :
a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=12+4t & \\ y=9+3t & \\ z=1+t & \end{matrix}\right.\) và \((\alpha ): 3x + 5y - z - 2 = 0\);
b) d: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 2 - t\\
z = 1 + 2t
\end{array} \right.\) và \((\alpha ) : x + 3y + z = 0\) ;
c) d: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 1 + 2t\\
z = 2 - 3t
\end{array} \right.\) và \((\alpha ) : x + y + z - 4 = 0\).
Tính khoảng cách giữa đường thẳng ∆: \(\left\{\begin{matrix} x=-3 +2t & \\ y=-1+3t & \\ z=-1 +2t & \end{matrix}\right.\) với mặt phẳng \(\small (\alpha ) : 2x - 2y + z + 3 = 0\).
Cho điểm A(1 ; 0 ; 0) và đường thẳng ∆: \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=1+2t & \\ z=t & \end{matrix}\right.\).
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆.
b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng ∆.
Cho điểm M(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng \(\small (\alpha ): x + y + z -1 = 0\)
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng \(\small (\alpha )\).
b) Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng \(\small (\alpha )\).
c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng \(\small (\alpha )\).
Cho hai đường thẳng: \(d: \left\{\begin{matrix} x=1-t & \\ y=2+2t & \\ z=3t& \end{matrix}\right.\) và \(d': \left\{\begin{matrix} x=1+t' & \\ y=3-2t' & \\ z=1& \end{matrix}\right.\). Chứng minh d và d' chéo nhau.
Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A'BD) và B'D'C).
Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong các trường hợp sau:
a) \(\Delta \) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương \(\vec a = (3;3;1)\) ;
b) \(\Delta \) đi qua điểm B(1; 0; -1) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – y + z + 9 = 0
c) \(\Delta \) đi qua hai điểm C(1; -1; 1) và D(2; 1; 4)
Viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): y +2z = 0 và cắt hai đường thẳng d1: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - t\\
y = t\\
z = 4t
\end{array} \right.\) và d2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - t'}\\
{y = 4 + 2t'}\\
{z = 4}
\end{array}} \right.\)
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:
a) \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{3}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{{z - 4}}{2}\)
b) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1 + t\\
z = 2 - t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 9 + 2t'}\\
{y = 8 + 2t'}\\
{z = 10 - 2t'}
\end{array}} \right.\)
c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = - t\\
y = 3t\\
z = - 1 - 2t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{y = 9}\\
{z = 5t'}
\end{array}} \right.\)
Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song: \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t\\
y = at\\
z = 2 - t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + 2t'}\\
{y = a + 4t'}\\
{z = 2 - 2t'}
\end{array}} \right.\)
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1 + 2t\\
z = 1 - t
\end{array} \right.\) và \((\alpha )\) : x + 2y + z - 3 = 0
b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - t}\\
{y = t}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right.\) và \((\alpha )\) : x + z + 5 = 0
c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 - t\\
y = 2 - t\\
z = 1 + 2t
\end{array} \right.\) và \((\alpha )\) : x +y + z -6 = 0
Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}\)
Cho đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\) và mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – 2y + z + 3 = 0
a) Chứng minh rằng \(\Delta \) song song với \((\alpha )\).
b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \((\alpha )\).
Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng Δ và Δ′ trong các trường hợp sau:
a) \({\rm{\Delta }}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + t}\\
{y = - 1 - t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.\) và \({\rm{\Delta '}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - 3t'}\\
{y = 2 + 3t'}\\
{z = 3t'}
\end{array}} \right.\)
b) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 4 - t\\
z = - 1 + 2t
\end{array} \right.\) và \({\rm{\Delta '}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = t'}\\
{y = 2 - 3t'}\\
{z = - 3t'}
\end{array}} \right.\)
Cho hai đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\)
\({\rm{\Delta '}}:\frac{{x + 2}}{{ - 4}} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{4}\)
a) Xét vị trí tương đối giữa Δ và Δ′ ;
b) Tính khoảng cách giữa Δ và Δ′.
Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\)
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng Δ;
b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng Δ.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Tìm tọa độ hình chiếu ( vuông góc ) của điểm \({M_0}(1; - 1;2)\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - y + 2z + 12 = 0.\)
Câu trả lời của bạn
Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M0(1 ; -1 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng (\(\alpha \)) là :
\(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 2 + 2t. \hfill \cr} \right.\)
Gọi M'0(x ; y ; z) là hình chiếu của M0 trên mp(\(\alpha \)). Toạ độ của M'0 thoả mãn hệ :
\(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - 2t \hfill \cr z = 2 + 2t \hfill \cr 2x - y + 2z + 12 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow t = - {{19} \over 9}.\)
Vậy \(M{'_0} = \left( { - {{29} \over 9};{{10} \over 9}; - {{20} \over 9}} \right).\)
Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), biết \(\eqalign{\Delta :\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 + 3t \hfill \cr z = 2 - t, \hfill \cr} \right.\left( \alpha \right):2x - y + 2z - 1 = 0\cr} \).
Câu trả lời của bạn
Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta\) và mặt phẳng (\(\alpha \))
\(\sin \varphi = {1 \over {3\sqrt {14} }};\)
Tìm tọa độ điểm đối xứng của M0(2;-3;1) qua mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 3y - z + 2 = 0.\)
Câu trả lời của bạn
Trước hết, ta xác định hình chiếu vuông góc H của M0 trên (\(\alpha \)). Gọi d là đường thẳng qua M0 và vuông góc với (\(\alpha \)), ta có
\(d:\left\{ \matrix{ x = 2 + t \hfill \cr y = - 3 + 3t \hfill \cr z = 1 - t. \hfill \cr} \right.\)
Toạ độ điểm H(x; y; z) thoả mãn hệ :
\(\left\{ \matrix{ x = 2 + t \hfill \cr y = - 3 + 3t \hfill \cr z = 1 - t \hfill \cr x + 3y - z + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H = \left( {{{28} \over {11}}; - {{15} \over {11}};{5 \over {11}}} \right).\)
Gọi M' là điểm đối xứng của M0 qua mặt phẳng (\(\alpha \)) thì H là trung điểm của M0M' nên ta có :
\(\left\{ \matrix{ {{{x_{M'}} + 2} \over 2} = {{28} \over {11}} \hfill \cr {{{y_{M'}} - 3} \over 2} = - {{15} \over {11}} \hfill \cr {{{z_{M'}} + 1} \over 2} = {5 \over {11}} \hfill \cr} \right. \Rightarrow M' = \left( {{{34} \over {11}};{3 \over {11}}; - {1 \over {11}}} \right).\)
Cho bốn điểm A(4;1;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1). Xác định tọa độ hình chiếu của D trêm mặt phẳng (ABC).
Câu trả lời của bạn
\(\overrightarrow {AB} \) = (-1 ; 2 ; -3), \(\overrightarrow {AC} \) = (-3 ; 4 ; 1)
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\)= (14 ; 10 ; 2).
Lấy một vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là \(\overrightarrow n \)= (7 ; 5 ; 1), ta có phương trình của mặt phẳng (ABC):
7x + 5y + z - 37 = 0.
Đường thẳng đi qua D và vuông góc với mp(ABC) có phương trình :
\(\left\{ \matrix{ x = 1 + 7t \hfill \cr y = 1 + 5t \hfill \cr z = 1 + t. \hfill \cr} \right.\)
Toạ độ hình chiếu D’ của D trên mp(ABC) thoả mãn hệ
\(\left\{ \matrix{ x = 1 + 7t \hfill \cr y = 1 + 5t \hfill \cr z = 1 + t \hfill \cr 7x + 5y + z - 37 = 0. \hfill \cr} \right.\)
Suy ra D’ = \(\left( {{{81} \over {25}};{{13} \over 5};{{13} \over {25}}} \right).\)
Cho hai điểm A(3;1;1), B(7;3;9) và \(mp\left( \alpha \right):x + y + z + 3 = 0.\) Xác định điểm M trên \(\left( \alpha \right)\) để \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu trả lời của bạn
Gọi I là trung điểm của đoạn \(AB \Rightarrow I = (5;2;5).\)
Ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = 2MI.\)
Vậy \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) MI nhỏ nhất với I cố định và \(M \in (\alpha ) \Leftrightarrow M\) là hình chiếu vuông góc với I trên mp(\(\alpha \)).
Toa độ của \(M(x;y;z)\) là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \matrix{ x = 5 + t \hfill \cr y = 2 + t \hfill \cr z = 5 + t \hfill \cr x + y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow t = - 5 \Rightarrow M = (0; - 3;0).\)
Kết luận: \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\) nhỏ nhất \( { = 2MI = 10\sqrt 3 } \) khi M= (0; -3; 0).
Tìm tọa độ điểm đối xứng của A(0;0;1) qua mặt phẳng \(6x + 3y + 2z - 6 = 0.\)
Câu trả lời của bạn
\(A' = \left( {{{48} \over {49}};{{24} \over {49}};{{65} \over {49}}} \right).\)
Hãy tìm tọa độ điểm đối xứng của \({M_0}(2; - 1;1)\) qua đường thẳng : \(d:\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 2t. \hfill \cr} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Phương trình mặt phẳng qua điểm \({M_O}(2; - 1;1)\) và vuông góc với đường thẳng d đã cho là
\(2(x - 2) + \left( { - 1} \right)\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow 2x - y + 2z - 7 = 0.\)
Gọi \(H(x;y;z)\) là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng trên, ta có: \(H = \left( {{{17} \over 9}; - {{13} \over 9};{8 \over 9}} \right).\)
Gọi \({M_0}'\left( {x;y;z} \right)\) là điểm đối xứng với điểm \({M_o}\) qua đường thẳng d thì H là trung điểm của đoạn thẳng\({M_o}{M_o}'\) . Do đó
\(\left\{ \matrix{ {{x + 2} \over 2} = {{17} \over 9} \hfill \cr {{y - 1} \over 2} = - {{13} \over 9} \hfill \cr {{z + 1} \over 2} = {8 \over 9}. \hfill \cr} \right.\)
Vậy \({M_o}' = \left( {{{16} \over 9}; - {{17} \over 9};{7 \over 9}} \right).\)
Cho ba điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4). Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng BC.
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\overrightarrow {BC} = (1; - 1;7).\) Phương trình đường thẳng BC là
\(\left\{ \matrix{ x = 4 + t \hfill \cr y = - t \hfill \cr z = - 3 + 7t. \hfill \cr} \right.\)
Phương trình mp(\(\alpha \)) đi qua A và vuông góc với BC là:
\(1\left( {x + 1} \right) - 1\left( {y - 3} \right) + 7\left( {z - 2} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow x - y + 7z - 10 = 0.\)
Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng BC thì tọa độ của H(x; y; z) thoả mãn hệ:
\(\left\{ \matrix{ x = 4 + t \hfill \cr y = - t \hfill \cr z = - 3 + 7t \hfill \cr x - y + 7z - 10 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H\left( {{{231} \over {51}}; - {{27} \over {51}};{{36} \over {51}}} \right).\)
Viết phương trình đường vuông góc chung của cặp đường thẳng sau: \(\eqalign{ & \;\;d:{{x - 2} \over 2} = {{y - 3} \over 3} = {{z + 4} \over { - 5}},\cr&\;\;\;\;\;d':{{x + 1} \over 3} = {{y - 4} \over { - 2}} = {{z - 4} \over { - 1}}\cr} \)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;3; - 5} \right),\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {3; - 2; - 1} \right).\)
Khi đó vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( { - 13; - 13; - 13} \right)\) nên đường vuông góc chung \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;1;1} \right).\)
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa d và \(\Delta \) thì \(\left( \alpha \right)\) đi qua \({M_o}(2;3; - 4)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {8, - 7, - 1} \right).\)
Có phương trình của mp\(\left( \alpha \right)\) là: \(8\left( {x - 2} \right) - 7\left( {y - 3} \right) - 1\left( {z + 4} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 8x - 7y - z + 1 = 0.\)
Gọi \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng chứa \(d'\) và \(\Delta \) thì \(\left( \beta \right)\) đi qua điểm \(M_o'\left( { - 1;4;4} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( {1;4; - 5} \right).\)
Phương trình của mp\(\left( \beta \right)\) là :\(1\left( {x + 1} \right) + 4\left( {y - 4} \right) - 5\left( {z - 4} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow x + 4y - 5z + 5 = 0.\)
Vậy đường vuông góc chung \(\Delta \) của \(d\) và \(d'\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) . Nó có phương trình tham số là:
\(\left\{ \matrix{ x = t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = 1 + t. \hfill \cr} \right.\)
Tìm độ điểm đối xứng của \({M_0}(2; - 1;1)\) qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):y + z - 4 = 0\) và \(\left( {\alpha '} \right):2x - y - z + 2 = 0.\)
Câu trả lời của bạn
Ta xác định vectơ chỉ phương của d:
\(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {\left| {\matrix{ 1 & 1 \cr { - 1} & { - 1} \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 1 & 0 \cr { - 1} & 2 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 0 & 1 \cr 2 & { - 1} \cr } } \right|} \right)\)
\(= \left( {0;2; - 2} \right).\)
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \({M_o}\) và vuông góc với d, khi đó \(\left( \alpha \right)\) có phương trình: \(y - z + 2 = 0.\)
Gọi H là giao điểm của d với mp\(\left( \alpha \right)\), toa độ của \(H(x;y;z)\) là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \matrix{ y + z - 4 = 0 \hfill \cr 2x - y - z + 2 = 0 \hfill \cr y - z + 2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H = \left( {1;1;3} \right).\)
Từ đó, điểm \(M_o'\) đối xứng với \({M_o}\) qua d là \(M_o' = \left( {0;3;5} \right).\)
Tìm tọa độ điểm đối xứng của \({M_0}( - 3;1; - 1)\) qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x - 3y - 13 = 0\) và \(\left( {\alpha '} \right):y - 2z + 5 = 0.\)
Câu trả lời của bạn
Ta xác định được vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3;4;2} \right).\)
Khi đó phương trình mặt phẳng qua \({M_o}\) và vuông góc với d là :
\(\left( \alpha \right):3x + 4y + 2z + 7 = 0.\)
Gọi \(H(x;y;z)\) là giao điểm của d và \(\left( \alpha \right)\), ta có \({H}= \left( {1; - 3;1} \right).\)
Gọi \(M_o'\left( {x;y;z} \right)\) là điểm đối xứng của \({M_o}\) qua d, ta có \(M_o' = (5; - 7;3).\)
Trong không gian tọa độ Oxyz, xét đường thẳng \({\Delta _m}\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng \((\alpha )\) : mx + y - mz -1= 0 và \((\alpha '):x - my + z - m = 0\). Chứng minh góc giữa \({\Delta _m}\) và trục Oz không đổi; khoảng cách giữa \({\Delta _m}\) và trục Oz không đổi.
Câu trả lời của bạn
\({\Delta _m}\) là giao tuyến của hai mặt phẳng với các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} (m ; 1; -m) \) và \(\overrightarrow {{n_2}} (1; -m; 1)\). Vậy \({\Delta _m}\) có vectơ chỉ phương là
\(\overrightarrow {{u_m}} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {1 - {m^2}; - 2m; - 1 - {m^2}} \right).\)
Trục Oz có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow k = (0 ; 0 ; 1)\).
Vậy nếu gọi \({\varphi _m}\) là góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _m}\) và Oz thì
\(\cos {\varphi _m} = {{\left| {\overrightarrow {{u_m}} .\overrightarrow k } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_m}} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = {{1 + {m^2}} \over {\sqrt {{{\left( {1 - {m^2}} \right)}^2} + 4{m^2}+{{\left( {1 + {m^2}} \right)}^2}} }} = {1 \over {\sqrt 2 }}.\)
Suy ra \({\varphi _m} = {45^o}\) (không đổi).
Điểm M(x; y; z) thuộc \({\Delta _m}\) khi toạ độ của M là nghiệm của hệ
\(\left\{ \matrix{ mx + y - mz - 1 = 0 \hfill \cr x - my + z - m = 0. \hfill \cr} \right.\) (*)
Khử z từ hệ phương trình (*), ta được phương trình
\(2mx + \left( {1 - {m^2}} \right)y - 1 - {m^2} = 0\) (không chứa z).
Đây là phương trình của mặt phẳng \(\left( {{\alpha _m}} \right)\) chứa \({\Delta _m}\) và song song với trục Oz. Do đó, khoảng cách giữa \({\Delta _m}\) và Oz bằng khoảng cách từ gốc O(0 ; 0 ; 0) thuộc Oz tới mp(\({\alpha _m}\)). Vậy khoảng cách đó bằng:
\({d_m} = {{\left| { - 1 - {m^2}} \right|} \over {\sqrt {4{m^2} + {{\left( {1 - {m^2}} \right)}^2}} }} = 1(\text{ không đổi})\)
Cho đường thẳng d1 đi qua điểm M1(0;0;1), có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} (0;1;0)\) và đường thẳng d2 đi qua điểm M2(0;0;-1), có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} (1;0;0).\) Tìm tập hợp các điểm M nằm trong mỗi mặt phẳng tọa độ và cách đều d1, d2.
Câu trả lời của bạn
Với điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) bất kì, ta tính được các khoảng cách từ \(M\) tới \({d_1}\) và \({d_2}\) là:
\({h_1} = \sqrt {{{\left( {z - 1} \right)}^2} + {x^2}} ,\) \({h_2} = \sqrt {{{\left( {z + 1} \right)}^2} + {y^2}} .\)
M cách đều \({d_1}\) và \({d_2}\) khi và chỉ khi
\({h_1} = {h_2}\) \(\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {z - 1} \right)}^2} + {x^2}} = \sqrt {{{\left( {z + 1}\right)}^2} + {y^2}} \)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2} - 2z = {y^2} + 2z \cr & \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = 4z. \cr} \)
Xét trường hợp sau:
+) \(M \in \) mp\(\left( {Oxy} \right)\) khi đó \(z = 0\) suy ra \({x^2} - {y^2} = 0.\)
Vậy quỹ tích điểm M là cặp đường thẳng \(y = \pm x\) nằm trong mặt phẳng \(z = 0\).
+) M \( \in \) mp(Oyz), tức là x = 0. Quỹ tích điểm M là đường parabol y2 = -4z nằm trong mặt phẳng x = 0.
+) M \( \in \) mp(Oxz), tức là y = 0. Quỹ tích điểm M là đường parabol x2 = 4z nằm trong mặt phẳng y = 0.
Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; -1), B(-1; 1; 1), C( 1; 0; 1). Chứng minh OABC là 1 tứ diện vuông đỉnh O.
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\overrightarrow {OA} =(1 ; 2 ;-1)\), \(\overrightarrow {OB} =(-1 ; 1 ; 1)\), \(\overrightarrow {OC} = (1 ; 0 ; 1)\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0,\overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OC} = 0,\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OA} = 0 \cr & \Rightarrow OA \bot OB,OB \bot OC,OC \bot OA. \cr} \)
Trong không gian tọa độ Oxyz, xét đường thẳng \({\Delta _m}\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng \((\alpha )\) : mx + y - mz -1= 0 và \((\alpha '):x - my + z - m = 0\). Tìm tập hợp các giao điểm M của \({\Delta _m}\) và mp (Oxy) khi m thay đổi.
Câu trả lời của bạn
Toạ độ giao điểm M của \({\Delta _m}\) và mp(Oxy) là nghiệm của hệ :
\(\left\{ \matrix{ mx + y = 1 \hfill \cr x - my = m \hfill \cr z = 0. \hfill \cr} \right.\)
Bình phương hai vế của hai phương trình đầu của hệ rồi cộng lại, ta suy ra
\(\left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} = 1 \hfill \cr z = 0. \hfill \cr} \right.\)
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính bằng 1 trong mặt phẳng toạ độ (Oxy).
Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; -1), B(-1; 1; 1), C( 1; 0; 1). Chứng minh rằng ngoài điểm O còn có một điểm S duy nhất sao cho SABC là tứ diện vuông đỉnh S. Tìm tọa độ của S.
Câu trả lời của bạn
Giả sử S(\(x{\rm{ }};y;{\rm{ }}z\)) là điểm thoả mãn điều kiện đầu bài. Ta có :
\(\eqalign{ & \overrightarrow {SA} = \left( {1 - x;2 - y; - 1 - z} \right), \cr & \overrightarrow {SB} = \left( { - 1 - x;1 - y;1 - z} \right), \cr & \overrightarrow {SC} = \left( {1 - x; - y;1 - z} \right). \cr} \)
Ta có: \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SA} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3y = 0 \hfill \cr {x^2} + {y^2} + {z^2} - y - 2z = 0 \hfill \cr {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y = 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\left\{ \matrix{ y = z \hfill \cr {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3y = 0 \hfill \cr y = 2x \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = {2 \over 3}. \hfill \cr} \right.\)
Khi \(x = {\rm{ }}0\) thì \(y{\rm{ }} = z{\rm{ }} = {\rm{ }}0\), điểm S trùng với điểm O.
Khi \(x = {\rm{ }}{2 \over 3}\) thì \(y{\rm{ }} = z{\rm{ }} = {\rm{ }}{4 \over 3}\), \(S = \left( {{2 \over 3};{4 \over 3};{4 \over 3}} \right)\) là điểm duy nhất khác O sao cho tứ diện SABC là tứ diện vuông.
Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; -1), B(-1; 1; 1), C( 1; 0; 1). Mặt phẳng (Oxy) chia tam giác ABC thành 2 phần, tính tỉ số diện tích 2 phần đó.
Câu trả lời của bạn
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, AC, tacó \(M = \left( {0;{3 \over 2};0} \right)\), \(N = (1;{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}0)\), suy ra M, N đều thuộc mp(Oxy). Như vậy mp(Oxy) cắt tam giác ABC theo đường trung bình MN, do đó chia tam giác ABC thành hai phần : tam giác AMN và hình thang MNCB. Rõ ràng là tỉ số diện tích hai phần đó là 1 : 3.
Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; -1), B(-1; 1; 1), C( 1; 0; 1). Tính góc giữa mp(ABC) và mp(Oxy).
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\overrightarrow {AB} \) = (-2 ; -1 ; 2), \(\overrightarrow {AC} \) = (0 ; -2 ; 2).
Vì \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) = (2;4;4) nên mp (ABC) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1;2;2} \right).\)
mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = {\rm{ }}\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right).\)
Gọi \((\varphi )\) là góc hợp bởi mp(ABC) và mp(Oxy) thì :
\(\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow k } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = {2 \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = {2 \over 3}.\)
Trong không gian tọa độ Oxyz, xét hai mặt phẳng \(({\alpha _m}):3mx + 5\sqrt {1 - {m^2}} y + 4mz + 20 = 0,\) \(m \in \left[ { - 1;1} \right]\). Tính khoảng cách từ gốc O tới mặt phẳng \(({\alpha _m}).\)
Câu trả lời của bạn
\(d\left( {O,\left( {{\alpha _m}} \right)} \right) = {{20} \over {\sqrt {9{m^2} + 25\left( {1 - {m^2}} \right) + 16{m^2}} }} = {{20} \over {\sqrt {25} }} = 4.\)
Trong không gian tọa độ Oxyz, xét hai mặt phẳng \(({\alpha _m}):3mx + 5\sqrt {1 - {m^2}} y + 4mz + 20 = 0,\) \(m \in \left[ { - 1;1} \right]\). Chứng minh rằng với mọi \(m\in [-1;1]\) ,\(({\alpha _m})\) tiếp xúc với một mặt cầu cố định.
Câu trả lời của bạn
Khi m thay đổi, các mặt phẳng (\({\alpha _m}\)) luôn tiếp xúc với mặt cầu cố định tâm O và bán kính bằng 4.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *